数理统计习题解答
总习题七
1．设元件寿命X 服从正态分布),(2
σμN ，其中参数μ、2
σ都是未知的，现随机抽取6
个元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498 1502 1578 1366 1454 1650 试求总体均值μ和方差2
σ 的矩估计值．
解：,?X =μ
故1508?=μ，()
()222E X E X σ=-, 故，2
2
218046.67.A A σ∧
=-=
2．电阻的使用寿命X 服从参数为β的指数分布，参数β未知。今抽查了6只电阻测得到以下数据（单位：年）：4.24.31.38.47.29.1，求参数β的矩估计值．
解：()1
,E X β=
1?,X β=1?0.32793.05
β== 3.设一射手向某目标射击,直到击种目标为止,假定其命中率为p ,用X 表示射手射击的次数,写出X 的分布律.如果n X X X ,,,21Λ是取自X 的样本,求p 的矩估计和极大似然估计．
解：(1)X 的分布率为{}()
1
1,1,2,,k P X k p p k -==-=L
()()
()
1
1
1
1
11k k k k E X k p p p k p ∞
∞
--===-=-∑∑,
令1,
q p =-()1
1
,k k kq
f q ∞
-==∑则()1
1
1
,1q
q
k k k k q
f t dt kt
dt q q
∞
∞
-=====
-∑∑?? 故,()()
21,11q f q q q '??== ?--??()()2
1
,1p E X p q ==-1?.p X = (2){}()
1
1,k x k P X x p p -==-()()
()1
1
1
11,n
k k k n
x x n
n k L p p p p p =--=∑=-=-∏ ()()1ln ln ln 1,n k k L p n p x n p =??
=?+-?-?? ???
??
∑ 令
()1ln 01n
k k x n d L p n dp
p p =-????????
=-=-∑,故1
?.p
X
= 4．设总体X 的概率密度为
??
???>=--其他,0,1),;()(μ
θθμθμx e x f x
其中)0>θθμ（，为待估参数。设n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本，求θμ，的矩估计量． 解： ()1
x x x E X x e
dx xe
e
dx μ
μμ
θ
θ
θ
μ
μ
μ
θ
+∞
----
-
-
+∞
+∞=
??=-+??.μθ=+
()2
2
2
1
2x x x E X
x e
dx x e
xe
dx
μ
μμ
θ
θ
θ
μ
μ
μ
θ
+∞
----
-
-+∞
+∞
=??=-+?
?
()222222.μθμθμμθθ=++=++
1
2
221???????22?A A A S X θμθμ
μθθμ?
==??+=?????++=???=-=??
5.设n X X X ,,,21Λ为总体X 的一个样本,求下列总体的密度函数中未知参数的矩估计量:
(1) ?
??>=+-其他,0,)()1(c
x x c x f θθθ
其中0>c 为已知,θθ,1>为未知参数
(2)?????≤≤=-其他,
01
0,)(1x x x f θθ
解：(1) ()()111c
c
x E X x c x dx c θ
θθθθθθ
+∞
-+∞
-+=
=-?
g g g g g
1
c θ
θ=
-1,A = 故1
1,A A c θ=
-从而$.X X c
θ
=-
(2) (
)1
1
1
1
10
,E X x dx A =
=
==?
2
111A A θ??= ?-??
$2
.1X X θ??= ?
-??
6．设总体X 的概率密度为
??
??
?>=--其他,00
,);(1x e x x f x α
λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数。
试根据来自总体X 的样本n X X X ,,,21Λ，求λ的极大似然估计量λ
?． 解：()1
1
1
1
1n
k k
k n
n
x x n
n
k
k k k L x
e
x e
αααλλαλλαλα=--?
-?-==∑??=
???=??? ?
??
∏∏
()()1
1
ln ln ln 1ln n
n
k k k k L n n x x α
λλααλ===?+?+-?-?????∑∑
令()1
ln 0n k k n L x αλλ='=-=????∑,得$1
11n k k x n αλ==?∑ 7．设总体X 的概率密度为
??
???<<-=其他,00),(6)(3θθθx x x
x f
n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的简单随机样本
（1）求θ的矩估计量θ
?； （2）求θ
?方差)?(θD 解：（1）()()3413230
062322x
x x E X x x dx A θ
θ
θθθθθ??=
?-=-==?????
,$2X θ= (2）$()
()
()()
()22442D D X D X E X E X n
n θ
??==?=?-?
?
()()452223230
063632510x
x x E X x x dx θ
θ
θθθθθ??=?-=-=?????
, 故$()
2.5D n θθ=
8.设总体X 的数学期望为μ,方差为2
σ,n X X X ,,,21Λ和m Y Y Y ,,,21Λ分别来自X 的样本,证明:])()([211
212
2
∑∑==-+--+=
m
i i n i i Y Y X X m n S 是2σ的无偏估计量． 证明：()()()222
1
112n
m
i i i i E S E X X Y Y n m ==????=-+-????
+-????∑∑
()()22
221112n m
i i i i E X X Y Y n m ==??=-+-??+-??
∑∑ ()()()()()()222222
1
12n i i i i E X E X E X E X E X E X n m =???=-+-+-???+-?∑ ()()()()()()222222
1m
i i i i E Y E Y E Y E Y E Y E Y =???+-+-+-????
∑ ()()()()22221112n m
i i i i D X D X D Y D Y n m μμμμ==??????=+--++--??????+-??
∑∑ ()()()()1112n m i i D X D X D X D X n m n m ==????????=-+-??????+-????????
∑∑()2
D X σ== 9. 设总体X 服从参数为θ的指数分布,概率密度为?????>=-其他,
00
,1);(x e x f x
θ
θθ,其中参数
0>θ为未知,由设n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本,试证X 和
)],,,[m in(21n X X X n nZ Λ=都是θ的无偏估计量．
证明：(1) ()
(),E X E X θ==故X 是θ的无偏估计量．
(2) i X 的分布函数为()0,
01,0
i i i x
X i i x F x e x θ-≤??
=??->?,故Z 的分布函数为 ()0,01,0nz
z G z e z θ-≤??
=??->?,故Z 的密度函数为()0,0,0nz z g z n e z θθ
-≤??=?>??, 故n Z E θ??
?
??
:,故()E nz n n θθ=?=,故nZ 是θ的无偏估计量． 10.设总体X 服从正态分布),0(2
σN ,2
σ为未知参数, n X X X ,,,21Λ是来自X 的一个样
本.试证明∑=n i i X n 1
21是2
σ的有效估计量．
证明： (
)2
22,,x f x σσ-= ()()221ln ,ln 2ln 22x f x σπσσ=---????,
()2
31ln ,,x f x σσσσ?=-+???
?? ()22231ln ,X E f x E σσσσ???????????=-?????? ?????????????????? 4464221X X E σσσ??=-+ ??? ()()42642121E X E X σσσ
=-+, 其中, (
)2
244
423,x E X x dx σσ-+∞
-∞
=
=?
()()()222,E X D X E X σ=+= 故()2
22ln ,,E f x σσσ???????=???????????????
故2*
.2D n σ= 而()()42221111i i i i i i i D X E X E X n n ==???
?=- ?????∑∑ ()()4
2
2
2
1
1i
i E X E X n =??=-??∑
44
4
2
11
23i
i n
n σσσ=??=-=??∑. 故1
1i i i X n =∑不是2
σ的有效估计量. 11.对铁的熔点作5次试验，其结果为：1550 1540 1560 1530 1540 （单位：C ο
），假设熔点服从正态分布，在05.0=α下，求总体均值μ的置信区间． 解：2
σ未知时,
μ
的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??- ???
,其中, ()0.0255,4 2.7764,1544,10.198,n t x s ====故μ的置信度为95%的置信区间为
()154412.6623±,即()1531.3377,1556.6623.
12．某中疾病的存活时间)9,(~μN X ，现随机抽查16个患此疾病的患者，得到88.13=x ，求μ的置信度为95.0的置信区间．
解：2
σ已知时, μ的置信度为1α-
的置信区间为2X α??
±
??
?
, 其中, 0.02516, 1.96,3,13.88,n Z x σ====故
μ的置信度为95%的置信区间为
()13.88 1.47±,即()12.41,15.35.
13．随机抽取500克包装的食盐16袋，称得重量（单位：克）如下： 506 508 499
503 510 504 512 497 514 493 505 502 496 506 509 496 ，设重量近似地服从正态分布，试求总体均值μ的置信度为95.0的置信区间． 解：2
σ未知时,
μ
的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??- ???
,其中, ()0.02516,15 2.1315,503.75, 6.0052,n t x s ====故μ的置信度为95%的置信区间为
()503.75 3.2±,即()500.55,506.95.
14．设5岁儿童的身高X 服从),(2
σμN ，随机抽查12名儿童，得到09.02=s ，求2
σ的
置信区间（)1.0=α
解：μ
未知时, 2
σ的置信度为1α-的置信区间为????
?
??
-----)
1()1(,)1()1(22122
2
2n s n n s n ααχχ, 其中, ()()2
220.050.9512,0.09,
1119.675,11 4.575,n s χχ====
故2
σ的置信度为90%的置信区间为()0.05,0.216.
15．测试一批液晶显示屏的响应时间（单位：毫秒）如下：9.2 8.6 10.3 6.5 8.8 9.4 11.4 10.5 8.2 7.8 6.9 ，假设响应时间服从),(2σμN ，2
,σμ未知， 试求： （1）μ的置信度为0.95的置信区间． （2）2
σ的置信度为0.95的置信区间． 解：(1)2
σ未知时,
μ的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??- ???
,其中, ()0.0250.05,11,10 2.2281,8.8727, 1.5054,n t x s α=====故
μ
的置信度为
95%的置信区间为()7.8615,9.884.
(2) μ未知时, 2
σ的置信度为1α-的置信区间为????
?
??
-----)1()1(,)1()1(22122
2
2n s n n s n αα
χχ, 其中, ()()22
220.0250.97512, 1.5054,
1020.483,10 3.247,n s χχ====
故2
σ的置信度为95%的置信区间为()1.1064,6.9795.
16．一只新的过滤器用来替换旧的过滤器安装在医院的空调上，以减少空气中的细菌数。分
设两样本分别来自总体Y X ,，且),(
~2
σμX N X ，),(~2
σμY N Y ，2
,,σμμY X 均未知，两样本相互独立。求Y X μμ-的置信度为0.9的置信区间．
解：22
12σσ=未知时, Y X μμ-的置信度为1α-的置信区间为
122(1)X Y t n n s α?-±+-? ?
, 其中, ()120.050.1,7,12 1.7823,12.3,11.6249, 2.5093,w n n t x y s α======= 故Y X μ
μ-的置信度为90%的置信区间为()1.7335,3.0477-.
17．为了比较甲乙两类试验田的收获量，随机抽取甲类试验田8块，乙类试验田10块，测得收获量如下（单位：kg ）
甲类：12.6 10.2 11.7 12.3 11.1 10.5 10.6 12.2
乙类：8.6 7.9 9.3 10.7 11.2 11.4 9.8 9.5 10.1 8.5 假定这两类试验田的收获量都服从正态分布且方差相同，求均值差21μμ-的置信度为0.95的置信区间．
解：22
12σσ=未知时, 12μμ-的置信度为1α-的置信区间为
122(1)X Y t n n s α?-±+-? ?
,其中, ()120.050.05,8,10,12 1.7823,11.4,9.7, 1.0712,w n n t x y s α=======
故Y X μμ-的置信度为95%的置信区间为()0.6228,2.7772.
18．为比较两个煤矿所产煤的质量，测得以下的发热量（单位：百万卡/吨） 煤矿A ： 8330 8500 8480 8030 7960 煤矿B ： 7710 7920 7890 8270 7860
设样本来自总体),(2
X X N σμ，),(2
Y Y N σμ，2
2
,,,Y X Y X σσμμ均未知，且两样本独立，试
求方差比2
2Y X σσ的置信区间（)10.0=α．
解：12,μμ未知时, 2
2X Y
σσ的置信度为1α-的置信区间为
()()22
112212122212211,1,11,1S S F n n F n n S S αα-
?? ?
?? ?---- ???
, 其中, 22
120.1,63450,42650,s s α===
()()()
120.050.950.0515,4,4 6.39,4,40.1565,4,4n n F F F ====
=
故2
2X Y
σσ的置信度为90%的置信区间为()0.2328,9.5064.
19．研究由机器A 和机器B 生产的钢管的内径，随机抽取机器A 生产的管子18只，测得样
本方差)(34.02
2
1mm s =；抽取机器B 生产的管子13只，测得样本方差)(29.02
22mm s =.
设两样本相互独立，且设由机器A 、机器B 生产的管子的内径分别服从正态分布),(2
11σμN ，
),(2
22σμN ，这里222
121,,,σσμμ均未知，试求方差比2221σ的置信度为0.90的置信区
间．
解：12,μμ未知时, 2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间为
()()22
112212122
212211,1,11,1S S F n n F n n S S αα-?? ?
?? ?---- ???
, 其中, 22120.1,
0.34,0.29,s s α===
()()()
120.050.950.051
18,13,17,12 2.57,17,120.4202,17,12n n F F F ====
=
故2
122
σσ的置信度为90%的置信区间为()0.4562,1.0857.
20设从一大批产品中随机取出200个，测得一级品为120个，试以0.95为置信度求这批产品中一级品的概率p 的置信区间．
解：10.95,0.05,αα-==p 的置信度为1α-的置信区间为
n n
μ
? ± ?
, 其中
, 0.025
120,200,
0.6,
0.0346, 1.96,n
n n Z
n
μμ=====
故μ的置信度为95%的置信区间为()0.5322,0.6678.
21．经市场调查，800名被调查者中有420人喜欢无糖饮料，求喜欢无糖饮料的人的概率作
置信度为0.95的置信区间．
解：10.95,0.05,αα-==p 的置信度为1α-的置信区间为
n n
μ
? ± ?
, 其中,
0.025420,800,
0.525,
0.0177,
1.96,n
n n Z n
μμ=====
故μ的置信度为95%的置信区间为()0.5073,0.5402.
习题八
1.某手表厂生产的女表表壳，正常情况下，其直径（单位：mm ）服从正态分布)1,20(N ，在某天的生产过程中抽查５只表壳，测得直径分别为19 19.5 19 20 20.5，问生产是否正常？（05.0=α）
解：设00:μμ=H ，01:μμ≠H
检验统计量n X n
X U 10
μσμ-=
-=， 拒绝域????
??≥=2αz U W 05.0=α，9612
.=αz ，
6192050.,,===X n μ 检验值894405
120
619..-=-=
u
961.
2.正常人的脉搏平均为72次/分，现某医生测得10例慢乙基上铅中毒患者的脉搏（次/分）如下：
54 67 78 68 70 67 66 70 69 65
已知乙基四铅中毒者的脉搏服从正态分布，试问：乙基四铅中毒者和正常人的脉搏有无显著的差异？（05.0=α） 解：由题意设7272
0100≠=μμ::H H
2σ未知，取检验统计量n
S X T 0
μ-=
，当0H 为真时 ()1-n t T ~，
拒绝域()???
???-≥=12n t T W α 05.0=α，10
=n ()2622292
.=αt
467.=x ，720=μ 935.=s 检测值453210
93
572
467...-=-=
t ，26222.>t
W t ∈，拒绝0H ，接受1H ，即乙基四铅中毒者和正常人的脉搏有显著的差异。
3.检查一批保险丝，抽取10根，在通过强电流后熔化后需时间（秒）为：65 42 78 75 71 69 68 57 55 54,在05.0=α下，问（已知熔化时间服从),(2
σμN ）。 （1）能否认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒？ （2）能否认为熔化时间的方差不超过80？ 解：（1）6565
10<≥μμ::H H
取检验统计量n
S X T 0
μ-=
，当0H 为真时 ()1-n t T ~，
拒绝域(){}1--≤=n t T W α 05.0=α，10
=n ()833119050..=t
463..=x ，14711.=s 650=μ 检测值454010
147
1165
463...-=-=
t ，
83311.->t ，W t ?，接受0H
即在显著性水平050.=α下，不能认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒。
（2）由14711.=s ，设8080
212
0>≤σσ::H H
检验统计量()2
2
2
1σχ
S n -=
拒绝域(){}
12
2-≥=n W αλχ 10050==n ,
.α ()919161102
.=-α
χ 8020=σ 检验值 979132.=χ，919162.<χ
W ?2χ，接受0H ，即在显著性水平050.=α下，能认为熔化时间的方差不超过80。
4.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过Ω00
5.0，今在生产的一批导线中抽取样品9根，测得Ω=007.0S ，设总体为正态分布，问在水平05.0=α下能认为这批导线电阻的标准差显著地偏大吗？
解：由0070.=s ，设0050005
010.:.:>≤σσH H
检验统计量()2
2
2
1σχ
S n -=
拒绝域(){}
12
2-≥=n W αλχ 9050==n ,
.α ()50715192
.=-α
χ 00500.=σ ， 检验值 68152.=χ，507152.>χ
W ∈2χ，拒绝0H ，接受1H ，即在显著性水平050.=α下，能认为这批导线电阻的
标准差显著地偏大。
5.使用Ａ（电学法）和Ｂ（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样本都是C ο
72.0-的冰，下列数据是每克冰从C ο
72.0- 变为C ο
0水的过程中热量变化（卡/克）
A:79.78 80.04 80.02 80.04 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 8.02 B:80.02 79.94 79.97 79.98 80.03 79.95 79.97
假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，并且它们的方差相等，试在05.0=α下检验
0H :两种方法的总体均值相等．
解：210μμ=:H ，211μμ≠:H
取检验统计量2
111n n S Y X T +-=
?
，当0H 为真时 ()221-+n n t T ~，
拒绝域()?
??
???-+≥=2212n n t T W α
05.0=α，12
1=n 72=n ()1098227120250..=-+t
003
80.=x ，
0735
01.=s
98
79.=y ，
033702.=s
()()062402
11212
22211.=-+-+-=
n n s n s n s ω 检测值77507
1
1210624
0987900380....=+-=
t ，
10982. 即在显著性水平050.=α下，两种方法的总体均值相等。 6.为比较成年男女红细胞数的差别，检查正常男子36名，女子25名，测得男性的均值和方差分别为465.13和54.802 ，测得女性的均值和方差分别为 422.16和49.302 ，假设血液中红细胞数服从正态分布，问（05.0=α） （1）男女的红细胞数目的不均匀性是否一致？即问两正态总体的方差是否相同？ （2）性别对红细胞数目有无影响？ 解：（1）设2 22112 2 210σσσσ≠=::H H 检验统计量22 2 1S S F =，当0H 为真时 ()1121--n n F F ,~ 拒绝域()()12121221,11,1W F F F n n F F n n αα- ???? =≤--≥--?????? ，或者 360501==n , .α25 2=n ()18 224350250.,.=F ， ()() 483035241 2435025002501.,,..== -F F 2218054.=s 22 23049.=s 检测值 23561.=f ， W f ?，接受0H ，在显著性水平050.=α下，2 2 21σσ=即男女的红细胞数目 的不均匀性是一致。 （2）若2 2 2 1σσ=，210μμ=:H ，211μμ≠:H 取检验统计量2 111n n S Y X T +-= ? ，当0H 为真时 ()221-+n n t T ~， 拒绝域()? ?? ???-+≥=2212n n t T W α 05.0=α，36 1=n ，252=n ，()9612253602500250...=≈-+z t 13 465.=x ， 2 218054.=s 16 422.=y ， 22 23049.=s ()()632522 11212 22211.=-+-+-= n n s n s n s ω 检验值136325 1361632 521642213465....=+-= t ， 961.>t ，W t ∈，拒绝0H ，接受1H ， 即在显著性水平050.=α下，性别对红细胞数目有影响。 7.有一大批产品，从中随机抽查50件，查出其中有31件是一级品，问是否可以认为这批产品的一级品率为65%（10.0=α）？ 解：设 010065 0p p H p p H ≠==:.: 检验统计量 ()n p p p X U 000 1--= ， 当n 充分大时，()10， N U 近似 ~，50=n 故拒绝域? ??? ??≥=2αz U W 10.0=α， 6412 .=αz 62050 31 .== x U 的观察值44470.-=u ， 641. 了50分钟，得频数分布如下表： 问15秒钟内通过汽车的辆数是否服从泊松分布？（05.0=α） 解：设{}λλ-= =e k k X P H k ! : 由极大似然估计 810.==Λ x λ 0H 为真时，则()()∑ =---=4 1 22 2 114i i i i nP nP f χχ~ ()991522050..=χ，拒绝域{} 991522.≥=χχW ， 9915900..<，故接受0H ，即15秒钟内通过汽车的辆数服从泊松分布。 总习题八 1．某产品按规定每包重为10kg ，现从中抽取6包进行测量，得9.7 10.1 9.8 10.0 10.2 9.6 kg ，若包重服从正态分布),(2 σμN ，且05.02 =σ，问在05.0=α下，包的平均重量 是否为10kg ？ 解： 令01:10, :10.H H μμ=≠ 取检验统计量：X U = 对应的拒绝域为2|W U U Z α?? =≥???? ， 其中，009.9, 10,6,x n μσ====故U 的观测值为 1.0954u =-， 0.025 1.96,Z =故{}| 1.96W U U =≥， 1.0954,u W =-?∴Q 接受0H ，即在显著性水平0.05α=下，不能认为平均重量为10kg 。 2．正常人的脉搏平均为72次/min ，现某医生从铅中毒的患者中抽取10个人，测得其脉搏为：54 68 67 78 70 67 66 70 69 65次/min 。设脉搏服从正态分布 ),(2σμN ，问在水平05.0=α下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？ 解： 令01:72,:72.H H μμ=≠ 取检验统计量：X T = 对应的拒绝域为()2|1W T T t n α??=≥-????， 其中，067.4,72, 5.9292,10,x s n μ====故T 的观测值为 2.4534t =-， ()0.0259 2.2622,t =故{}| 2.2622W T T =≥， 2.4534,t W =-?∴Q 接受0H ，即在显著性水平0.05α=下，中毒者脉搏与正常人无显著 差异。 3．某灯泡的使用寿命不低于1000 h 为合格，现从一大批灯泡中随机抽出25只，测得 950=x h ，已知灯泡寿命)100,(~2μN X ，问在05.0=α下，能否认为这批灯泡合格？ 解：由于9501000,x =< 故令01:1000,:1000.H H μμ≥< 取检验统计量：X U = 对应的拒绝域为{}|W U U Z α=≤-， 其中，00950,1000,100,25,x n μσ====故U 的观测值为 2.5u =-， 0.05 1.65,Z =故{}| 1.65W U U =≥， 2.5,u W =-∈∴Q 拒绝0H ，即在显著性水平0.1α=下，不能认为这批灯泡合格。 4．设某次考试的考生成绩服从正态分步，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分。问在显著性水平05.0下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。 解： 设成绩()2 ,,X N μσ:则2 215,σ = 令01:70, :70.H H μμ=≠ 取检验统计量：X U = 对应的拒绝域为2|W U U Z α?? =≥???? ， 其中，0066.5,70,15,36,x n μσ====故U 的观测值为 1.4u =-， 0.025 1.96,Z =故{}| 1.96W U U =≥， 1.4,u W =-?∴Q 接受0H ，即在显著性水平0.05α=下，可以认为平均成绩为70。 5．某元件的寿命服从方差22 40=σ )(2h 的正态分布，今从中随机抽取25只进行测量，得 222500h s =，问在05.0=α下，这批元件的波动性较以往有无显著变化？ 解：设寿命()2 ,,X N μσ: 令22 2201:40, :40.H H σσ=≠ 取检验统计量：()22 2 1,n S χσ-=对应的拒绝域为 ()()22222 122|11W n n ααχχχχχ- ??=≤-≥-???? U ， 其中，222025,2500,40,n s σ===故2χ的观测值为2 37.5χ=， ()()220.0250.9752439.3646,2412.401,χχ==故{}222|12040139.364W χχχ=≤≥U ， 237.5,W χ=?∴Q 接受0H ，即在显著性水平0.05α=下，波动性无明显改善。 6．任取10根保险丝作熔化试验，得60=x ，8.1202 =s ，设熔化时间服从正态分布 ),(2σμN ，在01.0=α下，试问熔化时间的方差是否大于100？ 解：2 120.8100,S => 令2 201:100, :100.H H σσ≤> 取检验统计量：()22 2 1,n S χσ-=对应的拒绝域为 (){}222|1W n αχχχ=≥-， 其中，22010,120.8,100,n s σ===故2χ的观测值为2 10.872χ=， ()20.01921.666,χ=故{}22|21.666W χχ=≥， 210.872W χ=?，接受0H ，即在显著性水平0.10α=下，波动性无明显改善。 7．A 、B 两台机床，生产相同型号的滚珠。从A 机床生产的滚珠中任取8个，从B 机床生产的滚珠中任取9个，测量直径得数据如下（单位：mm ）： A 机床：15.0 14.5 15.5 15.2 14.8 15.2 15.1 14.8 B 机床：15.2 14.8 15.0 15.2 15.0 14.8 15.0 15.1 14.8 假设滚珠直径服从正态分布。问在05.0=α下，两台机床生产的滚珠的直径是否可以认为具有同一分布？ 解：设A 机床生产的滚珠直径()21 1 ,,X N μσ:B 机床生产的滚珠直径()2 2 2 ,,Y N μσ: (1) 令012112:,:.H H μμμμ=≠ 取检验统计量：X Y T = 对应的拒绝域为()122 |2W T T t n n α????=≥+-????? ? ，其中， 22121215.0125,14.9889,0.0955,0.0261,0.2418,8,9, w x y s s s n n =======故T 的观测值为0.2009t =， ()0.02515 2.1315,t =故{}|201315W T T =≥， 0.2009t W =?,接受0H ，即在即两者均值相等。 (2) 令22 22012112:, :.H H σσσσ=≠ 取检验统计量：2 122 S F S =， 对应的拒绝域为()()1221221|1,1,1,1W F F F n n F F n n αα?? ?? =≥--≤??--? ???，其中， 22120.0955,0.0261,s s ==故F 的观测值为 3.659f =， ()()() 0.0250.9750.02511 7,8 4.53,7,80.2041,8,7 4.9 F F F == = = 故{}| 4.53,0.2041,W T F F =≥≤ 3.659f W =?,接受0H ， 即在即两者方差相等，所以，在显著性水平0.10α=下，可以认为两者服从同一分布。 8．设有两个来自不同正态总体的样本，5,421==n n ，25.2,60.021==x x ，07.152 1=s ， 81.1022=s ，在05.0=α下，试检验两个样本是否来自于相同方差的正态总体？ 解：设两个方差分别为22 12,,σσ 令22 22012112:, :.H H σσσσ=≠ 取检验统计量：2 122 S F S =，对应的拒绝域为 ()()1221221|1,1,1,1W F F F n n F F n n αα?? ?? =≥--≤??--? ???，其中， 221215.07,10.81,s s ==故F 的观测值为 1.3941f =， ()()() 0.0250.9750.02511 3,49.98,3,40.0662,4,315.1 F F F == = = 故{}|9.98,0.0662,W T F F =≥≤ 1.3941f W =?,接受0H ，即两个样本是来自于相同方差的正态总体。 习题九 1.调查十家百货商店，每人月平均销售额和利润率的资料如下 计算相关系数，并说明人均销售额和利润率之间相关的方向和相关的密切程度。 解：设i x 表示第i 个商店每人月平均销售额,相应的利润率为i y ()1021,,,Λ=i 5010 1 =∑=i i x ，,294101 2 =∑=i i x 9654101 .=∑=i i i y x ，8110101 .=∑=i i y ，10146510 1 2==∑=n y i i , 210110 121???? ??-=∑∑==i i i i xx x n x L 2 10110 12 1??? ? ??-=∑∑==i i i i yy y n y L ???? ?????? ??-=∑∑∑===10110110 1 1i i i i i i i xy y x n y x L 9870.==yy xx xy L L L r 所以人均销售额和利润率之间正相关且高度线性相关。 2．某工业公司为了调查某种产品的月产量和生产费用之间的相关关系，随机调查公司下属八家企业，调查资料如下 试计算月产量和生产费用之间的相关系数，并说明它们相关的方向和密切程度。 解：设i x 和i y 分别表示月产量和生产费用， －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 说明：本试卷总计100分，全试卷共 5 页，完成答卷时间2小时。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 一、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、随机事件A 、B 互不相容，且A ＝B ；则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币，则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ，则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则 =)(X E ，=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ，样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ，应构造统计量为 ，拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ，则做正交实验设计时，可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、设随机事件A 、B 互不相容，且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有（ ） 成立。 A 、A 、 B 是对立事件； B 、A 、B 互不相容； C 、A 、B 不独立； D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（i =1，2，3），下列说法正确的是（ ）。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标； B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标； C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标；D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的减小，)|(|σμ<-X P 应（ ）。 A 、单调增大； B 、单调减少； C 、保持不变； D 、增减不能确定 参数估计 一、 知识点 1. 矩估计法；极大似然估计法 2. 估计量的评判标准（会验证一个估计量的无偏性，比较两个无偏估计量的有效性） 3. 区间估计的概念 4. 会求一个正态总体期望μ和方差2 σ的置信区间 二、习题解答 1. 设总体X ～ 2 2 ()(),0p x a x x a a = -<<，求参数a 的矩估计。 解：2 200 2()()()3a a a E X xp x dx ax x dx a ==-=?? 令3 a X =，?3a X =，由矩估计定义知a 的矩估计?3a X =。 2. 设总体X ～()(1),01,a p x a x x =+<<求 （1） 参数a 的矩估计，（2）参数a 的似然估计 解：（1）11 21 1000 1()()(1)(1)22a a x a E X xp x dx a x dx a a a +++==+=+=++?? 令 1 2 a X a +=+，?211X a X -= -，由矩估计定义知a 的矩估计21 ?1X a X -=- （2） 似然函数()(;)(1)(1)()a n a i i i L a p x a a x a x ==+=+∏∏∏ ln ()ln(1)ln i L a n a a x =++∑， 由 ln ()ln 01 i d L a n x da a =+=+∑ ? 1ln i n a x =- -∑，得a 的极大似然估计?1ln i n a x =--∑ 3. 总体X 服从区间[a,b]上的均匀分布， （1） 求参数a,b 的极大似然估 （2） 设从总体取得样本1.4，2.5，1.6，1.8，2.2，1.8，2.0。分别求a,b 的矩估计值和极大似然估 值。 解：（1）总体X 的密度函数1 ,()0,a x b p x b a ?≤≤? =-???其他 似然函数1 ,1,2,,()()(;,)0i n i a x b i n b a L a b p x a b ?≤≤=?-==??? ∏ ，其他 显然， b a -越小，似然函数就越大，但由于,1,2,,i a x b i n ≤≤= ，所以能套住所有的i x 的最短区间（?a ，?b ）应为：{}1?min i i n a x ≤≤=，{} 1?max i i n b x ≤≤= （2）由课本例题知，a,b 的矩估计为??a X b X ?=-??=+??，代入样本值得矩估计?a ＝1.31，?b ＝2.49；极大似然估?a ＝1.4，?b ＝2.5 5. 已知总体X 服从参数为θ的泊松分布, 其分布律为:0;,2,1,0,)(!1 >===-θθθ k e k X P k k n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本. 求 θ的最大似然估计量; 数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差, 数理统计 一、填空题 1．设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2．设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X 服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 6．某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 22 21,S S 分别是两个子样的方差，令2 2222121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 8．假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。 9．假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 10．设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)( X P ， 则____ 11．假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 N ，令 16 11 10 1 43 i i i i X X Y ，则Y 的 分布 《数理统计》例题 1.设总体X 的概率密度函数为： 2 2 1)(ββ x e x f -= )0(>β 试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解：（1）矩法 由于EX 为0， πβββββ βββββββ2 00 2 2 2 22 2 1][) ()2 (2) ()2(21 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = +-=- =- - ===???? ?∞ +-∞+- ∞ +- - ∞ +- ∞ ++∞ ∞ -dx e xe e d x x d xe dx e x dx x f x EX x x x x x πβ2 222 1= -=X E EX DX 令2S DX =得：S π β2 ?= （2）极大似然法 ∑= ==- =- ∏ n i i i x n n i x e e L 1 2 22 2 1 11 1 β ββ β ∑=- -=n i i x n L 1 22 1 ln ln ββ 2 31 ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β d L d 得∑==n i i x n 1 2 2?β 2. 设总体X 的概率密度函数为： ?? ???<≥--=αα βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1 ),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解：（1）矩法 经统计得：063.0,176.2==S X β αβαβ φα β α α β ααβ α β α α β α α +=-=+-=-===∞ +-- ∞ +-- ∞ +-- -- ∞ +-- ∞ +∞ +∞-?? ? ?x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x EX ][) (1 )( ) (222][) (1 222 22 2βαβαβαβ β α α αβ α β α α β α α ++=+=+-=-==--∞ +∞ +-- --∞ +-- ∞ +?? ?EX dx e x e x e d x dx e x EX x x x x 222)(β=-=EX EX DX 令???==2S DX X EX 即???==+2 2S X ββα 故063.0?,116.2?===-=S S X βα （2）极大似然法 ) (1 1 1),;(αβ β α β β βα---- == =∏X n n X n i e e x L i )(ln ln αβ β-- -=X n n L )(ln ,0ln 2αβ βββα-+-=??>=??X n n L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L 所以05.2?)1(==X α <数理统计>试题 一、填空题 1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2σ已 知，令 ∑==16 1161i i X X ，则统计量σ -164X 服从分布为 （必 须写出分布的参数）。 2．设),(~2σμN X ，而，，，，是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。 3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。 4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。 5．θ ?和β?都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称θ ?是比β?有效的估计。 6．设样本的频数分布为 X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2 则样本方差2s =_____________________。 7．设总体X~N （μ，σ2），X1，X2，…，Xn 为来自总体X 的样本， X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。 8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ未知，X1，X2，…， Xn 为其样本。若假设检验问题为1H 1H 2120≠?σσ：＝：，则采用 的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H0成立时，样本 值（x1,x2, …，xn ）落入W 的概率为，则犯第一类错误的概率为_____________________。 10．设样本X1，X2，…，Xn 来自正态总体N （μ，1），假设检验问 题为：，：＝：0H 0H 10≠?μμ 则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。 11．设总体服从正态分布(,1)N μ，且μ未知，设1,,n X X 为来自该总 体的一个样本，记1 1n i i X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公 式是 ；若已知10.95α-=，则要使上面这个置信区间长度小于等于，则样本容量n 至少要取__ __。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】《数理统计》试卷及答案
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