数学课件立体图形上的最短路径问题汇编

立体图形上的最短路径问题

一、方法技巧

解决立体图形上最短路径问题：

1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”

2.“平面化”的基本方法：

（1）通过平移来转化

例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可

（2）通过旋转来转化

例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求

例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离

可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解

（3）通过轴对称来转化

例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离

3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理

4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图

二、应用举例

类型一 通过平移来转化

【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想要到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？

【答案】13cm

【解析】

试题分析：

只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.

试题解析：

解：展开图如图所示，13AB cm ==

所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm

类型二 通过旋转来转化

【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？

【答案】cm 412

【解析】

试题分析：

解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.

试题解析：

解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平

使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2）

)(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412

【难度】一般

【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.

【答案】34cm

【解析】

试题分析：

于E，求出展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S作SE CD

SE、EF，根据勾股定理求出SF即可.

试题解析：

解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S，F各自所在的母线为矩形的一组对边