考研数二真题及答案

研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2

x π

α<

，则当0x →时，()x α是（ ）

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 （2）设函数()y f x =由方程

确定，则2lim ()1n n f n

→∞

??-=???

?

（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2-

（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x π

ππ≤

，0()()x F x f t dt =?，则（ ）

（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点

（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导

（4）设函数111,1(1)

()=1,ln x e x f x x e x x

αα-+?

<

()f x dx +∞?收敛，则（ ）

（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x =

，其中函数f 可微，则x z z

y x y

??+=??（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）

2()f xy x （D ）2

()f xy x

- （6）设k D 是圆域{}22

(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)k

k D I y x dxdy k =-=??，则

（ ）

（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价

（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价

（8）矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000?? ?

? ?

?

?相似的充分必要条件为

（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a

（D ）为任意常数b a ,2=

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9) 1

ln(1)lim(2)x x x x

→∞+-

= ． (10) 设函

数()x

f x -=

?

，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数

y dx dy

== ．

(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()6

6

r π

π

θθ=-≤≤

，则L 所围成的平面图形的面积

为 ．

(12)

曲线arctan x t

y =???=??1t =的点处的法线方程为 ．

(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件0

0x y

==0

1x y ='

=的解为y = ．

（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若

ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -??与n

ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

（16）（本题满分10分）

设D 是由曲线1

3

y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。 （17）（本题满分10分）

设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2D

x dxdy ??。 （18）（本题满分10分）

设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =.证明：

（I ）存在0,1ξ∈（），使得()1f ξ'=；（II ）存在0,1η∈（），使得()()1f f ηη'''+=。

（19）（本题满分11分）

求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 （20）（本题满分11分） 设函数1

()ln f x x x

=+

， （I ）求()f x 的最小值 （II ）设数列{}n x 满足1

ln 1n n

x x +<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.

（21）（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211

ln (1)42

y x x x e =-≤≤，

（1）求L 的弧长；

（2）设D 是由曲线L ，直线1,x x e ==及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 （22）（本题满分11分）

设101,101a A B b ????

== ? ?????

，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。

（23）（本题满分11分）

设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ????

? ?

== ? ? ? ?????

。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T

T α

αββ+；

（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22

12

2y y +。

研究生入学统一考试

数学二试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2

x π

α<

，则当0x →时，()x α是（ ）

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 【答案】（C ）

【解析】因为200sin ()cos 11

lim

lim 2

x x x x x x α→→-==-，所以0lim sin ()0x x α→=，

因此当0x →时，()0x α→，所以sin ()()x x αα ，所以00sin ()()1

lim

lim 2

x x x x x x αα→→==-， 所以()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。

（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n

→∞

?

?-=???

?

（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 【答案】（A ）

【解析】由于(0)1f =，所以2()(0)2lim ()1lim 22(0)2n n f f n n f f n n →∞→∞??

-????

'-==????????

??

， 对此隐函数两边求导得()sin()10y y xy xy y ''-++

-=，所以(0)1f '=，故2lim ()12n n f n →∞??

-=????

。

（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x π

ππ≤

，0()()x F x f t dt =?，则（ ）

（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点

（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导 【答案】（C ）

【解析】0

sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x x

x

tdt x x F x f t dt tdt dt x x π

πππππ

?=-≤

=??+=-+≤≤???

??，

由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-

→+

==，所以()F x 在x π=处连续；

()()1cos lim

lim 0x x F x F x x x πππππ→-→+---==--，()()2()

lim lim 2x x F x F x x x ππππππ→+→+--==--，

所以()F x 在x π=处不可导。

（4）设函数111,1(1)

()=1,ln x e x f x x e x x

αα-+?

<

()f x dx +∞?收敛，则（ ）

（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<

【答案】（D ）

【解析】111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+?

<

??≥??

因为

1

1

()()()e e

f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

=+?

??

，

当1x e <<时，

11221

1

11111111

()lim lim[](1)(1)2(1)2(1)

e

e

e f x dx dx dx x x e ααααεεεαεα----→+→+===-------?

?

?， 要使2

111

lim[

]2(1)αεαε-→+

--存在，需满足2α-<0；

当x e ≥时，111ln 111lim()ln ln ln e

e d x dx x x

x λαλα+∞

+∞++→∞==-+?

?， 要使1

1

lim()ln α

λαλ

→∞

-

存在，需满足α>0；所以02α<<。 （5）设()y z f xy x =

，其中函数f 可微，则x z z y x y

??+=??（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2

()f xy x

- 【答案】（A ）

【解析】已知()y z f xy x =，所以

2

2()()z y y f xy f xy x x x

?'=-+?， 所以

11

[()()](()())2()x z z f xy yf xy f xy yf xy yf xy y x y x x

??'''+=-+++=??。 （6）设k D 是圆域{}

22

(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)k

k D I y x dxdy k =

-=??，则

（ ）

（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】（B ）

【解析】令cos ,sin x r y r θθ==，则有

1

1

()

(s i n c o s )(c o s s i n )

3

k

k D I y x d x d y r d r r r d β

β

α

α

θθθθθ=

-=-

=-

+???

? 故当2k =时，,2

π

αβπ=

=，此时有22

0.3

I =

>故正确答案选B 。 （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且C 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）

【解析】由AB C =可知C 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示，又B 可逆，故有1

-=CB A ，从而

A 的列向量组也可以由C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（

B ）。

（8）矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000??

?

? ?

?

?相似的充分必要条件为

（A ）0,2a b == （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a

（D ）为任意常数b a ,2= 【答案】(B)

【解析】由于1111a a b a a ?? ? ? ???为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000??

?

? ?

??相似的

充分必要条件为1111a a b a a ??

?

? ???

的特征值为0,,2b 。

又21

1

[()(2)2]1

1

a E A a

b

a b a a

λλλλλλλ----=---=------，从而为任意常数b a ,0=。 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9) 1

ln(1)lim(2)x x x x

→∞+-

= ． 【答案】1

2

e

【解析】原式=

ln(1)

ln(11)lim

x x x x

e

→++-

，

00

ln(1)ln(1)1

ln(11)11(1())

12

lim

lim lim 2x x x x x x o x x x x x x →→→+++-

---+===

因此答案为12

e .

(10) 设函

数()x

f x d t -=

?

，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数

y dx

dy

== ．

【解析】

01||y x dy dx dx dx dy dy ==-=∴===

(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()6

6

r π

π

θθ=-≤≤

，则L 所围成的平面图形的面积

为 ． 【答案】

12

π

【解析】所围图形的面积是2

660611cos6cos 32212

S d d ππ

πθπθθθ-+===??

(12)

曲线arctan x t

y =???=??1t =的点处的法线方程为 ．

【答案】ln 04

y x π

+-

-=

【解析】2

1dy t dx

t ==+，1|1,t dy dx == 当1t =

时，,4

x y π

=

=

ln 04

y x π

+-

-=.

(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件0

0x y

==0

1x y ='

=的解为y = ．

【答案】32x x x y e e xe =--

【解析】由题意知：3,x x e e 是对应齐次方程的解，2x

xe -是非齐次方程的解， 故非齐次的通解为3212x x x y C e C e xe =+-，将初始条件代入，得到121,1C C ==-, 故满足条件的解为32x x x y e e xe =--。

（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若

ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则

【答案】1- 【解析】

0ij ij a A +=由可知，

*T A A =- 1122331122333

3

2

2

1

1

i i i i i i j j j j j j

ij ij j i A a A a A a A a A a A a A a a ===++=++=-=-<∑∑

2

*,=-1.

T A A A A A ==-=-从而有故 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -??与n

ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。 【解析】因为当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -??与n

ax 为等价无穷小 所以01cos cos 2cos3lim

1n x x x x

ax

→-??=

又因为：

1cos cos 2cos31cos cos cos cos 2cos cos 2cos cos 2cos31cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)

x x x

x x x x x x x x x x x x x x x -??=-+-?+?-??=-+-+?- 即001cos cos 2cos31cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)

lim

lim n n

x x x x x x x x x x x ax ax →→-??-+-+?-=

0222222

01cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)lim()111()(2)()(3)()222lim()n n n

x n n n

x x x x x x x ax ax ax x o x x o x x o x ax ax ax →→--?-=+++++=++ 所以2n = 且

149

17222a a a a

++=?= （16）（本题满分10分）

设D 是由曲线13

y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。 【解析】由题意可得：

1

5

2

3303()5

a

x V x dx a ππ==?

17

3

30

627

a

y V x x dx a ππ=?=?

因为：10y x V V =

所以75

3

3631075

a a a ππ=??=（17）（本题满分10分）

设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2

D

x dxdy ??。 【解析】

1

2

222

D

D D x dxdy x dxdy x dxdy =+??????

2

368220

2

3

3

x x

x x x dx dy x dx dy -=+????

416

3

=

（18）（本题满分10分）

设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =.证明：

（I ）存在0,1ξ∈（），使得()1f ξ'=；（II ）存在0,1η∈（），使得()()1f f ηη'''+=。 【解析】（1）令()(),(0)(0)0,(1)(1)10,F x f x x F f F f =-===-= 则()0,1ξ?∈使得'()0,'()1F f ξξ==即 （2）令()('()1),x G x e f x =-则()0,G ξ=

又由于()f x 为奇函数，故'()f x 为偶函数，可知()0G ξ-=, 则()(),1,1ηξξ?∈-?-使'()0,G ξ=

即['()1]''()0e f e f ηηηη-+=，即''()'()1f f ηη+= （19）（本题满分11分）

求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 【解析】本题本质上是在条件331(0,0)x xy y x y -+=≥≥

下求函数(,)f x y =

在条件331x xy y -+=下的条件极值点，再将其与曲线端点处（()()0,1,1,0）的函

数值比较，即可得出最大值与最小值。

与22x y +的增减性一致，故可以转化为求22x y +的条件极值点： 构造拉格朗日函数()()

2233

,,1L x y x y x xy y λλ=++-+-，求其驻点得

2

2

33

23023010L x x y x L y y x y L x xy y λλλλλ

??=+-=?????=+-=?????=-+-=??? 为了求解该方程组，将前两个方程变形为2

2

2323x y x

y x y λλλλ?=-??=-?? 进一步有22

22

2323xy y x y xy x xy

λλλλ?=-??=-??，故2222

33x xy y x y λλλλ-=- 即()()30x y x y xy λ-++=。则有0λ=或0x y -=或30x y xy ++=。

当0λ=时，有0x y ==，不可能满足方程33

10x xy y -+-=；

当30x y xy ++=，由于0,0x y ≥≥，也只能有0x y ==，不可能满足第三个方程； 故必有0x y -=，将其代入3310x xy y -+-=得3

2

210x x --=，解得1,1x y ==。 可知()1,1点是唯一的条件极值点。

由于(1,1)f =

(0,1)(1,0)f f =331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最

1。 （20）（本题满分11分） 设函数1

()ln f x x x

=+

， （I ）求()f x 的最小值 （II ）设数列{}n x 满足1

ln 1n n

x x +<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.

【解析】（I ）22111

'()x f x x x x

-=

-=，则当()0,1x ∈时，'()0f x <；当()1,x ∈+∞时，'()0f x >。 可知()f x 在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增。故()f x 的最小值为(1)1f =。 （2）、由于11

ln ≥+

n

n x x ，则n n x x 111<

+，即n n x x >+1，故n x 单调递增。 又由于11

1

ln ln <++

令a x n n =∞→lim ，则a a x x n n n 1ln 1lim +=?????

??+，由于111

ln <++n n

x x ，则 11

ln ≤+

a

a ，故1=a 。 （21）（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211ln (1)42

y x x x e =-≤≤，

（1）求L 的弧长；

（2）设D 是由曲线L ，直线1,x x e ==及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 【解析】（1）由弧长的计算公式得L 的弧长为

1

1=?

?

11

214

e ==+=

??

（2）由形心的计算公式可得，D 的形心的横坐标为

()()242132111ln 323421147ln 42e

e x x x dx e e e x x dx ??- ?--??=??-- ???

?? （22）（本题满分11分） 设101,101a A B b ????

==

? ?????

，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。

【解析】由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1

23

4x x C x x ??

=

???

，则由AC CA B -=可得线性方程组： 23124

13423011x ax ax x ax x x x x ax b

-+=??-++=??--=??-=? （1）

0100101111011110110101011011101000100010010

0101011

101010000100001a a a a a a a a a a b a b a b a a a b a -----??????

? ? ?---+ ? ? ?→→ ? ? ?---- ? ? ?---??????

--?? ?-+

?→ ?+ ?--??

由于方程组（1）有解，故有10,10a b a +=--=，即1,0,a b =-=从而有

010

010111101011001011100000010

000

0a a a a b ---????

? ?- ? ?→ ? ?--

? ?-????，故有11221

123142

1,.x k k x k k k x k x k =++??=-??

=?

?=?其中、任意

从而有121121k k k C k k ++-??= ???

（23）（本题满分11分）

设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ????

? ?

== ? ? ? ?????

。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；

（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22

12

2y y +。 【解析】(1)

222222222

11122233312

1212

131313232323(2)(2)(2)(42)(4)(42)f a b x a b x a b x a a b b x x a a b b x x a a b b

x x =+++++++++++

2222

111212

1313112

131121322

2

21212

22232312

22312

223222213132323

331323

3

13

23

322222222222T T

a b a a b b a a b b a a a a a b b b b b f a a b b a b a a b b a a a a a b b b b b a a b b a a b b a b a a a a a b b b b b ααββ??????

+++

?

? ?+++=+ ? ? ? ? ? ?+++???

???

=+则的矩阵为（2）,2,T T T T T T A A ααββααααββααβααβββββ+=+==+=令A=2则22，则1,2均为A 的特征值，又由于()(2)()()2T T T T r A r r r ααββααββ=+≤+=，故0为A 的特征值，则三阶矩阵A 的特

征值为2,1,0，故f 在正交变换下的标准形为22

12

2y y +