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和倍问题差倍问题和差问题

.和倍问题学法指导已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题叫做和倍应用题，简称和倍问题。首先我们要并清几个问题：

两个数相比，以被比的数为标准，这个被比的数称为一倍数，比的数里有几个这样的一倍数，就是几倍数，我们就说一个数是另一个数的几倍。它们之间的数量关系式是：

一倍数×倍数=几倍数t 几倍数÷一倍数=倍数几倍数÷倍数=一倍数在解决和倍问题时，先要确定一个数为标准（通常以较小的数为标准），即一倍数，再根据较大的数与较小的数之间的倍数关系，确定总和相当于一倍数（较小的数）的多少倍，然后求出一倍数（较小的数），再算出其他各数量。和倍问题的数量关系式是：和÷（倍数+1）=一倍数即较小的数和一较小的数=较大的数，或较小的数×倍数=较大的数甲、乙两车间共有工人664人，甲车间的人数是乙的3倍，甲、乙两车间各有工人多少人？

【分析与解答】

我们可以用线段图表示题中的已知条件与问题：

乙车间：

甲车间：

从上图看出，甲车间的人数是乙的3倍，那么把乙车间的人数看作1份，甲就有这样的3份，总人数664人占了1+3 =4份，把664人平均分成4份，l份就是乙车间的人数，3份就是甲车间的

高中数学：两角和、差及倍角公式练习

高中数学：两角和、差及倍角公式练习 1．(新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20° sin70° 的值是( C ) A ．12 B ．32 C ． 3 D ． 2 解析：原式＝ 2cos (30°－20°)－sin20° sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20° cos20°＝ 3. 2．(山西五校联考)若cos θ＝23,θ为第四象限角,则cos ? ???? θ＋π4的值为( B ) A ． 2＋10 6 B ． 22＋10 6 C ．2－106 D ．22－106 解析：由cos θ＝2 3,θ为第四象限角, 得sin θ＝－5 3, 故cos ? ???? θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×? ????23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈? ????π2，π,且3cos2α＝sin ? ???? π4－α,则sin2α的值为( C ) A ．－1 18 B ．1 18 C ．－1718 D ．1718 解析：由3cos2α＝sin ? ?? ?? π4－α可得

3(cos 2 α－sin 2 α)＝2 2(cos α－sin α), 又由α∈? ???? π2，π可知cos α－sin α≠0, 于是3(cos α＋sin α)＝2 2, 所以1＋2sin α·cos α＝1 18, 故sin2α＝－17 18.故选C ． 4．已知锐角α,β满足sin α－cos α＝1 6,tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3,则α,β的大小关系是( B ) A ．α＜π 4＜β B ．β＜π 4＜α C ．π 4＜α＜β D ．π 4＜β＜α 解析：∵α为锐角,sin α－cos α＝1 6＞0, ∴π4＜α＜π2 . 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3, ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝3, ∴α＋β＝π3,又α＞π4,∴β＜π 4＜α. 5．在△ABC 中,sin A ＝513,cos B ＝3 5,则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．± 1665 D ．± 5665 解析：∵B 为三角形的内角,cos B ＝3 5＞0, ∴B 为锐角,∴sin B ＝1－cos 2B ＝4 5,

四年级简单的和倍问题与差倍问题练习教学文案

四年级简单的和倍问题与差倍问题练习

热身题: 和倍问题 （1）甲是乙的3倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。（2）甲是乙的4倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。（3）乙仓库存粮是甲仓存粮的2倍，甲乙仓库的和是（）倍。 （4）师傅生产的零件是徒弟的2倍，师傅和徒弟生产的零件总数是（）倍。 （5）故事书是科技书的2倍，故事书和科技书的本书之和是（）倍。 （6）练习本是方格本的3倍，练习本和方格本的本书和是（）倍。 和倍问题数量关系： 和÷（倍数＋1）＝1倍数 1倍数×倍数＝几倍数或和－1倍数＝几倍数 例题精讲：例1、根据线段图列式 例2、学校图书室买来科技书和故事书共24 本，其中故事书的本数是科技书的3倍。学 校图书室买来科技书和故事书各多少本？ 试一试： 1、某专业户养鸡、鸭共48只，其中鸭的只数是鸡的5倍，这个专业户养鸡、鸭各多少只？ 2、学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数是足球的2倍。学校买来篮球和足球各多少个？

3、果园里有苹果树和梨树共650棵，其中苹果树是梨树的4倍。问苹果树和梨树各多少棵？ 4、副食店中白糖的千克数正好是红糖的5倍，已知白糖和红糖共有180千克。副食店有白糖、红糖各多少千克？ 5、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 6、生产队养公鸡、母鸡共404只,其中公鸡是母鸡的3倍,公鸡和母鸡各多少只？ 差倍问题 数量关系：两个数的差÷（几倍—1）=较小的数 较小的数×几倍=较大的数或较小的数+两个数的差=较大的数 1、甲、乙两人共有150张画片，甲的张数比乙的2倍多30张，两人各有几张画片？ 2、王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

五年级数学下册 和倍、差倍问题教案 沪教版

和倍、差倍问题 教学目标： 1．在理解题意的基础上寻找等量关系，初步掌握列方程解两、三步计算的简单实际问题。 2. 掌握列方程，解含有两个未知数的应用题的方法。 教学重点：在理解题意的基础上寻找等量关系，初步掌握列方程解“和倍问题”。 教学难点：从不同角度探究解题的思路，初步体会利用等量关系分析问题的优越性。 教学准备：配套课件 教学设计： 一、情景引入 1. 创设情景：小胖、小丁丁、小巧、小亚平时都喜欢集邮。 出示例题2（1）： 小胖和小巧一共有232张邮票,小胖的邮票张数是小巧的3倍,小胖、小巧各有多少张邮票? 2. 寻找未知量与已知量之间的等量关系。 (1) 先读一读题目,找一找例题中告诉我们哪些条件,求什么问题。 (2) 学生回答,教师可画出相关的线段图。 (3) 分析:设小巧有x张邮票,那么小胖的邮票张数可以用3x表示。 (4) 未知量与已知量之间的等量关系是: 小巧的邮票张数+小胖的邮票张数=两人共有的邮票张数 3. 根据等量关系列方程解应用题。 解:设小巧有x张邮票,那么小胖有3x张邮票。 x+3x = 232 4x = 232 x = 58 3x= 3×58 = 174

答:小巧有58张邮票,小胖有174张邮票 (注意列方程解应用题的书写格式) 4. 进行检验 练一练 小胖将174张邮票放在大、小两本集邮册中,大集邮册中的邮票张数正好是小集邮册的2倍,这两本集邮册中分别有多少张邮票? 5．出示例题2（2）： 小胖的邮票张数比小巧多116张，是小巧邮票张数的3倍，小胖、小巧各有多少张？ (1) 分析: 设小巧有x张邮票,那么小胖的邮票张数可以用3 x表示。 (2) 根据题意,画出线段图。 (3) 未知量和已知量之间的等量关系是: 小胖的邮票张数—小巧邮票张数=相差张数 (4) 根据等量关系列方程解应用题。 解: 设小巧有x张邮票,那么小胖有3 x张邮票。 3x- x =116 2x = 116 x = 58 3x =3×58 =174 答: 小巧有58张邮票,那么小胖有174张邮票。 (5) 检验。 练一练： 6．商店里出售精装、平装两种集邮册。精装集邮册的售价是平装集邮册售价的1.8倍，比平装集邮册贵9.6元。这两种集邮册的售价分别是多少元？ 二、小结，你学到了些什么？ 三．巩固练习(寻找自己喜欢的等量关系,列方程解应用题) 1.妈妈给小巧买一套衣服一共用去135元，上衣的价格是裤子的2倍。上衣和裤子各是多少元？(画线段图) 2.花坛里有小红花、小黄花共126朵，小黄花的朵数是小红花的2.5倍。花坛里有小红花和小黄花各多少朵？ 3.小胖有大、小两本集邮册,大集邮册中的邮票张数比小集邮册多58张,正好是小集邮册中邮票

三角函数的两角及差与倍角公式练习题.doc

三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若 sin 3 ( 2 ), tan 1 ,则 tan( ) 的值是 5 2 A ．2 B ．－ 2 2 2 C ． D ． 11 11 2、如果 sin x 3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是 1 1 2 3 A ． B ． C ． D ． 6 5 9 10 3、如果 tan( ) 2 , tan( ) 1 ,那么 tan( )的值是 5 4 4 4 13 3 13 13 A ． B ． C ． D ． 18 22 22 18 4、若 f (sin x) cos2x, 则 f 3 等于 2 1 3 1 3 A ． B ． C ． D ． 2 2 2 2 5、在 ABC 中， sin A · sin B cosA · cosB, 则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6 、角 终边过点 (4,3) ，角 终边过点 ( 7, 1)，则 sin() ； 7 、若 tan 3，则 2 所在象限是 ； 8 、已知 cot 4 3，则 2 sin cos ； cos 2 sin 9 、 tan 65 tan 70 tan65·tan 70 ； 10、 化简 3sin 2x 3 cos2x 。 三、解答题： 11、求 sec100 tan 240·csc100 的值。

12、已知3 ，求(1 tan )(1 tan )的值。4 13、已知cos2 3 , 求 sin 4 cos4的值。 5 14、已知tan, tan 是方程x 2 3x 5 0的两个根， 求 sin 2 ( ) 2 sin( ) ·cos( ) 的值。

四年级简单的和倍问题与差倍问题练习

热身题: 和倍问题 （1）甲是乙的3倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。 （2）甲是乙的4倍，如果乙是（）份，那么甲是（）份。甲和乙一共是（）份。 （3）乙仓库存粮是甲仓存粮的2倍，甲乙仓库的和是（）倍。 （4）师傅生产的零件是徒弟的2倍，师傅和徒弟生产的零件总数是（）倍。 （5）故事书是科技书的2倍，故事书和科技书的本书之和是（）倍。 （6）练习本是方格本的3倍，练习本和方格本的本书和是（）倍。 和倍问题数量关系： 和÷（倍数＋1）＝1倍数 1倍数×倍数＝几倍数或和－1倍数＝几倍数 例题精讲：例1、根据线段图列式 例2、学校图书室买来科技书和故事书共24本，其中故事书的本数是科技书的3倍。学校图书室买来科技书和故事书各多少本？ 试一试： 1、某专业户养鸡、鸭共48只，其中鸭的只数是鸡的5倍，这个专业户养鸡、鸭各多少只？ 2、学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数是足球的2倍。学校买来篮球和足球各多少个？ 3、果园里有苹果树和梨树共650棵，其中苹果树是梨树的4倍。问苹果树和梨树各多少棵？ 4、副食店中白糖的千克数正好是红糖的5倍，已知白糖和红糖共有180千克。副食店有白糖、红糖各多少千克？

5、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 6、生产队养公鸡、母鸡共404只,其中公鸡是母鸡的3倍,公鸡和母鸡各多少只？ 差倍问题 数量关系：两个数的差÷（几倍—1）=较小的数 较小的数×几倍=较大的数或较小的数+两个数的差=较大的数 1、甲、乙两人共有150张画片，甲的张数比乙的2倍多30张，两人各有几张画片？ 2、王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？ 3、大仓库存粮比小仓库存粮多254吨。又知大仓库存粮是小仓库存粮的3倍。大、小仓库各存粮多少吨？ 4、一养鸡场，公鸡比母鸡少369只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？ 5、小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明的2倍？ 6、一篮苹果比一篮桔子重40千克，苹果重量是桔子的5倍，苹果、桔子各有多少千克？

两角和与差理解练习知识题

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2 11 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ． 1 6 B ． 15 C ． 29 D ． 310 3、如果的值是那么)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-=+ A ． 1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ??232则等于 A ．- 12 B ．- 32 C ． 12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 12、的值。 ，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπ βα--= + 两角和与差练习题 一、选择题： 2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=5 3,则cos α的值为( ) A ．－10 334+ B ．10 343- C ．10334- D ．10 334+

7．已知cos(α－π6)＋sin α＝ 4 5 3，则sin(α＋7π 6 )的值是 ( ) A ．－ 2 35 B.235 C ．－45 D.45 8.f(x)＝sinx cosx 1＋sinx ＋cosx 的值域为( ) A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1) B ．[－2－1 2,―1] ∪(―1, 2－1 2 ) C ．( －3－12 , 3－1 2 ) D ．[ －2－1 2,2－1 2 ] 解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝ 2sin(x ＋π 4)∈[― 2,―1]∪(―1, 2)． 则f(x)＝t 2－1 21＋t ＝ t －12∈[－2－1 2,―1]∪(―1, 2－1 2 )．B 9 .sin()cos()cos()θθθ+?++?-+?7545315的值等于（ ） A. ±1 B. 1 C. -1 D. 0 10．等式sin α＋3cos α＝4m －6 4－m 有意义，则m 的取值范围是 ( ) A ．(－1,7 3) B ．[－1,7 3 ] C ．[－1,7 3 ] D ．[―73 ,―1] 11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8 γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π 6 Ｂ． π4 Ｃ． π3 Ｄ．5π4 12．已知 是锐角，sin =x,cos =y,cos()=－ 5 3 ，则y 与x 的函数关系式为

和倍差倍问题和差问题问题讲义及练习答案优质的

第一讲和倍问题 和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。 例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 分析设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系： 解：乙班：160÷（3+1）=40（本） 甲班：40×3=120（本） 或160-40=120（本） 答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。 这道应用题解答完了，怎样验算呢？ 可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。 验算：120＋40=160（本） 120÷40=3（倍）。 例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？

分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。 解：①甲、乙两班共有图书的本数是： 30＋120=150（本） ②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是： 2＋1＝3（倍） ③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本） ④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本） 综合算式： （30＋120）÷（2+1）=50（本） 50-30=20（本） 答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。 验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍） （120-20）+（30+20）＝150 （本）。 例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。

三角函数基础,两角和与差、倍角公式

练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足

和倍差倍问题应用题及答案

和倍差倍问题应用题及答案 一、和倍问题 【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数 总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：杏树有62棵，桃树有186棵。 例2商店运来苹果和梨共重200千克，苹果的重量相当于梨的3倍，这个商店运来苹果和梨各多少千克？ 解（1）梨的重量＝200÷（3＋1）＝50（千克） （2）苹果的重量＝200－50＝150（千克） 答：这个商店运来苹果150千克，梨50千克。 二、差倍问题 【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。 例2 南街村种花生公顷数是玉米的8倍，花生比玉米多种63公顷。花生、玉米各种多少公顷？ 解（1）种玉米的公顷数＝63÷（8－1）＝9（公顷）（2）种花生的公顷数＝9×8＝72（公顷） 答：种花生72公顷，种玉米9公顷.

三角函数的两角和差及倍角公式练习题之欧阳学文创编

三角函数的两角和差及倍角公式练 习题 欧阳学文 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2 (53sin βαβπαπα-= <<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ． 3 10 3、如果的值是那么)4 tan(,4 1)4 tan(,5 2)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ． 322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题：

6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=； 7、若αα23tan ，则=所在象限是； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπ sin 2cos cos sin 234cot ，则； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x + =。 三、解答题： 11、求的值。 ·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 235 44θθθ=+ 14、已知 )sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 答案： 一、 1、B 2、D 提示: tanx = 3, 所求12 2sin x , 用万能公式。 3、B 提示: ()απ αββπ+ =+--? ? ?? ?44 4、A 提示: 把x =π3 代入

和差、和倍、差倍问题练习题

和差问题 解答方法是：（和+差）÷2＝大数（和 - 差）÷2＝小数 1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？ 2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？ 3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？ 4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？ 5.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？ 6.甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？ 7. 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？ 8.今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？ 9.小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？ 10.甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？ 11.姐妹二人将自己平时积蓄的零用钱共450元存入银行。已知姐姐存款比妹妹多50元，姐妹二人各存款多少元？

两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和—小数=大数 1、学校将360本书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两年级各分得多少本图书？ 2、小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍，小红和小明分别有压岁钱多少元？ 3、学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本，二、三年级各得图书多少本？ 4、甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？ 5、小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给多少枝小宁后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？ 6、红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？ 7、甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？ 8、甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班级图书管理员又买来图书16本，怎么分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？ 9、被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是几？ 10、被除数和除数的和为120，商是7，被除数和除数各是几？ 11、被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是几？ 12、两个整数相除商是21，余数为1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是441，被除数、除数各是多少？ 13、与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？ 14、甲乙两数的和是209，甲数缩小10倍就和乙数同样大，甲乙两数分别是多少？

倍角公式与半角公式习题(绝对物超所值)

两角和与差的三角函数 1．若4 cos 5α= ，且()0,απ∈，则tg 2 α= ． 2．（本小题满分12分）已知函数 ()sin() 6f x A x π ω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=． （1）求()f x 的表达式； （2）设 ,[0,] 2π αβ∈， 16(3)5f απ+= ，520 (3)213f πβ+=- ，求cos()αβ-的值． 3．在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a=3，c=4，C=2A ． （Ⅰ）求cosA 及b 的值； （Ⅱ）求cos(3π –2A)的值． 4．已知31)6sin(=-απ，则)3 (2cos απ +的值是（ ） A ． 97 B ．31 C ．31- D ．9 7- 5．若4cos 5θ=- ，θ是第三象限的角,则 1tan 21tan 2 θ θ-+=（ ） A ．12 B ．12- C ．3 5 D ．-2 6．己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________． 7．已知==+ απ α2sin ,54 )4cos(则 . 8．已知==+απα2sin ,5 4 )4cos(则 . 9．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且a b >，已知4 cos 5 C = ，32c =，2 221sin cos sin cos sin 222 B A A B C ++=． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）求cos()B C -的值． 10．已知函数()2sin()(0,)6 f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2 ()3 f α= ，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 11．已知函数2 ()2sin cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈．

两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用

). 1(≠k 高一数学 一、本讲教学内容 两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用 二、典型例题选讲 例1 已知)tan()tan(βαβα+?=-k 求证： .112sin 2sin k k -+=βα 分析 注意到已知条件中的角βα-、βα+与欲证等式中的角α2、β2的关系： ),()(2βαβαα-++=),()(2βαβαβ--+=因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证 明. 证： )]()sin[()]()sin[(22sin βαβαβαβαβα--+-++=sjin =) sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-?+--?+-?++-?+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++= .11)tan()tan()tan()tan(k k k k -+=+?-++?++βαβαβαβα 评析 本题也可以由已知得)tan()tan(βαβα+-=k ，代入右边，得=+--+-+ =-+) tan() tan(1)tan() tan(111βαβαβαβαk k )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++ ,cos cos ) sin(cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan B A B A B A B A B A B B A A B A ?±=??±?=±=± .2sin 2sin )]()sin[()]()sin[(11βαβαβαβαβα=--+-++=-+∴ k k 例2 已知,4 3 sin sin = +β α求βαcos cos +的取值范围. 分析 βαcos cos +难以直接用βαsin sin +的式子来表达，因此设t =+βαcos cos ，并找出t 应满足的等式，从而求出βαcos cos +的取值范围. 解 令t =+βαcos cos ，① 由已知，4 3 sin sin = +β α. ② ①2+②2 ：,16 9sin sin sin 2sin cos cos cos 2cos 22222+ =+?+++?+t ββααββαα ,169)cos(222+ =-+t βα ).cos(216232βα-+=t ].16 55,0[,1)cos(12∈∴≤-≤-t βα ],455,455[- ∈t 即].4 55 ,455[cos cos -∈+βα 例3 求函数x x x x x f cos sin 3cos sin )(?+-=的值域 分析 )(x f 的解析式中既有x sin ，又有x cos ，若由1cos sin 22=+x x 将x cos 表示成x 2sin 1-±或将x sin 表示 成x 2cos 1-±，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到x x x x cos sin 21)cos (sin 2?-=-，因此可作代换：,cos sin t x x =-则x x cos sin ?和x x cos sin -都可以用t 表示，)(x f 就可以变形为t 的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得)(x f 的值域. 解 令,cos sin x x t -= 则,cos sin 212 x x t ?-= .2 1cos sin 2 t x x -=? .2 3 61)31(232323213cos sin 3cos sin )(222++--=++-=-? +=?+-=t t t t t x x x x x f ].2,2[).4 sin(2)4sin cos 4cos (sin 2cos sin -∈∴-=?-?=-=t x x x x x t π ππ 当;352361)(,31max =+==x f t 当.22 3 232)2(23)(,22min --=+---=-=x f t )(x f ∴的值域为}.35 223{≤≤--y y 评析 相应于)4 sin(2cos sin π - = -x x x ，还有更一般的情况：

(完整版)小学四年级和倍问题与差倍问题

和倍问题 已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求大小两个数的问题叫和倍问题。 解这类应用题关键是要找准标准数（即1倍数），一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准数的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。数量关系可表示为： 两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数） 小数（1倍数）×倍数=大数（几倍数） 或两数和—小数（1倍数）=大数（几倍数） 解决和倍问题，为了理解题意，可以画出线段图，使数量关系一目了然。 1、三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 2、哥哥和弟弟共有图书120本，哥哥的图书是弟弟的3倍，哥哥有图书多少本？

3、小强和小明共有28本练习本，小强的练习本比小明的2倍少2本，小强和小明各有几本练习本？ 4、甲乙丙三个数的和是360，已知甲是乙的3倍，乙是丙的2倍，求甲乙丙三个数各是多少？ 5、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若是把0去掉，则与加一个加数相同，这两个数各是多少？ 6、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克？ 7、一个除法算式，商是5，余数是1，被除数、除数、商和余数的和是109，除数是多少？

差倍问题 差倍问题就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。 解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，从而示出一倍数，再求出其它的数。解题时，我们一般也是先借助线段图帮助自己分析题目的数量关系。 这类问题的数量关系式是： 两数差÷（倍数-1）=小数（1倍数） 小数（一倍数）×倍数=大数（几倍数） 或小数（一倍数）+两数差=大数（几倍数） 1、三年级图书比四年级图书多50本，并且三年级图书 数是四年级的3倍，三年级和四年级各有图书多少本？ 2、果园里栽的梨树比苹果树多240棵，梨树的棵数比 苹果树的5倍多20棵。果园里有苹果树和梨树各多少棵？ 3、舅舅比张强大19岁，正好是张强年龄的3倍多1 岁，舅舅和张强各多少岁？

(完整版)倍角公式练习题

1．若[]0,θπ∈， ） A ．7 D 2．已知α为第二象限角，5 4sin = α，则=-)2sin(απ A ．2425- B ．2425 C ．1225 D ．1225- 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上则cos 2θ等于（ ） A 4） A 5，则α2cos 的值为（ ） A 6．【原创】在△ABC 中，若sin （A+B-C ）=sin （A-B+C ），则△ABC 必是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰或直角三角形 （D ）等腰直角三角形 7．【原创】x y 2sin 2=的值域是（ ） A ．[－2，2] B ．[0，2] C ．[－2，0] D ．R ） （A ）)()2(x f x f =-π （B ）)()2(x f x f =+π （C ）)()(x f x f -=- （D ）)()(x f x f =- 9，则sin2=α（ ） 10（ ） A 2- D ．2 11则sin 2θ=（ ）

A．1 B．3 C 12则x4 cos的值等于（） 13．若(0,) απ ∈，且，则cos2α=（） （A （B （C （D 14．已知α 是第二象限角，且，则tan2α的值为（） A 15 ，则x 2 sin的值为（） A 16 17的值为． 18上的最大值是． 19 20___________ 21 22 23．若tanα＝2，则sinα·cosα的值为． 24的最大值是． 25的最大值是． 26．已知函数log(1)3 a y x =-+，(0 a>且1) a≠的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则2 sin sin2 αα -的值等于_______． 27．①存在；②存在区间(,) a b使x y cos =为减函数而

小学奥数和差倍问题一

和差倍问题 【专题知识点概述】 和差倍问题：已知两个数的和、差、倍三个量中的两个，求这两个数分别是多少的问题。其规律如下： 和倍问题 差倍问题 和差问题 已知条件 几个数的和与倍 几个数的差与倍 几个数的和与差 公式适用范围 已知两个数的和、差、倍数关系 公式 ①和÷（倍数+1）=较小数 ②较小数×倍数=较大数 ③和－较小数=较大数 ①差÷（倍数－1）=较小数 ②较小数×倍数=较大数 ③较小数＋差=较大 数 ①（和－差）÷2= 较小数 ②（和＋差）÷2= 较大数 掌握基本和倍、差倍、和差问题的基本问题，进而会处理多个量之间的和差倍问题。重点学习如何利用线段图表示数量关系。 学会分析较为隐藏的和差倍问题，进一步掌握画线段图的方法，学会利用不变量进行分析的方法。处理多个量的和差倍问题时，注意选取合适的单位“1”。同时要求学会用方程解决简单的应用题。 一、和倍问题 （1）和倍 例1、纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。请问：男、女职工各多少人？（★） 分析： 女职工人数是男职工人数的3倍，选男职工人数为“1”，用一条小线段表示，那么女职工人数就用三条小线段表示，如图： 那么每一小段表示：()48031120÷+=（人） 即男职工人数为120人，那么女职工人数为：1203360?=人 例2、一个长方形，周长是300厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。（★） 分析： 周长是300厘米，那么长与宽的和为3002150÷=厘米 长是宽的2倍，所以用一条小线段表示宽，那么长就用两条小线段表示，如图：

那么每一小段表示：()1502150÷+=厘米 即宽50厘米，那么长：502100?=厘米 例3、甲班和乙班一共有60人。如果从甲班调6个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2倍。求甲、乙两班原来的人数。（★★） 分析：现在甲班人数是乙班人数的2倍，并且两班总人数为60人，那么乙班现在的人数为：()602120÷+=人。又乙班现在比原来多6人，那么乙班原来的人数为：20614-=人，则甲班原来的人数为：601446-=人 例4、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍，则减数是多少？（★★） 分析：被减数＝减数＋差，减数是差的5倍，设差为1份，那么减数为5份，被减数为6份，三者共有15612++=份，那么每一份为：2401220÷=，所以减数为：205100?= 例5、动物园有5座猴山，其中3座住着金丝猴，2座住着猕猴。这5座猴山上猴子的数量分别为：10、15、30、35、70。已知金丝猴的总数是猕猴的3倍，问：哪两座山上住着猕猴？（★★★） 分析：5座猴山上的猴子总数为：1015303570160++++= 金丝猴的数量是猕猴的3倍，那么猕猴的数量为：()1603140÷+= 因为只有第一座和第三座猴山上的猴子数量之和为103040+=，所以第一座和第三座猴山上住着猕猴。 练习： 1、甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？（★） 2、甲水库有43亿立方米水，乙水库有37亿立方米水。问：需要从甲水库调多少亿立方米水道乙水库，才能使乙水库的水比甲水库多两倍？（★★） 3、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？（★★） （2）和倍多 例6、甲、乙两堆货物共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件。甲、乙两堆各有多少件货物？（★★） 分析： 选取乙堆的货物数量为“1”，用一条小线段表示，如图：

沈阳三十一中期末复习题和差倍角公式测试题

沈阳三十一中期末复习题 和差倍角公式测试题 一、选择题： 1．(05春北京)在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( ) A ．12 B ． 32 C ． 3 D ． 2 3．f(x)＝sinx cosx 1＋sinx ＋cosx 的值域为 ( ) A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1) B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－1 2) C ．(－3－12,3－12 ) D ．[－2－12,2－1 2] 4．已知x ∈(－π2,0)，cosx ＝4 5，则tan2x 等于 ( ) A ．7 24 B ．－7 24 C ．24 7 D ．－247 5．(2004春北京)已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．tan θ2＜cot θ 2 ， B ．tan θ2＞cot θ2 ， C ．sin θ2＜cos θ2， D ．sin θ2＞cos θ 2 ． 6．(04江苏)已知0＜α＜π2，tan α2＋cot α2＝52，则sin(α－π 3)的值为 ( ) A ．4＋33 10 B ．4－3310 C ．33－410 D ．－4＋3310 7．等式sin α＋3cos α＝4m －6 4－m 有意义，则m 的取值范围是 ( ) A ．(－1,7 3 ) B ．[－1,7 3 ] C ．[－1,7 3 ] D ．[―7 3,―1] 8．在△ABC 中，tanA tanB ＞1是△ABC 为锐角三角形的 ( ) A ．充要条件 B ．仅充分条件 C ．仅必要条件 D ．非充分非必要条 件 9．已知α.β是锐角，sin α＝x ，cos β＝y ，cos(α＋β)＝－3 5，则y 与x 的函数关系式为( ) A ．y ＝―351―x 2＋45x (3 5 ＜x ＜1) B ．y ＝― 351―x 2＋4 5 x (0＜x ＜1) C ．y ＝― 351―x 2―45x (0＜x ＜3 5＝ D ．y ＝―351―x 2―4 5 x (0＜x ＜1＝