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人教版初中九年级数学知识点20 二次函数几何方面的应用2018--3

一、选择题

1.（2018广西省桂林市，12，3分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（1

，1），

（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个一动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A 从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是( )

A．

-≤b≤1 B．

-≤b≤1 C．

-≤b≤

D．

-≤b≤1

【答案】B．

【思路分析】．如下图（1），连接CN，延长NM，交y轴于点D，设AN＝x，则AD＝3－x，DB＝1b

+，证明△

BDA∽△ANC，可得b＝

231

x x x

-+-=--+

≤

，从而得到b的取值范围．

【解题过程】解：如下图（1），连接CN，延长NM，交y轴于点D，设AN＝x，则AD＝3－x，∵点B的坐标为（0，b），∴DB＝1b

+，∵N、C两点的坐标分别为（3，1），（3，0），∴NC＝1，AN⊥NC，∴∠ACN＋∠CAN ＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAN＝90°，∴∠ACN＝∠CAN，又∵∠BDA＝∠CNA＝90°，∴△BDA∽△

ANC，∴AD BD

CN AN

=，即

=，2

b x x

+=-+，解得b＝

231

x x x

-+-=--+

≤

，又∵当

点A与点N重合时，点B与点D重合，（如下图（2）），此时b＝1，∴

-≤b≤1．，故选B．

【知识点】二次函数；相似三角形的性质和判定；动点问题

二、填空题

1.（2018吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 + mx 交x轴的负半轴于点A. 点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A' 恰好落在抛物线上. 过点A' 作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A' 的横坐标为1，则A'C的长为.

(第14题)

【答案】3

【思路分析】如下图，A'C 与y 轴交于点D. 因为点A 与点A' 关于点B 对称，则AB=A'B ；又因A'C// x 轴，则ΔABO ≌ ΔA'BD ，AO=A'D. 点A' 的横坐标为1，即A'D=AO=1.所以点A 坐标为(-1，0)，把点A (-1，0)代入函数解析式可求得m 值，进而可知A' 坐标，由A'C// x 轴，可求出点C 横坐标，即可求出A'C 的长.

【解题过程】解：如图，A'C 与y 轴交于点D. ∵点A 与点A' 关于点B 对称 ∴AB=A'B 又A'C// x 轴

∴∠A'DB =∠AOB =90°,∠DA'B =∠OAB ∴ΔABO ≌ ΔA'BD ∴AO=A'D

∵点A' 的横坐标为1 ∴A'D=AO=1

∴A 坐标为(-1，0)

把(-1,0) 代入抛物线解析式y =x 2 + mx 得m=1 ∴抛物线解析式为y =x 2 + x ∴ A' 坐标为（1，2）令y =2得，x 1 = -2 , x 2=1 ∴A'C =1-(-2)=3.

【知识点】待定系数法求抛物线解析式，对称的性质，平行线的性质，三角形全等，直角坐标系中求线段长度

2. （2018广西贵港，12，3分）如图，抛物线y

＝1

4（x ＋2）（x －8）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，

顶点为M ，以AB 为直径作⊙D ，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝3；②⊙D 的面积是16π；③抛物线上存在点E ，使四边形ACED 为平行四边形；④直线CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】B

【解析】抛物线y ＝1

（x ＋2）（x －8）与x 轴交于A ，B 两点，可知A （－2，0），B （8，0）

O A

B D

所以D （3，0），

所以抛物线的对称轴是直线x ＝3，即①正确；

由于⊙D 的半径为5，所以它的面积为25π，所以②不正确；过C 作CF ∥AD ，则F （6，0），此时CF ＝6＞5＝AD ，

因此在抛物线上不可能存在点E ，使四边形ACED 为平行四边形，故③错误；

当x ＝0时，y ＝－4，所以C 点的坐标为（0，－4），因此DC ＝42＋32＝5，即C 在⊙D 上，又M （3，－254），所以DM ＝254

，CM ＝

32＋???

?254－42＝154

所以DC 2＋CM 2＝625

16＝DM 2，所以DC ⊥CM ，

所以直线CM 与⊙D 相切，故④正确；综上，有两项正确，故选B ．

3. （2018江苏苏州，18，3分）如图，已知AB ＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的

同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP ＝60°．M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之问的距离最短为

（结果保留根号）．

【答案】【解析】本题解答时要连接MP ，PN ，利用菱形的性质，得出△PMN 为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA 的长来表示的MN 的长，最后利用二次函数的性质求出MN 的最小值.

连接PM ，PN ，∵四边形APCD ，PBFE 是菱形， ∴P A =PC ，∵AM =MC ，∴PM ⊥AC ，同理PN ⊥BE . ∴∠CPM +∠CPN =11

9022

APC BPE ∠+∠=゜，

∵∠DAP =60゜，∴∠CAP ==∠NPB =30゜，设AP =x ，则PB =8-x ， ∴PM =

12x ，PN )x

∴

∴当x =6时，MN

有最小值，最小值为

三、解答题

1. （2018广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于

0)，B 两点(点B 在点A 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OB ＝3OA

OC ，∠OAC 的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴垂足为F ，交直线AD 于点H. (1)求抛物线的解析式；

(2)设点P 的横坐标为m ，当FH ＝HP 时，求m 的值；

(3)当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求1

AQ ＋

EQ 的最小值.

【思路分析】(1)根据题意，先求出点B 、C 的坐标，运用待定系数求出抛物线的解析式； (2)用点m 表示出FH 和PF 的长，再由FH ＝HP 列关于m 的方程求解； (3)连接AH ，以AH 为边构造相似三角形，将1

4AQ 转化为某一个固定点的线段，再由三点共线计算出14

AQ ＋EQ 的最小值. 【解题过程】

(1)∵OB ＝3OA ＝OC ，0)， ∴点B 、C 的坐标分别为(－，0)，(－3，0).

设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋x )，代入点C 的坐标，得：

－3＝a ··(，解得：a ＝1

故该抛物线的解析式为y ＝13(x ＋)(x ＝13

x 2x －3. ………………3分

(2)在Rt △AOC 中，由tan ∠OAC ＝OC

，

∴∠OAC ＝60°.

又∵AH 是∠FAC 的平分线，

∴∠FAH ＝30°，则AF

由点P 的横坐标为m ，则它的纵坐标为13m 2－3.

∴AF m ，PF ＝3－13

m 2.

∴FH AF m ). ∵FH ＝HP ，则PF ＝2FH ，

m )＝13

m 2－3.

解得：m 舍去)或m

故m ………………6分 (3)连接CH.

∵AF ＝AC ＝，∠FAH ＝∠CAH ，AF ＝AF ， ∴△AHF ≌△AHC(SAS)， ∴FH ＝CH ＝2. 故⊙H 的半径为1.

在HA 上截取HM ＝14，则AM ＝4－14＝154

. ∵HM HQ ＝14，HQ HA ＝14

， ∴

HM HQ ＝HQ

，且∠QHM ＝∠AHQ ， ∴△QHM ∽△AHQ ， ∴AQ MQ ＝14，则14

AQ ＝MQ, ∴

AQ ＋QE ＝QM ＋QE. ………………9分 ∵点E 、M 是定点，故当点M 、Q 、E 共线时，QM ＋QE 的值最小，即最小值为线段ME 的长.

在Rt △AEM 中，由勾股定理可知：ME

………………10分

2.（2018海南省，24，15分）如图12-1，抛物线3

=bx

y交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图12-2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．

①求四边形ACFD的面积；

②点P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，

DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．

【思路分析】将A（﹣1，0）和点B（3，0）代入3

=bx

y，求解关于a，b的二元一次方程组即可；（2）①分别求出点C、F的坐标，S四边形ACFD=S△CDF+S△CDA；②当∠ADQ=90°时，如图24-2，设PQ交CD于点G，则PQ⊥CD，G点坐标为（t，3），作DH⊥x轴于H，则H（2，0），在Rt∠DHA中，DH=AH=3，∠DGQ为等腰三角形，GQ=GD，()t

-2

2，求得t的值并验证；当∠AQD=90°时，过点D作DK⊥PQ于点K，

易证得∠PQA∽△KDQ，

=，()3

，求得t的值并验证．

【解题过程】（1）将A（﹣1，0）和点B（3，0）代入3

=bx

y得，

，解得

，

∴该抛物线的解析式为322

++-=x x y ．

（2）①连接CD ，∵()41322

+--=++-=x x x y ，F （1，4），当x =0时，y =3，∠C （0，3）又D （2，3），

∠CD ∥x 轴，且CD =2，S 四边形ACFD =S △CDF +S △CDA =

21CD ·（A F y y -）=4422

=??． ②设P （t ，0），则Q （t ，322

++-t t ）．

Ⅰ：若∠DAQ =90°，如图24-1，此时点Q 必在第四象限，所对应的点P 在AB 的延长线上，此种情况不符合题

意，故舍去．

Ⅱ：若∠ADQ =90°，如图24-2，设PQ 交CD 于点G ，则PQ ⊥CD ，G 点坐标为（t ，3），作DH ⊥x 轴于H ，则H

（2，0），∴在Rt∠DHA 中，DH =AH =3，∠∠DAH =45°，又CD ∥x 轴，∠∠ADC =∠DAH =45°，∠∠QDG =∠ADQ

﹣∠ADC =45°，∠∠DGQ 为等腰三角形，∴GQ =GD ，(

)

t t t -=-++-23322

，整理得：0232

=+-t t ，解得：11=t ，22=t ，当t=2时，D 与Q 重合，故舍去．当t =1时，4322

=++-t t ，∠Q （1，4）． Ⅲ：若∠AQD =90°，如图24-3

过点D 作DK ⊥PQ 于点K ，∠∠APQ =∠QKD =90°，∠∠DQK +∠PQA =90°，又∠DQK +∠KDQ =90°，∴∠PQA =∠KDQ ，

∠∠PQA ∽△KDQ ，∴KQ PA KD PQ =，∴()

231

23222++--+=-++-t t t t t t ，∴()()()21213-+=-+--t t t t t t ，∵1-≠t ，

2≠t （即Q 不与A 、D 重合）

，∴()t

t 13=--，整理得：0132

=+-t t ，解得2531+=t ，2532-=t ，经验证，1t 、2t 均符合题意，其中：321<

t 时，255322-=++-t t ；当2532-=t 时，255322

+=++-t t ， ∴Q （

253+，255-）或（253-，2

5+）．综上所述，当∠AQD 为直角三角形时，点Q 坐标为：（1，4）或（

253+，255-）或（253-，2

5+）．【知识点】二次函数综合题，二次函数图象上点的存在性，相似三角形的性质与判定

3. （2018黑龙江省龙东地区，23，6分）如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A （0，2），对称轴为直线

x ＝－2，平行于x 轴的直线与抛物线交于B 、C 两点，点B 在对称轴左侧，BC ＝6．（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 在x 轴上，直线CP 将△ABC 面积分成2:3的两部分，请直接写出P 点坐标．

【思路分析】对于（1），根据点A 坐标可求c 的值，根据对称轴直线可求b 的值；对于（2），先确定点C 和点B 的坐标，计算出△ABC 的面积，再根据直线CP 分△ABC 面积之比确定点P 存在的可能性有两种，结合两种情况，分别确定点P 的位置即可．【解题过程】解：（1）∵点A （0，2）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴c ＝2，∵抛物线对称轴为直线x ＝－2，∴

221

=-?，∴b ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋4x ＋2．（2）点P 的坐标为（－5，0）或（－13，0），理由如下：

∵抛物线对称轴为直线x ＝－2，BC ∥x 轴，且BC ＝6，∴点C 的横坐标为6÷2－2＝1，把x ＝1代入y ＝x 2＋4x ＋

2得y ＝7，∴C （1，7），∴△ABC 中BC 边上的高为7－2＝5，∴S △ABC ＝12

×6×5＝15．令y ＝7，得x 2＋4x ＋2＝7，解得x 1＝1，x 2＝－5，∴B （－5，7），∴AB

＝CP 交AB 于点Q ，∵直线CP 将△ABC 面积分成2:3的两部分，∴符合题意的点P 有两个，对应的点Q 也有两个．

①当AQ 1：BQ 1＝2:3时，作Q 1M 1⊥y 轴，Q 1N 1⊥BC ，则AQ 1＝

Q 1M 1＝2，BQ 1

＝Q 1N 1＝3，Q 1(－2，

4)，∵C （1，7），∴直线CQ 1的解析式为y ＝x ＋5，令y ＝0，则x ＝－5，∴P 1（－5，0）；

②当BQ 2：AQ 2＝2:3时，作Q 2M 2⊥y 轴，Q 2N 2⊥BC ，则AQ 2＝

Q 2M 2＝3，BQ 2

＝，Q 2N 2＝2，Q 2(－3，

5)，∵C （1，7），∴直线CQ 2的解析式为y ＝12

x ＋13

，令y ＝0，则x ＝－13，∴P 2（－13，0）综上，点P 的坐标为（－5，0）或（－13，0）．

【知识点】待定系数法；二次函数的性质；一次函数的性质；三角形的面积公式；平行线分线段成比例

25．4. （2018山东省东营市，25，12分）如图，抛物线13()()y a x x =--（0a >）与x 轴交于A 、B 两

P 的坐

【解题过程】（1）由题可知当y =0时，a =0

解得：x 1=1，x 2=3

则A （1,0），B （3,0）于是OA =1，OB =3

∵△OCA ∽△OBC ∴OC ∶OB =OA ∶OC ∴OC 2=OA ?OB =3即OC =

（2）因为C 是BM 的中点 ∴OC =BC 从而点C 的横坐标为

又OC =

，点C 在x 轴下方∴C ），（2

设直线BM 的解析式为y =kx +b ，因其过点B （3，0），C ），（2

323

，则有?????-=+=+.232

303b k b k ，

∴

， ∴ 又点C 在抛物线上,代入抛物线解析式， 3

k 33

x y ），（2

（3）点P 存在. 设点P 坐标为（x ，

），过点P 作PQ x 轴交直线BM 于点Q ，则Q （x ,

）,

PQ = 当△BCP 面积最大时，四边形ABPC 的面积最大

∴当时，有最大值，四边形ABPC 的面积最大，此时点P 的坐标为

（3）点P 存在. 设点P 坐标为（x ，

），过点P 作PQ x 轴交直线BM 于点Q ，则Q （x ,

）,

PQ = 当△BCP 面积最大时，四边形ABPC 的面积最大

323

83322+-x x 33

-x 33333

322

-+-

x x ）（）（△2321321-+-=

x PQ x PQ S BCP ）（2

3321-+-=

x x PQ PQ 4

43943923 2-+-

=x x 4

2=-

=a b x BCP S △）38

-，49（323

383322+-x x 33

-x 33333

322

-+-

x x ）（）（△2

321321-+-=

x PQ x PQ S BCP

∴当时，有最大值，四边形ABPC 的面积最大，此时点P 的坐标为

【知识点】一元二次方程与二次函数的关系，中点坐标公式，相似三角形性质，待定系数法求直线与抛物线的解

5. （2018四川乐山，1，3）在平面直角坐标系中，抛物线2

y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C

（0，43-

），OA =1，OB =4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足tan ∠OAD =34

. （1）求抛物线的解析式；

（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿射

线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动为t 秒. ①在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求出t 的值；若不存

在，请说明理由；

②在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出t 的

值；若不存在，请说明理由.

）（2

3321-+-=

x x PQ PQ 4

43943923 2-+-

=x x 4

2=-

=a b x BCP S △）38

-，49（y

C B

A O P

(第25题答案图2)

【思路分析】本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A 、B 、C 三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠P AQ =∠ACD ，再根据题目中的要求使得△ADC 与△PQA 相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t 的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ 与△CAQ 的面积之和与时间t 之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案. 【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =4，∴A （1，0），B （-4，0）， -------------------- 1分设所示抛物线的解析式为()()41y a x x =+-， ∵C （0，4

）在抛物线上， ∴()4

413

a -

=??-，解得13

a =

， ∴抛物线的解析式为()()1413y x x =

+-或214

y x x =+- ----------------------------- 3分（2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似，其理由如下： ①在Rt △AOC 中，OA =1，4

OC =

，则3

tan 4OA ACO OC ∠=

=，又∵3tan 4

OAD ∠=

， ∴∠OAD =∠ACO ， ------------------------------------------------------------------------------------- 4分

∵直线l 的解析式为()3

y x =

- ，∴D （0，34-

），又∵C （0，43

）， ∴CD =

4373412

-= 由AC 2=OC 2+OA 2，得5

AC =

. ---------------------------------------------------------------------- 5分在△AQP 中，AP =AB -PB =5-2t ，AQ =t ，由∠P AQ =∠ACD ，

要使△ADC 与△PQA 相似，只需

AP CD AQ AC =或AP AC

AQ CD

=， ------------------------------------------------------------------- 6分则有7

521253t t -=或5523712

t t -=

， ----------------------------------------------------------------- 7分解得110047t =

，23534

t =， ∵t 1＜2.5，t 2＜2.5， ∴存在10047t =

或35

t =，使得△APQ 与△PQA 相似 -------------------------------------- 9分 ②存在t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大，其理由如下：

作PF ⊥AQ 于点F ，CN ⊥AQ 于点N ，如图6所示，

在△APF 中，()3

sin 525

PF AP PAF t =?∠=

-，在△AOD 中，由AD 2=OD 2+OA 2，得5

AD =

------------------------------------------------- 10分在△ADC 中，由11

ADC S AD CN CD OA ?=

?=?，

∴71

125154

CD OA CN AD ??=== ------------------------------------------------------------------- 11分

∴()()11375222515APQ CAQ

S S AQ PF CN t t ????+=+=-+????2

31316959135

t ??=--+ ??? ∴当13

t =

时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. ------------------------------------------- 12分

图6

【知识点】二次函数；勾股定理；三角形相似的判定与性质；三角形面积；待定系数法；转化思想；数形结合思想；分类讨论思想

6.(2018甘肃省兰州市,28,12分)如图,抛物线42

-+=bx ax y 经过A (-3,0),B (5,-4)两点,与y 轴交于点C ,连接AB ,AC ,BC .

(1)求抛物线的表达式; (2)求证:AB 平分CAO ∠;

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得ABM ?是以AB 为直角边的直角三角形.若存在,求出点M 的坐标;若

不存在,说明理由.

【思路分析】(1)根据A ,B 两点的坐标利用待定系数法求解即可.(2)通过证明点B 到直线AC 的距离等于点B 到x 轴的距离即可证明结论.(3)分AM 为该直角边的斜边和BM 为该直角三角形的斜边两种情况,分别计算即可.

N F Q P

D C

第28题图

【解题过程】(1)将A ,B 两点的坐标分别代入42

-+=bx ax y ,得???-=-+=--，44525,0439b a b a 解得???

????-==,

65,61b a

故抛物线的表达式为y =46

612--=

x x y . (2)证明:设直线AB 的表达式为y =kx +b ′,则3'0,5'4,k b k b -+=??+=-?解得???

????

-=-=,

23',2

1b k 故直线AB 的表达式为y =2321--x .

设直线AB 与y 轴的交点为点D ,则点D 的坐标为(0,2

-).

易得点C 的坐标为(0,-4),

则由勾股定理,可得AC =5)04(]30[2

2=--+--）（. 设点B 到直线AC 的距离为h , 则

32121??+??=?CD CD AC h , 解得h =4.

易得点B 到x 轴的距离为4, 故AB 平分∠CAO . (3)存在.

易得抛物线的对称轴为直线2

x , 设点M 的坐标为(m ，2

5).

由勾股定理,得AB 2

=[5-(-3)]2+(-4-0)2=80,AM 2

=[25-(-3)]2+(m -0)2=4121+m 2,BM 2=(25-5)2+[m -(-4)]2=m 2

+8m +4

89. 当AM 为该直角三角形的斜边时,

有AM 2=AB 2+BM 2

,即4121+m 2=80+m 2

+8m +4

89, 解得m =-9,

故此时点M 的坐标为(

,-9). 当BM 为该直角三角形的斜边时, 有BM 2

=AB 2

+AM 2

,即m 2

+8m +489=80+4

121+m 2

, 解得m =11,

故此时点M 的坐标为(

,11). 综上所述,点M 的坐标为(

25,-9)或(2

,11). 【知识点】二次函数的图象和性质角平分线的判定与性质勾股定理分类讨论

7. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号24，分值14）如图1所示，直线y=x+c 与x 轴交于点A （-4,0），与y 轴

交于点C ，抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A ，C. （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 在抛物线的对称轴上，求CE+OE 的最小值；

（3）如图2所示，M 是线段OA 上的一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交

于点P 、N.

①若以C ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，则△CPN 的面积为_________;

②若点P 恰好是线段MN 的中点，点F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D ，

使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.

注：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（2

24b ac b a

a --）

【思路分析】(1)根据一次函数求出c 的值，再将A （-4,0）和c 值代入抛物线解析式求得b 值，进而得出抛物线解析式;

(2)先作对称确定最小值的情况，进而求出答案.

（3）①根据直角与对顶角找出两种相似的情况，进而得出△CPN 的面积；②根据菱形的判定定理作出菱形，进而得出D 点坐标. 【解题过程】解：（1）将A （-4,0）代入y=x+c ，得c=4.

将A （-4,0）和c=4代入y=-x2+bx+c，得b=-3. ∴抛物线的解析式为y=-x 2-3x+4.

（2）如图所示，作点C 关于抛物线的对称轴直线l 的对称点C ’，连接OC 交直线l 于点E ，

连接CE ，此时CE+OE 的值最小.

∵抛物线额对称轴为x=33

2(1)2

=-?-，

则C ’C=3，在Rt △C ’CO 中，由勾股定理，得OC ’2

(')CC OC +∴CE+OE 的最小值为5.

（3）①∵抛物线解析式为y=-x 2-3x+4，

∴A （-4,0），B （1,0），C （0,4），△APM 为等腰直角三角形.

设M 为（a ，0），则N （a ，-a 2-3a+4），P(a ，a+4). 当△AMP ∽△CNP 时，则AM MP CN NP

=，得244

34(4)a a a a a a ++=---+-+，解得a=-4（舍）或a=-3或a=0（舍）. ∴CN=3,PN=3. ∴△CPN 的面积为

12CN PN =9

. 当△AMP

∽

△

NCP

时

，

则

AM AP

NC NP

=,得

2)34(4)a a a a +=--+-+，解得a=0（舍）或a=-2.

∴.

∴△CPN 的面积为

CN PC =4. 故答案为

或4.

②存在. 1D (

22-+,2),2D (22--,-2

), 3D （-4,3）,4D （

12，3

）. 理由如下：

当点P 是线段MN 的中点，则-a 2-3a+4=2（a+4），解得a=-4（舍），或a=-1. ∴M （-1,0），P （-1,3），N （-1,6）.

设F(f ，f+4)，过点M 作AC 的平行线，则此直线的解析式为 y=x+1.

∵PM=3，当PM 为菱形的边时，作PF=PM ，过F 作FD 平行PM ，交AC 平行线于点D ， ∴D （f ，f+1）.

∴32=2（f+1）2，解得f=

-±.

则1D (

22-+,2),2D (22--,-2

). ∵PM=AM=3,

∴当点F 与点A 重合时，过点F 在x 轴上方作DF ∥PM ，且DF=PM ，连接DP ，可得出四边形DPMF 为菱形.

∴点D 的坐标为（-4,3）.

当PM 为菱形的对角线时，作PM 的垂直平分线，交直线AC 于点F ，作点F 关于PM 的对称点D ，连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP 为菱形. ∴将

32代入直线AC 的解析式可得，点F 的坐标为（-52，3

）. ∵直线PM 为x=-1， ∴点D 的坐标为（

12，3

）. 综上所述， 1D (

2322-+,322),2D (2322--,-32

), 3D （-4,3）,4D （

12，3

）. 【知识点】待定系数法，二次函数图象的性质，两点之间线段最短，对称图形的性质，勾股定理.

8. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，26，12分）抛物线y =13

322-+-

x x 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y =t （25

t <

）上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．

（1）点A ，B ，D 的坐标分别为，，；

（2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内（含边界）时，求t 的取值范围；

（3）如图②，当t =0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若

存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】（1）点A ，B 的坐标可以令y ＝0，解一元二次方程求出，点D 的坐标利用公式可求；（2）点E 可

能在边界上也可能在边界内，∴要分情况讨论；（3）点Q 可能在原抛物线上也可能在翻折下来的部分抛物线上，∴要分情况讨论．要证明点Q 在圆上，只需证明QA 与QB 垂直即可．【解题过程】（1）令y =13

322-+-

x x ＝0，解得x 1＝21，x 1＝3．∴A （21，0）

，B （3，0）．根据抛物线顶点公式可得D （

47，24

）． 3分图①

E y

A B O

D C

· ·

图②

第25题图

O A

· D x