弦长公式
弦长公式
若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长2
212
21)
()
(y y x x AB -+-=
2
212
21)]
([)(b kx b kx x x +-++-=
212
1x x k -+= 212
2124)
(1x x x x k
-++= 同理：
|AB|=122
12122
4)(|
|11y y y y y y k
-+-+
特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=? P48第7题
例题1：已知直线1+=x y
与双曲线14
:2
2
=-
y
x
C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长
解：设),(),,2211y x B y x A （
由?
????=-+=141
22
y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有???????
-
==+35322121x x x x 得，
23
83
209
42
4)
(1212
212
=
+
=
-++=
x x x x k
AB
练习1：已知椭圆方程为
12
2
2
=+y
x
与直线方程2
1:+
=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的
弦长
练习2：设抛物线x y 42
=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值
分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （
联立方程???????
=++=12
2122y x x y 得03462
=-+x x
则???
????
-
=-=+21322121x x x x
3
112)2
1(4)
3
2(24)
(12
212
212
=
-
?--
=
-++=
∴x x x x k
AB
解: 设),(),,2211y x B y x A （
联立方程:???+==m
x y x y 242
得0)44(42
2
=+-+m
x m x
则??
?
??=
-=+4122121m
x x m x x 53)
1(54)
(12
2
212
212
=--=
-++=
m
m x x x x k
AB
4-=∴m
例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长
AB
分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上
解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=?∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k
设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （ 联立方程??
?+-=+=3
2
x
y b x y 化简得032
=-++b x x
121-=+∴x x AB ∴中点)2
1,21(b M +--
在直线0=+y x 上
1=∴b 022
=-+∴x x
则 ??
?-=-=+2
12121x x x x
23
8)
1(24)
(12
212
212
=+-=
-++=∴x x x x k
AB
小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解
过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式
作业：
（1） 过抛物线2
4y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且
316=
AB ，
求α的值
（2） 已知椭圆方程
12
2
2
=+y
x
及点)2,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于
C 、
D 两点，2F 为椭圆的右焦点，求2
CDF
?的面积。
弦长公式的应用
1. 弦长问题
例1. 已知点），，（和，
03)03(B A -动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y=x-2交于D 、E 两点，求线段DE 的长。 解：设点C x y （，），则
||||C A C B -=±2
，
根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线
x a
y b
22
22
1-
=
由，得，2222312
2
2
a c A B a
b
=====||
故点C 的轨迹方程是 x y
2
2
2
1-
=
由，得x y
y x x x 22
2
2
12460
-
==-????
?+-=
因为?>0，所以直线与双曲线有两个交点。 设D x y E x y ()()1122，，，，则
[]
x x x x D E x x x x x x 12122
12122
12
4611
244
5
+=-=-=
+-=
+-=，故,
||||()
2. 求曲线的方程
例2. 已知点A ()--14，，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，直线
l y x ：=-22与抛物线C 交于M M
12
、两点，若||||||A M M M A M 1122、、成等比数列，
求抛物线C 的方程。 解：设抛物线C y
p x p M x y M x y ：，，，，，2
11122220=>()()()
显然点A 在直线l 上，
由，
得y p x y x 2
222
==-??
? y
p x p 2
20--=，
所以y y p 12+=， y y p 122=-
由图1，知y y 1244>->-，，
图1
又||||||M M A M A M 122
12=?，即
112
112
4112
4441682416282
12
2
2
12
2
122
12
12
122
+
-?? ??
?=
+
++
++-=++++=-++==-||()
()()
()y y y y
y y y y y y
y y p
p p p p p ，
亦即，
，
解得或（舍去）
故抛物线C 的方程为y x 2
4=。
例3. 已知F 是定点，l 是定直线，点F 到直线l 的距离为p p ()>0，点M 在直线l 上
滑动，动点N 在MF 延长线上，且满足
||||
||
F N M N M F =
1，求动点N 的轨迹方程。
解：如图2所示，以点F 为原点，过点F 垂直于l 的直线为x 轴建立直角坐标系。
图2
设N x y x k y x
F N ()().，，则>=0
由于||||||M N M F N F =?， 根据公式，得
111022
22
22
2
2
+
+=
+
?+
+=+>y x
x p y x
p y x
x p x
y x p x ()()，
化简，得，
平方整理，得点N 的轨迹方程为 ()()p x p y p x p x 2
2
2
2
2
1200-+--=>.
3. 范围问题 例
4. 过椭圆
x
m
y
m m 2
1
125+
-=≤≤2
()的左焦点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆及
其准线的交点从左至右依次为A 、B 、C 、D ，记f m A B C D ()||||||=-，求f m ()的取值范围。
图3
解：由条件，知直线l y x x m ：，椭圆准线：=+=±1， A m m D m m ()().--++，，，11 设B x y C x y ()()1122，，，， 其中-<< |||()| ()||||()()||||||||. .(). A B x m x m C D m x m x f m A B C D x x y x x m y m m x m x m m m =+--= += +-=-=-=+=++-=????? -+-+=≤≤11 211 221112122025 2 112 221222 2 2 ， ， 由得因为 所以，f m m m m m m ()=--= -= +-?? ? ??∈????? ?2221 2 221 211211029423 练习： 设双曲线 x a y b a b 22 22 100- =>>()，的右顶点为A ，P 是双曲线上的一个动点（异于 顶点）。从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点。 图4 （1）证明无论P 点在什么位置，总有||||||O P O Q O R 2 =?（O 为坐标原点）； （2）求T A P A Q A R = ?|| |||| 2 的取值范围。 （答案：T b a b T > +≠2 2 2 1且） 各种面积计算公式各种面积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 椭圆的面积S＝πab的公式求椭圆的面积。a＝b时， 当长半径a＝3(厘米)，短半径b＝2(厘米)时，其面积S＝3×2×π＝6π(平方厘米)。 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) 弦长公式 弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号 证明方法如下： 假设直线为:Y=kx+b 圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2 假设相交弦为AB，点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2) 则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^ 把y1=kx1+b. y2=kx2+b分别带入, 则有： AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2 =√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2 =√1+k^2*│x1-x2│ 证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的 证明方法二 d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2 这是两点间距离公式 因为直线 y=kx+b 所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2) 将其带入 d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 得到 d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2 =√(1+k^2)(x1-x2)^2 =√(1+k^2)*√(x1-x2)^2 =√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2 公式二 抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物 抛物线 线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A ﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚ x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 二次曲线中的万能弦长公式 王忠全 我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b （特殊情况要讨论k 的存在性），二次曲线为f （x ，y ）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax 2+by 2+c=0，（或ay 2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A （x 1，y ），B （x ，y ） 那么：x 1，x 2是方程ax +by +c=0的两个解，有 x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=a c ， ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2 21221222122212212 21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ? +=-+?+=-+=--++-=-+-= 同理：若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0，则|AB|= | |112a k ?+. 例、已知过点M （-3，-3）的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线m 的方程。 解析:设直线方程m:y+3=k(x+3), 即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么 032,092,2,210 232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ，k k ，k k k ，，k k k k k k k k k k k k 或所求直线方程为得两边平方即 关于抛物线焦点弦的弦长公式 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点， 且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y - =)2 (π θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42 2 2 2 2 =+ +-k p k x k x p p ，且θtan =k 设A,B 两点的坐标为),(),,( 2 2 1 1 y x y x 则：k k x x p p 22 2 1 2+=+， 4 2 21p x x = ) (sin ) (2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+=+ 当2 π θ= 时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为 )0(22 >=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点， 直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2 211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2 ,0(p ，故AB 的方程为kx p y =- 2 ，将其代入抛物线的方程整理得： ,022 2 =- -p x pkx 从而p x x x x pk 2 2121,2- ==+， 弦长为：) (cos )(2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+ =+ p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。 而 px y 22 -=与（1）的结果一样，py x 22 -=与（2）的结果一样，但是（1）与（2） 的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下： （3）已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。 弦长公式 若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长2 212 21) () (y y x x AB -+-= 2 212 21)] ([)(b kx b kx x x +-++-= 212 1x x k -+= 212 2124) (1x x x x k -++= 同理： |AB|=122 12122 4)(| |11y y y y y y k -+-+ 特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=? P48第7题 例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14 :2 2 =- y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由? ????=-+=141 22 y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有??????? - ==+35322121x x x x 得， 23 83 209 42 4) (1212 212 = + = -++= x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为 12 2 2 =+y x 与直线方程2 1:+ =x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的 弦长 练习2：设抛物线x y 42 =截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值 分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （ 联立方程??????? =++=12 2122y x x y 得03462 =-+x x 则??? ???? - =-=+21322121x x x x 3 112)2 1(4) 3 2(24) (12 212 212 = - ?-- = -++= ∴x x x x k AB 解: 设),(),,2211y x B y x A （ 联立方程:???+==m x y x y 242 得0)44(42 2 =+-+m x m x 则?? ? ??= -=+4122121m x x m x x 53) 1(54) (12 2 212 212 =--= -++= m m x x x x k AB 4-=∴m 例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长 AB 分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上 解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=?∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k 设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （ 联立方程?? ?+-=+=3 2 x y b x y 化简得032 =-++b x x 121-=+∴x x AB ∴中点)2 1,21(b M +-- 在直线0=+y x 上 1=∴b 022 =-+∴x x 则 ?? ?-=-=+2 12121x x x x 23 8) 1(24) (12 212 212 =+-= -++=∴x x x x k AB 小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解 过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式 作业： （1） 过抛物线2 4y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且 316= AB ， 求α的值 36种和弦计算公式。原来这么简单！ 和弦计算公式，大三、挂四、九、十一、十三和弦光这几个我们歆然教育的学生就老记不住，所以作为歆然教育的老师我在这里总结一个和弦从大三到十三和弦的36种变化特点，总结成计算式，让同学们可以像做计算题一样算和弦。再也不用担心乐理了。（附带配和弦、音阶等） 序号和弦标记和弦名称和弦内音和弦公式 1 C 大三和弦 135 大三度+小三度 2 Cm 小三和弦 1b35 小三度+大三度 3 C-5 大三减五和弦 13b5 大三度+增二度 4 C+5,C+,Cang 增和弦 13# 5 大三度+大三度 5 Cdim,C-,C°减和弦 1b3b5 6 小三度+小三度+小三度 6 Csus4,Csus 挂四和弦 145 纯四度+大二度 7 C6 大六和弦 1356 大三和弦+大二度 8 Cm6 小六和弦 1b356 小三和弦+大二度 9 C7 七和弦 135b7 大三和弦+小三度 10 Cmaj7,CM7 大七和弦 1357 大三和弦+大二度 11 Cm7 小七和弦 1b35b7 小三和弦+小三度 12 Cm#7 小升七和弦 1b357 小三和弦+大二度 13 C7+5,C7#5 七增五和弦 13#5b7 增和弦+大二度 14 C7-5,C7b5 七减五和弦 13b5b7 大三减五和弦+大三度 15 Cm7-5 ,Cm7b5 小七减五和弦 1b3b5b7 减三和弦+大三度 16 C7sus4 七挂四和弦 135b74 七和弦+纯四度 17 C7/6 七六和弦 135b76 七和弦+大六度 18 Cm79 大七九和弦 13572 大七和弦+小三度 19 Cmaj9,CM9 大九和弦 13572 大七和弦+小三度 20 C9 九和弦 135b72 七和弦+大三度 21 C9+5 九增五和弦 13#5b72 七增五和弦+大三度 22 C9-5 九减五和弦 13b5b72 七减五和弦+大三度 23 Cm9 小九和弦 1b35b72 小七和弦+大三度 24 C7+9 七增九和弦 135b7#2 七和弦+纯四度 25 Cm9#7 小九增七和弦 1b3572 小升七和弦+小三度 高中数学中的四大类弦长公式 一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式 1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()2 21221y y x x AB -+-= 2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则 a k x x k AB ? +=-+=2 21211（?,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） a k y y k AB ?+=-+ =22121111（?,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式） 注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理） 二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式 1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()22 2 :r b y a x M =-+-相交于B A ,，则 2 2 2d r AB -=（其中2 2 B A C Bb Aa d +++= 为圆心),(b a M 到直线l 的距离） 注：此公式证明需用垂径定理 2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长, BF AF AB += ①α 2 21sin 2p x x p AB = ++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=） ②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式. 3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB += ①过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=. ②过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=. ③过椭圆)0(122 22>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -， 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=. ④过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=. 注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式. 三、直线标准参数方程下的弦长公式 过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程 ? ? ?+=+=αα sin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t . 弦长公式 若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长2 21221)()(y y x x AB -+-= 2 21221)()(kx kx x x -+-= 212 1x x k -+= 212 212 4)(1x x x x k -++= 例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14 :2 2=- y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由?? ???=-+=14122 y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有???????-==+35322121x x x x 得， 23 83 209 42 4)(1212 212 = + = -++= x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为 12 2 2 =+y x 与直线方程2 1:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的 弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （ 联立方程??????? =++=12 2122y x x y 得03462 =-+x x 则??? ????- =-=+21322121x x x x 3 112)2 1(4)3 2(24)(12 212 212 = - ?-- = -++= ∴x x x x k AB 练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值 分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解: 设),(),,2211y x B y x A （ 联立方程:???+==m x y x y 242得0)44(42 2=+-+m x m x 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 关于抛物线焦点弦的弦长公式 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y - =)2 (π θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42 2 2 2 2 =+ +-k p k x k x p p ，且θtan =k 设A,B 两点的坐标为 ) ,(),,(2 21 1y x y x 则： k k x x p p 2 2 2 1 2+=+， 4 2 2 1 p x x = ) (sin ) (2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+=+ 当2 π θ= 时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为 )0(22 >=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两 点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2 211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2 ,0(p ，故AB 的方程为kx p y =- 2 ，将其代入抛物线的方程整理得： ,022 2 =- -p x pkx 从而p x x x x pk 2 2121,2- ==+， 弦长公式在职业高中数学解题中的应用 邹志勇 摘要：直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容之一，而弦长公式的应用是其中的一个重要知识点，也是高考的热点，如何培养学生的创新思维，找到求解弦长的有效方法，在数学教学中显得尤为重要。 关键词：弦长、弦长公式、弦长公式的应用。 与“求弦长”有关的知识点在职高数学教学中经常遇到，而弦长公式是求弦长的最快捷方法之一，在实际应用中，如何让学生灵活地应用弦长公式求弦长在解题中显得至关重要。 一、弦长：这里指的是直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交所截的线段。 二、弦长公式：这里指的是弦长计算公式，弦长公式有好几个，而这里所要讲的是简化后的弦长公式（Ｌ＝ a k ? +21 ） （1）弦长公式的推导 设直线y=kx+t 与圆锥曲线相交于A （1x ，1y ） B （2x ，2y ）两点。则弦长为AB ,把y=kx+t 代入圆锥曲线方程消去y 化简整理得到一个关于x 的一元二次方程 2x α+bx+c=0 （α≠0） 则1x +2x =－a b ，1x 2x =a c ∴ AB =212212)()(y y x x -+-=[]212212)()()(t kx t kx x x +-++- =2122))(1(x x k -+=)1(2k +212214)(x x x x -+ =)1(2k + a c a b ?--4)(2=)1(2k + 224a ac b -=a k ?+21 ∴ 弦长公式为 =a k ?+21 （其中k 表示直线的斜率，△=2b -4ac ，α表示一元二次方程中2 x 的系数） （2）弦长公式的应用 ①直线与圆相交时，弦长公式的应用举例。 例1：已知直线y=2x-5与圆x 2+y 2=25相交于A ，B 两点，求AB 解：把y=2x-5代入x 2+y 2=25化简得x 2—4x=0 ∴ k=2 α=1 △= 2)4(--4×1×0=16 ∴ AB =a k ?+21=1 16212+=45 ②直线与椭圆相交时，弦长公式的应用 圆的弦长公式 知识梳理 一、直线与圆的位置关系 1．几何判定法： 设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离： (1)d >r ?圆与直线相离； (2)d ＝r ?圆与直线相切； (3)d 典型例题 例1：已知圆C ：x 2＋(y －1)2 ＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值． 解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利用弦长公式求解． 答案：(1)解法一：由? ?? ?? x 2 ＋y －12 ＝5 mx －y ＋1－m ＝0，消去y 整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2 －5＝0. ∵Δ＝(－2m 2)2 －4(m 2 ＋1)(m 2 －5)＝16m 2 ＋20>0，对一切m ∈R 成立，∴直线l 与圆C 总有两个 不同交点． 解法二：由已知l ：y －1＝m (x －1)， 故直线恒过定点P (1,1)． ∵12＋(1－1)2 <5，∴P (1,1)在圆C 内． ∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)解法一：圆半径r ＝5， 圆心(0,1)到直线l 的距离为d ， d ＝ r 2－? ????|AB |22＝32 . 由点到直线的距离公式，得 |－m | m 2＋－1 2 ＝3 2 ， 解得m ＝± 3. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋k 2) ? ?????100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ∴m ＝± 3. 练习1：直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2 ＋y 2 ＝25相交，截得的弦长为45，求l 的方程． 答案：解法一：设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)且与圆C 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ? ???? y －5＝k x －5x 2 ＋y 2 ＝25消去y ， 得(k 2 ＋1)x 2 ＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0. ∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2 ＋1)·25k (k －2)>0. 解得k >0. x 1＋x 2＝－10k 1－k k 2 ＋1，x 1x 2＝25k k －2 k 2＋1. 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)． ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 直线与椭圆位置关系运算技巧（一） 问题:直线y kx m =+与椭圆()22 2210x y a b a b +=>>交于()()1122,,,A x y B x y 两点,求 弦长AB 。 解决办法:公式法。 公式一 : 12AB x =-= 公式二 :12AB x =-=其中,A ?表示联立消掉y 后的二次方程20Ax Bx C ++=的系数和判别式； 公式三: AB =,其中,,,a b k m 分别是方程中的系数。 对于公式1,有些学生喜欢使用,因为初中对此公式应用较多,比较熟悉,但该公式计算量大,计算步骤为:（1）联立方程消去y 得x 的二次方程；（2）写出韦达定理；（3）代入计算。但第3步的计算量太大,很多学生算不对,或则说学生出错的概率会很高,就好比:有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计在60左右（没有实践测试,只是一个猜测）。 对于公式2,好些教师包括我以前也是这样教学生计算的,它跳过了韦达定理而直接将两根之差的绝对值表示出来,解题步骤为:（1）联立方程消去y 得x 的二次方程；（2）求?,代入计算。步骤（2）计算难度依然很大,相对于公式一,公式二只是把计算的难点提前了,但因为公式二将步骤减少了,故实践看公式二比公式一从学生算对的概率看确实有所提高,但提高得不很明显,如果有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计在70左右,比方法一多10人。但如果使用两个公式结果都算错了,而公式一还写出了韦达定理,估计很能得一点点步骤分,从这个角度讲,公式2还没有公式1好。 对于公式3,是我最近在网上看到的公式,其实以前也有看到但因为形式太复杂觉得没有用,估计第一次看到公式3的教师也会觉得它太复杂学生怎么用呢？但通过实践测试,用公式3算对弦长的概率大大增加,如果有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计有90人左右,因为它的步骤就一步:直接将系数代入套公式,并且它的计算没有像方法1,2那样的复杂,计算难度小很多。只是教师要让学生记住该公式,其实该公式并不难记忆,观察分子分母是有关系的,先记分母,再记分子就可以了。 故弦长的计算从学生解题的角度看应该用公式三。当然,这种做法是基于应试学生解对题的角度出发的,若想训练学生的运算求解能力,哪种方法都可以,甚至越复杂的方法越能训练学生的运算能力。 郭.开.航 2018年12月11日 弦长公式的推导过程及应用举例 例1．求圆9)2()1(2 2=-+-y x C ：截直线0543=+-y x l ：所得的弦长． 解：设圆C 截直线l 所得的弦为MN ， 由0543=+-y x ?4543+=x y ，即已知直线的斜率4 3=k ， 将4543+=x y 代入9)2()1(22=-+-y x C ：得：011950252=--x x ， 由弦长公式A k P P ?+=)1(221得： 625 11925450)43(122=??+?+=MN ． 答：圆C 截直线l 所得的弦长为6． 例2．已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程． 解：设直线方程)3(3+=+x k y l ：，即33-+=k kx y ， 代人021422=-++y y x ，得： 0211212418669922222=--++--++++k kx k kx x k k x k x ， 即02469)26()1(2222=--+-++k k x k k x k ， 由弦长公式A k P P ? +=)1(221及题意，得： 541)1(22=+? +k k ， 即)1(802k +=?， 而)2469)(1(4)26(2222--+--=?k k k k k ， ∴)1(80)2469)(1(4)26(22222k k k k k k +=--+--， ? 4644656969) 469)(1()13() 2469)(1()1(20)13(2234234222222222=----+-=+---+=---+++=-k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 整理，得：02322=--k k ， 解得 21 -=k 或2=k ， ∴直线方程为)3(21 31+-=+x y l ：或)3(232+=+x y l ： 即)0921=++y x l ：或0322=+-y x l ：． 弦长的十种计算技巧 在圆中，弦长的计算是垂径定理的重要应用之一，常作垂直于弦的直径或半径。但往往只须作出弦心距作为辅助线构成直角三角形，计算弦长。 题目：已知OA 、OB 为⊙O 的半径，OA ⊥OB ，弦AD 经过OB 的中点C ，⊙O 的半径为4cm ，求AD 之长。 一、作弦心距，构造直角三角形，计算弦长 解：如图1所示。 图1 过点O 作OE ⊥AD 于点E ，则AD=2AE 。 在Rt △AOC 中，OA=4cm ，OC=1 2 OB =2cm 。 由勾股定理得AC OA OC cm = +=2225， 又1212455 OA OC AC OE OE OA OC AC cm ···=?==， 在Rt △AEO 中，AE OA OE cm =-=22 855 ， 故AD AE cm ==2165 5 。 二、利用正切三角函数计算弦长 题目和图同上。 解：在Rt △AOC 中，tan ∠OAC OC OA ==1 2， 又在Rt △AEO 中，cot ∠OAE AE OE AE OE =?=·cot /tan ∠∠OAE OE OAC = ==285 5 OE cm 。 因此AD AE cm == 2165 5 。 三、利用射影定理计算弦长 解：如图1在Rt △AOC 中， OE ⊥AC ?=?= =AO AE AC AE AO AC cm 2 285 5 · （由解一可知AC cm =25），因此AD AE cm ==2165 5 。 四、利用相交弦定理计算弦长 解：如图2，延长BCO 交AD ? 于点F ， 图2 则CF OF OC cm CB OB cm =+===61 2 2，， 依相交弦定理有 BC CF AC CD BC CF AC AD AC AD BC CF AC AC cm cm ·····×=?=-?= +=+=() ()2625 251655 五、利用切割线定理计算弦长 解：如图3， 图3 同解一作OE ⊥AD 于点E ，则AD=2AE 。 以点O 为圆心，以OE 为半径作辅助圆O ，交OA 于点F 。 延长AO 交辅助圆于点G 。 由切线判定定理知AE 是辅助圆的切线， AFG 是其割线，由OE OF OG cm ===455（由解一知OE cm =45 5 ）， 那么AF OA OF cm =-=-()445 5 。 AG =+ ()445 5 cm 。 从而依切割线定理得： AE AF AG AE 2 2 4455445564 5 =?=- +=··()()，各种面积计算公式
弦长公式.
二次曲线中的万能弦长公式
抛物线焦点弦的弦长公式
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