初三数学二次函数练习题
二次函数
基础达标验收卷 一、 选择题：
1. （3大连）抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x
C.
直线2-=x
D. 直线2=x
2. （4重庆）二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a
c b M 在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. （4天津）已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A.
042>-ac b
B. 042=-ac b
C. 042<-ac b
D. ac b 42-≤
4. （3杭州）把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是5
32+-=x x y ，则有
（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C.
3=b ，3=c
D.
9-=b ，21=c 5. （3南通）已知反比例函数x
k y =的图象如右图所示，则二次函数
222k x kx y +-=的图象大致为（
）
B
x
6. （3哈尔滨）下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数
c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是
正确的，正确的是（ ）
D
7. （5甘肃）抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A.
2-=x
B. 2=x
C. 1-=x
D. 1=x
8. （5南京）二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A.
2-
B. 2
C.
1-
D. 1
9. （5江苏）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=
b a P -=4，则（ ）
A. 0>M ，0>N ，0>P
B. 0
C. 0>M ，0
D.
0 二、填空题： 10. （4河北）将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则 y =______________________. 11. （3甘肃）已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况是______________________. 12. （3黑龙江）已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 13. （3新疆）请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_______________. 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4=x ； 乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. （4武汉）已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________. 16. （5宁夏）如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3( ，则 A 点的坐标是________________. 17. （5江苏）已知抛物线562+-=x x y 的部分图象如图，则抛物线的对称轴为直线x =____________，满足0 个单位，可得到抛物线962+-=x x y . O x y A B 1 1 7题图 三、解答题： 1. （3安徽）已知函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）. （1）求这个函数的解析式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当0>x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 2. 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B . （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△ PAB 是以AB 为腰的等腰三角 O x y 1 -1 B A 形，试求点P的坐标. 3.（3辽宁）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后， 公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与销售时间t（月）之间的函 数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到3万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 4.（3上海）卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥 截面1:11的比例图上去，跨度AB=5cm，拱高OC=.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）. 在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）. （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM=.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）. （1） A B C D E M O （2） 5. （5武汉）已知二次函数m ax ax y +-=2的图象交x 轴于)0,(1x A 、 )0,(2x B 两点，21x x <，交y 轴的负半轴与C 点，且AB =3，tan ∠BAC = tan ∠ABC =1. （1）求此二次函数的解析式； （2）在第一象限．．．．． ，抛物线上是否存在点P ，使S △PAB =6？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由. 能力提高练习 一、学科内综合题 1.（4天津）已知抛物线c + =2与x轴只有一个交点，且交点为 y+ bx x )0,2(A. （1）求b、c的值； （2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的面积（答案可带根号）. 二、实际应用题 2. （3山西）启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为1万件. 为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且10 7107102 ++-=x x y ， 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费： （1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式， 并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？ （2）把（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资 新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表： 如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目. 3.（3吉林）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为2m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是1m. （1）求此抛物线的解析式； （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥28km（桥Array长忽略不计）. 货车正以每小时 4km的速度开往乙地，当行驶1 小时时，忽然接到紧急通知：前 方连降暴雨，造成水位以每小时.25m的速度持续上涨（货 车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时， 禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安 全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通 过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 4. （5河北）某机械租赁公司有同一型号的机械设备4套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为27元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高1元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）2元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）. （1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出 设备（套）的支出费用； （2）求y 与x 之间的二次函数关系式； （3）当月租金分别为43元和35元时，租赁公司的月收益分别 是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由； （4）请把（2）中所求的二次函数配方成a b a c a b x y 44)2(2 2-+ +=的形 式，并据此说明：当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备 的月收益最大？最大月收益是多少？ 三、开放探索题 5. （3济南）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要的结论：一是发现．．．． 抛物线322++=x ax y （a ≠），当实数 a 变化时，它的顶．点． 都在某条直线上；二是发现．．．． 当实数a 变化时，若把抛物线322++=x ax y 的顶点的横坐标减少a 1，纵坐标增加a 1，得到A 点的坐标；若把顶点的横坐标 增加a 1，纵坐标增加a 1，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在 抛物线322++=x ax y 上. （1）请你协助探求实数a 变化时，抛物线322++=x ax y 的顶点．． 所在直线的解析式； （2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能 找出它来吗？并说明理由； （3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般” 的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想成立吗？若能成立，请说明理由. 6.（4河南）某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内 生产总值199年为8.6亿元人民币，1995年为1.4亿元人民币，2年为12.9亿元人民币. 经论证，上述数据适合一个二次函数关系. 请你根据这个函数关系，预测25年该市国内生产总值将达到多少？ 参考答案 基础达标验收卷 一、选择题： 二、填空题： 1. 2)1(2+-=x y 2. 有两个不相等的实数根 3. 1 4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值） 5. 358512+-= x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或17 8 712-+-=x x y 6. 122++-=x x y 等（只须0c ） 7. )0,32(- 8. 3=x ，51< 三、解答题： 1. 解：（1）∵函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2），∴2139=-+b . 解得2-=b . ∴函数解析式为122--=x x y . （2）2)1(1222--=--=x x x y . 图象略. 图象的顶点坐标为)2,1(-. （3）当3=x 时，2=y . 根据图象知当x ≥3时，y ≥2. ∴当0>x 时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3. 2. 解：（1）由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴抛物线的解析式为 452-+-=x x y . （2）∵点A 的坐标为（1，），点B 的坐标为)4,0(-. ∴OA =1，OB =4. 在Rt △OAB 中，17 22=+=OB OA AB ，且点P 在y 轴正半轴 上. ①当PB =PA 时，17 = PB . ∴417-= -=OB PB OP . 此时点P 的坐标为)417, 0(-. ②当PA =AB 时，OP =OB =4. 此时点P 的坐标为（，4）. 3. 解：（1）设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2， 由题意得?? ? ??=++-=++-=++；5.2525,224, 5.1c b a c b a c b a 或?? ? ??=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得 ??? ? ???=-==.0,2,21c b a ∴ t t s 22 1 2-=. （2）把s =3代入t t s 22 12-=，得.22 1302t t -= 解得101=t ，62-=t （舍 去） 答：截止到1月末公司累积利润可达到3万元. （3）把7=t 代入，得.5.107272 12=?-?=s 把8=t 代入，得.168282 12=?-?=s 5.55.1016=-. 答：第8个月获利润5.5万元. 4. 解：（1）由于顶点在y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为10 9 2+ =ax y . 因为点)0,2 5(-A 或)0,25(B 在抛物线上，所以10 9 )2 5 (·02+ -=a ，得125 18-=a . 因此所求函数解析式为10 9125182+- =x y （25-≤x ≤25 ）. （2）因为点D 、E 的纵坐标为20 9，所以10912518209+-=，得245±=x . 所以点D 的坐标为)209,245(-，点E 的坐标为)20 9,245(. 所以22 5)245(245=--=DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385 227501.0110022 5≈=??（米）. 5. 解：（1）∵AB =3，21x x <，∴312=-x x . 由根与系数的关系有121=+x x . ∴11-=x ，22=x . ∴OA =1，OB =2，2·21-==a m x x . ∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ，∴1==OB OC OA OC . ∴OC =2. ∴2-=m ,1=a . ∴此二次函数的解析式为22--=x x y . （2）在第一象限，抛物线上存在一点P ，使S △PAC =6. 解法一：过点P 作直线MN ∥AC ，交x 轴于点M ，交y 轴于N ，连结PA 、PC 、MC 、NA . ∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC = S △PAC =6. 由（1）有OA =1，OC =2. ∴612 122 1=??=??CN AM . ∴AM =6， CN =12. ∴M （5，），N （，1）. ∴直线MN 的解析式为102+-=x y . 由?? ?--=+-=, 2, 1022 x x y x y 得?? ?==；431 1y x ?? ?=-=18, 422y x （舍去） ∴在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △PAC =6. 解法二：设AP 与y 轴交于点),0(m D （m >） ∴直线AP 的解析式为m mx y +=. ? ? ?+=--=., 22m mx y x x y ∴02)1(2=--+-m x m x . ∴1+=+m x x P A ，∴2+=m x P . 又S △PAC = S △ADC + S △PDC =P x CD AO CD ·2 1·2 1+=)(2 1P x AO CD +. ∴6)21)(2(2 1=+++m m ，0652=-+m m ∴6=m （舍去）或1=m . ∴在第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △PAC =6. 能力提高练习 1. 解：（1）∵抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点， ∴方程02=++c bx x 有两个相等的实数根，即042=-c b . ① 又点A 的坐标为（2，），∴024=++c b . ② 由①②得4-=b ，4=a . （2）由（1）得抛物线的解析式为442+-=x x y . 当0=x 时，4=y . ∴点B 的坐标为（，4）. 在Rt △OAB 中，OA =2，OB =4，得5222=+=OB OA AB . ∴△OAB 的周长为52652 41+=++. 2. 解：（1）76)34()10710710(1022 ++-=--?++-?=x x x x x S . 当3) 1(26 =-?-=x 时，16)1(467)1(42=-?-?-?= 最大S . ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元. （2）用于投资的资金是13316=-万元. 经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A 、B 、E 各一股，投入资金为13625=++（万元），收益为.55+.4+.9=1.85（万元）>1.6（万元）； 另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12（万 元）<13（万元），收益为.4+.5+.9=1.8（万元）>1.6（万元）. 3. 解：（1）设抛物线的解析式为2ax y =，桥拱最高点到水面CD 的距 离为h 米，则),5(h D -，)3,10(--h B . ∴? ??--=-=.3100, 25h a h a 解得????? =-=. 1,251h a ∴抛物线的解析式为2 25 1x y - =. （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷.25=4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为4×1+4×4=2<28， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x 千米/时， 当2801404=?+x 时，60=x . ∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过6千米/时. 4. 解：（1）未出租的设备为10 270-x 套，所有未出租设备的支出为 )5402(-x 元. （2）5406510 1)5402()1027040(2 ++- =----=x x x x x y . ∴5406510 12 ++- =x x y .（ 说明：此处不要写出x 的取值范围） （3）当月租金为3元时，租赁公司的月收益为114元，此时 出租的设备为37套；当月租金为35元时，租赁公司的月收益为114元，此时出租的设备为32套. 因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑 减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套. （4）5.11102)325(10 1 5406510122+--=++- =x x x y . ∴当325=x 时，y 有最大值1112.5. 但是，当月租金为325 元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为33元（租出34套）或月租金为32元（租出35套）时，租赁公司的月收益最 大，最大月收益均为111元. 5. 解：（1）当1=a 时，322++=x x y 的顶点坐标为)2,1(-；当1-=a 时， 322++=x x y 的顶点坐标为)4,1(. 设抛物线322++=x x y 的顶点在直线b kx y +=上，将)2,1(-、)4,1(代入，得 ? ? ?+=+-=.4, 2b k b k 解得? ? ?==.3, 1b k 即抛物线322++=x x y 的顶点在直线3+=x y 上. （或由抛物线322++=x ax y 的顶点坐标为)1 3, 1(a a --，得其顶点在直线3+=x y 上） （2）直线3+=x y 上有一个点（，3）不是抛物线的顶点. 抛物线322++=x ax y 的顶点坐标为)1 3, 1(a a --， 当a ≠时，顶点横坐标a 1-≠. ∴点（，3）不是抛物线的顶点. （3）得出猜想：对于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠），将其顶点的横 坐标增加或减少a 1，纵坐标增加a 1，所得到的两个点一定 仍在抛物线上. （其他猜想，只要合理也对） 理由：∵抛物线c bx ax y ++=2 的顶点坐标为)44,2(2 a b a c a b --， ∴将其横坐标减少a 1，纵坐标增加a 1，得)44 4,22(2a b ac a b A +-+-. 同理可得)44 4,22(2a b a c a b B +-+-. 把a b x 22+-=代入 c bx ax y ++=2， 得a b a c c a b b a b a y 44 4)22()22(22+-= ++-++-=.