数学建模教学中的几个有关问题

数学建模教学中的几个问题

沂南教育局 树臣

【教育2011年第7-8期】

《全日制九年义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）在第一部分“前言”中指出：“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”。并且在多处谈及“数学建模”的问题，高中数学课程标准也明确将“数学建模”纳入到课程容中。数学建模已经成为当今数学教育界研究的热点问题，可时至今日，仍有许多教师对这个问题认识不足，教学中也不重视对学生数学建模能力的培养。为帮助教师澄清认识，更好的落实《标准》的理念，我们在本文拟谈以下三个问题。

一、对数学建模的有关认识

我们在数学学习中经常会听到数学模型和数学建模这两个概念，到底什么是数学模型和数学建模呢？

为了回答这两个问题，我们从一个具体问题谈起：

案例1、如图1所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD 。求该矩形草坪BC 边的长。

【析解】设矩形草坪BC 边的长为x 米，根据AD·BC=120列出方程：1202

x 32x =-?，然后解得：x 1=12，x 2=20，因为20＞16，所以x 2=20不合题意，舍去，从而知该矩形草坪

BC 边的长为12米。 从析解过程看，解答本题的关键是建立一元二次方程1202

x 32x =-?，这就是一个常用的数学模型。

当人们面对一个实际问题时，根据特有的在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻划实际问题，得到的一个数学结构，就是数学模型。用通过计算得到的数学模型的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。简言之，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的。如各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，就是一些具体的数学模型。如前所述，一元二次方程就是一个典型的数学模型，许多数学问题及实际问题都可以通过建立一元二次方程模型来解决。

数学建模的过程主要包括四个环节：

（1）阅读理解：认真阅读题目，理解题意，收集、分析、处理数据、联想有关的数学知识，为后面的解答问题作好准备。

B C 16米草坪

图1

（2）建立数学模型：在理解题意的基础上，从数学的角度出发，通过抽象、归纳、概括等一系列活动，根据变量之间的数量关系建立一个相应的数学结构，从而把实际问题转化成数学问题。

（3）求解数学模型：运用所学的数学知识，完成对所建立的数学模型的解答。

（4）回归实际：由于数学模型的解答不一定符合实际问题的意义，所以要根据实际问题提供的意义反思数学模型的解答，从而得到实际问题的准确解答。

这个过程可用框图2表示如下：

从方法论角度看，数学建模是一种数学思想方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具。从具体教学的角度看，数学建模是一种数学活动。

二、建模教学的教育教学价值

伴随着当今社会科学技术的飞速发展，数学已经渗透到各个领域，数学建模的问题是多种多样的，这些问题涉及到我们生活的方方面面，学生在解答它们时，除必须全面掌握数学知识外，还要具有丰富的生活常识和较强的阅读理解能力，以及将实际问题转化为数学问题的数学建模能力，所以数学建模能把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具、培养良好的科学态度与思维品质等很好的结合起来的“效能”。学生通过数学建模，能体验到数学与日常生活及其它学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，还能培养学生认真、崇尚真理、追求完美、讲求效率、联系实际的学习态度和学习习惯。因此，加强数学建模教学具有重要的现实意义和方法论价值。

1、数学建模可强化学生的应用意识

“应用意识”是《标准》关于学习容中的若干核心概念之一，主要表现在三个方面（1）认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；（2）面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；（3）面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。从这三分方面看，学生的应用意识已经成为他的整体素质中的核心组成部分，数学教学理应让学生形成自觉的应用意识。

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，人们越来越离不开数学。我们知道数学模型可以有效的描述自然现象和社会现象，学生通过数学建模活动和建模训练所形成的数学意识、应用意识，无论将来干什么工作，都会起到重要的作用。据我们所知，有不少各级党政领导、事业或企业的管理干部、学校校长，原来就是受过数学专业教育的。在他们的工作中，虽然很少用到具体的数学定理或定律，但通过数学学习、进行数学建模活动时所形成的数学思想和方法，在他们的工作中却是终生受益的。因为数学建模训练可使他们深入到生活、生产的实际中去，走入一个更加开放的天地，使学生体会到数学的由来、数学的应用，体验到一个充满活力的数学，从而形成学生用数学的眼光去观察、分析和表示各种事物的数量关系、

空间关系和数学信息的量化意识和数感，进而达到用数理逻辑的观点来科学地看待世界的数学意识和良好的品质。这种数学意识可使他们自觉或不自觉地运用数学的思想和方法对自己所遇到的学习或工作中的问题进行理性的思考，所有这些都属于应用意识的畴，也是我们进行数学教育所期待的。

2、实施数学化教学的需要

著名的数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为，人们在观察，认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，叫做数学化。数学化是一种由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。一般来讲，数学化的对象，一是现实客观事物；二是数学本身。对客观世界的数学化，形成了数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型等；对数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者使数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。可以这样说，任何数学的分支都是数学化的结果。而数学化的关键又在于运用数学的思想和方法去分析和研究客观世界。从这个角度讲，数学建模教学在很多程度上就是数学化的过程。从前面的案例1可以看出，通过数学建模可以解决生活、生产中的实际问题，但读者不要简单的认为数学建模就是为了解决生活、生产中的实际问题，事实上，学生通过数学建模活动重要的是能学习到数学的在实质，达到数学化思考的目的，学会数学地提出问题、分析问题、解决问题的方法。

3、数学建模有利于发挥学生的主体作用

长期以来，我们在教学中一直叫喊“教为主导”、“学为主体”、“尊重学生的主体地位”，但学生的主体地位一直没有得到充分的尊重，其个性作用没有得到很好的发挥，为此，《标准》强调指出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”。学生的学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，教师应引导学生独立思考、主动探索及相互交流。数学建模教学是一个微型的“研究过程”，与其他教学方式相比，具有较强的问题性、实践性、参与性与开放性，它能引导学生通过自主学习、独立思考、实验操作、收集与处理信息、发现问题、提出问题等探索活动，达到获得知识，掌握技能，解决问题的目的，在这个过程中，学生的地位处于主导位置，教师是促进学生进行数学建模活动的引导者和指导者。

4、有利于学生综合素质的提高

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。数学建模中的问题都具有一定的探索性，有别于常规问题，解决这样的问题需要抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这需要同学们具有深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣，还要求有一定的相关学科知识和相应的社会实践能力、良好的意志品质等，因此，数学建模教学有利于探索精神和创新能力的发展，对于全面提高学生的素质是非常有益的。

此外，有些数学建模活动学生个人难以完成，需要学生之间通过合作才能完成，在合作学习中，由于学习者的积极参与和高密度的交互作用，使学习过程远远不是一个认知的过程，同时还是一个交往与审美的过程。这个过程可使学生认识到团队精神的重要性，对于独生子女时代的莘莘学子无疑是大有稗益的。

三、提高学生数学建模能力的一般措施

要培养学生的数学建模能力，教师首先要树立一个观念，即把建模意识的培养贯穿于整个教学过程之中。其次才是具体的教学措施。因此，教师认真学习和研究《标准》、宏观地把握整个中学教材、使自己的教学设计始终渗透对学生建模意识的培养。

1、注重数学知识的形成过程

传统的东西方教育在课程目标上具有较大的差异，西方比较注重过程和学生的体验，注重应用和探究活动，注重评价的多样化；而则比较注重结果，注重基本知识和基本技能。《标准》增加了“实践与综合应用”等容，对创新精神、实践能力也都提出了明确的要求。这些动向表明数学教学应“既重结果又重过程”，数学建模是实现这一目标的有力工具。

我们知道，大部分数学知识的形源于实际的需要或数学部的需要，也就是说大部分的数学知识都有一个形成的过程。中学阶段的许多知识都来源于生活实际，数学概念、公式、定理等数学模型在现实中都能找到原型。这就为我们从学生的生活实际入手引入新知识提供了大量的背景材料。在教学中，教师要充分认识过程的重要性，引导学生数学地提出问题，注重数学概念、公式、定理、性质形成过程的揭示。为此，我们可抓住一些重要概念、定理及法则的归纳推导，引导学生经历它们的形成过程、抽象过程，从而把握其本质，初步形成几何建模的意识。

案例2，圆的定义的形成过程。

圆是生活中常见的几何图形，教学中，教师应利用实物或课件，演示圆的生成过程，在此基础上，从动和静两个方面来揭示圆的本质，从而形成圆的两种定义：

（1）“动”的形成过程：如图3，在平面线段OA 绕固定的端点O 旋转一周，另一个端点A 所描出的封闭曲线叫做圆。圆的形成过程由“线段……旋转一周，另一个端点所描出”给出。

（2

）“静”的形成过程：引导学生参与下面的一系列数学活动：

画一个半径为

5cm 长的⊙O ，在⊙O 上取A 、B 两点，连结OA 、OB 。

①你知道OA 、OB 的长分别是多少吗？

②如果OC=5cm ，你知道点C 的位置吗？

③如果OM=7cm ，ON=3cm ，你知道M 、N 两点与圆的位置关系吗？

④想一想，平面上的点与圆有哪几种位置关系？

在以上问题的引导下，学生自己就能发现平面一点与圆的位置关系，从而归纳出：圆是平面到定点的距离等于定长的点的集合。至此，学生就完整的经历了圆的集合定义的整个形成过程。

2、加强应用题的教学

培养数学建模能力的方法有众多，我们认为加强应用题的教学便是其中一个非常实际的方法。在数学学习中，几乎所有的知识点都可以作为应用题的“源材料”，或者说生产、生活的大量问题都可以应用数学知识加以解决。解数学应用题的过程，实质上就是利用数学化的方法，把实际问题抽象、转化为数学模型，然后通过解答数学模型达到解决实际问题的思维活动。我们在中学让学生理解并掌握的数学模型主要有：（1）方程（组）模型；

（2）不等式（组）模型；（3）函数模型；（4）几何模型（或三角模型）；（5）统计模型；

（6）概率模型等。学生在用上述模型解答实际问题的过程中，能体验到数学与日常生活及其它学科的联系，感受到数学的实用价值，增强数学的应用意识，当然他们的数学建模能力也将会得到很大的提高。

图5

图4

案例3、甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯上从底部向顶部行走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；甲走了36级到达顶部，而乙走了24级到达顶部。那么自动扶梯露在外面的级数是多少？

【析解】这是非常贴近学生生活实际的问题，对于这样的问题学生也十分感兴趣。由“甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍”可知甲的行走速度是乙的2倍，因此甲走36级扶梯

的时间相当于乙走18级扶梯的时间，可得甲、乙到达顶部实际所花费的时间比为24

236÷，这个比的大小等于露在外面的阶梯数分别减去甲、乙自身所走的阶梯数后的级数之比。

有了上述分析之后，建立模型的方法有两种：

方法一：设自动扶梯有m 级露在外面，可得方程模型24m 36m --=24

236÷。 方法二：可设甲、乙两人的速度分别为2v 和v ，扶梯的速度为u ，可得模型

v 24v u v 236v 2u ?+=?+）（）（。先根据模型求出2v

u =，然后代入模型的任何一边即可求出结果。

3、重视思想方法的教学

《标准》非常重视对数学思想方法的教学与研究，我们知道数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以隐的方式溶于数学知识体系。它是数学的在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力工具。它在数学建模的过程中起着重要的作用，因此，培养学生的数学建模能力必须重视对数学思想方法的渗透与提炼。

案例4、“哥尼斯堡七桥问题”问题。

哥尼斯堡是18世纪东普鲁士的一个城市，流经市区的普列格尔的河湾处，有两个小岛和七座桥，如图4所示。人们提出了一个有趣的问题：能否在一次连续的散步中不重复的走过这七座桥？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。

【析解】著名的“哥尼斯堡七桥问题”是许多人始终未能解决的难题，它困扰了人们好长时间，最后的解决是由著名的数学家欧拉给出的，他对这个问题的解法在许多书上都有介绍。这是一道看似与数学无关的问题，然而欧拉却通过在观察图4特点的基础上，从数学的角度加以分析、建立模型、进而解决“哥尼斯堡七桥问题”。从解答的过程看，建立几何模型5是关键的一步。

数学家欧拉不是到桥上去试走，而是根据陆地、桥和人走过的关系特征，巧妙地运用数学知识把小岛、河岸抽象成点，把桥抽象成为“线”，从而把“七桥”抽象成图5所示的一个几何模型，巧妙地把“人能否一次无重复的走过七座桥”的问题转化为能否“一笔画出”这个几何模型的问题。欧拉用数学的方法证明了图5是不能一笔画出的，所以人也不能一次无重复的走过这七座桥。欧拉如果不能很好的理解和使用抽象、转化的思想方法是断然不能建立几何模型5的。

4、与其他学科知识相联系

《标准》指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础”。我们知道，生物、物理、化学中的一些问题都可以用数学的知识去解决，解决的关键就是建立数学模型，因此，教学中，结合所学的数学知识，适当让学生解答上述学科中问题，对于培养学生的数学建模能力是非常必要和及时的。

案例5：“机械传动问题”（2010年省中考题）。

观察思考：

某种在同一平面进行传动的机械装置如图6（1），图6（2）是它的示意图。其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运

动，并且PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动。在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动。数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米。

解决问题：

（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米；点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米。

（2）如图6（3），小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位置时，PQ 与⊙O 是相切的。”你认为他的判断对吗？为什么？

（3）①小丽同学发现：“当点P 运动到OH 上时，点P 到l 的距离最小。”事实上，还存在着点P 到l 距离最大的位置，此时，点P 到l 的距离是 分米；

②当OP 绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数。

【析解】本题以机械装置为模型考查其中蕴含的数学知识，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。（1）观察机械模型的工作原理图（2）可知，当Q 点滑动到H 点时，点Q 与点O 间的距离最小，为OH 的长度；当Q 点滑动到Q 、P 、O 在同一条直线上时，点Q 与点O 间的距离最大，为OP+PQ 。当点Q 移动到最右端时，△OHQ 为直角三角形，此时，HQ=22OH -OQ ，同理可知点Q 移动到最左端时离H 点的距离也等于点Q 移动到最右端时离H 点的距离。（2）当点Q 滑动到点H 的位置时，由于OQ 2≠PQ 2+OP 2，所以PQ 与⊙O 不相切。（3）①观察图6（2）可发现当PQ ⊥l 时，点P 到l 距离最大是3；②如图7，在Rt △OPD 中，OP=2，OD=OH-HD=1，所以∠DOP=600，从而得到∠POP /=1200，这就是扇形面积最大时圆心角的度数。作为补充我们还可以让学生求出这个扇形的最大面积。

5、加强小课题研究

对于课题学习，《标准》指出：要经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程。由于研究型课题来自于课本知识与现实生活的结合，因此，进行课题研究本身就是对所学知识的实际应用。另外，进行课题研究对于培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力有积极的训练价值。开展小课题研究的教学，既是对我们教师教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创造精神和实践能力的重要途径。通过课题研究活动，能引发学生学习数学的兴趣，培养学生在开放性环境中搜集和整理信息的能力；能发展学生的创新精神，获得亲自参与研究的切身体验，树立战胜困难、坚韧不拔的顽强毅力；还能在研究活动中学会沟通与合作，锻炼学生的表达、交流等社交能力，促进学生的全面发展。在研究活动中，能让学生逐步学会从实际出发，通过认真踏实的研究、准确地分析和计算获得结论，并懂得尊重他人的成果，从而培养学生实事、理论与实践相结合的科学态度和科学道德。通过活动，还能发展学生对社会的责任心和使命感，激活各种学习中的知识储l

图7 l （3） l Q （1） 图6

存，尝试相关知识的综合运用。这对以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育具有重要的积极意义。

案例6、洗衣服的学问。

大家知道，要洗一件衣服，先要用少许水和洗衣粉，把衣服充分浸泡、揉搓，以便使污物充分溶解或飘浮于水中。将衣服“拧干”后，它上面肯定还带有一定数量的含污物的水。设衣服上残存的污物为m 0克（当然包括残留的洗衣粉），残存水重w 千克。另外，我

们还有一桶清水，设为A 千克。

我们这里有两种洗法：一是直接将衣服放入这一桶清水中洗；二是将这A 千克水分成相同的两份，先在其中一份中洗涤，然后在另一份中清一下。请问哪种洗法效果好？

同学们凭经验都知道第二种洗法效果更好，但如何从数学角度去解释这个问题呢？

【析解】第一种：直接把带有m 0克污物和w 千克水的衣服放到A 千克水中，经过充分

搓洗，这m 0克污物溶于（w+A ）千克的水中。此时，把污水倒掉，把衣服拧干，衣服上一

定还残留一定的污物m 克（注意m 一定小于m 0），残存的水重仍为w 千克。我们把污物看做

溶质，根据污物的浓度可以得到：

A

w m w m

+=0原来的残存物污量拧干后残存水量衣服上残存的污物量 即，A

w w m m +=拧“干”后残存原来的残存物污量衣服上残存的污物量0， 所以有，A

w w m A w w m m 00+=+?

=。……………（1） 第二种： 设把这A 千克水平均分成2份，每份都是2

A 千克，将衣服先后经过2次洗涤，衣服上还剩多少污物？

第一次，把带有m 0克污物和w 千克水的衣服放到第一份清水中，经过充分搓洗，这m 0

克污物溶于（w+2

A ）千克的水中。此时，把污水倒掉，把衣服拧干，衣服上一定还残留一定的污物m 1克（注意m 1一定小于m 0），残存的水重仍为w 千克。我们把污物看做溶质，根

据污物的浓度可以得到：

2

A w m w m 01+=原来的残存物污量拧干后残存水量衣服上残存的污物量， 即，2

01A w w m m +=拧“干”后残存水量原来的残存物污量衣服上残存的污物量， 所以有，A w 2w m 22A

w w

m m 001+=+?

=。 (2)

类似的分析可得，第二次把带有m 1克污物和w 千克水的衣服放到第二份清水中，洗涤

拧干后的残存污物量为：

02112m A w 2w 2A w 2w m 2w

2A 1m m ）（+=+=+=)(。……………（3） 现在的问题是怎样比较m 与m 2的大小。

事实上，根据（1）有，

0m m =A w w +，根据（3）有，02m m =（A w 2w 2+）2， 因为A w 2w 2+＜A 2w 2w 2+，所以（A w 2w 2+）2＜（A 2w 2w 2+）2=（A

w w +）2， 又因为A w w +＜1，所以（A w 2w 2+）2＜A

w w +， 即02m m ＜0

m m ，所以m 2＜m 。 这就证明了第二种洗法效果好一些。

事实上，这个问题可以更引申一步，如果把洗衣过程分为n 步（n 给定）则怎样分水才能使洗涤效果最佳？

数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。数学建模教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程，我们广大的教师应不断研究新情况、新问题，努力探索培养学生建模能力的教学方法，做到通过建模教学，提高他们学习数学的兴趣，培养其应用意识和创造精神，从而形成遇到问题用数学的眼光去观察和思考的良好习惯。

主要参考文献

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