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与圆有关的计算

◆课前热身

1.⊙O 的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）

．10 D

2.如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）

A ． 2

4πcm B ． 2

6πcm C ． 2

9πcm D ． 2

12πcm

3.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 A ．40° B ．80° C ．120° D ．150°

4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8 米，所对的圆心角为100°，则弧长是米．(π≈3)

◆考点链接

1. 圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n °的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .

2. 圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2

R π? = = .

3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为

的半径，l 为的高） 4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为的半径，l 为的长）

5. 扇形面积公式：（1）n°圆心角的扇形面积是S 扇形=______；（2）弧长为L 的扇形面积是S 扇形=_____．

6.正多边形：

正多边形的定义：________相等，________也相等的多边形叫做正多边形．正多边形和圆的关系，把圆分成n （n≥3）等份．

（1）依次连结各______所得的多边形是这个圆的_______；

（2）经过各分点作圆的切线，?以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的________．与正多边形有关的概念：

（1）正多边形的中心：正多边形_________（或_____）的圆心；

（2）正多边形的半径：正多边形的_________的半径；

120?B

6cm

（3）正多边形的边心距：?_________?到正多边形一边的距离，?也是正多边形_______的半径；（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角． ◆典例精析

例1（黑龙江哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）．

A ．36π

B ．48π

C ．72π

D ．144π

【解析】我们知道圆锥的侧面积展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为：

×9×2л×8=72л 例2（湖北襄樊）如图，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，

分别以AC .BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）

例3（湖北黄冈）如图是“明清影视城”的圆弧拱门，?黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：?这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm ，BD=200cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算

出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少． ◆迎考精练一、选择题

1.（湖南长沙）如图1，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为（） A ．2π

B ．3π

C ．6π

D ．12π

2.（山东东营）将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( ) A ．10cm

B ．30cm

C ．40cm

D ．300cm

3.(陕西省)若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是

（）A ．1.5

B ．2

C ．3

D ．6

4.（湖北仙桃）现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）．

C A

A.9°

B.18

C .63°

D.72°

5.（广东广州）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2

，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（）A.

125 B.135 C.1310 D.13

6.（山东济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A ．230cm B ．230cm π C ．260cm π D ．2

120cm 二、填空题

1.（河南）如图1

450

的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D .E 在OB 上，

点F 在AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留π） .

2.（长春）如图，方格纸中4

个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留π）．

3.（辽宁锦州）将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3，则圆锥的侧面积是____.

4.（浙江台州）如图，三角板ABC 中，?=∠90ACB ，?=∠30B ，6=BC ．

三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'

A 落在A

B 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为．

5.（江苏省）已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留π）．

6. (湖北黄冈) 矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．

7. (湖北鄂州)已知在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把Rt△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为1S ,把Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为2S ，则1S ：2S 等于_________ 三、解答题

B '

A C

B 第4题

第2题图

1.（浙江杭州）如图，有一个圆O 和两个正六边形1T ，2T ．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切（我们称

1T ，2T 分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）设1T ，2T 的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求a r :及b r :的值；（2）求正六边形1T ，2T 的面积比21:S S 的值．

2.（湖南衡阳）如图，圆心角都是90o的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．

（1）求证：AC=BD ；

（2）若图中阴影部分的面积是2

cm ，OA=2cm ，求OC 的长．

3.（新疆）如图，已知菱形ABCD 的边长为1.5cm ，B C ，两点在扇形AEF 的

上，求

的长度及扇形ABC 的面积．

D A

初中数学：与圆有关的计算练习

初中数学：与圆有关的计算练习命题点1扇形弧长、面积的有关计算 1.在半径为6 cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长是________cm. 2. 已知扇形的半径为6 cm,面积为10πcm2,则该扇形的弧长等于________． 3. 如图所示,在3×3的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,点O、A、B均为格点,则扇形OAB的面积大小是________．第3题图第4题图 4. 如图,直线y＝3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B,当直线绕点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度是________．命题点2 圆锥的有关计算 5. 若圆锥底面圆的周长为8π,侧面展开图的圆心角为90°,则该圆锥的母线长为________． 6. 已知圆锥的母线长为5 cm,高为4 cm,则该圆锥的侧面积为________cm2(结果保留π)．第6题图第7题图 7. 如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm,高为12 cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是________cm2(结果保留π)．命题点3 正多边形与圆 8. 下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是()

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 9. 如图,正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O,则劣弧AB的长度是________．第9题图第10题图 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为圆内接正多边形边数无限增加时,周长就越接近圆周长,由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r的圆内接正n 边形的周长为L,圆的直径为d,如图所示,当n＝6时,π≈L d＝ 6r 2r＝3,那么当n＝12时, π≈L d＝________．(结果精确到0.01,参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259) 命题点4 阴影部分面积的计算 11. 如图所示,边长为a的正方形中阴影部分的面积为() A. a2－π(a 2) 2B. a2－πa2 C. a2－πa D. a2－2πa 第11题图第12题图 12. 如图,在半径为4的⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,垂足为点E,∠AOB ＝90°,则阴影部分的面积是() A. 4π－4 B. 2π－4 C. 4π D. 2π

和圆有关的计算

和圆有关的计算一、垂径定理 1．如图，O ⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB 的中点，6cm CD=，则直径AB的长是（）A．23cm B ．32cm C．42cm D．43cm 2．如图3，AB O 是⊙的直径，弦 303cm CD AB E CDB O ⊥∠= 于点，°，⊙的半径为，则弦CD的长为（） A．3 cm 2 B．3cm C．23cm D．9cm 3.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 4．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）． A．0.4米B．0.5米 C．0.8米D．1米图3 C A B O E D

二、弧长、扇形面积、圆锥 2360 AB n l R π=? 2AOB 360 n S R π=? 扇形 AOB 1 2 S lR = 扇形圆锥的侧面积＝12 S lR = 扇形＝1 22 S r a π=??扇形＝ra π 1．圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）． A ．36π B ．48π C ．72π D ．144π 2．如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（） A ． 24πcm B ． 26πcm C ． 29πcm D ． 212πcm 3．若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 (A)40° (B)80° (C)120° (D)150° 120 ?O A 6cm n R a 母线 120?B O A 6cm

图形的认识-第10讲：与圆相关的计算

弧长公式、扇形面积公式 1、弧长公式： ? =180r n l π 2、扇形面积： lr S r n S 213602=?= π 考点1：扇形的面积例1、半径为10，圆心角为60°的扇形的面积是．（结果保留π）变式1、如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（）【考点突破】【方法技巧】第10节与圆有关的计算【知识梳理】

A．B．C．D．例2、如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，底面圆的直径为5cm，母线为8cm．则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（） A．36πcm2B．20πcm2C．18πcm2D．8πcm2 变式1、已知圆锥的侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则圆锥的底面半径为（）A．B．3C．4D．6 例3、如图，某校教学楼有一花坛，花坛由正六边形ABCDEF和6个半径为1米、圆心分别在正六边形ABCDEF的顶点上的⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E，⊙F组合而成．现要在阴影部分种植月季，则种植月季面积之和为米2．变式1、如图，以等腰直角⊙ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（） A．B．C．D．考点2：弧长的计算

例1、若半径为6cm的圆中，扇形面积为9cm2，则它的弧长为．变式1、在半径为10的圆中，60°的圆心角所对的弧长为．变式2、已知圆上一段弧长为5πcm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为（） A．6 B．9 C．12 D．18 例2、如图，在⊙O中，AB是弦，过点A的切线交BO的延长线于点C，若⊙O的半径为3，⊙C=20°，则的长为．变式1、如图，⊙ABC的外接圆O的半径为2，⊙C=40°，则的长是．变式2、如图，在平行四边形ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，⊙C=60°，则的长为（） A．B．C．πD．2π 例3、如图，已知⊙ABC=90°，AB=πr，AB=2BC，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止．则在此运动过程中，圆心O运动的总路程为（）

与圆有关的计算

中考数学第一轮复习与圆有关的计算 ?课前热身 1. O O的内接多边形周长为3,0 O的外切多边形周长为3.4 , 则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ 6cm,圆心角的度数为120°若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ 4n cm,母线长是6cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 A . 40° C. 120° D. 150° 4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为【参考答案】 1. 2. 3. 4. ?考点聚焦 1.理解正多边形的有关概念，？并能熟练完成正多边形的有关计算及画出正多边形. 中相关公式的理解记忆及其灵活运用是本节重点之一. 2 .灵活求解圆周长、弧长以及圆、扇形、弓形和简单的组合图形的面积. A. 4 n cm2 C 2 6 n cm C - 2 9 n cm ._ 2 12 n cm B 米，所对的圆心角为100°,则弧长是米.(n ~ 3) 2.如图已知扇形AOB的半径为 3.若一个圆锥的底面圆的周长是 B. 80° 1.8 ?其中求组合

图形和不规则图形的周长和面积是本节的难点. 3 .能进行圆柱、圆锥的侧面积、全面积的计算，了解它们的侧面展开图, 的重点和中考热点. ?备考兵法本节出现的面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出, S扇形= 6.正多边形: 正多边形和圆的关系，把圆分成n (n》3)等份. (2)经过各分点作圆的切线，？以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的与正多边形有关的概念: ?这也是本节 ? 所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是: (1)利用平移、？旋转或轴对称等图形变换进行转化；(2) ?根据同底(等底)同高(等高)的三角形的面积相等进行转化; (3)利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积. 常考题型：圆中的计算问题多以选择题、填空题的形式出现，通过作图、识图、?阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形的面积计算方法和解题规律, 正确区分圆锥及侧面展开图中各元素的关系是解决本节问题的关键. ?考点链接 1. 圆的周长,1°的圆心角所对的弧长为,n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 2. 圆的面积,1°的圆心角所在的扇形面积为n°的圆心角所在 3. 4. 5. 的扇形面积为S= 2 XJI R2 圆柱的侧面积公式：S=2兀rl .(其中r为圆锥的侧面积公式：S^rl .(其中r为扇形面积公式: (1) n°圆心角的扇形面积是S扇形= 的半径，1为的半径，1为的高) 的长) ;(2)弧长为L的扇形面积是正多边形的定义: 相等, .也相等的多边形叫做正多边形. (1)依次连结各所得的多边形是这个圆的 (1)正多边形的中心：正多边形(或)的圆心; (2)正多边形的半径：正.多边形的的半径; (3)正多边形的边心距：？.?到正多边形一边的.距离，？也是正多边形

圆的计算有关公式

圆的计算有关公式1、同一个圆中半径与直径的关系。（1）半径是直径的一半。 1d 用字母表示：r= 2 （2）直径是半径的2倍。用字母表示：d=2r 2、圆的周长的计算有关公式。（1）圆的周长=圆周率×直径。用字母表示：c=兀d （2）圆的周长=圆周率×半径×2。用字母表示：c=2兀r （3）圆的半径=圆的周长÷圆周率÷2。用字母表示：r=c÷兀÷2 （4）圆的直径=圆的周长÷圆周率。用字母表示：d=c÷兀 3、半圆的周长的计算有关公式。（1）半圆的周长=圆周率×直径÷2+直径。用字母表示：c=兀×d÷2+d （2）半圆的周长=圆周率×半径+半径×2。用字母表示：c=兀×r+2r （3）圆的半径=半圆的周长÷(圆周率+2)。用字母表示：c=c÷(兀+2)

（4）圆的直径=半圆的周长÷(圆周率+2)×2。用字母表示：c=c÷(兀+2) ×2。 n+半径×2。 4、扇形的周长=圆的周长× 360 n+2r 用字母表示：c=2兀r× 360 (n表示圆心角的度数) 5、环形的周长=大圆的周长+小圆的周长。用字母表示：c=2兀R+2兀r=2兀×(R+r) 6、圆的面积=圆周率×半径的平方。用字母表示：S=兀r2 7、半圆的面积=圆周率×半径的平方÷2。用字母表示：S=兀r2÷2 n。 8、扇形的面积=圆周率×半径的平方× 360 n 用字母表示： S=兀r2× 360 (n表示圆心角的度数) 9、环形的面积=大圆的面积-小圆的面积。用字母表示：S =2兀R2-2兀r2=2兀×(R2-r2) 10、时钟先问题。 (1)一昼夜=一天=24小时 (2) 时针一昼夜转2圈 (3)分针一昼夜转24圈 (4)秒针一昼夜转1440圈

与圆有关的计算

与圆有关的计算典例1如图，已知⊙O的周长等于8π cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为 A．2 cm B． cm C．4 cm D． cm 【答案】B 【解析】如图，连接OC，OD， ∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°， ∵OC=OD，OM⊥CD，∴∠COM=30°，∵⊙O的周长等于8π cm，∴OC=4 cm， ∴OM cm），故选B．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键． 1．若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是__________．2．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

典例2如图，A 、B 、C 是圆O 上三个不同的点，且//AO BC ，20OAC ∠=o ，若1OA =，则?AB 长是 A ．1 18π B ．19π C ．29 π D ．718 π 【答案】C 【解析】∵AO ∥BC ，∴∠ACB=∠OAC=20°，由圆周角定理，得：∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°．∴?AB 的长为 401180π??=2 9 π，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了弧长的求解，解题的关键是熟知圆周角定理和平行线的性质．典例3 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧?AB ，则?AB 的展直长度为 A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π 【答案】B 【解析】?AB 的展直长度为： 10810 180 π?=6π（m ）．故选B ．【名师点睛】此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．

初三数学与圆有关的计算

初三数学与圆有关的计算考点回顾: 1、如果弧长为l,圆心角的度数为n,弧所在的圆的半径为r,那么弧长的计算公式为; 2、设扇形的圆心角为n°,扇形的半径为r,扇形的面积为s,则扇形的面积的计算公式为 (其中l表示扇形的弧长); 3、圆柱的侧面展开图为矩形,圆锥的侧面展开图就是扇形; 4、设圆柱的底面半径为R,圆柱的高为h,则圆柱的侧面积为S＝2πRh,圆柱的全面积为S＝2 πR2＋2πRh; 5、设圆锥的底面半径为r,母线长为a,则圆锥的侧面积为S＝πar,圆锥的全面积为 S＝πr2＋πar. 考点精讲精练: 例1、如图,在矩形ABCD中,AD＝2,以B为圆心,BC长为半径画弧交AD于F. (1)若弧CF长为,求圆心角∠CBF的度数; (2)求圆中阴影部分的面积(结果保留根号及π的形式). 变式练习1、如图,半径OA＝6cm,C为OB的中点,∠AOB＝120°,求阴影部分面积. 例2、如图,AB切⊙O于点B,,AB＝3,弦BC∥OA,则劣弧的长为() 变式练习2、如图,AB为⊙O的切线,半径OA＝2,OB交⊙O于点C,∠B＝30°,则劣弧的长就是__________. 例3、如图,一个圆锥的侧面展开图就是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径为() A、1 变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π,侧面展开后所得扇形的圆心角为120°,则圆锥的母线长为________. 例4、如图,已知AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD于E,OF⊥AC于F,BE＝OF. (1)证明:△AFO≌△CEB; (2)若EB＝5cm,,设OE＝x,求x的值及阴影部分的面积. 变式练习4、如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D就是优弧上一点,连BD,AD,OC,∠ADB＝30°.(1)求∠AOC的度数;(2)若弦BC＝6cm,求图中阴影部分的面积.

2021年中考数学专题训练与圆相关的计算(含答案)

2021中考数学专题训练与圆相关的计算一、选择题（本大题共10道小题） 1. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm，则该圆锥的底面周长是() A. 3πcm B. 4πcm C. 5πcm D. 6πcm 2. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是() A. π 4B. 1 2＋ π 4C. π 2D. 1 2＋ π 2 3. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为() A. 2 B．2 2 C. 2 2D．1 4. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为() A．4π－8 B．2π C．4π D．8π－8

5. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且 AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是( ) A.25 2π B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π 6. 下列用尺规等分圆周的作法正确的有( ) ①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( ) A ．4π－4 B ．4π－8 C ．8π－4 D ．8π－8 8. 如图是由 7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC

全国各地中考数学专题26与圆有关的计算

2012年全国各地中考数学解析汇编26 与圆有关的计算 1. （2012山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若 ABC ∠=120°，OC=3，则?BC 的长为（） A.π B.2π D.3π D.5π 2.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60o圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π) 3．(2012重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π） 4．(2012山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________． 5．（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝3分图形的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ． 2π 3 6.（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=45°，则（1）BD 的长是；（5分）（2）求阴影部分的面积. （5分） A B D C O 图2 第23题图 A O B D C

7. (2012山东省临沂市，13，3分）如图，AB是⊙O的直径，点E是BC的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（） A.1 B. 2 3 C. 3 D. 3 2 8 . （2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上, 点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°. （1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长. 9．（2012江苏盐城，26，10分）如图所示，AC⊥AB，AB=22，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α，（00＜α＜900）．（1）当α=180时，求?BD的长. （2）当α=300时，求线段BE的长. （3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是（直接写出答案）． 10.(2012四川省南充市，9，3分) 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（） A．120° B．180° C．240° D．300° 11. （2012浙江省衢州，9，3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如 O B C D E 第26题图

初中数学--与圆相关的计算(知识点+练习)

初中数学：与圆相关计算 1．理解直线与圆的位置关系； 2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．美丽的扇形这是一张美丽的扇形画，你会计算它的面积吗？模块一与圆有关的计算与圆有关的面积和长度计算：设O ⊙的半径为R ，n ?圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180 n R l = 扇形面积公式：21 π3602 n S R lR ==扇形圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+ 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长．面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法 ?求弧长例题精讲重难点课前预习

【例1】（2011?珠海）圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为（） A ． B ．π C ． D ．3π 【巩固】（2011?綦江县）如图，PA ．PB 是O e 的切线，切点是A B 、，已知60P ∠=?，3OA =，那么AOB ∠所对弧的长度为（） P B A O A ．6π B ．5π C ．3π D ．2π 【巩固】（2011?安徽）如图，⊙半径是1，A B C 、、是圆周上的三点，36BAC ∠=?，则劣弧?BC 的长是（） C B O A A ． B ． C ． D ．【拓展】（2011?烟台）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线1234567FK K K K K K K ……叫做“正六边形的渐开线”，其中?1 FK ，?1 2 K K ，?2 3 K K ，?3 4 K K ，?4 5 K K ，?5 6 K K ，……的圆心依次按点A B C D E F ，，，，，循环，其弧长分别记为123456l l l l l l ，，，，，，…．当1AB =时，2011l 等于（） K 7 K 6 K 5 K 4 K 3 K 2 K 1 F E D C B A A ． B ． C ． D ．

与圆相关的计算

l A B O n° 四、与圆相关的计算济宁学院附中李涛正多边形计算的解题思路正多边形???→连 OAB 转化等腰三角形OD ????→作垂线转化直角三角形。可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。弧、扇形以及圆锥的有关计算问题 1.在半径为R 的圆中， n °的圆心角所对的弧长的计算公式为l= . 2.如果扇形的的半径为R ，圆心角为n °，扇形面积的计算公式=扇形S . 3.比较前面两个公式，又可以得到扇形面积的另一个计算公式=扇形S . 4.圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积为 . 5.圆锥的侧面积与底之和称为圆锥的 . 1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是( )A ．25π B ．65π C.90π D ．130π 2、圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） 3、一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为（） 4，有一圆心角为120 度、半径长为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（） 5，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为例2】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ．（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积． r L π2=O P A B r h l 360r n l ο=?A O B 120o C B A O F D E

与圆有关的计算

与圆有关的计算（一）一、关于弦长的计算。在圆中，关于弦长、弦心距的计算，通常是利用垂径定理构造出由半径、弦心距以及半弦组成的直角三角形，再根据勾股定理，直角三角形中的边角关系来求未知量。 1．已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且BC=BD ，，EB=2，则弦CD 的长为。 2 ．四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ， AB=6cm ，CD=8cm ，则梯形的高为。 3．在以O 为圆心，半径分别为5cm 和8cm 的两个圆中有点 Q ，OQ=4cm 。过点Q 分别作大圆的弦AB ，小圆的弦EF ，则AB 的最大值与EF 的最小值的和为。 4．如图1，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=7cm ，EB=3cm,∠BED=30°，则CD 的长为。 5．如图2，⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上一点，点D 平分BC ，OD 交BC 于E,DE=2cm ，则弦AC= 。 6．如图3，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为。 7．如图4，一弓形弦AB 的长为cm 64，弓形所在圆的半径为7cm ，HG 为⊙O 的直径，求弓形的高为。 8．如图5，已知AB 是⊙O 的直径，过A 、B 分别作弦EF 的垂线交直线EF 于C 、D ，AC=2cm ，BD=4cm ，⊙O 的半径为5cm ，则EF 的长为。 9．如图6，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O 于D ，交AC 于E ，AB=7，AE=3，DE=1，则AD 的长为。 10．如图7，已知AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，它们相交于圆内一点P ，圆的半径是5，两条弦长均为8，则OP 的长为。图6 图7 图5 图2 图1 图3 图4

初中数学专题复习与圆有关的计算问题(含答案)

热点21 与圆有关的计算问题（时间：100分钟总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知圆心角为120°，所对的弧长为5 cm ，则该弧所在圆的半径R=（） A ．7.5cm B ．8.5cm C ．9.5cm D ．10.5cm 2．一条弦分圆周为5：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为（） A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．以上均不正确 3．⊙O 的半径，直线L 与圆有公共点，且直线L 和点O 的距离为d ，则（） A ．．d ．．4．如图1，A B 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ，那么A ，?B?两点到直线CD 的距离之和为（） A ．12cm B ．10cm C ．8cm D ．6cm （1）（2）（3）（4） 5．如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，AB=4，CD=2，AB?的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（） A ．3：2 B 2 C ．5：4 6．正三角形的外接圆的半径为R ，则三角形边长为（） A ． 2 R C ．2R D ．12R 7．已知如图3，圆内一条弦CD 与直径AB 相交成30°角，且分直径成1cm 和5cm 两部分，则这条弦的弦心距是（） A ． 1 2 cm B ．1cm C ．2cm D ．2.5cm 8．∠AOB=30°，P 为OA 上一点，且OP=5cm ，若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为（） A ．5cm B ．52 cm D

初中数学总复习《与圆有关的计算》

《与圆有关的计算》复习课（教案）一、三年中考命题分析及2016年命题趋势二、学习目标：

1、理解圆的弧长和扇形的面积公式。 2、能运用弧长公式解决一些路径问题，和运用扇形面积公式等解决一些阴影部分面积的问题。三、知识要点归纳知识点一：弧长的相关计算【注意】(1)题目中没有明确给出精确度，可用含“π”的数表示弧长；(2)应区分弧，弧长这两个概念，弧长相等的弧不一定是等弧．知识点二: 扇形面积的相关计算知识点三: 特殊图形面积的计算扇形面积：S ＝n πr 2360＝1 2 lr

1、弓形 2．特殊图形面积的常用计算方法 (1)整体做差法：将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体作差法求解． (2)等面积变换法(割补法)：利用图形在平移、旋转、对称变换前后面积不变的性质，可将阴影部分的面积转化为规则图形的面积进行计算．四、中考讲练考点1：弧长的相关计算【例1】 (2014·南充)如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( ) A ．25 2π B ．13π C ．25π D ．25 2 变式训练：（2013?遵义）如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（）思维点拨：本题考查了弧长的计算，以及勾股定理的应用．连接BD ，B ′D ，首先根据勾股定理计算出BD 的长，再根据弧长计算公式计算出，对应劣弧的弓形对应优弧的弓形对应半圆弓形 S 弓形＝S 扇形－S 三角形 S 弓形＝S 扇形＋S 三角形 S 弓形＝1 2 πR 2＝S 扇形 B / B //

与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值．第1题图(1)证明：如解图，连接OD ，OE ， DF ，∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°，又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°，在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，

∴CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt△BGF中，∠F＝90°，AB是⊙O的直径，⊙O交BF于点E，交GF于点D，AE⊥OD 于点C，连接BD. (1)求证：GF是⊙O的切线； (2)若OC＝2，AE＝43，求∠DBF的度数．第2题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，又∵∠F＝90°， ∴∠AEB＝∠F，∴AE∥GF， ∵AE⊥OD，∴OD⊥GF， ∵OD是⊙O的半径， ∴GF是⊙O的切线； (2)解：∵OD⊥AE， ∴AC＝CE＝1 2 AE＝23， ∵OA＝OB， ∴OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝4， ∴在Rt△AOC中，OA＝OC2＋AC2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF＝∠DCE＝∠F＝90°， ∴四边形CDFE是矩形， ∴DF＝CE＝23，EF＝CD＝OD－OC＝4－2＝2， ∴BF＝BE＋EF＝4＋2＝6， ∴tan∠DBF＝DF BF ＝23 6 ＝3 3 ， ∴∠DBF＝30°. 3．如图，点C是⊙O的直径AB的延长线上一点，点D在⊙O上，且∠DAC＝30°，∠BDC＝1 2 ∠ABD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若OF∥AD分别交BD、CD于点E、F，BD＝2，求OE、CF的长．

2021年中考数学一轮专题训练：与圆相关的计算含答案

2021中考数学一轮专题训练：与圆相关的计算一、选择题（本大题共10道小题） 1. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB ＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( ) A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 2. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm，则该圆锥的底面周长是( ) A. 3πcm B. 4πcm C. 5πcm D. 6πcm 3. (2020·南充）如图，AB是O的直径，CD是弦，点,C D在直径AB的两侧．若 ::2:7:11 AOC AOD DOB ∠∠∠=，4 CD=，则CD的长为（） O D C B A A．2πB．4πC2πD2π 4. (2019?温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为() A．3 π 2 B．2π C．3πD．6π 5. 2019·唐山乐亭期末如图，圆锥的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm，则这个

圆锥的侧面积是( ) A ．30 cm 2 B ．60π cm 2 C ．30π cm 2 D ．48π cm 2 6. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为( ) A ．3π m B ．6π m C ．9π m D ．12π m 7. 如图，△ ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝45°，⊙O 的半径r ＝4，则阴影部分的面积为( ) A ．4π－8 B ．2π C ．4π D ．8π－8 8. 如图在扇形 OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC 沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( ) 图A ．3π B.3π C.3 2 3π D ．4π 9. 如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在AB ︵

与圆有关的计算

与圆有关的计算辅导教案学生姓名性别年级九年级学科数学授课教师上课时间第（）次课共（）次课课时：3课时科组长签名教学主任签名教学课题与圆有关的计算教学目标掌握圆的基本性质与计算教学重点与难点圆的基本性质的应用一、知识点讲解考点1 正多边形与圆如果正多边形的边数为n ，外接圆半径为R ，那么边长a n =2Rsin 180n ? 周长C=2nRsin 180n ? 边心距r n =Rcos 180n ? 考点2 圆的弧长及扇形面积公式如果圆的半径是R ，弧所对的圆心角度数是n ，那么弧长公式弧长l=180n R π 扇形面积公式 S 扇=2360n R π=12 lR 考点3 圆锥的侧面积与全面积图形圆锥简介 (1)h 是圆锥的高，r 是底面半径； (2)l 是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的① ； (3)圆锥的侧面展开图是半径等于② 长，弧长等于圆锥底面③

的扇形. =④ 圆锥的侧面积S 侧 =⑤ 圆锥的全面积S 全 1.牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解. 2.圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题. 二、重点题型讲解命题点1 正多边形与圆例1 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的( ) A.6，32 B.32，3 C.6，3 D.62，32 方法归纳：解决正多边形与圆的问题通常是将正多边形分解成三角形，利用正多边形的边长、外接圆半径、内切圆半径之间的关系来解决. 1.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于( ) A.30° B.45° C.55° D.60° 2.正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是( ) A.3 B.2 C.3 D.23 3.半径为r的圆内接正三角形的边长为(结果可保留根号). 命题点2 弧长与扇形面积的计算例2 如图，水平地面上有扇形AOB，半径OA=6 cm，∠AOB=60°,且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，此时O点移动的距离为cm，则此扇形的面积为cm2.(结果保留π)

与圆有关的计算资料

与圆有关的计算导学案基础知识知识点一、弧长的计算公式 1．圆周长公式：C ＝2πr 或C ＝πD． 2. 弧长公式：在半径为r 的圆中，n°圆心角所对的弧长计算公式：180 2360r n r n l ππ= ?=. 知识点二、扇形及其面积计算 1. 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形叫做扇形．扇形的周长：扇形的周长等于弧长与两条半径的长之和． 2. 圆面积公式：2 r S π=圆（r 为圆的半径）． 3. 扇形的面积计算公式： ①36036022 r n r n S ππ=?=扇形，其中r 为半径，n 为扇形的圆心角度数. ②lr S 2 1 = 扇形，其中为扇形的弧长，r 为半径．知识点三、圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的侧面展开图：沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，其侧面展开图是一个扇形，这个立体图形转化为平面图形的过程中，有三个不变的关系，需要关注： ① 扇形的半径等于圆锥的母线长； ② 扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长； ③ 扇形的面积等于圆锥的侧面积． 2. 圆锥的表面积：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积lr r l S ππ=?= 22 1 侧全面积分别为2 r lr S S S ππ+=+=底侧全．典型例题解析例1. （广元）半径为R ，圆心角为300°的扇形的周长为（） A. 253R π B.53R π C.(513π+)R D.(523 π+)R 答案：D 解析：本题考查了扇形弧长的计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．根据扇形的圆心角和半径大小求出弧长，再加上两条半径得周长. 故选择D .

初三数学--与圆有关的计算教学内容

初三数学--与圆有关的计算

初三数学与圆有关的计算考点回顾： 1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为； 2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为（其中l表示扇形的弧长）； 3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形； 4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh； 5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为 S＝πr2＋πar．考点精讲精练：例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD 于F．（1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数；（2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．

变式练习1、如图，半径OA＝6cm，C为OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分面积．例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（）变式练习2、如图，AB为⊙O的切线，半径OA＝2，OB交⊙O于点C，∠B＝30°，则劣弧的长是__________．例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（） A、1 变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长为________．例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）证明：△AFO≌△CEB；（2）若EB＝5cm，，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积．

3.与圆相关的计算

（分类）第24讲与圆相关的计算知识点1 与正多边形有关的计算知识点2 弧长的计算知识点3 扇形面积的计算知识点4 圆锥的有关计算知识点1 与正多边形有关的计算（2019·贵阳）（2019扬州）15.如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=__15_。（2019滨州）17．（5分）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．（2019自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ C ） A. 54 B.43 C.32 D.2 1 （2019湖州）答案:C

（2019成都）答案：（2019青岛）12．如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF 的度数是54 °．知识点2 弧长的计算（2019·贵阳）（2019·铁岭） 12．（2019·仙桃）75°的圆心角所对的弧长是π5.2cm，则此弧所在圆的半径是cm．（2019广州）如图6放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧2____.（结果保留π）长为__、π2

（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点 B 出发，沿表面爬到AC 的中点D处，则最短路线长为（ D ）（2019·烟台） 23．（2019·郴州中考）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点 D，且 AD//OC．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）延长 CO 交⊙O 于点 E．若∠CEB=30°，⊙O 的半径为 2，求 B?D 的长．（结果保留π）（2019·广西六市）

与圆有关的计算

初中数学：与圆有关的计算练习

和圆有关的计算

图形的认识-第10讲：与圆相关的计算

与圆有关的计算

圆的计算有关公式

与圆有关的计算

初三数学与圆有关的计算

2021年中考数学 专题训练 与圆相关的计算(含答案)

全国各地中考数学专题26与圆有关的计算

初中数学--与圆相关的计算(知识点+练习)

最新初三数学--与圆有关的计算

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