数学例题教学要做好“五讲”-2019年文档
数学例题教学要做好“五讲”
数学例题是数学基础知识、基本技能、基本方法、基本思想等的承载体，具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练和文化育人等功能. [1]其教学的实质就是充分发挥例题的功能，让学生领悟它所承载的信息，并通过例题的解决积累活动经验. 而要充分发挥数学例题的功能，应做到“三好”：选好、讲好、用好. 其中，“选好”是关键、“讲好”是根本、“用好”是归宿. [2]显然，三者之间“选好”是“讲好”的前提，“讲好”是“用好”的核心，是整个课堂教学的根本. 由此知道在选好例题的基础上，“讲好”是多么重要. 下面用一道高中数学课本上的例题来谈谈怎样讲好例题，仅供参考.
例题（人教版选修2-1第41页例2）如图1，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作轴x的垂线段PD，D为垂足. 当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
背景：本例安排在课本上的“椭圆及其标准方程”一节，前一例是用椭圆的定义和待定系数法求解椭圆的标准方程. 本例
继续探讨求椭圆的标准方程和椭圆与圆之间的关系.
一、讲“到”目标
每一个数学例题在选取或设计时都应有与其功能相匹配的
目标游离于既定教学目标之外的例题教学是不可取的. 因此，教师讲好例题要紧扣目标. 有些例题的目标是显性的，但有些例题
的目标是隐性的，并不清楚或明显，需要教师给予解读，将隐性目标显性化，最好就是对目标给予说明，这样学生就会有针对性和重点地参与例题的教学. 对例题目标给予说明往往在展示例
题之时，并且很简短. 教师的语言类似于如下：接下来，为了……，我们一起来看这样一个问题；下面，我们一起来解决这些例题，通过这些例题，同学们要理解（掌握）……由此看出，教师对例题的目标的“讲到”，并非多讲，只需点到、提到即可.
【案例片段1】
师：同学们，通过例1我们知道了求椭圆的标准方程的关键是要求a，b，c三者之二，一般采用待定系数法来求.但是，有
些情形我们并不知道所求的曲线方程就是椭圆的方程，就不能用这种方法.此时，我们就要先求出曲线方程，如果能化为椭圆的
标准方程，那么我们可以再来断定这个曲线就是椭圆，下面，我们来看看这样的情形.
（展示新例题，开展本例教学）
点评：在总结上例的基础上，教师讲到了学习下例的目标，自然过渡到了下例的学习.学生对接下来要做的事情有方向感，
会自觉地关注求曲线的方程的方法和进一步认识椭圆的标准方程.
二、讲“清”题意
顺利解决例题的第一步是理清题意，即通常所说的审题. 通常的时机就是在给出例题之后的最短时间内，教师要面对全体，
引导学生思考并讲清题意. 这里的“讲”就包括教师的“讲”
和学生的“讲”，而所谓“清”，即清楚、清晰而不含混. 讲清的要点包含：（1）题目的条件是什么，一共有几个，其数学含
义如何；（2）题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何；（3）题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的
结构. [3]
【案例片段2】
教师引导学生讲清例题题意：
师：同学们首先看看这道例题的内容. 都来说说已知条件有几个？哪几个？所求结论是什么？
生：例中已知条件有4个，分别是：圆的方程x2+y2=4；点P在圆上，且为动点；线段PD垂直于x轴；M是线段PD的中点.
（在学生讲已知条件的过程中，教师辅以几何画板作图，呈现图形的构成过程）
生：所求的是“当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的
轨迹是什么？为什么？”
师：如果求出了点M的轨迹方程，那么能不能得到结论？
生：能.
师：“点M的轨迹是什么”和“为什么”，这两个问题的本质是一个，即按照严格的方法，求出点M的轨迹方程，根据方程判断轨迹. 根据图形，同学们能不能猜猜点M的轨迹是什么呢？
生：是椭圆. （教师通过几何画板动画演示，发现点的轨迹
就是椭圆）
师：点M的轨迹就是椭圆. 但是为什么是椭圆呢？我们必须要严格地推证它是椭圆. 因此，需要求出该曲线的方程，并判断它是否是椭圆的标准方程，对吧？那么，所求的曲线的方程跟已知条件有什么联系呢？
生：点M的运动由点P引起的，点M的坐标由点P和点D决定，点P的坐标关系满足圆的方程.
师：对，这三点非常重要，要求点M的轨迹还得从这三个条件出发.
点评：片段中教师引导学生从三个要点（“已知条件”、“所求结论”、“条件与结论的联系”）初步分析清楚了题意，为具体求解过程奠定了基础. 其间，学生也猜想出了点M的轨迹是椭圆. 为了便于学生把握题目的实质，揭示相关题目的解题规律，有时通过改变呈现方式来讲“清”题意[4]，这一点很重要. 教师借助几何画板工具将点P，M，D动起来，很容易验证了学生的猜想，为学生认识椭圆与圆之间的关系建立了感性基础.
三、讲“出”方法
在例题的教学中，找出问题解决的方法是关键，然而找方法的过程非常艺术化. 教师首先要听学生的讲，然后才是讲给学生听. 在教师与学生的“听”、“讲”交替过程中，方法得以呈现.一般来讲，教师对方法的“讲”主要是对学生的“启”和“导”，即采用启发性和引导性的语言，讲出学生的后续之音、
弦外之音和合理之言，而学生的“讲”包括讲出思考中的困惑，
讲出错误处的原因，讲出精彩点的道理.这里讲“出”方法就是
要将方法呈现、凸现，讲到位.
【案例片段3】
师：我们怎么来求点M的轨迹方程呢？
生1：用前边学的“求曲线的方程”的步骤.
师：主要有哪些步骤呢？
生1：“建”（建立坐标系）、“设”（设定点坐标）、“限”（限制条件列式）、“代”（代入式子）、“化”（化简方程）. 师：本题中又如何应用呢？
生1：坐标系已有了，不用建，点M的坐标可以假设为（x，y），现在主要看后三步.
生2：用点M坐标满足的条件是“M是线段PD的中点”，用
它列出式子.
师：对，用我们刚才分析的已知条件.列出什么式子呢？
生2：用中点公式，好像没有直接的……不好表达.
师：有式子，但是还要进行处理，可以把点P的坐标假设出
来吗？
……
点评：此处已能看出，本题求解的方法已非常明确，学生很
容易想起求曲线“建”、“设”、“限”、“代”、“化”的步骤，说明学生在解题的方法上有基本认识，关键就是如何应用了.
四、讲“通”思路
学生对例题的理解除了方法外，更为细致的是疏通解决问题的思路. 而这一点正是学生实现知识生长、能力提升的关键点. 当学生的解题思路出现各种问题时，教师要不失时机地把握关键点来讲解，使之畅通. 一般来讲，学生思路匮乏时教师要“引”，学生思路混杂时教师要“理”，学生思路受阻时教师要“疏”，学生思路短缺时教师要“续”，学生思路狭窄时教师要“拓”，当学生思路绕弯时教师要“改”.
在案例片段3中，生2的思路略微受阻，教师可以继续引导生2，可以请其他学生来解决，也可以由教师自己来讲.
【案例片段4】
师：假设点P的坐标为（x0，y0），现在点M的坐标满足的关系式能写出来了吗？
生：能.
（学生写出：x=x0，y=）.
师：但是现在点P的坐标包含有x0，y0两个未知变量. 求的方程中能有这两个变量吗？
生：不能，要消去.
师：怎么消？
生：点P在圆上，代入方程x2+y2=4.
师：很好，这样就能求出点M的轨迹方程了. 我再请一个同学来把整个题的思路讲一下.
生：首先，按照步骤，把点M和P的坐标假设出来，然后利用中点公式写出点M和P的关系式，接着把利用点P的坐标满足圆的方程建立方程，最后化简.
师：说得很好，现在，按照刚才的思路，我们一起来写出求解过程.
……
点评：本例的思路因有“求曲线的方程”的步骤这个“路标”指引而较为畅通，教师要做的就是引导学生讲出“路标”，把各个路标所指的内容串联起来.
五、讲“明”收获
例题教学中不可忽视的一个过程就是反思评价. 在这个过程中教师或学生一定要讲明收获. 这个收获包括与目标对应的预期收获，也包含生成性的意外收获. 这些收获中可能有知识、方法、技巧、经验、情感等中的某些方面. 值得一提的是，我们有时可能并没有获得什么明显的东西，仅仅是一种体验，但它也是教学中的一种经验或情感类营养成分；有时例题中发现的新问题并没有彻底解决，为后续的学习播下一粒“种子”，这也是很有价值的收获.
【案例片段5】
师：刚才，我们求出了点M的轨迹方程，点M的轨迹是一个椭圆. 求曲线的方程的步骤还管用吧！大家要注意当所求动点的坐标不能直接建立关系式时，要尝试找中间变量搭桥，比如这里
点P的坐标x0，y0就是中间变量（参数），然后利用中间变量满足的条件再代入另一个关系式达到消参的目的，从而得到所求的轨迹方程.这是解析几何中常用的一种方法.
师：通过刚才的例2，大家发现椭圆与圆之间有什么关系吗？请你们尝试把点M为线段PD的中点改成分点或其他比例的分点，点M的轨迹又是如何呢？（如图2，教师利用几何画板动画演示，得出结论. 略）
点评：教师通过本例强化了求曲线方程的步骤，加深了椭圆的标准方程的认识. 在达到本例的基本目标后再以此例为切入
点实施变式探究，探索出椭圆与圆的关系，这也是本例的一个重要收获.
讲好数学例题的关键在于恰当地调控好“讲什么？”“谁
来讲？”“何时讲？”“怎么讲？”几个问题. 如果我们把握
好了例题讲的内容、讲的主体、讲的时机和讲的技巧，将教师单方面的“讲”变成教师与学生之间对话性的“讲”，那么这种“讲”的普通“招式”同样也是“绝招”，照样能充分发挥例题的功效，有效推进教学. 因此，在例题教学中没必要去刻意追求各种教育理念“冲击”下多种高效教学方式的“变”用，而是应该多一份心思留意于某些教学方式的“活”用.