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【附28套精选模拟试卷】揭阳市2020年高中毕业班第一次高考模拟考试试题

揭阳市2020年高中毕业班第一次高考模拟考试试题

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：

样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L 的回归方程为：y bx a ∧

其中1

()()()

n n

i i

i i n

i i x x y y x y nx y

b x x x

====---=

--∑∑∑∑， 121

2,n n

x x x y y y x y n n

++???+++???+=

=，a y bx =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则

z z = A ．13i -+ B ．3i

-- C ．3i + D ．3i -

2．已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2

B y y x ==>，则A B I =

A ．(1,)+∞

B ．(1,1)-

C ．(0,)+∞

D ．(0,1) 3．在四边形ABCD 中，“AB DC =uu u r uuu r ，且0AC BD ?=uu u r

”是“四边形ABCD 是菱形”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 4．当4

x π

时，函数()sin()(0)f x A x A ?=+>取得最小值，则函数3(

y f x π

=- A ．是奇函数且图像关于点(

,0)2

对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称

C ．是奇函数且图像关于直线2

x π

对称 D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称

俯视图

5．一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位 cm ）则该组合体的体积为．

A. 720003

cm B. 640003

C. 560003

cm D. 440003

cm 1 6．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和

n S 取最大值时，n 的值为

A.20

B.21

C.22

D.23

7．在图（2）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为

A ．14

B ．13

C ．34

D ． 23

8．已知方程sin x

k x

=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是： A ．1tan()4

1π

ααα++=

- B ．1tan()41πα

αα

-+=+ C ．1tan()4

1π

βββ++

- D ．1tan()41πβ

ββ

-+=+ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）

9．计算：112

log sin15log cos15+o o = ．

．若二项式(n x 的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数

为．(用数字作答)

11．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单

位均为cm ）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：

101

()()577.5i

i x x y y =--=∑，10

()

82.5i

i x x =-=∑；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个

图（3）

脚印长为26.5cm ，则估计案发嫌疑人的身高为 cm ．

．已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点，且经过抛物线2

8y x =的焦点，则圆C 的方程为．

13．函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为“非减函数”．设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）(0)0g =；（2）

1()()32x g g x =；

（3）(1)1()g x g x -=-,

则(1)g = 、5

()12

g =

．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：ρ=2C ：cos(ρθ2C 的

的点的个数为．

15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点 E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C.若CB=2，

CE=4，则AD 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =．（1）求角C 的大小；（2sin()2

A B π

-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．

17. （本小题满分12分）

根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．

（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望；（2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率.

D C B A

F M

A B C

18．（本小题满分14分）

如图（4），在等腰梯形CDEF 中，CB

、DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（5）示，已知,,M N P 分别为

,,AF BD EF 的中点．

（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求证： AP ⊥DE ；

（3）当AD 多长时，平面CDEF 与

平面ADE 所成的锐二面角为60o

？图（4）图（5）

19．（本小题满分14分）

如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆:2

22+y a

x C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ?uuu r uuu r

最小值为0（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是

否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知函数()(0,1x

f x x x α

αα=

>+为常数)，数列{}n a 满足：11

a =

，1()n n a f a +=，*n N ∈．（1）当1α=时，求数列{}n a 的通项公式；

（2）在（1）的条件下，证明对*n N ?∈有：12323412(5)

12(2)(3)

n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=

++L ；

（3）若2α=，且对*n N

?∈，有01n a <<，证明：11

n n a a +-<

．

21．（本小题满分14分）

已知函数()ln f x x =，2

()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；

（2）试讨论函数()g x 的单调性；

（3）证明：对任意*

n N ∈，都有()21

ln 1n

i i n i =-+>

∑成立．

数学(理科) 参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一．选择题：CDCC BBDC 解析： 4．依题意可得3(

)sin 4

y f x A x π

=-=-，故选C. 5．由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积3

60401020405064000()V cm =??+??=，故选B.

6．由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+13

d a ?=-

，由1(1)n a a n d =+- 113(1)()061a n a =+--

≥641

2133

n ?≤=,所以数列{}n a 前21项都是正数，

以后各项都是负数，故n S 取最大值时，n 的值为21，选B.

7．依题意结合右图易得所求的概率为：1

121133

x dx -

=-=?，选D. 8．解析：sin |sin |x k x kx x =?=，要使方程sin (0)x

k k x

=>在(0,)+∞有两个不同的解，则|sin |y x =的图像与直线(0)y kx k =>有且仅有三个公共点，所以直线y kx =与|sin |y x =在3,2ππ?

? ???

内相切，且

切于点(,sin )ββ-，由sin cos tan β

ββββ

--=

?=，1tan()41πβ

ββ

+∴+=-，选C

二．填空题：9.2；10.9； 11.185.5；12. 221

15()()222

x y -+-= [或22

20x y x y +---=]；13.1（2分）、

12（3分）；14.3；15. 245

. 解析：

10.根据已知条件可得：36

369n n C C n =?=+=

，所以(n x 的展开

式的通项为

399219

91()2r r r

r r r T C x C x --+==，令39622r r -=?=，所以所求系数为2291

()92C =.

11.回归方程的斜率10

()()

577.5

782.5

()

i i

i x x y y b x x ==--=

=-∑∑，24.5x =，171.5y =，截距0a y bx =-=，即回归方程为7y x ∧=，当26.5x =，185.5y ∧

=， 12．易得圆心坐标为11(,)22

，半径为r =

, 故所求圆的方程为22115

()()222

x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】

13．在（3）中令x=0得(0)1(1)0g g =-=，所以(1)1g =，在（1）中令1x =得1

()(1)3

g g ==，在（3）中令1

x =

得11()1()22g g =-，故11()22g =，因1513122<<，所以151()()()3122

g g g ≤≤，故

51()122

g =． 14．将方程

ρ=与cos()4

θ+

222

x y +=与20x y --

=，知1C 为圆心在坐标原点，半径为的圆，

2C 为直线，因圆心到直线20

x y --=，故满足条件的点的个数3n =.

15．设r 是⊙O 的半径．由2

CE CA CB =?，解得r=3.由CO OE CA AD =

解得24

AD =. 三．解答题：

16．解：（1）由sin cos c A

C =结合正弦定理得，

sin sin a c

A C

==----2分从而sin

C C =，tan C =-----------------------------------------------4分 ∵0C π<<，∴3

C π

=；--------------------------------------------------------------6分

（2）由（1）知23

B A π

--------------------------------------------------------------7分

sin()cos 2

A B A B π

=----------------------------------------8分

A B

2cos(

)3A A π

=--

22cos cos sin sin 33

A A A ππ

=--------9分

1cos 22A A =

+sin()6

A π

=+--------------10分 ∵203A π<<，∴5666

A πππ

<+< 当6

A π

sin()2

A B π

取得最大值1，------------------------------11分

此时,3

A B π

．-----------------------------------------------------------------------12分

17.解. (1) ξ的取值为1,2,3,4，5. -------------------------------1分 (1)0.5P ξ==,

(2)(10.5)0.60.3P ξ==-?=

(3)(10.5)(10.6)0.70.14

P ξ==-?-?=

(4)(10.5)(10.6)(10.7)0.80.048

P ξ==-?-?-?=(5)(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)0.012P ξ==-?-?-?-=--------------------6分

【或(5)1(1)(2)(3)(4)0.012P P P P P ξξξξξ==-=-=-=-==】

∴ξ的分布列为：

---------------------------8分 ∴10.520.330.1440.04850.012E ξ=?+?+?+?+?=1.772--------10分（2）李先生在三年内领到驾照的概率为：

1(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.9988P =--?-?-?-?-=-----------------12分

18．（1）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，

∴N 为AC 中点，--------------------------------------------------------------1分在ACF ?中，M 为AF 中点，故//MN CF --------------------------3分 ∵CF ?平面BCF ，MN ?平面BCF ，//MN ∴平面BCF ；---4分（其它证法，请参照给分）

（2）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I

∴AD ⊥平面ABFE

∵AP ?平面ABFE ，∴AP AD ⊥，------------------5分 ∵P 为EF

中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形

∴//AP BF ，2AP BF ==----------------------------------------------------7分

而2,AE PE ==222AP AE PE += ∴90EAP ∠=o

，即AP AE ⊥-----8分

又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE ，

∵DE ?平面ADE ， ∴AP ⊥DE .------------------------------------------------9分（3）解法一：如图，分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设(0)AD m m =>，则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),(2,0,0)A D m E P

易知平面ADE 的一个法向量为(2,0,0)AP =u u u r

，-----------10分

设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0

n PE n DE ??=???=??r uur r uuu r

故22020x y y mz -+=??-=?，即020

x y y mz -=??-=? 令1x =，则21,y z m ==，故2

(1,1,)n m =r ----------------------------------------11分

∴cos ,||||

AP n AP n AP n ?<>==

uu u r r

uu u r r uu u r r ，

，m =，-------------------------------------------------------13分

即AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60o ．------------------------14分

【解法二：过点A 作AM DE ⊥交DE 于M 点，连结PM ，则,DE PM ⊥

∴AMP ∠为二面角A-DE-F 的平面角，---------------------------------------------------------11分由AMP ∠=600，AP=BF=2得

AM tan 603AP =

，-------------------------------------12分又AD AE AM DE ?=?

得23

AD =，

解得AD =

AD =时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60o ．----14分】

19.解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x P F +=，),(2y c x P F -=-------------1分

[]a a x c x a

a c y x PF PF ,,1122

21-∈-+-=-+=? -----------------2分由12PF PF ?uuu r uuu r 最小值为0得21012

2=?=?=-a c c ，-------------------3分

∴椭圆C 的方程为12

=+y x ．---------------------------------------------4分（2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分

把1l 的方程代入椭圆方程得2

(12)4220k x mkx m +++-=

∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2

164(12)(22)0k m k m ?=-+-=，化简得

2212m k =+-------------------------------------------------------------------------------------7分

同理，2

12n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴2

2m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则

1=，即2222||1k t m k -=+，--------------------------------------10分把2

12k m +=代入并去绝对值整理，

22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立

则2

10t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分 ②当直线12,l l

斜率不存在时，其方程为x =

x =---------------------------13分

定点(1,0)-到直线12,l l

的距离之积为1)1=；定点(1,0)到直线12,l l

的距离之积为1)1=；

综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分 20．解：（1）当1α=时，1()1n n n n

a a f a a +==

+，两边取倒数，得

111

1n n a a +-=，----2分故数列1{

}n a 是以1

2a =为首项，1为公差的等差数列， 11n n a =+，11

n a n =+，*n N ∈．------------------------------------------------------------4分

（2）证法1：由（1）知1

n a n =

+，故对1,2,3...k = 121(1)(2)(3)k k k a a a k k k ++=

+++111

[]2(1)(2)(2)(3)

k k k k =-++++-------------6分

∴12323412......n n n a a a a a a a a a +++++

1111111[()()...]223343445(1)(2)(2)(3)n n n n =-+-++-????+?+++ 111[]223(2)(3)n n =-?++(5)12(2)(3)

n n n n +=++．----------------------------------------9分． [证法2：①当n=1时，等式左边11

23424

??，等式右边1(15)112(12)(13)24?+==?+?+，左边=右边，等式成立；-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，

即12323412(5)

......12(2)(3)

k k k k k a a a a a a a a a k k ++++++=++，

则当1n k =+时

12323412123(5)1

......12(2)(3)(2)(3)(4)

k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a k k k k k ++++++++++=

+++++32(5)(4)129201212(2)(3)(4)12(2)(3)(4)

k k k k k k k k k k k k ++++++==

++++++2(1)4(1)(23)(1)(2)(6)(1)[(1)5]12(2)(3)(4)12(2)(3)(4)12[(1)2][(1)3]

k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++===++++++++++

这就是说当1n k =+时，等式成立，-------------------------------------------------------8分综①②知对于*n N ?∈有：12323412(5)

......12(2)(3)

n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=

++．----9分]

（3）当2α=时，12

2()1n

n n n

a a f a a +==

+ 则122

21(1)11n n

n n n n n n n

a a a a a a a a a ++-=

-=-++，---------------------------------------------10分 ∵01n a <<， ∴2122

111(1)

()121n n n n

n n n n n n

a a a a a a a a a a +++-+-=-≤?++--------------------------------11分

211

4(1)2(1)2

n n n a a a +=

?+-++ 11

24121

n a a =

++-

+14≤

=--------------------13分 ∵1n n a a =-与2

n n a a +=

+不能同时成立，∴上式“=”不成立，即对*n N ?∈

，11

n n a a +-<

．-----------------------------------------------------------14分【证法二：当2α=时，12

2()1n

n n n

a a f a a +==

+，则3

122

211n n n

n n n n n

a a a a a a a a +--=-=++----------------------------------------------------10分又122

(0,1),1,1n n n n

a a a a +∈∴

=>+Q *11

,[,1),2n n n a a a n N +∴>∴∈∈------------------------------------------------------------------11分

令32

(),[,1),12

x x g x x x -=∈+则422241(),(1)x x g x x --+'=+------------------------------------12分当1[,1),()0,2x g x '∈<所以函数()g x 在1[,1)2单调递减，

故当3

211()

13122[,1),(),121081()2

x g x -∈≤

=<+所以命题得证----------- ks5u ------------------14分】【证法三：当2α=时，12

2()1n

n n n

a a f a a +==

+，*

11221(0,1),1,,[,1),12

n n n n n n n a a a a a n N a a ++∈∴

=>∴>∴∈∈+Q -------------------------11分 11112222

2212()11(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --+-----=

-=?-++++ 1112211

124222()()1125(1)(1)22

n n n n n n a a a a a a ----?

∴数列1{}n n a a +-单调递减，

12121

21312121081()2

n n a a a a +?

∴-≤-=

-=<+，所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】 21．解：（1）依题意得2

()ln g x x ax bx =++，则1

'()2g x ax b x

++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =---------------------------------------------------------------------------3分

（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)

ax x x

--=

----------------------4分 ∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞

∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，

由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，

即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；-------------------------------5分当0a >时，令'()0g x =得1x =或1

2x a

=，若

112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得1

12x a

<<，

即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1

(,1)2a

单调递减；-----------------6分

若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a

<<，即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1

(1,)2a

单调递减；------------7分

若112a =，即12

a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，------------------------------------------------------------------8分

综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1

(,)2a

+∞上单调递增；当1

2a =

时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当12a >时，函数()g x 在1(0,

)2a 上单调递增，在1

(,1)2a

单调递减；在(1,)+∞上单调递增． -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分

（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2

()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，

2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分

令*11,x n N n =+∈，则2111

ln(1)n n n +>-，-------------------------------------12分2222111111111111

ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++-

2222111111111111

ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n

∴++++++>-+-+-++-

即()2

ln 1n

i i n i

=-+>

∑---------------------------------------------- ks5u -----------------------------14分【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+，则当2n ≥时，111

ln()ln(1)n n n n a T T n n

-+=-==+，------ks5u-----------------------11分显然1ln 2a =也满足该式，故只需证221

111

ln(1)n n n n n

-+>=---------------------------------------------------------12分令1x n

，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2

()ln(1)h x x x x =+-+，0x > 则11(21)

'()12120111x x h x x x x x x +=-+=-+=>+++，

()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，

∴221111

ln(1)n n n n n -+>

=-成立，

2222111111111111

ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n

∴++++++++>-+-+-++-

即()21

ln 1n

i i n i =-+>

∑．----------------------------------------------------------------------------14分】【证法三：令2

()ln(1)i n

i i n n i ?==-=+-∑，

则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ??+-=+-

-++2

111

ln(1)11(1)

n n n =+-++++----10分令11,1x n =+

+则(1,2]x ∈，*1

1,,1

x n N n =-∈+ 记2

()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+-----------------------12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x

--'=

+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增，又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ??+->， ∴数列()n ?单调递增，又(1)ln 20?=>，∴()21

ln 1n

i i n i =-+>

∑----------------------14分】高考模拟数学试卷

第I 卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U R =，集合{}3|<=x x A ，{}0log |2<=x x B ，则=?B A

A ．{}

13x x <<

B ．{}

3x x <

D ．{}

10<

2．已知复数2z i =-，则z z ?的值为（）

A ．5

B ．5

C ．3

D ．3

3．下列命题的说法错误的是

A ．命题“若2

320,x x -+= 则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则2320x x -+≠”. B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.

C ．对于命题:,p x R ?∈2

10,x x ++> 则:,p x R ??∈210.x x ++≤ D ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题.

4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

5．已知x ，y 满足22y x

x y z x y x a ≥??

+≤=+??≥?

，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是

A ．

B ．

C ．

211

D ．4

6．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为

A ．1008

B ．2015

C ．1007

D ．1007-

7．已知函数()()2

1cos ,4

f x x x f x '=

+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是

8．已知函数()22,1,

22,1,

x x f x x x -?≤-=?+>-?则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是

A ．()(),20,-∞-?+∞

B ．()1,0-

C ．()2,0-

D ．(][),10,-∞-?+∞

9．在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 在线段AC 上，AD=kAC （k 为常数，且01k <<），BD=l 为定长，则△ABC 的面积最大值为

A ．2

1l k

- B ．2

1l k

- C ．()

21l k - D ．

()

21l

k - 10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()

0f x f x x

>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ??????

=--= ? ? ?????

，则,,a b c 的大小关系正确的是 A ．a c b <<

B ．b c a <<

C ．a b c <<

D ．c a b <<

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若双曲线()22

22103

x y a a -=>的离心率为2，则a =________．

12．设随机变量()()()2

~,1=2=0.3N

P P ξμσξξ<->，且，则()20=P ξ-<<____．

13．如图，在ABC ?中，若3

13=2

AB AC AB AC BC ==?=u u u r u u u r ，，，则________．

15．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）

已知函数()()22sin cos 23cos 30,0f x a x x x a ωωωω=+->>的最大值为2，且最小正周期为

π．

（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程；（II ）若()4,sin 436f παα?

+ ??

?求的值． 17．（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ??与是边长为2的等边三角形，BE=2，

BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．

（I ）求证：DE//平面ABC ；

（II ）求二面角E BC A --的余弦值． 18．（本小题满分12分）

学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随

机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”．

（I ）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；

（II ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 中，111

,1,33,n n n a n n a a a n n +?+?==??-?

为奇数，

为偶数.

（I ）求证：数列232n a ?

?-????

是等比数列；

（II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ． 20．（本小题满分13分）

已知函数()()()cos ,2x

f x x

g x e f x π??

'=-

=? ??

，其中e 为自然对数的底数．（I ）求曲线()y g x =在点()()

0,0g 处的切线方程；（II ）若对任意,02x π??

∈-

????

，不等式()()g x x f x m ≥?+恒成立，求实数m 的取值范围；（III ）试探究当,42x ππ??

∈?

???

时，方程()()g x x f x =?的解的个数，并说明理由． 21．（本小题满分14分）

已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点．直线l 与椭圆交于

()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点．当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为

时，原点O 到直线l 的距离为

．又椭圆上的点到焦点F 231．

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNP 6时，求平行四边形OQNP 的对角线之积ON PQ ?的最大值；

（III ）若抛物线()22220C y px p F =>：以为焦点，在抛物线C 2上任取一点S （S 不是原点O ），以OS 为直径作圆，交抛物线C 2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标．

理科数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1-10DADBB DADCA

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 113 12．0．2 ; 137 ; 14．10 ； 15．(22)π

+．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解析：（Ⅰ）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=23sin(2)a x ω?=++,

由题意知：()f x 的周期为π，由

2π

π2ω

=，知1ω= ………………………2分由)(x f 最大值为2，故232

=+a ，又0>a ，1=∴a

∴π

()2sin(2)3

f x x =+ ……………………………………………………………4分令232

x k ππ

π+=+，解得()f x 的对称轴为ππ()122k x k Z =

+∈ …………………6分（Ⅱ）由4

()3

f α=知π42sin(2)33α+=，即π2sin(2)33α+=，

∴ππππsin 4sin 22cos226323ααα???

?????+

=+-=-+ ? ? ????

???????

………………………10分 2

2π2112sin 212339α????

=-++=-+?=- ? ?????

…………………………………………12分

17．解析：（Ⅰ）证明：由题意知，ABC ?，ACD ?都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，

则BO AC ⊥，DO AC ⊥，

又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴60EBF ∠=?，易求得

3EF DO ==，

∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ，∴//DE 平面ABC …………6分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知平面ABC 的一个法向量为

1(0,0,1)n =u r

,(0,3,0)B ,(1,0,0)C -,(0,31,3)E -, 设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =u u r

则，220

n BC n BE ??=???=??u u r u u u r

u u r u u u r

可求得2(3,3,1)n =-u u r ．………………9分所以12121213

cos ,13

||||n n n n n n ?<>==?u r u u r

u r u u r u r u u r ，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E BC A --的余弦值为

．……12分

18．解：（Ⅰ）设i A 表示所取3人中有i 个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记

为事件A ，则312

7370133

10109849

()()()12060

C C C P A P A P A C C =+=+==………6分（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 ,

37343(0)(

)101000P ξ=== ; 12337441(1)()10101000P C ξ==??=;

22337189(2)()10101000P C ξ==??=

; 3327

(3)()101000

P ξ===．分布列为

……………10分

34344118927

01230.91000100010001000

E ξ=?

+?+?+?=． ………12分注：用二项分布直接求解也可以． 19．解：（Ⅰ）设23

n n b a =-，因为

21221221

33(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--

=--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -

=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以1

为公比的等比数列． ……… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得1

23111126323n n n n b a -??

??=-=-?=-? ?

???

??，即2113

232

n a ??=-?+ ???，

由2211(21)3n n a a n -=

+-，得12121115

33(21)()6232

n n n a a n n --=--=-?-+，所以12121111[()()]692()692333n n n

n n a a n n --+=-?+-+=-?-+，

21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++L

2111

2[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++L L

11[1()]

(1)3

32691213

n n n n -+=-?-?+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ 10分显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减，又当1n =时，273S =

＞0，当2n =时，48

9S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0； 22122315

()36232

n n n n S S a n n -=-=?--+，

同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0，

综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………… 12分 20．解：（Ⅰ）依题意得，