最近三年数学选做题理科
最近三年数学选做题理
科
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选修4－4：坐标系与参数方程
1.（2016年全国I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.
（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
2.（2016年全国II）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22
(6)25
x y
++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是
cos
sin
x t
y t
α
α
=
?
?
=
?
（t为参数）, l与C交于,A B两点，
||10
AB=，求l的斜率．
3、（2014 辽宁理 23）（分10分）将圆221
x y
+=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；（2）设直线:220
l x y
+-=与C的交点为12
P P，以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段
12
P P的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
4、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为???
????=+=t y t x 23211
（t 为参数）椭圆C 的参数方程为??
?==θ
θ
sin 2cos y x （θ为参数）.设直线l 与椭圆C
相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. .
选修4－4：坐标系与参数方程答案
1.解：⑴
cos 1sin x a t
y a t
=??
=+? （t 均为参数）∴()2221x y a +-= ①
∴1C 为以()01，
为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵
24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθ
ρρθ==+=，
224x y x ∴+=即()2
224x y -+=
②
3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C
①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=∴1a = 2.解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，
由222cos sin x y x y ρρθρθ?=+?=??=?
可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．
⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，
由垂径定理及点到直线距离公式知：
2
2
6102521k
k ??
-=- ? ?+??，
即22369014
k k =
+，整理得2
53k =，则153k =±．
3.
4.解：椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232
x t y t
?
=+??
??=??，代入
2
214y
x +
=，得223(
)
12(1)12
4t t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167
t =-.
所以1216
||7AB t t =-=
5.（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极
坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224
ρθπ
+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求∣PQ ∣的最小值及此时P 的直角坐标.
6.（7分）已知直线l 的参数方程为24x a t
y t
=-??
=-?（t 为参数），圆C 的参数方程为
?
?
?==θθ
sin 4cos 4y x ，（θ为常数）. （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.
7．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为1222
x t y t ?
=-??
?
?=+??
（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
8.
9.（2014 新课标1理23）（10分）已知曲线C ：22
149
x y +=，直线l ：
222x t
y t
=+??
=-?（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30?的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
10.（2014 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2θπ??
∈????
.
（1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线
:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
[选修4-5：不等式选讲]
1.（15年福建理科）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c 的最小值为4．
(Ⅰ)求a b c 的值；(Ⅱ)求2
22
114
9
a b c 的最小值． 2.（15年新课标2理科）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：
（1）若ab > cd
2）是||||a b c d -<-的充要条件。
3.（2014 辽宁理）（10分） 设函数()211f x x x =-+-，()21681g x x x =-+，记1)(≥x f 的解集为M ，4)(≤x g 的解集为N . （1）求M ； （2）当x M
N ∈时，证明：[]4
1)()(2
2≥
+x f x x f x . 4.（15年陕西理科）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．
（I ）求实数a ，b 的值； （II
5.（10分）已知函数()|2|f x x a a =-+ （I ）当a ＝2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（II ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，f （x ）＋g （x ）≥3，求a 的取值范围. 6..（7分）已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a .
（1）求a 的值；（2）若r q p ，，
为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .
7．9.（2014 新课标1）（10分） 若0a >，0b >，且ab b
a
=+11.
（1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得632=+b a 并说明理由. （10分）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++．
8..
1.【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87
．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得()||||f x x a x b c 的最小值为
|a |b c ，故|a |4b c ，即a b c 4 ；(Ⅱ)利用柯西不等式2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++≥++求解．
试题解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c
当且仅当a x b 时，等号成立
又0,0a b ，所以|a b |a b ,所以(x)f 的最小值为a b c ,
所以a b c 4．
(Ⅱ)由(1)知a b c 4，由柯西不等式得
2
2
22211491
2+3+11649
23
a b
a b c c a b c
,
即2
221
18497
a b c . 所以2221149
a b c 的最小值为8
7当且仅当1
132
23
1b a
c
,即8182
,,777
a b c 时，等号成立 .2.
3.【答案】
【解析】
试题分析：（I）由a b c d
>,可证明22
+=+及ab cd
a b c d
>,开方即得a b c d
>（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.
试题解析：
解：（I）因为22
=++=++
a b a b ab c d c d cd
,,
考点：不等式证明.4.【答案】（I）3
b=；（II）4．
a=-，1
【解析】
试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式
x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II
试题解析：（I ）由||x a b ，得b a x b a
则2,
4,
b a b a --=??
-=?解得3a
,1b
（II ）=≤4
1
t
t
，即1t 时等号成立， 故max
3+12+4t t
2.（2014 江苏理 21）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：
OCB D ∠=∠．
3.（2014 辽宁理 22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于
D ，G 为C
E 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交
圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .
（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC BD =，求证：AB ED =.
6.（2014 新课标1理22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =. （1）证明：D E ∠=∠；
（2）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.
9.（2014 新课标2理22）（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线
PBC 与O 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中
点，AD 的延长线交O 于点E . 证明：（1）BE EC =； （2）2·2AD DE PB =.
11.（2014 新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数()1
f x x x a a
=+
+-()0a >.
f x；
（1）证明：()2
f<，求a的取值范围.
（2）若()35
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆. (I)证明：直线AB与O相切；
(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）
。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=cosθ. （I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为，其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；
（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。