索洛模型

人口预测的最小二乘模型

实验24 人口预测的最小二乘模型 据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下： 表24-1 世界人口数据（单位：亿） 年1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数N 不是很大时，在不长的时期内，人口增长率与人口数N成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微分方程描述为 dN =(24.1) bN dt 其中，b为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得ln N = b t + a，即 =(24.2) ()a bt N t e+ 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达式中a和b均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为3.6974×10- 4 图24-1指数函数图形与原始数据散点图 为了计算方便，将上式两边同取对数，还原为ln N = a + b t，令 y = ln N或N = e y

- 160 - 第三章 综合实验 160 变换后的拟合函数为 y (t ) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数（y = ln N ）计算，得下表 表24-2 世界人口数据（单位：亿） 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1，2，……，9)可列出关于两个未知数a 、b 的9个方程的线性方程组 ????? ??? ?? ?? ???=+=+=+=+=+=+=+=+=+5505 .319685322.319675133.319664920.319654763.319644698.319634503.319624213.319613918.31960b a b a b a b a b a b a b a b a b a (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示 为 AU = f (24-5) 显然A 矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时乘以A 的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A ， b = A T f 。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解（广义解）。由于原方程组一般无解，将最小二乘解代入下式计算 R = f – A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的逼近程度。

关于索洛模型的深度解析

关于“新古典经济增长理论（索洛模型）”的理解 1/ 哈罗德与多马两位经济学者假定生产过程中的资本－产出比保持不变，从而得出经济系统不能自行趋于稳定的结论。但在二十世纪五十年代，托宾、索洛、斯旺和米德等人则分别证明，如果放弃资本－产出比保持不变的假定，也即假定资本与劳动之间完全可替代，则经济系统会自行趋于充分就业的均衡。这一结论与凯恩斯学派之前的古典学派的观点一致，所以西方经济学将这几位经济学家的相似论证统称为新 古 典经济增长理论。 我们用Y表示某经济系统的产出量，L表示该经济系统的劳动投入量，K表示该经济系统的资本投入 量，A表示该经济系统的技术水平，则经由柯布道格拉斯生产函数，我们有： 产出的增量（△Y）=资本的边际产量×资本投入的增量（△K）+劳动的边际产量×劳动投入的增量（△L）+技术水平的边际产量×技术进步的增量（△A） 在上式两边同除以产量Y，并在等号右边第一项的分子分母同乘以K、第二项的分子分母同乘以L，从而有： 经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 技术进 步率. 根据经济理论，当生产要素市场实现均衡的时候，生产要素的价格应该等于它的边际产量，因此，“资本投入的产出弹性”和“劳动投入的产出弹性”分别相当于资本和劳动这两种生产要素的所有者在国民收入中所享 有的份额。 例如，具体地假定某经济系统的（C－D）生产函数为Y=A(K^a)(L^(1-a))，其中，a为正参数（资本投入的产出弹性或资本生产要素在国民收入中所享有的份额）。显然，这是一个线性齐次生产函数，这意味着我们隐含地假定该经济系统正处于规模报酬不变的状态。我们对这个具体形式的生产函数先求自然对数、再求微分，最终可得：人均产出的增长率=人均资本存量的增长率×a+技术进步率。可见，人均经济增长率的高低取决于人均资本存量的增长率和技术进步的速度。现在假定经济系统已经处于均衡状态，即投资需求（I）=储蓄（S）。再假定储蓄函数为S=sY，并且假定不存在设备更新问题，则有S =I=△K=sY。 如果再假定技术水平不变，则根据“经济增长率=资本投入的产出弹性×资本投入的增长率+劳动投入的产出弹性×劳动投入的增长率+ 科学技术进步率”，有：经济增长率=a×资本投入的增长率+(1-a)×劳动投入的增长率。进而有：经济增长率=a(△K/K)+(1-a)×劳动投入的增长率；经济增长率=a(sY/K)+(1-a)×劳动投入的增长率。再考虑到资本投入的产出弹性a=(△Y/Y)/(△K/K)，因而有：经济增长率=s(△Y/△K)+(1-a)×劳动投入的增长率。上式中，(△Y/△K)相当于哈罗德模型中的资本－产出比（v）的倒数。可见，若再假定劳动投入的数量既定，则有：经济增长率=s(△Y/△K)=s/v。这一结果与哈罗德－多马模型的结论一致。 2/ 不过，新古典经济增长模型认为，产量与资本投入之间的技术关系，进而劳动投入的数量不会固定不变。这样一来，如果“经济增长率＞资本投入的增长率”，即产量的增长速度快于资本存量的增长速度，则说明资本的生产效率较高，这会刺激企业以资本替代劳动。这一过程的结果会导致资本的边际产量递减，伴随着劳动投入增长率的下降，最终经济增长的速度会趋于减缓。反之，如果“经济增长率<资本投入的增长率”，即产量的增长速度低于资本存量的增长速度，则说明资本的生产效率较低，这会刺激企业以劳动替代资本。这一过程的结果会导致资本的边际产量随着劳动投入增长率的提高而递增，最终经济增长的速度会趋于加速。可见，只有在“经济增长率=资本投入的增长率” 的时候，企业才不存在调整资本存量的意愿，从而劳动投入也会固定，从而生产要素投入的比例也就稳定下来。因此，当经济系统实现均衡的

数学建模人口模型

摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划

索洛模型应用

网游中的索洛增长模型 摘要 网游是游戏的一种，但其仍有极其符合科学的经济学系统，或者说正是由于网游有着科学的经济体系，游戏才能毫无差错的运营下去，虽然其中参杂了运营商盈利的目的。有人说：生活是一面镜子。有了现实中的经济学这门镜子，我们才能认清网游中打怪升级的本质，才能不一昧沉迷于它。理性的看待任何问题，我想这是经济学给我们带来的启示。 关键词：网游，索洛增长模型 引言 自从2001年的“传奇”以来，网游行业迅速发展。直至如今，已经形成了可谓之百花齐放的盛况。而网游的本质，是玩家与玩家之间的互动。常言道：有人的地方就有经济学。网游作为一个人与人之间的社交平台，必定也存在着各类的经济学现象。现象虽然各不相同，但究其本质，却毫无例外。现在，我将来探讨一下网络游戏中的索洛增长模型。 网游中的索洛增长模型 首先来讨论一个较为简单的情况，假设有一个网游，名字为A。在我们的假设中，我们先将其设定为一个封闭且固定的游戏，即玩家或其他外部力量不能对其进行经济上干预（如点卡充值等）且玩家不会升级且没有新玩家加入的游戏（类似于课本中的封闭模型）。 其次，定义网络游戏中的几个行为。众所周知，网游中没有类似于工作的行为，玩家获得金币（即货币）的手段暂定为刷怪，即收入源自于刷怪。而刷怪中所获得的收益又可以分为两部分，其一，玩家刷怪时付出的肉体和精神上的劳动，与我们所学公式中的L相对应；其二，玩家刷怪所持装备和自身技能对于刷怪所付出的劳动，对应我们所学公式中的K。 当玩家刷怪完后，玩家会获得自己金币上的收入，对应我们所学公式中的Y。对于这部分收入，玩家将有两个选择，储蓄与消费，分别对应我们所学公式中的S与C。储蓄即为将所得金币购买装备或暂时不用，消费即为将金币用于购买消耗性物品或者用于其他娱乐项目，这其中，用于购买装备所花费的资金我们称之为投资，用于对应公式中的I。 在大部分网游中，对于装备都有一个耐久度的设定，即装备在用到一定次数之后就会损毁，此时只能对其进行维修或者购置新的装备，总之得花钱。而耐久度这一参数衍生出来的折损率我们对应公式中的&。 在介绍完了各个参数之后，对他们进行分析。由于我们分析的是该网游总体的经济状况，因此我们将以上参数全部转化为人均值，即y,k,s,c,i.于是依照书上的公式，我们最后可以得出结论，在 sf(k)=&k 时，玩家的k达到最大。 上面的公式得出的结论：当玩家刷怪刷到一定程度，装备发展到一个适当的阶段时，玩家将不再能进行装备更新。因为根据公式，在L不变时，这个阶段的I与&k是相等的。

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指数函数的数据拟合 世界人口预测问题 下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿) 有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过60亿。这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。 根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 精品文档，下载后可编辑

精品文档，下载后可编辑 rt e y y 0= 其中t 表示经过的时间， 0y 表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。 表3是1950～1959年我国的人口数据资料： (1)如果以各年人口增长平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 解：设1951~1959年的人口增长率分别为 于是, 1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为 129r ,r ,......,r .155196(1)56300,1951, r +=≈≈≈≈≈≈≈≈≈1 2 34 5 678 9 可得年的人口增长率r 0.0200.同理可得r 0.0210,r 0.0229,r 0.0250,r 0.0197,r 0.0223,r 0.0276,r 0.0222,r 0.0184. 55196,1950~1959y =令则我国在年期间的人口增长模型为

考虑年龄结构的人口模型

考虑年龄结构的人口模型（Leslie 模型） 对Logistic 模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic 模型中反映出来。基于这一事实，Leslie 在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。 由于男、女性人口（或雌、雄性个体）通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。将女性按年龄划分成m +1个组，即0,1,…,m 组，例如，可5岁（或10岁）一组划分。将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年（或10年）为一个时段。记j 时段年龄在i 组中的女性人数为N （i ,j ），b i 为i 组每一妇女在一个时段中生育女孩的平均数，i p 为i 组女性存活一时段到下一时段升入i +1组的人数所占的比例（即死亡率d i =1-i p ）同时假设没有人能活到超过m 组的年龄。实际上可以这样来理解这一假设，少量活到超过m 组的妇女（老寿星）人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b i 、i p 不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b i 、i p 事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。 根据以上假设可以得出以下j +1时段各组人数与j 时段各组人数之间的转换关系： ?????? ?-=+=++++=+-) ,1()1,(),0()1,1(),(),0(),0()1,0(10 10j m N p j m N j N p j N j m N b j N b j N b j N m m 显然，0,≥i j p b 。 简记??????????=),(),0(j m N j N N j ， ?? ?? ? ?????++=+)1,()1,0(1j m N j N N j 并引入矩阵 ??????? ?????????=--00 000 00 01 101 10 m m m p p p b b b b A 则方程组（4.28）可简写成

第11章 新古典增长理论-索洛模型(讲义版)

第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3） 本次授课框架： 总结波动理论，引出增长理论。 增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余） （1） 增长方程推导（总量形式），假设条件 （2） 人均形式生产函数 （3） 总量与人均量之间的关系 索洛稳态方程推导过程 （1） 索洛稳态定义 （2） 根据均衡条件的推导 （3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件） （4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析 （1） 储蓄率增加情况 （2） 人口增长率增加情况 总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论） 新古典增长理论评价 一、增长方程推导 假设生产函数： N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A Y Y N K AF Y ???*+???* +?=?=),(),(),(),() ,( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。根据欧拉定理： 1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。

总量表达式2 N N K K A A Y Y N K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ?-+?+?=?-=??*=??* )1(1),(),() ,() ,(θθθθ 总量与人均量的关系 N N k k K K N N y y Y Y ?+?=??+?=? 人均量表达式 k k A A y y ?+?=?θ 索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。在大部分历史中，两个重要的要素，当推资本积累3（实物与人力）与技术进步。我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。 索洛剩余 产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分，可以理解为技术进步（A A ?）带来的增长。A 4有时也被称作“全要素生产率”（TFP ），这是一个比“技术进步”更为中性的术语。实证研究表明： 技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。由于产出和劳动、资 本投入可以直接观察到，而A 却不能，经济学家测量“索洛剩余” A 利用：])1[(K K N N Y Y A A ?+?--?=?θθ 二、稳态分析 2 在发达国家如美国，资本的收入份额θ是0.25，劳动的收入份额θ-1是0.75。这意味着，资本年增长率如果为3个百分点，导致产出增长率还不到1个百分点。 3 如果将资本进一步细化为实物资本和人力资本（H ），生产函数将转化为：),,(N H K AF Y =。曼昆、罗默等一篇颇有影响的文章指出，生产函数中实物资本K 、非熟练劳动力N 和人力资本H 的要素份额各占1/3。 4 A 被定义为“全要素生产率”的说法，只是针对),(N K AF Y =这种生产函数形式的，这种技术进步 类型在历史上也被称作“hicks-neutral ”（希克斯中性）；如果生产函数形式为),(AN K F Y =，这是的技术进步被称作劳动增广型（labor-augmenting ）技术进步或“harrod-neutral ”（哈罗德中性）。如果采用这种生产函数形式，也可以推导出类似的增长方程以及索洛稳态方程。

索罗增长模型

第一章索洛经济增长模型 The Solow Growth Model

基本内容 1 索洛模型的基本假定 2 离散时间的索洛模型 3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型 5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长 7带技术进步的索洛模型 8比较动态分析

1 索洛模型的基本假定 ● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架. ● 其核心假定是新古典总的生产函数. 家庭与生产 I ● 封闭经济,唯一的最终产品. ● 离散时间，t = 0, 1, 2, .... ● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为. ● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别. ● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示. 家庭与生产II

● 假定家庭的储蓄率外生 ● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表 示. ● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为 (1) Y T F K t L t A t ()[(),(),()] ●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多 的产品. ●() A t可以理解为技术. ●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.

关键假设1 Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规 模报酬不变) 生产函数3 :F R R + +→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足 22 22()()(,,)0 (,,)0()() (,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ????≡ >≡>??????≡<≡

人口指数增长模型

《数学模型》实验报告 实验名称：如何预报人口的增长成绩：___________ 实验日期： 2009 年 4 月 22 日 实验报告日期： 2009 年 4 月 26 日 一、实验目的 预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。 二、实验内容 根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数增长模型。利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数，记t=0时人口为x0,人口增长率为常数r, 变有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp(rt)。 三、实验环境 MATLAB6.5 四、实验步骤 为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt), lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,所以可得y= rt+a。 根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算结果 之间的图形，看结果如何。 利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下： t=linspace(0,11,12); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2))

plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 利用1790-2000年的数据进行试验，程序如下： t=linspace(0,21,22); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106 .5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2)) plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 五、实验结果 以1790年至1900年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884，下图为拟合的图象: 以1790年至2000年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2022/10年，x0=6.0450,下图为拟合的图象:

数学建模 之 人口模型

数学建模 ———关于人口增长的模型

摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首 先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。 一、 问题的提出： 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百 模型一（指数增长模型） 1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。 附图A

2、基本假设：人口的增长率是常数 增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。 故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。 设人口增长率为常数r 。时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O 由假设，对任意△t>0 ，有 )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数 当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即： o t →?lim )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 引入微分方程： )1( )0()(0 ??? ??==x x t rx dt dx 3、模型求解： 从（1）得 rdt x dx = 两边求不定积分： c rt x +=ln ∵t=0时0x x =，∴C x =0 ln rt e x rt x x 00ln ln ln =+= ∴rt e x t x 0 )(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长. 备注； r 的确定方法： 要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33 .5==r ,359.1307.0=e ,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(?= 4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):

罗默《高级宏观经济学》第课后习题详解第章索洛增长模型

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 1.1 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则 （b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t Y t =，则 （c ）如果()()Z t X t α =，则()()()()//Z t Z t X t X t α= 证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（a ）的结果。 （b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式： 再简化为下面的结果: 则得到（b ）的结果。 （c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 又由于()()ln ln X t X t αα??=??，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。 1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。 （a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 （b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。 答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 （b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即： 因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >），

索洛经济增长模型概述

索洛经济增长模型概述 索洛经济增长模型（Solow Growth Model）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。 正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（Robert M·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。[1] [编辑] 索洛模型变量 ?外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率 ?内生变量：投资

[编辑] 索洛模型的数学公式 [编辑] 模型的基本假定[1]

索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。 索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。 索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。 该模型的假设条件包括： 1.只生产一种产品，此产品既可用于消费也可用于投资。 2.产出是一种资本折旧后的净产出，即该模型考虑资本折旧。 3.规模报酬不变，即生产函数是一阶齐次关系式。 4.两种生产要素（劳动力和资本）按其边际实物生产力付酬。 5.价格和工资是可变的。 6.劳动力永远是充分就业的。 7.劳动力与资本可相互替代。 8.存在技术进步。 在这些条件下，索洛建立的模型向人们显示出：在技术系数可变的情况下，人均资本量具有随时间推移而向均衡状态的人均资本量自行调整的倾向（图一，k1与k2逐渐趋向ko），即，当人均资本量大于其均衡状态时（k2），人均资本量会有逐渐减小的趋势，即资本的增加就会比劳动力的增加慢得多；反之，亦然。索洛是人均资本量入手集中分析均衡（即稳定状态）增长路径的。 [编辑] 模型的基本框架[1] 索洛把经济中的全部产出看成仅仅是一种产品的产出。其每年生产量用Y(t)表示，代表社会的实际收入，其中一部分被消费掉，其余部分用于储蓄和投资。用于储蓄的占总产品比例s固定

Logistic人口阻滞增长模型

Logistic 人口阻滞增长模型 一、模型的准备 阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即 增长率0)(=m x r ，代入（2）式得m x r s =，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -=???????????? ?（3） 将（3）代入方程（1）得： ?????=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m ???? ??? ???（4） 解方程（4）可得： rt m m e x x x t x --+= )1(1)(0 （5） 二、模型的建立 我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1

1、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab 编程得到相关的参数-0.0336,180.9871 ==r x m ，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）： 由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线： t e t x 0336.0.0)12 .609871.180(19871 .180)(--+= （6） 根据曲线（6）我们可以对2010年（56=t ）、2020年（66=t ）、及2033年（79=t ） 进行预测得（单位：千万）： 结果分析：从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布， 程序： 结果： 2、 将1963年看成初始时刻即0=t ，以2005年为32=t 作为终时刻。运用Matlab 编程得到相关的参数0.0484 ,151.4513 ==r x m ，可以算出可决系数9994.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线： t e t x 0484.0)11 .694513.151(14513 .151)(--+= （7） 根据曲线（7）我们可以对2010年（47=t ）、2020年（57=t ）、及2033年（70=t ） 进行预测得（单位：千万）： 结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布，因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。 程序： 结果： 3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab 编程得到相关的参数0.0477 ,153.5351 ==r x m ，可以算出可决系数9987.02=R 得到中国各年份人 口变化趋势的第三条拟合曲线：

人口增长模型的确定

人口增长模型的确定 Prepared on 22 November 2020

题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测

一、问题重述 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想

到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0) 起始年人口容纳量 N(t) t年后人口容纳量 t 年份 r 增长率 五、模型建立 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。

索洛模型推导

索洛模型描述的是资本、技术水平、储蓄、劳动与经济增长之间的关系。要推导索洛模型，首先来看经典的经济增长理论。 生产函数： ),(L K F A Y ?= (1) Y=实际GDP 产出 A=技术水平 K=资本存量 L=劳动力 总产出的变动可以分解成技术水平、资本、劳动三种要素的变动，故得到实际GDP 的增长率： )()(L L K K A A Y Y ?+?+?=?βα (2) 经典的增长理论假设技术水平A 已经给定，要素的边际产量递减且规模报酬为零，故(2)式可以变为： )()1()(L L K K Y Y ???+??=?αα (3) 现在来推导索洛模型。索洛模型研究的是每个工人的实际GDP （L Y y =）和每个工人的资本(L K k =)之间的关系。 将y 对Y 和L 进行全微分之后可以得到以下公式： L L Y Y y y ???=? (4) 即：每个工人的实际GDP 增长率=实际GDP 增长率—劳动增长率 同理可得： L L K K k k ???=? (5) 即：每个工人的实际GDP 增长率=资本增长率—劳动增长率 由(3)式可得： )(L L K K L L Y Y ???=???α (6) 把(4)式、（5）代入得： )(k k y y ?=?α (7) 至此，我们可以得出结论：在技术水平外生给定的条件下，每个工人的实际GDP 增长率取决于平均资本增长率。 下面再来推导决定每个工人的实际GDP 增长率的两个条件——实际GDP 增长率K K ?和劳动增长率L L ?。 我们在国民收入核算中学过，国内生产净值(NDP)等于GDP 减去资本存量的折旧。而国民收入等于国内生产净值，它又流向了两个方向：消费C 和实际储蓄。写成方程即：

第一章-索洛增长模型

第一章 索洛增长模型 一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件 该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。理解该模型实质上便是理解增长理论。但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。（按边际产品取得收益的传统途径）。 ()((),()())Y t F K t A t L t = 假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =?≥；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。 规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析： 当11/,(,)(,)( ,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==?=，其中， K AL 是单位有效劳动的资本量，1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。 定义K k AL =，/y Y AL =，及(,1)y F k =()y f k ?=，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。 [人均收入：/(/)()Y L A Y AL Af k ==] 紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =，' ()0f k >，'' ()0f k <。因为： '(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =???='()f k = '()0f k >，''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资 本量的增加而下降。另()f ?被假设满足稻田条件：'' 0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=， 其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。，它是确保经济的路径并不发散。 （举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义） 二、生产投入的时间变化描述 资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长： ()()L t nL t ?=，()()A t gA t ? =（n 与g 是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一 个导数，()()/L t dL t dt ? =，为变量的变化率。而变量的增长率指其变化的速率，它等于其 自然对数的变化率，如，ln ()()1ln ()/()()() d L t dL t n d L t dt L t dL t dt L t ? == =。ln ()ln (0)L t L nt ?=+

美国人口增长预测模型

2016年数学建模论文 第一套 论文题目：人口增长模型的确定 组别：第35组 姓名：耿晨闫思娜王强 提交日期：2016年7月4日

题目：美国人口增长预测模型 摘要 本文根据近两个世纪美国每十年一次的人口统计数据，建立了指数增长模型，即Malthus模型，并通过1790-1890年的数据验证了它的准确性。但是，随着时间的推移，拟合函数与统计数据误差逐渐增大，所以，又建立了阻滞增长模型，即Logistic 模型，这个模型的拟合函数与统计数据误差较小，并用该模型对美国未来几年的人口做出了预测。总体来说，阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：指数增长模型，阻滞增长模型，人口预测

一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1：人口记录表 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 影响人口增长的因素很多，其中最主要的两个因素是出生率和死亡率。出生率受到婴儿死亡率、对避孕的态度及措施效果、对堕胎的态度、怀孕期间的健康护理等因素的影响；死亡率则受到卫生设施与公共卫生状况、战争、污染、医疗水平、饮食习惯、心理压力和焦虑等因素的影响。此外，影响人口在一个地区增长的因素还有迁入和迁出、生存空间的限制、水和食物、疾病等。在这些因素中，有些是常态的或者有规律的，这些因素对人口的增长是恒定的；而有些因素是随机的，对人口的增长是没有规律的。因此，当大范围、长时期研究人口增长问题时，对人口增长产生影响的随机因素就不在考虑了。 建立该模型的目的是要能通过模型预测美国后来每十年的人口数具体变化，并与实际的数据进行对比，看误差的大小。在此基础上利用改进的模型对美国人口同时期数量进行预测，并进行总结分析。 三、问题假设 人口指数增长模型中采用以下基本假设： （1）单位时间的人口总量增长与当时的人口呈正比，比例常数为k； （2）假设t时刻的人口为N(t)，因为人口数一般是很大的，所以将N(t)近似地视为连续，可微的函数。记初始时刻（t=0）的人口数为N0。新生人口数百分率为a，死亡的百分率为b，那么,经过Δt时间后，人口数量为N（t+Δt）就是原来人口数量加上Δt时间内新生人口数减去死亡人口数。 四、变量说明