2.4向量的应用
2.4向量的应用
2.4.1向量在几何中的应用（缺解析几何中的应用）
教学目标
（一）知识与技能
通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；
（二）过程与方法
明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；
（三）情感态度与价值观
让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重点：
用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点：
如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程：
一、复习引入：
1. 两个向量的数量积：. cos |||| θb a b a =?
2. 平面两向量数量积的坐标表示: .2121y y x x b a +=?
3. 向量平行与垂直的判定:
.0//1221=-?y x y x b a .02121=+?⊥y y x x b a
4. 平面内两点间的距离公式： 2
21221)
()(||y y x x AB -+-=
5. 求模：
=
2
2y
x +=
2
21221)
()(y y x x -+-=
练习
教材P .106练习第1、2、3题.；教材P .107练习第1、2题.
二、讲解新课：
例1. 已知AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 为圆周角.求证：∠ABC ＝90o. 证明：设,OC a AO ==,b OB
==
,b a OB AO AB +=+=,b a BC -=
,
0)()(=-=-?+=?b a b a BC AB
,BC AB ⊥∴ o ABC 90=∠∴
例2. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证：AD，BE，CF相交于一点.
例 3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，AC-
=
AB
+
=
,
,AD
AB
DB
AD
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
思考1：
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例4．如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
三、课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.5.2向量在物理中的应用举例
教学目标
（一）知识与技能
通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；
（二）过程与方法
通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会
（三）情感态度与价值观
数学在现实生活中的作用.
教学重点：
运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.
教学难点：
将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
教学过程：
一、复习引入：
你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？
二、讲解新课：
1.力向量
例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？
探究1：
(1) 为何值时，|1F|最小，最小值是多少?
(2)| 1F|能等于|G|吗?为什么?
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.
2.速度向量
例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船
的速度|1v|＝10 km/h，水流速度|2v|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？
思考 1. “行驶最短航程”是什么意思？
2. 怎样才能使航程最短？
. ,
|,
2
3|
, 2
3
1)
,2
(
,
|,
|
,
)2
,1
(
),
1
,0(
),
,1( .3
2 1
2 1
2
1
2
1
2
1
的值
时，求
则当
处、
秒时分别在
在时刻
、
设
速度为
相同的方向做匀速运动
开始沿着与
从
另有一动点
速度为相同的方向做匀速运动
开始沿着与向量
从
今有动点
有两个向量例
t
Q
P
PQ
Q
P
t
Q
P
e
e
e e
Q
Q
e
e
e
e
P
P
e
e
⊥
=
+
+
-
-
+
+
-
=
=
向量的应用
6．向量的应用 一. 内容归纳 1. 知识精讲: 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决 诸如平面几何、解析几何等的问题. 2. 重点难点: 向量的性质及相关知识的综合应用. 3. 思维方式: 能换一个角度看问题，善于应用向量的有关性质解题. 4. 特别注意: 向量性质的应用要准确无误，不能想当然. 二．问题讨论： 例1.已知在△ABC 中，?=?=?，则O 为△ABC 的（ D ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 分析：AC OB ⊥?=?=-??=?0)(； 同理：BC OA AB OC ⊥⊥,。故选（D ） 练习：若O 是ABC ?内一点，=++，则O 是ABC ?的（ ） A ． 内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 （课本点击双基第1题） 练习：在△ABC 中，若 1 23?= ?=?，则A cos 等于 63 . 例2．已知,是两个非零向量，当)(R t t ∈+的模取最小值时，（1）求t 的值；（2）求证：)(t +⊥ （解题过程参考课本） 例3：如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是圆心，C 在MN 上，向量与的夹角为0 120，2=?QM QC ，（1）求⊙C 的方程；（2）求以M 、N 为焦点且过点P 、Q 的椭圆的方程。 （解题过程参考课本） 例4：（2002年高考天津）已知两点)0,1(),0,1(N M -，且点P 使PM MN ??,成公差小于0的等差数列.（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 的坐标为),(00y x ，记θ为与的夹角，求θtan . 解：(1)设),(y x P ，则)0,2(),,1(),,1(=--=---=MN y x PN y x PM ?,22x +=? 122-+=y x PM ,x 22-=?,由题设得
角函数与向量的基本概念及综合应用精选
湖南省省级示范性高中-------洞口三中 方锦昌 提供 一、 向量的基本概念： 1、 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量： 2、 向量的表示：→AB 、→a 、区别于|→AB|、|→a | 3、 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则 ★ 例题1、一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h ； 求船实际航行的速度大小和方向。（答案：4km/h ，方向与水流方向成60°角） ★【※题2】①设O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足→OP=→OA+(→AB+→ AC),∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( D ) A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 ②将上题中的条件改为→OP=→OA+( →AB |→AB| + → AC |→AC| )则应选( C ) ★ 例题3：（1）、化简下列各式：①→MN+→NM ；②→FD+→DE-→EF ；③→AB+→BC+→CA ；④（→AB-→DC ）+（→DA-→ CB ）其 中结果为0的有①③④ （ 2）、在平行四边形ABCD 中，→AB=→a ,DB=→b ,则有:→AD=→a -→b ,→AC=→a +→a -→ b 4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示： ① 注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式： 5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角： ★例1、已知平行四边形OADB 中，→OA=→a ,→OB=→b ,AB 与OD 相交于点C ，且|BM|= 1 3|BC|，|CN|=1 3 |CD|，用→a 、→b 表示→OM 、→ON 、和→MN 。 ★ 例2、求证；G 为△ABC 的重心的充要条件是：→GA+→GB+→ GC=0 ★例3、已知AD 、BE 分别是△ABC 的边BC 、AC 上的中线，→AD=→a ,→BE=→b ，则→ BC=____ ★ 例4、①已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若M,N,,P 三点共线，O 为坐标原点，且→ON=a 31→OM+a 2→ OP (直线MP 不过点O ），则S 32等于多少？ ②（2006年江西高考）已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若→OB=a 1→OA+a 200→ OC,且=A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ） A 100 B 101 C 200 D 201 ★例5、①若→a 的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则|→ a |=_____ ② 已知→a =(1,2),→b =(x,1),且→a +2→b 与2→a -→ b 平行，则x 之值为____ ③ 已知→a =(3,4),→a ⊥→b ,且→b 的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则→ b 等于_____
17、向量综合应用
17、向量的综合应用 1、 如何研究y Asin( x )性质： 2、 正余弦叠加公式 3、 二倍角公式 r r r r 4、 向量数量积的坐标表示：设 a (x 1, y-i ), b (x 2, y 2)，贝U a b _____________________ r 5、 如何求a (x,y)的模。 _______________________________ r _ _ 例 2：设向量 m (cos ,sin ) , n (2、, 2 sin ,2、、2 cos ), 的值(2) cos(—)的值. 12 17、向量的综合应用巩固拓展 1、已知 a (cosx,sin x),b (cosx 3sinx, 3cosx sinx), f(x) a b (1 )求 f (x)的解析式及其最小正周 期；(2)求f (x)的单调增区间. 例1:已知： a (、、3si nx,cosx),b (cos x,cos x) , f (x) 2a b 2m 1。(1)求 f (x)关于 x 的表达式，并求 6、双勾函数的性质: f(x)的最小正周期; ⑵若x [0,-]时f(x)的最小值为 5,求m 的值. (i )，若 m?n 1，求：(1) sin( ) 4 x (t 2)a (t 2 试求出函数k (J3, 5)b , f(t)在 t ( 1) ka (雳)(1)证 4b ,且x y ,试 2,2)上的最小值。 ⑵若存在实数k 和t ,满足 求出k 关于t 的关系式，即k f (t)；⑶根据⑵ 的结论,
uv v — 2、已知锐角厶 ABC 三个内角为 A 、B 、C,向量 p= (2- 2si nA,cosA+s inA )与向量 q = (s in A- cosA,1+si nA ) C - 3B 是共线向量?⑴求角A.⑵求函数y= 2sin 2B+cos 的最大值. 2 .亠=—> —> n n 3、已知向量 AB = (1 + tanx , 1 — tanx ), AC = (sin(x — sin(x + 4)) n uuiu n ，求|BC |的取值范围. 型1的最小值。 f(x) 1 5、二次函数 f (x)对任意 x R ，都有 f (1 x) f (1 x)成立，设向量 a ( sinx , 2), b (2sinx , — ) , c 2 (cos2x , 1) , d (1, 2),当 x [0, n 时，求不等式 f ( a b )> f ( c d )的解集。 a ( 1,2)，又点 A(8,0), B(n,t),C(ksin ,t)(0 uuu r uuu — uuu -)(1 )若 AB a,且| AB| , 5 | OA|，求向 uuiu _ 量OB ; (2)若向量AC 与向量a 共线，当k 4时，且tsin 取最大值为4时，求OA ? OC uuur uuu n (1)求证：AB 丄 AC (2)若 x € [ — 4, 4、已知函f(x)=kx+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点, AB 2i 2] ( i, j 分别是与x 轴和y 轴正半轴同 方向的单位向量) 2 ，函数g(x)= x — x — 6,(1)求k 、b 的值(2)求不等式 f(x)>g(x)的解集 M (3)当 x M 时，求函数 6、已知向量 uuur uurr uuuv
高中数学-空间向量及向量的应用
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：
2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F
平面向量及其应用综合练习题doc
一、多选题 1．若a →，b →，c → 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→ =，则a b →→ = B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→ = C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→ D ．若a b a b → → → → +=-，则a b →→ ⊥ 2．下列说法中正确的是（ ） A ．对于向量,,a b c ，有()() a b c a b c ??=?? B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底 C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件 D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则 0λμ+= 3．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23?? ??? B ．4,33?? ??? C ．()2,3 D ．8 ,33?? ??? 4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
2.5 平面向量应用举例(3课时)
第一课时 2.5.1 平面几何中的向量方法 教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则；会用向量知识解决几何问题；能通过向量运算研 究几何问题中点、线段、夹角之间的关系. 教学过程： 一、复习准备： 1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的? 2.讨论：① 若o 为ABC ?的重心，则OA +OB +OC =0； ②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |，则这个四边形为等腰梯形。类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? 二、讲授新课： 1.教学平面几何的向量： (1). 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行ABCD 中，设AB ＝，AD ＝， 则+=+= （平移） ，-=-=， 2 2 b AD ==（长度） ．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ (2). 讨论：①向量运算与几何中的结论“若b a =，则 =，且,所在直线平行或重合”相类比，你 有什么体会？ ②由学生举出几个具有线性运算的几何实例． (3). 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． ② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． ③ 把运算结果“翻译”成几何关系． 2.教学例题： ①例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 分析:由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积． ② 例2：如图，平行四边行ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC 之间的关系吗？ 分析：设,,,,n m ====分别 求向量,,即可。 ③ 例3、如图，在OBCA 中，b OB a OA ==,-=+，求证四边形OBCA 为矩形 分析：要证四边形OBCA 为矩形，只需证一角为直角． C F
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >
平面向量应用举例(教学案)
2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。
复习专题：平面向量及其应用
复习专题：平面向量及其运算 平面向量及其运算（一） 例题1 给出下列结论： ①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应； ③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数； ④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0。 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确； ②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确； ③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确。 故选：D 。 总结提升： 有关平面向量概念的注意点 （1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。 （2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关。 （3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。解题时，不要把它与函数图象的移动混淆。 （4）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小。 （5）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件。 例题2 如图所示，在中，分别是的中点， 2 ,,.3 AE AD AB a AC b 用表示； 【解析】 如图，延长到，使2,AG AD 连接，得到平行四边形。 ABC △D F ， BC AC ，a b ，，，，，AD AE AF BE BF AD G BG CG ， ABGC
2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用
2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝ 注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的
第4节 平面向量的综合应用
第4节 平面向量的综合应用 课标要求 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 【知识衍化体验】 知识梳理 1．向量与平面图形 （1）用向量解决的常见平面图形问题： 、 、 、 、 等问题 （2）用向量解决常见平面图形问题的步骤： 问题→ 问题→ →解决 问题→解决 问题 2．向量与解析几何 向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述，主要强调向量的坐标问题，用 来处理解析几何中的 ，结合直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答． 3．向量与物理学科 物理学中的 、 、 等可以抽象成数学中的向量，借助向量的运算可以解决物理中力的平衡、功的问题． 【微点提醒】 1．平面上三点A B C ，，，有A ，B ，C 三点共线()AB AC λλ?=∈R ； 平面上不共线四点A B C D ，，，，有()AB CD AB CD λλ?=∈R . 2．平面上四点A B C D ，，，，0AB CD AB CD ⊥??=；平面上三点O A B ，， ，向量OA ，OB 夹角的余弦值为|||| OA OB OA OB ??. 3．两点A B ，的距离||AB AB =. 4．三个力1F ，2F ，3F ，同时作用于某物体上一点，物体保持平衡?1230F F F ++=；物体从点A 移动到点B 的位移s AB =；一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W F s =?． 基础自测 疑误辨析 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． （1）若AB BC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （ ）
7.5 空间向量及其应用
§7.5空间向量及其应用1．空间向量的有关概念
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． 5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量． (3) 概念方法微思考
专题空间向量及应用(教师版)
专题17 空间向量及应用 ★★★高考在考什么 SA=SC=2 7行,M 、N 分别为AB 、SB 的中点。 (1) 证明：AC 丄SB; (2) 求二面角 N — CM — B 的大小； (3) 求点B 到平面CMN 的距离. 【专家解答】(1)取AC 中点0,连结OS 、OB. ?/ SA=SC , AB=BC ,??? AC 丄 SO 且 AC 丄 BO .' ???平面SAC 丄平面 ABC , ??? SO 丄面ABC , ??? SO 丄BO .如图建立空间直角 坐标系 (2, 0, 0), B (0, 243 , 0), 0 , 0), S (0 ,呼血),M(1, 43, 0), (—4 , 0 , 0), SB = (0 , 273, — 2 运), ?/ AC ?SB = (— 4 , 0 , 0) - (0 , 2^3, — 242 ) =0 , ??? AC 【考题回放】 1.在正方体 A i B i C i D i -ABCD 中，M 、N 分别是棱 线CM 与 D 1N 所成的角，则 1 2 A . - B.- 9 3 2 .直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中， 离是（C ） si n 等于 () 2^5 C. ------ 7 ACB=90 0 ,AC=AA A i A 和 B i B 的中点，若 0为直 9 1=a ,则点 A 到平面A 1BC 的距 A . a B.承 a 集整理勿做商业用途 3 .如图，正四面体 S-ABC 所成角的余弦值是（ V 3 A A. 3 整理勿做商业用途 4 .在正三棱锥P-ABC 若截面AMN 巧 A . 一 2 5 .在直三棱柱 中， ） C. 普a D . 73 a 个人收 D 为SC 的中点，贝U BD 与SA D 返个人收集 6 C M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点, 中， 丄侧面PBC , 则此三棱 锥的侧棱与底面所 成角的正 切值是（ 15 V o C. 一 D . 一 2 2 ABC-A 成300 角，则二面角 1B 1C 1 中，厶 BAC=90 0 , AB=BB 1=1 ,直线 BQ 与平面 ABC B-B 1C-A 的正弦值 並。 3 6 .在三棱锥S —ABC 中，△ ABC 是边长为4的正三角形，平面 SAC 丄平面ABC , ￡ O —xyz .贝U A C (— 2, ??? AC 1 B M N(0 , Y E ,(2 ).
向量与三角,不等式等知识综合应用
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 常熟市中学 蔡祖才 一、高考要求 平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读 考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力． 考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练 1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ） (A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0 2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32 π - ，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2 3．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为 ． 4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤ 2 π )的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN 与的夹角余弦值为 ． 四、典型例题 例1 已知a =ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ） (A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21= ω ( D) 3 2 =ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2 ,0(),1,(sin ),cos ,1(π θθθ∈B A ，则△OAB 的面 积达到最大值时，=θ （ ） (A) 6π (B) 4π (C) 3 π (D) 2 π 例3 设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋b )． 使不等式f (x )≥ 2 3 成立的x 的取值集合为 ．
8.6空间向量及其应用36
第六节 空间向量及其应用 考纲解读 1.空间向量及其运算. （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； （3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用. （1）理解直线的方向向量与平面的法向量； （2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理； （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究 立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些. 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时， 0AB =. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.
常考问题8平面向量的线性运算及综合应用
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用 [真题感悟] 1．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B → 同方向的单位向量为( )． A.? ????35，－45 B.? ????4 5 ，－35 C.? ????－35，45 D.? ?? ??－45，35 解析 A B → ＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →| ＝? ????35 ，－45. 答案 A 2．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →. 故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝1 2×5×25＝5. 答案 C 3．(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD → 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C. －322 D ．－3152 解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →在CD → 方向上的投 影为AB →·CD → |CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 答案 A 4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.
解析 因为向量a ，b 为单位向量，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝1 2，由b·c ＝0， 得∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝12t ＋(1－t )×12 ＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0.∴t ＝2. 答案 2 5．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC → ，且AP →⊥BC → ，则实数λ的值为________． 解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B → 2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×? ????－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案 7 12 [考题分析] 题型 选择题、填空题 难度 低档 考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等)． 中档 在平面几何中，求边长、夹角及数量积等． 高档 在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等. 1．向量的概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a |a |. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)若a ∥b ?a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ?a ·b ＝0；a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2 ＋y 2 . (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B → |＝ x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 .
平面向量应用举例
平面向量应用举例 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?= a b a b ． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 要点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 要点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式cos |||| θ?= a b a b ． 要点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 【典型例题】 类型一：向量在平面几何中的应用
5,向量综合应用(一)
实用文档 §5.3向量综合应用（一） 【复习目标】 1． 掌握线段的定比分点、中点坐标公式、平移公式的推导及简单应用； 2． 强化平面向量的工具意识，培养使用平面向量解决平几、解几、三角函数、物理学及某些应用问题的能力。 【课前预习】 1. 设线段MN 的端点M （x, 5）,N(－2, y), 点P （1，1）是直线MN 上的点且|MP |=2|NP |， 则点M 和N 的坐标分别是 . 2. 已知A （-1，-1），B （1，3），且C （x,5）在线段AB 的延长线上，若m =，则 m=__。 3. 函数y=log 2(2 x －1)+4的图象按向量a 平移得到y=log 2(2 x)的图象，则a = . 4. 按向量→a 将点)3,2(-平移到点)2,1(-，则按向量→ a 将点)3,2(-平移到 （ ） A ．)4,3(- B ．(1,2)- C ．)3,4(- D ．)1,2(- 5. 已知向量（ 2,0）OB =,向量(2,2)OC =, 向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围为 （ ） (A) [0,]4π (B) 5[,]412ππ (C) 5[,]122ππ (D) 5[,]1212ππ 【典型例题】 例1 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 边上，且||=||31CD ，AE ⊥BF.
实用文档 （1） 试用向量的方法证明：|BE |=||31BC ； （2） 若B （2，1），C （8，4），试求点E 的坐标. 例2 设向量0000(cos 23,cos 67),(cos 68,cos 22),()a b a tb t R μ===+∈ （1） 求a b ?； （2） 求||μ的最小值。 例3 已知A(2,0),B(0,2),C(cos ,sin )αα(0)απ<< （1） 若||7OA OC +=OB 与OC 的夹角； （2） 若AC BC ⊥,求cos2α的值。 【巩固练习】 1． 将函数22y x =的图象按向量(2,2)a =-平移，得到的图象解析式 是 。 A D B C F
(完整版)平面向量的综合应用
平面向量 1.D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD → 等于( ) A ．－BC →＋12BA → B ．－B C →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA → 2.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO → ，则λ＝________. 3.(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → 5.(2016·南京模拟)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP → ＝ 0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________． 6.(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB → ＋FC → ＝( ) A.BC → B.12AD → C.AD → D.12BC → 7.(2016·苏州模拟)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝1 2AB ，BE ＝2 3BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 8.设两个非零向量a 与b 不共线． ①若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD → ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； ②试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 9.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN → ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB → ，则λ