立体几何(向量法)—线面角

立体几何（向量法）—线面角

例1（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°. (Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E ,

∵AB=1AA ,1BAA ∠=0

60,∴1BAA ?是正三角形,

∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ?=E,∴AB⊥面1CEA ,

∴AB⊥1AC ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC ⊥AB,1EA ⊥AB,

又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,

∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位

长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,

有题设知A(1,0,0),1A (0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则

BC 1BB =1AA ),1A C ),

设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,

则100BC BB ??=???=?? n n ,

即00

x x ?=??=??,可取n

∴1cos ,A C n =11|A C A C ? n |n

||, ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C

例2（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥= ,13AD AA ==

.

(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.

【答案】解: (Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥??⊥∴-111111,面且面是直棱柱 D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴?⊥∴=?⊥，面。面且又 . (证毕)

(Ⅱ)

。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线θ111111,////ACD AD ACD C B AD BC C B ∴

轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向X AD Y AB A

()y y y C y B D D A ⊥-== ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设

).

3,0,3(),0,3,1(.30,003012==∴=?>=+-?=?AD AC y y y BD AC ），，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.0

0,111==??????=?=?ACD AD n AC n ACD

7213

733|,cos |sin 003,313-1=?=><=?==∴ACD θ），，（），，（的一个法向量平面 72111夹角的正弦值为与平面所以ACD BD .

高中数学-立体几何-线面角知识点

WORD文档 立体几何知识点整理 一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 3. 线在面内 l l A l α α α 二．平行关系： 1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。 l l // l l // m m m 方法二：用面面平行实现。 // l l l // m β m γ m α 方法三：用线面垂直实现。 若l ,m ，则l // m 。 方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且l、m 不重合，则l // m 。 2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // m m l // l

l β// l // α l 方法三：用平面法向量实现。n l 若n为平面的一个法向量，n l 且l,则l // 。 α 2.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // // , m ', m l l 且相交 且相交 // α l βm l' m' 方法二：用线面平行实现。l // // m // β l m l ,m 且相交 α三．垂直关系： 3.线面垂直：

l AC l l AC AC, A l A α C B 方法二：用面面垂直实现。 β l m l m l m,l α

3.面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l βl C θ l α A B 方法二：计算所成二面角为直角。 4.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l l m l m α m 方法二：三垂线定理及其逆定理。 P PO l OA l PA l A O l α 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则l m 。 三．夹角问题。 （一）异面直线所成的角： （1）范围：(0 ,90 ] （2）求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理） 余弦定理： a c cos 2 a 2 b 2ab 2 c θ b （计算结果可能是其补角）

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

6.2 立体几何中的向量方法(A卷提升篇)【解析版】

专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)- C ．? ? ? ??? D ．?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量， 则00n AB n AC ??=??=? ，化简得00x y x z -+=??-+=?， ∴x y z ==，故选C. 2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中， A （1，2，3）， B （﹣1，0，5）， C （3，0，4）， D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1）， ∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行． 故选A ．

3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-，而103n d n PA ?= =， 103=，解得1x =-或－11. 故选：C 4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若 1cos ,2 m n =-，则l 与α所成的角为（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 【答案】A 【解析】 设线面角为θ，则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3a n π= ，则l 与α所成的角为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56 π 【答案】C 【解析】 结合题意，作出图形如下：

立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1． 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉． 2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2． 点面距的求法 如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到 平面α的距离d ＝|AB → ·n | |n | . 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π 2]，二面角的 范围是[0，π]． ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α－a －β的两个半平面α、β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－ a －β的大小是π－θ. ( × ) 2． 已知二面角α－l －β的大小是π 3 ，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α，n ⊥β， ∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，π 2]， ∴m ，n 所成的角为π 3 . 3． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，

新课标高考立体几何线面角的计算归类分析知识分享

新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析 深圳市第二实验学校 李平 作者简介 李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。 摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力. 关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法 线面角——直线和平面所成的角 1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角. 若直线l ⊥平面α, 则l 与α所成角为90?; 若直线l //平面α或直线l ?平面α, 则l 与α所成角为0?. 2．线面角的范围: [0]2 π ，. 3．线面角的求法： (1)定义法(垂线法)． (2)虚拟法(等体积法). (3)平移法． (4)向量法. 线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中. 求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法. 总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）

2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2

立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法

A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C

高三立体几何大题线面角专题

高三立体几何专题 1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析 （Ⅰ）连接，易知，.又由， 故，又因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故. 又已知，，所以平面. （Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点，所以 又， 故在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为 . 2.如图 ，已知三棱柱，平面平面,， 分别是AC ，A 1 B 1的中点. （1）证明：； （2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值. P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD AC BD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ?PAD PD ?PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PAC PCD PC =DN ⊥PAC PA ?PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC PCD △2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND △sin 3 DN DAN AD ∠= =AD PAC 3 111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=?11 30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==EF BC ⊥

立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题 一、 异面直线所成的角 1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积； （2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。 2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值

二、直线与平面所成夹角 1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ， 90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2P A A D A B B C ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。 求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。 2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。 三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．

2、如图5，?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，点B 和点C 为线 段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =。 （1）证明：EB FD ⊥； （2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，2 3 FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2 , 0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为，则><,与θ的关系？ A B θ αO

立体几何线面角专题

立体几何线面角专题(五十八) 1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1 的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1－DB －B 1的正切值． 答案 (1)60° (2)223 (3)22 思路 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，0，0)，A(1，0， 1)，B(0，0，1)，D 1(1，1，0)，E(0，12，0)，F(12 ，1，0)，D(1，1，1)． (1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝(12，12，0)， 所以cos AD 1→，EF →＝（0，1，－1）·（12，12，0）2×22＝12， 即AD 1与EF 所成的角为60°. (2)FA →＝(12，－1，1)，由图可得，BA →＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos BA →，FA →|＝|（1，0，0）·（12，－1，1）1×（12）2＋（－1）2＋12|＝13，所以cos θ＝223. (3)设平面DBB 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，

DB →＝(－1，－1，0)，B 1B →＝(0，0，1)， 由?????n 1⊥DB →，n 1⊥B 1B →，得?????n 1·DB →＝－x －y ＝0， n 1·B 1B →＝z ＝0， 令y ＝1，则n 1＝(－1，1，0)． 同理，可得平面C 1DB 的一个法向量为n 2＝(－1，1，1)． 则cos n 1，n 2＝（－1，1，0）·（－1，1，1）2×3＝63. 所以tan n 1，n 2＝22. 2.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC. (1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的余弦值； (3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由． 答案 (1)略 (2)144 (3)存在点E 解析 方法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ， ∴PA ⊥BC.又∠BCA ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC. (2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ， ∴DE ＝12 BC. 又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB. 又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形． ∴AD ＝12 AB. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°.∴BC ＝12 AB.

§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角

§立体几何中的向量方法（4） 向量法求线线角与线面角 一、学习目标 1．理解直线与平面所成角的概念． 2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学 问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角 设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。 三、例题探究 例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的 班别： _____________ 学号： _____________ 高二理科数学 导学案

中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2， 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ. 四、练一练（时间：5分钟） 1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v， 直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A．cosθ＝μ·v |μ||v| B．cosθ＝ |μ·v| |μ||υ| C．sinθ＝ μ·v |μ||v| D．sinθ＝ |μ·v| |μ||v|

《用向量法求异面直线所成的角》教案

第一讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程

Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、两异直线所成的角：（范围：） （1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为和， 问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成 的角与和的夹角的关系？ 问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角与和的夹角的关系？ 两向量数量积的定义： a b O

用向量法求直线与平面所成的角教案

用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020

第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法.

教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则>

文科立体几何线面角二面角专题_带答案

文科立体几何线面角二面角专题 学校: ___________ 姓名：____________ 班级：____________ 考号： ___________ 一、解答题 1 .如图，在三棱锥，「中，肚一二/,举一厂：- H-钗-化为的中点. (1)证明：卜「"-L平面； (2)若点鮎在棱吃上，且二面角材-PA弋为剜，求PC与平面P3所成角的正弦值. 2 ?如图，在三棱锥|P"BC中，嗣訂0 2辽，""，卩＜："04,0为蚯的中点. (1)证明：P°丄平面 (2 )若点皿在棱比上，且MC = 2^B,求点匕到平面P°何的距离. 3 . (2018 年浙江卷)如图，已知多面体ABCAiBiCi , AiA , BiB , CiC均垂直于平 面ABC，/ ABC=120 ° , AiA=4 , CiC=1 , AB=BC=B iB=2 . (I)证明：ABi丄平面A1B1C1 ; (H)求直线ACi与平面ABB i所成的角的正弦值. 4 .如图，在三棱柱ABC_A i B i C i中，点p, G分别是& 叽的中点，已知吗丄平面 AAJ B#] A.B, A#」 ABC , = =3 , = =2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值；

(II)求证：丄平面吆匚』i; (III )求直线吒丄与平面BCG%所成角的正弦值

5 ?如图，四棱锥P-AB8,底面ABCO是正方形，PA = PD"E = 1 , PAPO型，E ,卜分 别是阳，8的中点? (1)求证； (2)求二面角匚的余弦值. 6 ?如图，三棱柱ABC-A i B i C i中，侧棱吗丄底面ABC ,且各棱长均相等D , E , F分别为 棱’?，, 的中点? (1)证明：?平面’ ; (2)证明：平面珀8」平面气曾； (3)求直线I町I与直线所成角的正弦值? 7 .如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，/ AB D=30 ° , AB = 2CD = 2AD = 2 , DE 丄平面ABCD , EF// BD，且BD = 2EF . (I)求证：平面ADE丄平面BDEF ; (H)若二面角C BF D的大小为60。，求CF与平面ABCD所成角的正弦值. P-A0CD 中PA 丄平面A9CD PA = AB = BC = AD = CD = 1 8 .如图，在四棱锥

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

第二讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的 角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合 推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般 规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 I、复习回顾 一、回顾有关知识： 1

1、直线与平面所成的角：（范围：二? [0,—]） 2 思考：设平面:的法向量为n，则::n,BA .与二的关系? JT ■■二日=----- < n, BA > 2 （图 ） 2

高三数学立体几何专题

立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ， =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．

线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F G 线线角、线面角、二面角的求法 1.空间向量的直角坐标运算律： ⑴两个非零向量与垂直的充要条件是 1122330a b a b a b a b ⊥?++= ⑵两个非零向量与平行的充要条件是 a 2 b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式 若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a 2b =|a ||b | cos θ （2）模长公式：则2 12||a a a a a =?=++，2 ||b b b b =?=+（3）夹角公式：2 cos ||||a b a b a b a ??==?+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2 | |(AB AB x ==,A B d = ①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα?? ∈ ??? 在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>= 例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．5 15arccos B ． 4 π C ．5 10 arccos D ．2π （向量法，传统法）

P B C A 例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 解：（1）向量法 （2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中 ，即 t a n 2PD DBA DB ∠ = =． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P - ②直线a 与平面α所成的角0,2πθ?? ∈ ??? (重点讲述平行与垂直的证明) 可转化成用向量→ a 与平面α的法向量→ n 的夹角ω表示，由向量平移得：若 ππ（图）；若ππ 平面α的法向量→ n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤： (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z = (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a << (4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。 图1－ 图1－ 图1－ 1 D 1 B 1 C P D B C A

立体几何大题线面角训练1

立体几何大题训练（1） 1、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，AA1⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC＝B1F＝2FB． （1）证明：平面AEF⊥平面ACC1A1； （2）若AA1＝3，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．

2、如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥AB 平面BCP ，//CD 平面ABP ， 22=====CD BP CP BC AB ． （1）证明：平面⊥BAP 平面DAP ； （2）点M 为线段AB （含端点）上一点，设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求αsin 的取值围．

3、如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=． （1）证明：⊥PC 平面BED ； （2）设二面角C PB A --为90?，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小．

4、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=?， 侧面PAB ⊥底面ABCD ，902BAP AB AC PA E F ∠=?===，，，分别为BC AD ，的中点，点M 在线段PD 上． （1）求证：EF ⊥平面PAC ； （2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PM PD 的值．

5、在四边形ABCD 中，对角线,AC BD 垂直相交于点O ，且4OA OB OD ===，3OC =．将BCD △沿BD 折到BED △的位置，使得二面角E BD A --的大小为90?（如图）．已知Q 为EO 的中点，点P 在线段AB 上，且2AP =． （1）证明：直线PQ ADE ∥平面； （2）求直线BD 与平面ADE 所成角θ的正弦值．