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考研关于多项式除以多项式

关于多项式除以多项式
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x )÷(2x＋1)，仿照 672÷21，计算如下：
2
∴(7x＋2＋6x )÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项 2x 去除被除式的第一项 6x ，得商式的第一项 3x，然后用 3x 去乘除式，把积 6x ＋3x 写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得 4x＋2，再把 4x＋2 当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于 0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为 0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是 0 而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x ＋2x ＋5)÷(4x－3＋x )．解：
2 3 2 2 2
2
所以商式为 2x＋1，余式为 2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系： 9x ＋2x ＋5＝(4x－3＋x )(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照 x 的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补 0 的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：
2 3 2
1

于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x －5x－4)(3x －7x＋8)按分离系数法计算如下：
3 2
所以， (2x －5x－4)(3x －7x＋8) =6x －14x ＋x ＋23x －12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题． 1．(6x ＋x －1)÷(2x－1)． 2．(2x ＋3x－4)÷(x－3)． 3．(x －2x －5)(x－2x －1)． 4．(x＋y)(x －xy＋y )．
2 2 3 2 2 3 3 2 5 4 3 2 3 2
2

【本讲教育信息】
一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。
【典型例题】
[例 1] 化简求值：，其中解：，
当原式
，
时
[例 2] A. B. C. D. 以上都不对，所以所求代数式的系数为 2
解析：解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了
而最后一项为 1，所以所求代数式为。但这是一道选择题可以用代入法把 A、B、C 四个答案代入试试，很快发现也是 A。说明：同学们在做选择题时应选用较为灵活的方法。 [例 3] 化简解：原式
[例 4] 计算我们仿照小学学习的多位数除以多位数的法则建立多项式除以多项式的法则
所以规则：
3

1. 先把除式与被除式按降幂排列，如果除式与被除式中有缺项，缺项的位置补 0。 2. 用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项再用这个商式去乘以除式，再把积写在被除式下面（同类项对齐）从被除式中减去这个积再把差当作新的被除式，，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止。 [例 5] 计算
此题已把除式与被除式按降幂排列好了先用被除式的首项以式，用得除以得
除以除式的首项得商式首项），再把
，再用
乘
把它写在被除式下面同类项对齐作减法得（再用乘以得写在
作为新的被除
下面作减法得 0 除完。
[例 6] 在用多项式除以多项式法则之前，我们观察被除式，发现被除式有缺项，如果忽视这个问题那么按法则去做，则同类项不能对齐。所以应该在缺项的地方补 0。
现在新的问题出来了，再用多位数把叫做余式。
除以
会得负指数，这是不行的，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以
所以说明：如果多项式除以多项式有除不尽的情况，那么写成被除式= 除式×商式+余式余式的定义：当在做多项式除以多项式的除法时，如果新的被除式的最高次项小于除式的最高次项，则这个新的被除式为余式。 [例 7] 已知多项式解：能被整除求值。
∵ 多项式 ∴ 余式 [例 8] 已知解： ∴ 能被
能被
整除
整除，求的值。
4

∵ ∴ [例 9] 已知分析：设法把
能被 ∴ 求
整除的值用含有的代数式表示
∴ ∵ ∴ 说明：在这里我们用除以，有些同学存在困惑除数，这里作除法是寻找两个多项式之间的关系，并不是除 0 这一点，同学们要好好体会。怎能做
【模拟试题】（答题时间：30 分钟）
1. 计算 ① ② 2. 计算 ① ② ③ 3. 计算 4. 已知多项式 5. 如果 6. 已知 8. 求 9. 已知多项式，求能被除以可被除余数为 1。和整除，求、的值及此式的因式。能被能被整除且商式是整除，求，求的值。的值。
7. 确定 a 的值使多项式
的商式和余数
5

一、選擇：
）若多項式A除以多項式B得商式為Q，餘式為R，則下列敘述何者恆正確？ (A)A－R是Q的倍式 (B)A－R是B的因式 (C)A是B的倍式 (D)B是A的倍式《答案》A 詳解：由題意得：A＝BQ＋R (B)A－R＝BQ，即A－R是B的倍式 (C)當R＝0時，A才是B的倍式 (D)當R＝0時，A是B的倍式，B是A的因式故選(A) 2. （）若2x 3 ＋x 2 ＋mx－6為x－2的倍式，則2x 3 ＋x 2 ＋mx－6亦為下列何者的倍式？ (A)x＋3 (B)x－3 (C)2x＋3 (D)2x－3 《答案》C 詳解：因為2x 3 ＋x 2 ＋mx－6為x－2的倍式所以x－2能整除2x 3 ＋x 2 ＋mx－6 用x－2去除2x 3 ＋x 2 ＋mx－6得到：－6＋2(m＋10)＝0 解得m＝－7 2x 3 ＋x 2 ＋mx－6 ＝(x－2)(2x 2 ＋5x＋3) ＝(x－2)(x＋1)(2x＋3) 故選(C) ）3x 3 －13x 2 ＋ax－b是x 2 －2x＋3的倍式，則a＋b＝？ (A)152 (B)44 (C)38 (D)2 《答案》B 3. （詳解：用x 2 －2x＋3除3x 3 －13x 2 ＋ax－b 得：a－23＝0，－b＋21＝0 所以a＝23，b＝21 故a＋b＝44，選(B) ）若(x＋2)和(2x＋3)都是8x 3 ＋mx 2 ＋17x＋n的因式，試求n＝？ (A)－6 (B)6 (C)－12 (D)12 《答案》A 詳解：(x＋2)(2x＋3)＝2x2＋7x＋6 4. （用2x2＋7x＋6除8x 3 ＋mx 2 ＋17x＋n得： n－3(m－28)＝0 又m＝26 解得n＝－6，故選(A) 5. （）若(x＋2)和(2x＋3)都是8x 3 ＋mx 2 ＋17x＋n的因式，則m＝？ (A)26 (B)－26 (C)30 (D)－30
6
1. （

《答案》A 詳解：(x＋2)(2x＋3)＝2x2＋7x＋6 用2x2＋7x＋6除8x 3 ＋mx 2 ＋17x＋n得： 7 －7－ (m－28)＝0 2 解上式得：m＝26，故選(A) 6. （）若 2 x 2 + 5 x + a 不是2x－1的倍式，則下列哪一個不可能是a的值？ (A)－3 (B)－1 (C)1 (D)3 《答案》A 詳解：用2x－1去除 2 x 2 + 5 x + a 得餘式為a＋3 因為 2 x 2 + 5 x + a 不是2x－1的倍式所以餘式a＋3不可能為0 即a值不可能為－3 故選(A)
二、填充：
1. 已知x＋2與4x＋1都是8x 3 －2x 2 －41x－10的因式，則因式分解8x 3 －2x 2 －41x －10＝。《答案》(x＋2)(4x＋1)(2x－5) 詳解：(x＋2)(4x＋1)＝4x2＋9x＋2 用4x2＋9x＋2除8x 3 －2x 2 －41x－10 得商式為2x－5 所以8x 3 －2x 2 －41x－10＝(x＋2)(4x＋1)(2x－5) 2. 如圖，翊寧做了一個多項式直式除法，發現多項式2x－3是多項式4x 3 ＋ax 2 ＋ 9x＋b的因式，其中部分係數以a、b、c、d、e、f表示，則：
(1)a＝，b＝， c＝，d＝， e＝，f＝。 3 2 (2)4x ＋ax ＋9x＋b的另一個因式為《答案》(1)－8，－9，－1，－2，3，0 (2)2x 2 －x＋3 詳解：(1)由直式除法可知： 2c＝－2，c＝－1 e＝－3c＝3 d＋2＝0，d＝－2 f＝0(整除，餘式為0)
。
7

b－9＝0，b＝9 (2)2x2＋cx＋3＝2x2－x＋3是4x 3 ＋ax 2 ＋9x＋b的因式 3. 若x 2 －3x＋m為5x 3 －9x 2 ＋nx－12的因式，則m＝《答案》－2，－28 ，n＝。
詳解：用x 2 －3x＋m除5x 3 －9x 2 ＋nx－12 得：(n－5m)＋18＝0，－12－6m＝0 解得：m＝－2，n＝－28 4. 已知x 2 ＋x＋1為x 3 ＋k的因式，則： (1)k＝。 3 (2)因式分解x ＋k 。 2 《答案》(1)－1 (2)(x ＋x＋1)(x－1) 詳解：(1)用x 2 ＋x＋1除x 3 ＋k 得：k＋1＝0，故k＝－1 (2) 用x 2 ＋x＋1除x 3 ＋k得到的商式為x－1 所以x 3 ＋k＝x 3 －1＝(x－1)( x 2 ＋x＋1) 5. 若x－1與x－2皆為x 3 －6x 2 ＋kx－6的因式，則： (1)k＝。 3 (2)因式分解x －6x 2 ＋kx－6＝。《答案》(1)11 (2)(x－1)(x－2)(x－3) 詳解：(1)(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2 用x2－3x＋2除x 3 －6x 2 ＋kx－6 得：(k－2)－9＝0 解得：k＝11 (2)用x2－3x＋2除x 3 －6x 2 ＋kx－6 得商式為：x－3 所以x 3 －6x 2 ＋kx－6＝(x－1)(x－2)(x－3) 6. 已知x 3 －x 2 ＋x－1有因式x 2 ＋1，則因式分解x 3 －x 2 ＋x－1＝《答案》(x 2 ＋1)(x－1) 詳解：用x 2 ＋0x＋1(缺項補0)除x 3 －x 2 ＋x－1 得商式為：x－1 故x 3 －x 2 ＋x－1＝(x 2 ＋1)(x－1) 7. 若x 3 ＋mx 2 ＋nx＋10為x－2與x＋5的倍式，則： (1)(m , n)＝。 (2)x 3 ＋mx 2 ＋nx＋10的因式分解為。《答案》(1)(2 , －13) (2)(x－2)(x＋5)(x－1) 詳解：(1)(x－2)(x＋5)＝x2＋3x－10 用x2＋3x－10除x 3 ＋mx 2 ＋nx＋10 得：(n＋10)－3(m－3)＝0 10－10(m－3)＝0 解得：m＝2，n＝－13 故(m , n)＝(2 , －13) (2) 用x2＋3x－10除x 3 ＋2x 2 －13x＋10
。
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得商式為x－1 所以x 3 ＋2x 2 －13x＋10＝(x2＋3x－10)( x－1) ＝(x－2)(x＋5)(x－1) 8. 已知3x 3 －11x 2 ＋27x－14是x 2 －3x＋7的倍式，則因式分解3x 3 －11x 2 ＋27x －14＝。 2 《答案》(x －3x＋7)(3x－2) 詳解：用x 2 －3x＋7除3x 3 －11x 2 ＋27x－14 得商式為：3x－2 即3x 3 －11x 2 ＋27x－14＝)( x 2 －3x＋7) (3x－2 9. 設2x＋1是4x 3 ＋mx－6的因式，則： (1)m＝。 (2)x－2是否為4x 3 ＋mx－6的因式？答：。 3 (3)因式分解4x ＋mx－6＝。《答案》(1)－13 (2)是 (3)(2x＋1)(x－2)(2x＋3) 詳解：(1)用2x＋1除4x 3 ＋0x2＋mx－6(缺項補0) 1 得：－6－ (m＋1)＝0 2 解得：m＝－13 (2)用x－2除4x 3 ＋0x2－13x－6(缺項補0) 得商式為4x2＋8x＋3，餘式為0，整除故)x－2是4x 3 ＋mx－6的因式 (3)由(2)知： 4x 3 －13x－6＝(x－2)( 4x2＋8x＋3) 用2x＋1除4x2＋8x＋3 得商式為2x＋3，餘式為0 即4x2＋8x＋3＝(2x＋1)( 2x＋3) 故4x 3 －13x－6＝(2x＋1)(x－2)(2x＋3) 10. 若x 2 －x－1是多項式2x 3 －5x 2 －ax＋3的因式，則a＝。《答案》－1 詳解：用x 2 －x－1除2x 3 －5x 2 －ax＋3 得(－a＋2)－3＝0 故a＝－1 11. 設x＋1及2x－3都是6x 3 ＋ax 2 －13x＋b的因式，則2a＋b＝。《答案》－2 詳解：(x＋1)(2x－3)＝2x2－x－3 用2x2－x－3除6x 3 ＋ax 2 －13x＋b 1 3 得：－4＋ (a＋3)＝0，b＋ (a＋3)＝0 2 2 解得：a＝5，b＝－12 故2a＋b＝2×5＋(－12)＝－2 12. 若多項式(x－2)(x 3 ＋2x 2 ＋4x＋8)有因式x 2 ＋4，則此多項式可因式分解為
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《答案》(x－2)(x 2 ＋4)(x＋2) 用x 2 ＋0x＋4(缺項補0)除x 3 ＋2x 2 ＋4x＋8 得商式為：x＋2 所以x 3 ＋2x 2 ＋4x＋8＝(x 2 ＋4)(x＋2) 故(x－2)(x 3 ＋2x 2 ＋4x＋8＝(x－2)(x 2 ＋4)(x＋2) 13. 若x 3 ＋ax 2 －3x＋b為x 2 ＋2x＋1的倍式，則： (1)a＝。 (2)b＝。《答案》(1)0 (2)－2 詳解：用x 2 ＋2x＋1除x 3 ＋ax 2 －3x＋b 得：－4－2(a－2)＝0，b－(a－2)＝0 解得：a＝0，b＝－2 14. 欲使x 2 －3x＋1為x－4的倍式，則必須在x 2 －3x＋1中加上常數k，則k＝。《答案》－5 詳解：用x－4除x 2 －3x＋1＋k 得餘式為：k＋5 因為x 2 －3x＋1為x－4的倍式所以k＋5＝0 故k＝－5
三、計算：
1. 若x 2 －2x＋b為3x 3 －2x 2 ＋ax＋12的因式，則： (1)a、b的值分別為何？ (2)因式分解3x 3 －2x 2 ＋ax＋12＝？
《答案》(1)a＝1，b＝3 (2)(x 2 －2x＋3)(3x＋4) 詳解：
(1)因為x 2 －2x＋b為3x 3 －2x 2 ＋ax＋12的因式所以x 2 －2x＋b可以整除3x 3 －2x 2 ＋ax＋12 即(a－3b)－(－8)＝0 T a－3b＝－8……(1) 12－4b＝0 T b＝3……(2) 將(2)式代入(1)式中，解出a＝1 (2)由上面的除法可知
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(3x 3 －2x 2 ＋ax＋12)÷(x 2 －2x＋b)＝3x＋4 也就是說3x 3 －2x 2 ＋ax＋12可以因式分解為(x 2 －2x＋3)(3x＋4) 2. 若2x 2 －3x＋b是2x 3 －7x 2 ＋ax＋2的因式，則： (1)a、b之值分別為何？ (2)承上題，請因式分解2x 3 －7x 2 ＋ax＋2。
《答案》(1)a＝5，b＝－1 (2)(2x 2 －3x－1)(x－2) 詳解：(1)
∵2x 2 －3x＋b是2x 2 －7x 2 ＋ax＋2的因式 ∴2x 2 －3x＋b能整除2x 3 －7x 2 ＋ax＋2 ìa - b - 6 = 0 ìa = 5 則í Tí ?2 + 2b = 0 ?b = -1 (2)∵2x 3 －7x 2 ＋ax＋2＝(2x 2 －3x＋b)(x－2) 又a＝5，b＝－1 ∴2x 3 －7x 2 ＋5x＋2＝(2x 2 －3x－1)(x－2) 3. 已知6x 3 －11x 2 －19x－6是x－3與2x＋1的倍式，則因式分解6x 3 －11x 2 －19x －6＝？
《答案》(x－3)(2x＋1)(3x＋2) 詳解：因為(x－3)(2x＋1)＝2x 2 －5x－3 而且6x 3 －11x 2 －19x－6是x－3與2x＋1的倍式所以6x 3 －11x 2 －19x－6是2x 2 －5x－3的倍式又6x 3 －11x 2 －19x－6＝(2x 2 －5x－3)(3x＋2) 所以6x 3 －11x 2 －19x－6可以因式分解為(x－3)(2x＋1)(3x＋2) 4. 已知x 2 ＋x－1是2x 3 ＋3x 2 －x－1的因式，則因式分解2x 3 ＋3x 2 －x－1＝？
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《答案》(x 2 ＋x－1)(2x＋1) 詳解：因為x 2 ＋x－1是2x 3 ＋3x 2 －x－1的因式所以x 2 ＋x－1可以整除2x 3 ＋3x 2 －x－1 又(2x 3 ＋3x 2 －x－1)÷(x 2 ＋x－1)＝2x＋1 所以2x 3 ＋3x 2 －x－1可以因式分解為(x 2 ＋x－1)(2x＋1) 5. 已知x＋2是x 2 ＋bx－6的因式，則b＝？
《答案》－1 詳解：
因為x＋2是x 2 ＋bx－6的因式所以x 2 ＋bx－6能被x＋2整除即b＋1＝0，解出b＝－1
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如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明：（1）先把被除式2092 ++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法

∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再

多项式除以多项式.docx

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1 ）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式= 除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算(x29 x20)( x4) 规范解法 ∴ ( x 29x20)(x4)x 5. 解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20 ，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用 5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x4 相乘，得5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x 29x20)( x4)x 5. 例 2 计算(6x59x47x220x3) (2x2x5) ．规范解法 ∴ (6x59x 47x220x3) ( 2x2x 5) 3x33x26x1余9x 2 ．注①遇到被除式或除式中缺项，用0 补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ (6x59x47x220x3) ( 2x2x5)

单项式乘以多项式(教案设计)

整式的乘法（二）单项式乘以多项式（教案）学习目标 1．在具体情景中，了解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则； 2．能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式的乘法运算. 3．经历探索乘法运算法则的过程，让学生体验从“特殊”到“一般”的分析问题的方法，感受“转化思想”、“数形结合思想”，发展观察、归纳、猜测、验证等能力. 4．初步学会从数学角度提出问题，运用所学知识解决问题，发展应用意识.通过反思,获得解决问题的经验.发展有条理的思考及语言表达能力. 学习重点：在经历法则的探究过程中，深刻理解法则从而熟练地运用法则. 学习难点：正确判断单项式与多项式相乘的积的符号. 学习过程：一、复习回顾 1、单项式与单项式怎样相乘. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2、单项式与单项式怎样相乘运用了哪些乘法运算律？除此之外，还有什么乘法运算律? 单项式与单项式相乘运用了乘法交换律、结合律，一、联系生活设境激趣问题一：1.在一次绿色环保活动中购买奖品如下表, ⑴有几种算法计算共花了多少钱？⑵各种算法之间有什么联系？请列式：方法1: ; 方法2： . 联系……① 2．将等式15(5.20+3.40+0.70) =15×5.20+15×3.40+15×0.70 中的数字用字母代替也可得到等式：m（a+b+c） =ma+mb+mc；……② 问题二：三家连锁店以相同的价格m (单位:元/瓶) 销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶) 分别是a,b,c。你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗? 方法一：先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入（单位：元）为：m(a+b+c) 方法二：先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，

拓展材料：如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算(X2 9x 20)--(x 4) 规范解法 jr+5 JC+4丿疋十9卄20 ~5A+20弘卡20 (x2 9x 20) -：- (x 4) = x 5. 解法步骤说明： (1)先把被除式x2 9x 20与除式x 4分别按字母的降幕排列好. (2 )将被除式x2 9x 20的第一项x2除以除式x 4的第一项x，得 X2 - X = X，这就是商的第一项. (3)以商的第一项x与除式x 4相乘，得x2 4x，写在x2 9x 20的下面. (4)从x2 9x 20减去x2 4x，得差5x 20，写在下面，就是被除式去掉 x2 4x后的一部分. (5)再用5x 20的第一项5x除以除式的第一项x,得5x“x=5，这是商的第二项，写在第一项x的后面，写成代数和的形式. (6)以商式的第二项5与除式x 4相乘，得5x 20，写在上述的差5x 20 的下面. (7)相减得差0，表示恰好能除尽. (8)写出运算结果,(x2 9x 20) “ (x 4) = x 5. 例2 计算(6x5 -9x4 7x2 -20x 3) “(2x2 -x-5). 规范解法

齐"-；3十 6—1 2X S -A -5 +7J ( -20A +3~ 石才―3尤=□丘 ___________ ~曲+曲+ "xG 3耳"十】5+ _______ 12x^ 8^-20x~ 12F- -2JC J + jc +5 (6x 5 -9x 4 7x 2 -20x 3)“(2x 2 -x-5) 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用 0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数. 另外，以上两例还可用分离系数法求解.如例 2. 3 - 3 十 6 - 1 2-1-5- 9 + 0 ■?■亍】20 + 3 6 - 3 二厲 _______________ -6 + 15 + 7 “ 6 十 3 +15 __________ 12 - 8 - 20 12 _ 6 亠30 -2 + 1 + 5 9 ~2 (6x 5 -9x 4 7x 2 -20x 3)“(2x 2 -x-5) 8.什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊. 如：计算(2x 3 3x-4)“(x -3). (1) 2/十 6x+2l ⑵ 2 + 6+21 x-3)2x^ 0 + 3x- 4 lfQ + 3 - 4 R-詔 ■?： - 6 6J J + 3X 6 + 3 [ 8.x Si-IS 21A -斗 21-4 21A -63 59 59 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）. = 3x ‘ -3x 2 6x-1 ....................... 余 9x-2 . =3x 3 -3x 2 6x-1 ........................ 余 9x-2 .

多项式除以单项式--教学设计

第一章整式的乘除 1.7 整式的除法（第2课时）一、学情分析：学生的知识技能基础：学生对小学所学整数除法的运算掌握较为熟练，而本章内容又学习了同底数幂的除法，另外，上一节课中又学习了单项式的除法，并利用其解决了一些问题，这些知识储备为学生本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。学生活动经验基础：在本章前内容的学习中，学生经历了探索、发现的数学活动，初步积累了数学活动的经验，有了一定的探究能力。同时前一节课中通过自主探究，得到了单项式除法的法则，为本节课探究多项式除以单项式运算奠定了基础。并且通过解决问题的练习，学生解决应用问题的能力也有了一定的提高和良好的基础。为此，在教学中要求学生独立思考，小组合作交流竞争，类比探究相结合，使学生在练习的过程中发现、分析并解决问题。二、教学任务分析：本课基于学生对整式乘法，整数除法以及对单项式除法的学习，提出了本课的具体学习任务：掌握多项式除以单项式的运算，并能够综合运用所学知识解决实际问题。本课内容属“数与代数”这一数学学习领域，其必须服务于代数教学的远期目标：“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，能够在实际情境中，抽象概括出所要研究的数学问题，增强学生的数感符号感。发展学生的合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力”，并力争突破情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：经历探索整式除法运算法则的过程，掌握多项式除以单项式的运算算理，发展有条理的思考及表达能力。培养独立思考和良好的合作意识，学习数学的兴趣和学习数学的信心，体会数学的实际价值。本节课是继学习了单项式除法的基础上学习的，又对今后学习整式的混合运算奠定了基础，在教学中起着承上启下的作用，为此教学中力求突破以下重难点内容。

多项式除以单项式

2017年08月02日sunpeichun的初中数学组卷一．选择题（共12小题） 1．计算（6x3﹣2x）÷（﹣2x）的结果是（） A．﹣3x2B．﹣3x2﹣1 C．﹣3x2+1 D．3x2﹣1 2．若长方形面积是2a2﹣2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是（）A．6a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．6a﹣2b D．3a﹣b+3 3．计算[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷（4ab）的结果（） A．2ab B．1 C．a﹣b D．a+b 4．计算（25x2y﹣5xy2）÷5xy的结果等于（） A．﹣5x+y B．5x﹣y C．﹣5x+1 D．﹣5x﹣1 5．计算（14x3﹣21x2+7x）÷（﹣7x）的结果是（） A．﹣x2+3x B．﹣2x2+3x﹣1 C．﹣2x2+3x+1 D．2x2﹣3x+1 6．计算：（﹣2x3y2﹣3x2y2+2xy）÷2xy，结果是（） A．B． C．D． 7．下列各式，计算结果错误的是（） A．（3a2+2a﹣6ab）÷2a=a﹣3b+1 B．（﹣4a3+12a2b﹣7a3b2）÷（﹣4a2）=a﹣3b+ab2 C．（4x m+2﹣5x m﹣1）÷3x m﹣2=x4﹣ D．（3a n+1+a n+2﹣12a n）÷（﹣24a n）=﹣a﹣a2+ 8．多项式x12﹣x6+1除以x2﹣1的余式是（）

A．1 B．﹣1 C．x﹣1 D．x+1 9．要使12x6y3z÷（△）=4x5z成立，括号中应填入（） A．3xy3z B．3xy2z C．3xy3 D． 10．若3x3﹣kx2+4被3x﹣1除后余5，则k的值为（） A．﹣10 B．10 C．﹣8 D．8 11．计算[（﹣a2）3﹣3a2（﹣a2）]÷（﹣a）2的结果是（） A．﹣a3+3a2B．a3﹣3a2C．﹣a4+3a2D．﹣a4+a2 12．现规定：f（x）=8x5﹣12x4+6x3．若M（x）=f（x）÷（﹣2x2），则M（﹣2）的值为（） A．﹣2 B．﹣14 C．60 D．62 二．填空题（共9小题） 13．已知一个多项式与﹣4a2的积为12a4﹣16a3+4a2，则这个多项式为．14．（﹣3y n+1+4y n+2﹣12y n）÷=﹣24y n﹣1． 15．= ． 16．欢欢、盈盈和贝贝各写了一个整式，欢欢写的是：2x2y，盈盈写的是：4x3y2﹣6x3y+2x4y2，贝贝写的整式恰好是盈盈写的整式除以欢欢写的整式的商，则贝贝写的式子是． 17．据测算，甲型H7N9病人的唾液中，一个单位体内的唾液中有甲型H7N9病毒106个，某种消毒液一滴可杀死5×104个甲型H7N9病毒，医院要将一个甲型H7N9患者的一个单位体积的唾液中的所有甲型H7N9病毒全部杀死，至少需要滴这种消毒液？

如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下：例1 计算)4()209(2 +÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2)将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． (3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘,得x x 42+，写在2092++x x 的下面。 (４）从2092++x x 减去x x 42+,得差205+x ,写在下面，就是被除式去掉x x 42 +后的一部分。（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面,写成代数和的形式. （6)以商式的第二项5与除式4+x 相乘,得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0,表示恰好能除尽．（８）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 。规范解法

∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数。另外,以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x 。 8.什么是综合除法? 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式,而且它的首项系数为１时，情况比较特殊. 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ．因为除法只对系数进行,和x 无关，于是算式（１）就可以简化成算式（２）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复,可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复,也可以省略．如果再把代数和中的“+”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2)就简化成了算式（3０的形式: 将算式(3)改写成比较好看的形式得算式（4)，再将算式(4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5)．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法,叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1.

八年级数学上册多项式乘以多项式教案

一、自主学习 1、计算：（1）（－5a2b）（－3a）（2）（2x）3(－5xy2) 2、计算：（1）（－4x2）﹒（3x+1）（2）3a（5a－2b）二、合作探究问题3 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ ①若看成一个长方形 ②若看成四个小长方形 1、上面的式子表示的同一数量，所以 bq bp aq ap q p b a+ + + = + +) )( ( 如何得到的呢？ 2、多项式与多项式相乘，先用乘，再。三、学以致用 1、计算：（1）)2 )( 1 3(+ +x x；（2）) )( 8 (y x y x- -；（3）) )( (2 2y xy x y x+ - + 2、计算：（1）)3 )( 1 2(+ +x x（2）) 3 )( 2 (m n n m- + 生活中最珍贵的是什么，是平安。

生活中最珍贵的是什么，是平安。（3）2)1(-a （4）)3)(3(b a b a -+ （5）)4)(12(2--x x （6）)52)(32(2-++x x x 3、计算：（1）)3)(2(++x x （2）)1)(4(+-x x (3))2)(4(-+y y (4))3)(5(--y y 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： (_____)(____)(_____)))((2 ++=++x q x p x 四、当堂检测 1、多项式与多项式相乘，现用一个多项式的每一项乘另一个多项式的，再把所得的积。 2、计算：=-?+)5()3(x x 。 3、)3)(3(+-ab ab 的计算结果是。 4、计算：)23)(52(y x y x -+ 五、能力提升：（学有余力的同学完成）若b x x x a x +-=+?+5)2()(2，求a ，b 的值。六、作业：课后反思

《多项式乘以多项式》教学设计

《多项式乘以多项式》教学设计高清华教学目标：知识与技能 1、探索多项式与多项式相乘的乘法法则。 2. 能灵活地进行整式的乘法运算。过程与方法 1、经历探索多项式与多项式相乘的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用以及“整体”和“转化”的数学思想； 2、通过对乘法法则的探索，归纳与描述，发展有条理思考的能力和语言表达能力；情感、态度与价值观体验学习和把握数学问题的方法，树立学好数学的信心，培养学习数学的兴趣。教学重点：多项式的乘法法则及其应用。教学难点：探索多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算。关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索。教学方法：小组合作，自主学习教学过程：一、课前练习师：前面我们学习了整式的乘法，快速做一做，看看你掌握的怎样

计算：2232)1(xy x ?- )1(2)2(x x -- ()x x x +24)3( x x x 9)19 44)(4(2?-- 生：交流答案师：同学们看这道题怎样做())()5(b n a m ++（多媒体展示）他和我们以前所学的有何不同生：现在是多项式乘多项式师：那多项式乘多项式如何去计算呢这节课我们一起来探究吧！二、学习目标（多媒体）师：看到这个课题你想学习哪些知识呢生：交流师：（多媒体呈现） 1、探究并了解多项式与多项式相乘的法则 2、熟练的运用法则进行运算三、探求新知问题助学一：动手做一做：利用如下的长方形卡片拼成更大的长方形（多媒体） (学生活动)小组内展评作品，推选出最优秀的同学的作品给全班学生展示。 n

完整版多项式除以单项式典型例题

《多项式除以单项式》典型例题例1 计算: (1) 4 4 3 2 2 ；(2) 3 2 14 5 1 4 3 3 36x x 9x 9x 0.25a b a a a b 0.5a b 3 2 6 例2 计算: (1) n 1 3a 6a n2 9a n n 1 3a (2) 2 a b 5 3 a b 4 a b 2 3 a a b 3 求这个多项式. 求这个多项式. 例3 (1)已知一多项式与单项式 7x 5y 4 的积为 21x 5y 7 6 5 3 2 3 28x y 7y 2x y ， (2)已知一多项除以多项式a 2 4a 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 , 例4 5ab 2 3 a 2a 2 ； 5ab 2 3 1 b 2 例5 计算题： (1) (16x 4 8x 3 4x) 4x ； (2)( (3) (4a m 1 8a 1 m 2 12a m ) 4a m i 1 例6 化简： (1) [(2x y)2 y(y 4x) 8x] 2x - (2) 4(4x 2 2x D G 1 ) (4x 6 3 、 5a 2b 2. … 3 2 3 2 2. 4a 12a b 7a b ) ( 4a ); 1 3) (;x)

参考答案例1 分析: 此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算, 解：（1）原式进而求出最后的结果. 4x39x29x29x2 3 36x49x2 4x2Ax 27 （2）原式 3 2 0.25a b 3 2 0.5a b 4b5 3 2 0.5a b *4b3 品2 1 2 ab3 ab3lab 3 1 2 〔ab 3 运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处. 说明: 例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式. 解：(1)原式3a n 1 3a n1 6a n 2n 1 n n 1 3a 9a 3a 2 3 八 a 2a 3a 2a3 a2 3a , , 5 4 (2)原式=2 a b 3 a b a22ab 3 a 2 .2 3 b a 2 1 2 3 1 a - 2 2 例3解：（1）所求的多项为 5 7 21x y 28x6y5 2 3 7y 2x3y27x5y4 5 7 6 5 9 7 21x y 28x y 56 x y 7x5y4 3y3 4xy 8x4y3 （2）所求多项式为 2 a 4a 3 2a 1 2a 8

多项式乘以多项式教学设计

《多项式乘以多项式》教学设计朱宾琪教学目标：知识与技能： 1、探索多项式与多项式相乘的乘法法则。 2. 能灵活地进行整式的乘法运算。过程与方法： 1、经历探索多项式与多项式相乘的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用以及“整体”和“转化”的数学思想； 2、通过对乘法法则的探索，归纳与描述，发展有条理思考的能力和语言表达能力；情感、态度与价值观体验学习和把握数学问题的方法，树立学好数学的信心，培养学习数学的兴趣。教学重点：多项式的乘法法则及其应用。教学难点：探索多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算。关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索。教学方法：小组合作，自主学习教学过程：一、课前提问师：1、多项式与多项式相乘的法则是什么？

依据是什么？ 2、多项式与多项式相乘，结果的项数与原多项式的项数有何关系？ 3、积的每一项的符号由谁决定？计算： )32(3)4() 53(2)3() 35(4)2() 32(7)1(23322222xy xy y x b a a ax a ax b ab a +---- 生：交流答案师：同学们看这道题怎样做？())()5(b n a m ++（多媒体展示）他和我们以前所学的有何不同？生：现在是多项式乘多项式师：那多项式乘多项式如何去计算呢？这节课我们一起来探究吧！二、学习目标（多媒体）师：看到这个课题你想学习哪些知识呢？生：交流师：（多媒体呈现） 1、探究并了解多项式与多项式相乘的法则 2、熟练的运用法则进行运算三、探求新知问题助学一：文文帮爸爸把原长为m 米,宽为b 米的菜地加长了n 米，拓宽了a 米，聪明的你能迅速表示出这块菜地现在的总面积吗？你还能用更多的方法表示吗? (学生活动)小组内展评作品，推选出最优秀的同学的作品给全班学生展示。

《多项式乘以多项式》教案.pdf

教案【教学目标】：知识与技能：理解并掌握多项式乘以多项式的法则. 过程与方法：经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图，理解多项与多项式的结果，能够按多项式乘法步骤进行简单的多项式乘法的运算，达到熟练进行多项式的乘法运算的目的. 情感与态度：培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度. 【教学重点】：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用【教学难点】：多项式乘以多项式法则正确使用【教学关键】：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步再转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索. 【教具】：多媒体课件【教学过程】：一、情境导入（一）回顾旧知识。 1.教师引导学生复习单项式乘以多项式运算法则.并通过练习加以巩固：（1）(- 2a)(2a 2 - 3a + 1) （2） ab ( ab2 - 2ab) （二）问题探索式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。如果p=m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。(由此引出课题。) 二、探索法则与应用。问题：某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n 米，加宽了b米。请你表示这块林区现在的面积。问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积? (2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢? (学生分组讨论，相互交流得出答案。) 学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m＋n)(a＋n)平方米；另一个是(ma＋mb＋na＋nb)米平方，以上的两个结果都是正确的。问：你从计算中发现了什么？由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一个量，故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb 问：你会计算这个式子吗?你是怎样计算的? 学生讨论得：由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：[(m＋n)(a＋b)=(m＋n)a＋(m＋n)b=ma＋mb＋na＋nb。] 设计意图：这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，体会分配律可以将多项式与多项式相乘转化为单项多与多项式相乘。渗透整体思想和转化思想。引导：观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的？(教师示

如何进行多项式除以多项式的运算上课讲义

如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．

（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余 29-x ． 8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．

整式的除法多项式除以单项式

15.3.3整式的除法多项式除以单项式 (2) 2a 2b (-3b 2c) ÷(4ab 3) （3） ()743 42413a x y ax y ??-÷- ???

（4）总结：多项式除以单项式 (a+b+c)÷m= a ÷m + b ÷m + c ÷m 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。练习题： (1) (6xy+5x)÷x 。 (2) (15x 2y – 10xy 2)÷5xy 。 2xy )2xy y (4x (3)a ab)(a (2)m bm)(am (1)222÷+÷+÷+

(3) (8a 2 -4ab)÷(-4a) 。 (4) (25x 3 +15x 2– 20x ) ÷(-5x). ()()()()()() 32354432321147721510205-÷--÷-a a a x y x y x y x y

（7）（8）(28a 3－14a 2+7a)÷(7a)； (9)(36x 4y 3－24x 3y 2+3x 2y 2)÷(－6x 2y)； (10)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x ］÷2x . [] .4)(2)()(102222的值，求式子已知y y x y y x y x y x ÷-+--+=-

小结： 1、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个多项式，再把所得的商相加。 2、应用法则转化多项式除以单项式为单项式除以单项式。 3、运算中应注意的问题： (1)所除的商应写成最简的形式； (2)除式与被除式不能交换； 4、整式混合运算要注意运算顺序，还要注意运用有关的运算公式和性质，使运算简便。

第6课时多项式乘以多项式教学设计

第十四章多项式乘以多项式（第6课时）第周星期班别姓名学号【学习目标】 1、理解把多项式乘以多项式运算转化为单项式乘以多项式，体会转化和整体的数学思想 2、能运用多项式乘以多项式法则计算。【教学过程】环节一：复习巩固 1、确定下列运算中积的系数符号（填“+”或“”）（1）2 xy- ?积的符号是（） ( 22x 2x xy? 3 -积的符号是（）（2）) （3）2 (2x xy- ? -积的符号是（） ) 2 xy?积的符号是（）（4）) 3x ( 2、计算（1）) x- ?= = 22x xy 3( （2）) - －= = x+ ? xy 22x 2 ( 环节二：探究新知： 1、阅读材料回答问题。 ?（△ + □）= ○?△+○?□（运用了乘法律）（1）○ ?（△ + □）= ○?△+○?□ （2）○ ↑↑↑↑↑↑↑←用单项式代替各符号m ×（c + d）=m ×c + m ×d （这是乘以运） ?（△ + □）= ○?△+○?□ （3）○ ↑↑↑↑↑↑↑←用多项式代替○ (b a+)?c+(b a+)d= a+)( c+ d)= (b ↑↑ 这是乘以这是这是乘以乘以

2、你找到计算多项式乘以多项式的方法了吗？试着把下列多项式乘以多项式的运算转化为单项式乘以多项式的运算。（1）) x+ -= = y ? (b ( ) a 3、为了让多项式乘以多项式计算过程更简洁，我们不需要把它转化为单项式乘以多项式的过程写出，那么你能归纳出多项式乘以多项式的法则吗？试用你的语言说说，再倒过来看看跟老师写的一样吗？数学语言表示为：环节三：例题讲解例. 计算：（1）)2 x (y y x- - 8 3(+ 1 )( +x x（2）) )( 巩固练习（1）)2 3 )( 2(n 2 3 m- x（3）) + n m (+ -a 4 -x a（2）)5 )( (+ 2 3 )( 环节四：典型例题讲解例2、化简求值：5 +x + x x - x，其中9 ( )4 )2 + )( 3 (- x. =

多项式除以多项式

多项式除以多项式教学目标： 1．会用竖式（长除法）计算多项式除以多项式； 2．对于余式为零的多项式的除法，会根据：被除式=除式商式，进行验算。 3．能根据被除式与除式的次数确定商的次数。 4．对于余式不为零的多项式的除法，会根据被除式=除式商式+余式，已知其中三个，求另一个。教学重点：用竖式（长除法）计算多项式除以多项式。教学难点：对于余式为零的多项式的除法，确定被除式中的字母。教学过程：一、引入计算：多位数除以多位数我们可以用竖式进行计算，同样我们也可以用竖式进行多项式除以多项式的计算。二、新课（一）教师通过举例介绍多项式除以多项式竖式计算的步骤及验算的方法。例1 计算我们在进行多项式的加减法、乘法时首先要做什么工作？将多项式按某个字母进行降幂排列。解：学生阅读书本p186多项式除以多项式竖式计算的步骤。提问：我们可以通过什么办法验算刚才计算的正确性呢？

根据被除式=除式商式，我们可以验算上面的例子。所得的积与原被除式相同，所以上面的除法计算是正确的。（二）例题巩固，运用新知例２用竖式计算并进行验算：（１）（２）说明：把被除式、除式都按某一字母降幂排列，当被除式有缺项时要留出空位。解：（１） ∴ （２）

验算略∴ 提问：上面的例子中，被除式是几次多项式，除式是几次多项式，商是几次多项式？商的次数与被除式、除式的次数有何关系？例３计算（１）（２）说明：在某些多项式的除法里，有时可以利用乘法公式，直接写出除法运算的结果。在多位数除以多位数中会出现有余数的情况，同样在多项式除以多项式中也会出现这种情况。多位数除法中余数小于除数，那么在多项式除法中，余数有什么要求呢？例４计算 ∴得商式，余式。余式的次数小于除式的次数。写出被除式、除式、商式、余数之间的关系式。被除式=除式商式+余式

初中数学多项式与多项式相乘教案

初中数学多项式与多项式相乘教案尊敬的各位评委、老师，大家好！今天我说课的题目是《多项式与多项式相乘》。 1、本节课的内容和地位课标要求：理解多项式与多项式相乘的法则,并运用法则进行准确运算。选用教材：选自华东师范大学出版社出版的《数学》八年级上册第十三章第3节。课题是《多项式与多项式相乘》，课时为1课时。主要内容：多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加教材地位：本课学习多项式与多项式相乘的法则，对学生初中阶段学好必备的基础知识与基本技能、解决实际问题起到基础作用，在提高学生的运算能力方面有重要的作用。同时，对平方差与完全平方公式的应用以及杨辉三角等后续教学内容起到奠基作用。 2、教学目标

知识与技能目标：理解并掌握多项式乘以多项式的法则，能够按步骤进行简单的多项式乘法的运算。过程与方法目标： 1、通过创设情景中的问题的探索，体验数学是一个充满观察、归纳的过程； 2、通过整体处理，再利用分配律的结果与几何图形面积的结果进行比较，培养学生从不同的角度思考数学的意识； 3、通过为学生提供自主练习的活动空间，提高学生的运算能力； 4、借助具体到一般的认知规律，培养学生探索问题的能力和创新的品质。情感、态度与价值观目标：学生通过主动参与探索法则和拓展探索等的学习活动，领悟转化思想，体会数学与生活的联系，感受数学的应用价值，从而激发学习数学的兴趣。

3、教学重点：多项式乘以多项式法则的理解和应用; 4、教学难点：将多项式与多项式的乘法转化为单项式与多项式的乘法，防止漏乘、重复乘和看错符号。本节课是在学习了“单项式与多项式相乘”的基础上进行的，学生已经掌握了“单项式与多项式相乘”的运算法则，因此没有把时间过多地放在复习旧知上，而是让学生亲身参加探索发现，从而获取新知。在法则的得出过程中，让学生在探索的过程中自己发现总结规律，提高了学生的积极性。在法则的应用这一环节选配一些变式练习，通过书上的基本练习达到训练双基的目的，通过变式练习达到发展智力、提高能力的目的。注重体现教师的导向作用和学生的主体地位。教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者，把教师的点拨和学生解决问题结合起来，为学生创设情境，从而不断激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生轻松愉快地学习。 1、自主学习归纳 2、小组讨论

《多项式除以单项式》教案

多项式除以单项式教学目标： 1．经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算； 2．理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力。教学重点：探索整式除法运算法则的过程及运用。教学难点：探索整式除法运算法则的过程教法：尝试练习法，讨论法，归纳法。教学过程：一、复习回顾 1．同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2．单项式与单项式相除的法则：单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。二、情境引入活动内容：你知道需要多少杯子吗？图（1）的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？（单位：cm ）通过一个生活中的应用问题，让学生进一步认识到数学和生活的关系，认识到了学习数学的重要性，并激发起学生学习数学的求知欲和好奇心。三、探究新知活动内容： 1.直接出示问题，由学生独立探究。计算下列各题，说说你的理由。 ) ,,,0(n m n m a a a a n m n m >≠=÷-且都是正整数（1 ）瓶 2 8 （2）杯子（1） –12a 5b 3c ÷(–4a 2b )= （2）(–5a 2b )2÷5a 3b 2 = （3）4(a +b )7 ÷2 1 (a +b )3 = （4）(–3a b 2c )3÷(–3a b 2c )2 =

2.总结探究方法方法1：利用乘除法的互逆方法2：类比有理数的除法 3.总结多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力。四、例题讲解例3 计算：通过学习例3，巩固多项式除以单项式法则，提高学生的计算能力，并且让学生归纳出多项式除以单项式要注意的几个点：（1）先定商的符号；（2）注意把除式(÷后的式子)添括号; 五、课堂练习活动内容： 1．想一想，下列计算正确吗？ = ÷-=÷+=÷+）（）（）（xy xy xy a ab b a d bd ad )2()3()3()2(1322)2(2)2()3(3)3(3)3()2()(1233222-=÷-∴-=?-+=÷+∴+=?++=÷+∴+=?+y xy xy xy xy xy xy y b ab a ab b a ab b a a b ab b a d bd ad bd ad d b a ）（）（）（ 02.302.0371 )14.021(7)14.021(=+=? +=÷+例如2 1 )2()2()3(31 )3()3()2(1 123322-=?-=÷-+=? +=÷++=? +=÷+y xy xy xy xy xy xy b ab a ab b a a ab b a b a d bd ad d bd ad ）（）（）（）类比得到（) 2 1 ()213()4() 3()69()3()3()61527()2()2()86()1(222223xy xy xy y x xy xy y x a a a a b b ab -÷+-÷-÷+-÷+

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