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北京大学弹性力学讲义

“弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。

所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。

授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。

目前网上给出如下一些教案示例：

1.“第一章矢量与张量”

2.“第二章应变分析”

3.“第三章应力分析

4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5)

5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4)

弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。

弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。

弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。

人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。

弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。

本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。

第一章矢量与张量

本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。

§1 向量代数

1.1向量的定义

从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中，建立直角坐标系

，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成

(1.1)

设在中有另一个坐标系，其标架为，它与

之间的关系为

（1.2）

由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵

(1.3)

将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。从(1.2)可反解出

（1.4）向量在新坐标系中的分解记为

(1.5)

将(1.4)代入(1.1),得到

(1.6)

公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组

，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。

1.2 Einstein约定求和

用求和号，可将(1.1)写成

(1.7)

所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成

(1.8)

在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成

(1.9)

有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。

按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成

(1.10)

(1.11)

将(1.11)代入(1.8)，得

(1.12)

由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，

(1.13)

今引入Kronecker记号，

(1.14)

例如。应用，单位向量之间的内积可写成

(1.15)

向量和向量之间的内积可写成

(1.16)

上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。

再引入Levi-Civita记号，

(1.17)

其中分别取1，2，3中的某一个值。例如

，

，，…。利用，向量之间的外积可写为

(1.18)

(1.19)

1.3

与

之间的关系

Kronecker 记号与Levi-Civita 记号之间有如下关系

(1.20) 证明1 穷举法，先列出所有可能的81种取值情况，

然后逐个情形证明,例如，情形1，，故此情形(1.20)成立，…。

证明2 我们有双重外积公式

(1.21)

将代入(1.21)左右两边，得到

将上述两式代入(1.21)两边，移项，得

(1.22)

由于的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。

证明3 利用Lagrange公式

(1.23)

按证明2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。

证明4 从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有

(1.24)

其中分别为向量在中的坐标。按行列式的乘积法则，有

(1.25)

其中第二个等式应用了等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得

(1.26)

注意到，以及换标记号和的意义，从（1.26）即得(1.20)。证毕。

§2 张量代数

2.1张量的定义

设

(2.1)

其中称为并矢基,它们共有9个,

(2.2)

在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为

(2.3)

于是

(2.4)

从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组，在坐标变换下，关于变换系数为二次齐次式，则称为张量，也记作。为其指标记号，为其整体记号。

张量在并矢基下的9个分量，有一个矩阵与之对应，记作

(2.5)

同一个张量在另一组并矢基下所对应的矩阵为，

(2.6)

按(2.4)可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换，

(2.7)

其中为坐标变换矩阵（1.3）。

附注：上述张量的定义可以推广：一个阶有序数组 ,在坐标变换(1.10)下,若服从的次齐次式，

(2.8)

则称之为阶张量。按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，(２.1）所述的张

量为二阶张量，也可证明Levi-Civita记号为三阶张量。(2.8)式中的下标和

取值范围也可不必限于从１到３，也可从１到，那么(2.8)式所定义的张量称为维空间中的阶张量。本书所述张量，以后如不作说明均为三维二阶张量。

2.2张量的运算

张量与张量的和与差记为，

(2.9)

张量的转置记为，

(2.10)

不难验证，和也是张量。例如，

(2.11)

一个张量称为对称张量，如果

(2.12)

与对称张量所对应的矩阵为对称矩阵。

一个张量称为反对称张量，如果

(2.13)

与反对称张量所对应的矩阵为反对称矩阵，我们将反对称矩阵记成

(2.14)

从(2.14)可以得出，

(2.15)

(2.16)

不难验证，由(2.16)所定义的为向量，它称为相应于反对称张量的轴向量。

由于

所以

(2.17)

为一张量，称之为单位张量。

张量的迹定义为

(2.18)

2.3张量与向量之间的运算

张量与向量有左右两种内积，

(2.19)

(2.20)

从(2.19) (2.19)，可得左右两种内积之间有关系式

(2.21)

如果为反对称张量，由(2.19) (2.15),得

(2.22)

张量与向量有左右两种外积，

(2.23)

(2.24)

张量与两个向量和之间有四种运算，

2.4 张量与张量之间的运算

两个张量与之间的内积和外积如下

两个张量与之间有四种双重运算

对于双重运算，先将外层的两个基和按下面的符号进行运算，再将内层的两个基和按上面的符号进行运算。

从双重运算可得两个有用的公式，

(2.25)

(2.26) 此外，尚有关系式

(2.27)

(2.28)

利用(2.25)(2.26),能得到两个有用的定理

定理2.1 对称

证明从(2.25)立即得到所需的结论。

定理2.2

证明首先，如果，那么，从(2.26)得到。其次，如果，(2.26)给出

(2.29)

对(2.29)取迹，得

(2.30)

将(2.30)代回(2.29)，即得。证毕。

§3 向量分析

3.1 Hamilton 算子

记

(3.1)

由于

(3.2)

可知算子服从向量的定义。

设为三维区域中的标量场，关于的左右梯度为

，

其中，下标中的逗号表示对其后坐标的微商，。从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。

设为三维区域中的向量场，关于的左右散度为

，

从上面两式可以看出向量的左右散度相等。

关于向量场的左右旋度为

，

对于的左右旋度，有关系式。

标量场的Laplace算子为，

向量场的Gauss公式为

(3.3)

其中为区域的边界曲面，，为上的单位外法向量。

向量场的Stokes公式为

(3.4)

这里为任意曲面，为的边界曲线，在边界上积分的环向与的外法向依右手定向规则：指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。

3.2无旋场与标量势

对任意标量场有下述关系

(3.5)

上式用到了关系，因为本书总假定所出现的函数具有所需的各阶连续导数。

(3.5)说明有势场是无旋场，其逆命题一般也成立，即有，

定理3.1 设为单连通区域上的任意向量场，则

存在，使得 (3.6)

证明充分性由(3.5)即得。现证必要性，若，令

(3.7)

这里为中的某个定点。不难验证，即合所求。首先，(3.7)中的线积分由于无旋假定而与路径无关，即仅为位置的函数。其次，从(3.7)可算出。证毕。

如果区域是多连通的尚需加上单值性条件。

3.3无源场与向量势

对任意的向量场有如下公式，

(3.8)

上式说明，具向量势的向量场其散度为零，即为无源场。此命题的逆命题也成立。

定理3.2 对区域上的任意向量场 ,有

存在，使得 (3.9)

证明充分性由(3.8)即得。关于必要性，下述的即合所求，

(3.10)

其中，为中的定点。证毕。

附注：定理3.2的证明中引用了定积分，因此区域必须具备凸性才可使定积分得以进行。关于一般区域中的证明参见Stevenson(1954)的论文，此文还指出定理3.2一般只对具有单边界的区域成立，对于有多边界的区域还需补充一些条件。

3.4 Helmholtz分解

对任意的向量场，它的二重旋度有如下表示

(3.11)

利用(3.11)可得下面的重要定理

定理3.3 (向量的Helmholtz分解) 对区域上的任意向量场，总存在标量势和向量势，使得

，且 (3.12)

证明令

(3.13)

其中，从(3.13),按Newton位势，有

(3.14)

将(3.11)代入(3.14),得

(3.15)

设，从(3.15)即得欲证之(3.12)式。证毕。

§4 张量分析

4.1向量的梯度

向量的左右梯度均为张量

(4.1)

相应于向量左右梯度的矩阵为

(4.2)

从（4.1）,或(4.2),可得

(4.3)

(4.4)

4.2张量的散度和旋度

张量的左右梯度均为向量

(4.5)

从(4.5)看出，

(4.6)

对于特殊的张量，其左右梯度为

(4.7)

张量的左右旋度仍为张量

(4.8)

(4.9)

与张量的旋度所相应的矩阵为

(4.10) 也可列出所相应的矩阵。从(4.8) (4.9)，可得

(4.11)

当为对称张量时，由(4.10) (4.11)有

(4.12)

4.3 等公式

我们有下面四个公式

(4.13)

上述四个公式都可以直接验算，例如

4.4两个重要公式

应用张量的左右旋度，我们导出本书第三章和第五章中所需的两个重要公式，

(4.14)

(4.15)

公式(4.14)和(4.15)也都不难验证，例如

(4.14)左边

=(4.14)右边

4.5 Gauss 公式和Stokes公式

张量的Gauss 公式为，

(4.16)

(4.17)

事实上，为证(4.16)，设，记，那么，于是

其中第二个等号利用了向量的Gauss 公式(3.3)。为了证明(4.17),设，这样，(4.17)的左边将为

张量的Stokes 公式为，

（4.18）

（4.19）

上面两个等式可利用向量的Stokes公式(3.4)，按（4.16）（4.17）的方式证得。

附注：本章所讨论的张量为直角坐标中的张量，有时亦称并矢，或称笛卡尔张量。关于张量的普遍理论请参考郭仲衡（1980，1988），黄克智等(1986)。

第二章应变分析

本章描述弹性体的变形，导出几何方程，并指出几何方程与应变协调方程的等价性。

§1. 位移

设在三维欧氏空间中弹性体占有空间区域，它在外界因素影响下产生了变形, 内的点变成了点，其间的位置差异是位移向量

，即有

（1.1）

图2.1

如图2.1所示，其中。我们总假定是单值函数，并有所需的各阶连续偏导数。

对(1.1)考察它的Jacobi行列式

…… (1.2)

其中 ,。

本书研究小变形，总假定为小量，即假定

， (1.3)

在假定（1.3）之下，从(1.2)得，这样从隐函数存在定理，在某个邻域内存在单值连续可微的反函数，

(1.4)

于是(1.1)(1.4)中的函数均为具所需各阶连续偏导数的单值函数，且互为反函数。

单值可以认为是一个物质点不能变成两个物质点，这样弹性体不被撕裂；

单值可以认为是两个物质点不能变成一个物质点，或者说弹性体不会重叠。

§2. 几何方程

本节将从位移的分解导出弹性力学的几何方程。

考察点附近的点的位移，按Taylor展开，有

(2.1) 其中略去了的高阶小量。利用右梯度的记号，可将(2.1)写成

(2.2)

这里。

我们引入对称张量和反对称张量，

(2.3)

(2.4)

此处通常称为Cauchy应变张量，或简称为应变张量。方程(2.3)称为几何方程，它是弹性力学三组方程中的第一组，它把弹性力学中的两个重要物理量位移和应变联系起来了。与应变张量相应的矩阵为，

(2.5)

通常记的分量为

(2.6)

有时将分别写成或，这三个分量称为正应变分量或正应变；将分别写成，这三个分量称为剪应变分量或剪应变。在此种记号下，(2.6)可写成

(2.7)

与反对称张量相应的矩阵为

(2.8)

从(2.8)看出与相应的轴矢量为，

(2.9)

从（2.2），按照和的定义，得，

(2.10)

注意到反对称张量与其轴矢量的关系，即第一章(2.22)式，得到

(2.11)

(2.11)可以看作某点附近各点上位移的分解，它包含三部分：其一，相当于平动；其二，相当于刚体转动；其三为变形。下面将着重研究第三部分所表示的变形。(2.11)也可写成，

(2.12)

§3. 变形

变形是弹性体区别于刚体的基本之点，本节以二维变形为例，直观地考察长度和角度这两个形状基本要素的变化。

北京大学外学讲义

第一讲：外交学导论（Introduction to the Study of Diplomacy） ?一、什么是外交？（What is diplomacy?） ?二、什么是外交学？（What is the study of diplomacy?） ?三、西方外交学（The study of diplomacy in the West） ?四、中国外交学（The study of diplomacy in China） ?五、思考题（Questions） ?六、参考资料（References）一、什么是外交？ ?1、“外交” 的由来（Origin of diplomacy） ?2、“外交”的定义（Definition of diplomacy） ?3、“外交”的功能或任务（Functions or tasks of diplomacy） ?4、“外交”的参与者（Players in diplomacy） ?5、“外交”的内容（Content of diplomacy） ?6、“外交”的特点（Characteristic of diplomacy） 1、“外交”的由来 ?“外交”一词在中国古代已经出现，如《墨子》中说：“近者不亲，无务来远，亲戚不附，无务外交。”《国语》中说：“乃厚其外交而勉之，以报其德。”这里所说的“外交”，是指“人臣私见诸侯”，或指与朋友、与外人的交际。 ?当今中文里的“外交”含义，来自于欧洲语言，如英语中的“diplomacy”、法语中的“diplomatie”。它们又源自希腊语中的“diploma”，其原义是指古希腊君主或元老院派遣使节时所颁发的证明其身份的“双重折叠”的特许证书，或这种证书的“副本”。“外交”的含义是从这里演变出来的。 2、“外交”的定义（1）

弹性力学重点复习题及其答案

弹性力学重点复习题及其答案一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

弹性力学概念汇总

1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。 4、在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？答：1、在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题中，平衡微分方程和几何方程都适用。2、在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换为换为，就得到平面应变问题的物理方程。 5、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。另一份答案：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在

北大政治学讲义许振洲

导言一、政治的定义与政治学的研究范围何谓政治？法国Littré字典的三种定义： 1）统治/治理国家的科学 2）治理一个国家及处理与别国关系的艺术 3）公众事务及政治事件法国Robert词典的三种定义： 1）治理人类社会的艺术与实践 2）统治的方式 3）统治一国、处理国内事务及国际关系的方式 4）一切有关权力及其对立面的公共事务根据美国出版的《政治思想百科全书》的定义：政治是意见及利益均不相同的集团做出共同的决定、共同的选择的一种程序。这些决定和选择超越了各集团的界限，并象征着一种共同的政策。柏拉图：政治是统治人民的艺术。 Max Weber： "如果在一特定疆土内，命令之得以持续实行是凭借行政人员运用武力和武力威胁" ，则此社团便是政治性的。《社会与经济组织的理论》 Lasswell： "政治行为是为觊觎权力而采取的行为。""政治学是一门经验科学，研究权力的形成和分享。"《权力与社会》 Dahl："政治体系是指人类关系各种稳定的整体，它们在一定程度上指的是权力、政府和权威关系。"《现代政治分析》 David Easton：政治是价值在社会中的权威性分配。（一个政治体系可以被定义为一个互相作用着的整体系统。通过这种相互的作用，价值在社会中通过权威的方式被重新分配。）《政治体系分析》 Almond/Powell： "大多数定义中有一个共同点，即把政治体系同合法的人身强制联系在一起"《比较政治学》。"政治体系并不只是包括政府体制，它还包括一切体系中的政治权力。"《一个发展的理论》 Goguel/Grosser："政治是所有关系到一个国家公共事务的治理的机构、组织及行为的总和。这些组织及行为者试图组织一个政权，控制它的行动或在必要时替换它。"《法国政治》 Birnbaum："政治从来都是各社会集团冲突的角斗场。其中每一个集团都力图把自己关于国

弹性力学复习重点+试题及答案【整理版】

弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz、、zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。（2）假定物体是完全弹性的。（3）假定物体是均匀的。（4）假定物体是各向同性的。（5）假定位移和变形是微小的。符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板支墩就属于此类。平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明答：按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为两类边界问题：

清华大学弹性力学讲义chap2_Elasticity of Solids

2．Elasticity of Solids References J.H.Weiner ，Statistical mechanics of elasticity, Wiley, 1981 Green & Zerna ，Theoretical elasticity, 1968 Ashby & Jones ，Engineering materials 2.1 Definition of Elasticity Elasticity σ F Figure 2.1 An elastic response. An elastic response of the material can be abstracted mathematically as ()X F ,T σ= (2.1) where σ denotes the stress tensor, T the response function that depends only on the current values of the deformation gradient X x F ??=, with X denoting the material coordinates of a point while x the spatial coordinates. If the material is homogeneous within the domain under consideration, the explicit dependence on X in (2.1) can be eliminated. Several remarks can be made to the definition in (2.1): (1) In the claim of ()()X t X, F ,T σ=, one pins down an elastic response as the one prtrayed by the current status of deformation, and henceforth irrelevant to the

弹塑性力学定理和公式

应力应变关系弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应力偏量与应变偏量关系式在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。

弹性力学基本方程及其解法弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或 2.边界条件弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为

弹性力学复习题1

一、名词解释 1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或者温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 3. 外力：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力。外力可以分为体积力和面积力。 4. 体力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力。 5. 面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和接触力。二、填空题 1.弹性力学的基本假设为均匀性、各向同性、连续性、完全弹性和小变形。 2.弹性力学正面是指外法线方向与坐标轴正向一致的面，负面指外法线方向与坐标轴负向一致的面。 3.弹性力学的应力边界条件表示在边界上应力与面力之间的关系式。除应力边界条件外弹性力学中还有位移、混合边界条件。 4.在平面应力问题与平面应变问题中，除物理方程不同外，其它基本方程和边界条件都相同。因此，若已知平面应力问题的解答，只需将其弹性模量E换为泊松比μ 5.平面应力问题的几何形状特征是一个方向上的尺寸远小于另外两个方向上的尺寸；平面应变问题的几何形状特征是一个方向上的尺寸远大于另外两个方向上的尺寸。三、单项选择题 1. 下列关于弹性力学问题中的正负号规定，正确的是D。 (A) 应力分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负 (B) 体力分量是以正面正向为正，负面负向为正 (C) 面力分量是以正面正向为正，负面负向为负 (D) 位移分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负

2. 弹性力学平面应力问题中应力分量表达正确的是 A 。 (A) 0z σ= (B) [()]/z z x y E σεμεε=-+ (C) ()z x y σμσσ=+ (D) z z f σ= 3. 弹性力学中不属于基本方程的是 A 。 (A) 相容方程 (B) 平衡方程 (C) 几何方程 (D) 物理方程 4. 弹性力学平面问题中一点处的应力状态由 A 个应力分量决定。 (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5 四、问答题 1. 弹性力学的基本假定是什么，各有什么作用？答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为： 1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。 5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。 2. 弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：

第10章弹性力学空间问题

第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。二、重点 1、空间极坐标和球坐标问题； 2、布希涅斯克问题； 3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。

§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路: 对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。学习要点： 1、空间柱坐标系； 2、柱坐标基本方程； 3、空间轴对称问题的基本方程。 1、空间柱坐标系在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M的位置坐标用（ρ，?，z）表示。直角坐标与柱坐标的关系为：x =ρ cos ?，y =ρ sin ? ，z = z 柱坐标下的位移分量为：uρ，u? ， w 柱坐标下的应力分量为：σρ，σ? σz，τρ?，τ? z，τzρ 柱坐标下的应变分量为：ερ，ε? εz，γρ?，γ? z，γzρ 以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。 2、柱坐标基本方程

弹性力学基本概念

弹性力学中的基本假定1连续性假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，亦即从宏观角度上认为物体是连续的。因此，所有的物理量均可以用连续函数来表示，从而可以应用数学分析工具2完全弹性假定物体是完全弹性的。这个假定包含两点含义：a.当外力取消时，物体回复到原状，不留任何残余变形，即所谓“完全弹性”b.应力与相应的应变成正比，即所谓“线性弹性”。根据完全弹性假定，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示3均匀性物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均相同。这样，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化4各向同性物体内任一点各方向的材料性质都相同。这样，弹性常数等也不随方向而变化。凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体5小变形假定假定物体的位移和应变是微小的。物体在受力后，其位移远小于物体的尺寸，其应变远小于1。用途：a.简化几何方程，使几何方程成为线性方程。b.简化平衡微分方程面力是作用于物体表面上的外力体力是作用于物体体积内的外力应力单位截面积上的内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的形变就是物体形状的改变。通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面，且沿厚度不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的最大和最小的正应力和切应力几何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。可分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界和次要边界）圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等效的主矢量和主矩的条件形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件

弹性力学练习册

南昌工程学院弹性力学练习册姓名：学号：年级、专业、班级：土木与建筑工程学院力学教研室

一、选择题 1、下列材料中，（）属于各向同性材料。 A 、竹材 B 、纤维增强复合材料 C 、玻璃钢 D 、钢材 2、关于弹性力学的正确认识是（）。 A 、计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B 、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设； C 、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D 、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 3、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（）。 A 、任务 B 、研究对象 C 、研究方法 D 、基本假设 4、所谓“应力状态”是指（）。 A 、斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同 B 、一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变 C 、三个主应力作用平面相互垂直 D 、不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 5、变形协调方程说明（）。 A 、几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的； B 、微元体的变形必须受到变形协调条件的约束； C 、变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件； D 、变形是由应变分量和转动分量共同组成的。 6、下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（）。 A 、几何方程适用小变形条件 B. 物理方程与材料性质无关 C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件 D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件 7、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。 A 、几何方程 B 、边界条件 C 、数值方法 D 、附加假定 8、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系（）。 A 、平衡微分方程、几何方程、物理方程完全相同 B 、平衡微分方程、几何方程相同，物理方程不同 C 、平衡微分方程、物理方程相同，几何方程不同 D 、平衡微分方程，几何方程、物理方程都不同 9、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的面力可以用下列（）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。 A 、静力等效 B 、几何等效 C ．平衡 D 、任意 10、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（）。 ①区域内的相容方程； ②边界上的应力边界条件； ③满足变分方程； ④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④ 11、应力函数必须是（）。 A 、多项式函数 B 、三角函数 C 、重调和函数 D 、二元函数 12、要使函数3 3 axy bx y Φ=+作为应力函数，则a b 、满足的关系是（）。 A 、a b 、任意 B 、b a = C 、b a -= D 、2a b = 13、三结点三角形单元中的位移分布为（）。

弹性力学基础知识点复习

固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 ①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，

弹性力学试题及答案

《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。 2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。题二（2）图（a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。

(完整版)弹性力学复习题期末考试集锦(2)

弹性力学复习题（06水工本科）一、选择题 1. 下列材料中，（）属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 2 关于弹性力学的正确认识是（）。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（）。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 4. 所谓“完全弹性体”是指（）。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 5. 所谓“应力状态”是指（）。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 6. 变形协调方程说明（）。 A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的； B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束； C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件； D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。 7. 下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（）。 A. 几何方程适用小变形条件； B. 物理方程与材料性质无关； C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件； D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件； 8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以

弹性力学基础知识归纳

一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。（2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。 4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？

由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。（1）完全弹性假定。（2）均匀性假定。（3）连续性假定。（4）各向同性假定。（5）小变形假定。满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。 7.什么是差分法？写出基本差分公式？差分法是把基本方程和边界条件近似地看改用差分方程（代

弹性力学复习资料

一、名词解释应力：截面单位面积的内力称为应力。应变：物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。剪应力：截面单位面积上所承受的剪力，且力的方向与受力面的法线方向正交。剪应变：在直角坐标中所取单元体为正六面体时，单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改变量。主应力：某一个斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力为主应力。主应力平面：某一个面上的切应力等于零，该平面为主应力平面。一点应力状态：指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位上应力的集合。平面应力问题：只有平面应力分量),,xy y x τσσ（存在，且仅为x,y 的函数的弹性力学问题。平面应变问题：只有平面应变分量）（xy y x γεε,,存在，且仅为x,y 的函数的问题。体力：体力是作用于物体体积内的外力。面力：面力是作用于物体表面上的外力。边界条件：表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。二、问答题 1.弹性力学基本问题的假定? 答：(1)连续性—假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有空隙。（2）完全弹性—假定物体是完全弹性的。（3）均匀性—物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均匀相同。（4）各向同性—物体内任何一点各方向的材料性质都相同。（5）小变形假定—假定物体的位移和应变都是微小的。 2.弹性力学问题求解与材料力学的区别？答：弹性力学严格地要求在边界条件下，求解平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力、应变、和位移等未知函数，从而得到比较精确的解答。材料力学，为了简化问题的解答，常引用近似的计算假设，并近似地处理平衡条件和边界条件，研究方法是近似的，得到的是近似解答。 3.弹性力学应力正负规定与材料力学的异同？答：在弹性力学中，正坐标面上的应力分量以沿坐标轴正向为正，负坐标面上的应力分量以沿坐标轴负向为负。在材料力学中，正应力以拉为正，实际上与弹性力学中的正应力符号规定相同；切应力以使单元或其局部产生顺时针方向转动趋势的为正，这与弹性力学的切应力符号规定不一致。 4.圣维南原理内容及适应条件？答：圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。适应条件：圣维南原理只能应用于一部分边界上（局部边界，小边界，次要边界）。 5.相容方程的物理意义？答：（1）相容方程是连续体中位移连续性的必然结果。（2）相容方程是形变对应的位移存在且连续的必要条件。 6.平面问题求解基本方程及边界条件。答：平衡微分方程0x =+??+??x yx f y x τσ ，0y =+??+??y xy f x y τσ 几何方程y v x u ??=??=y x ,εε ，y u x v ??+??=xy γ 物理方程)(1y x x E μσσε-= ，)(1y x y E μσσε-= ，xy xy G τγ1= 边界条件：应力边界条件-=+x s xy x f m l )τσ（，- =+y s xy y f l m )τσ（