概率论试题及答案.docx
试卷一
一、填空（每小题 2 分，共 10 分）
１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为
______________________。
２ .掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。
３．已知互斥的两个事件满足，则___________。
４．设为两个随机事件，，，则___________。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为 ___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号
内。每小题 2 分，共 20 分）
1.从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。
A取到
2只红球B取到
1
只白球
( )( )
( C) 没有取到白球( D) 至少取到 1 只红球2．对掷一枚硬币的试验 ,“出现正面”称为（）。
( A) 随机事件( B) 必然事件
( C) 不可能事件( D) 样本空间
3.设A、B为随机事件，则（）。
(A)A(B)B
C AB
(Dφ
( ))
4.设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。
A与互斥B与不互斥
( )( )
C D
( )( )
5.设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
( A)( B)
C D
( )( )
6.设相互独立，则（）。
( A)( B)
C D
( )( )
7. 设是三个随机事件，且有，则
（）。
( A) 0.1( B) 0.6
( C) 0.8( D) 0.7
8.进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功 2 次之前已经失败 3 次
的概率为（）。
A p2
(1–p
)
3
B p
(1
–p
)
3
( )( ) 4
C p
2
(1–p
)
3
(
D p
2
(1
–p
)
3
( ) 5) 4
9.设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A)(B)
C
(D
( ))
10. 设事件 A 与 B 同时发生时，事件C一定发生，则（）。
A PAB
) =P C
(
B P A P B– P C≤
1
( )(( ))( ) +( )( )
(C) P( A)+ P(B) – P(C) ≥1(D) P(A)+ P( B) ≤ P(C)
三、计算与应用题（每小题8 分，共 64 分）
1.袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。
求取到的两个球颜色不同的概率。
2.10 把钥匙有 3 把能把门锁打开。今任取两把。
求能打开门的概率。
3.一间宿舍住有 6 位同学，
求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率。
4.50 个产品中有 46 个合格品与 4 个次品，从中一次抽取 3 个，求
至少取到一个次品的概率。
5.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为 0.2 ，0.1 ，
0.1 ，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。
求该种零件的次品率。
6.已知某品的合格率为 0.95 ，而合格品中的一级品率为 0.65 。
求该产品的一级品率。
7.一箱产品共 100 件, 其中次品个数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取
10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验
收，
求其中确实没有次品的概率。
8.某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的
合格率分别为 0.8 与 0.9 。现从该厂的产品中有放回地取 5 件来检验，
求其中最多有一件次品的概率。
四、证明题（共 6 分）
设，。证明
试卷一
参考答案
一、填空
1.或
2.出现的点数恰为 5
3.
与互斥
则
4.0.6
故
5.
至少发生一个，即为
又由得
故
二、单项选择
1．
2. A
3. A
利用集合的运算性质可得.
4．
与互斥
故
5．
故
6．
相互独立
7.
且
则
8.
9. B
10. B
故 P(A)+ P(B) –P(C) ≤1
三、计算与应用题
1.解：
设表示“取到的两球颜色不同” ，则
而样本点总数
故
2.解：
设表示“能把门锁打开” ，则，而
故
3.解：
设表示“有 4 个人的生日在同一月份” ，则
而样本点总数为
故
4.解：
设表示“至少取到一个次品” ，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”
则包含的样本点数为。而样本点总数为
故
5.解：
设“任取一个零件为次品”
由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品” ，表示通过三道工序都合格，
则
于是6.解：
设显然于是表示“产品是一极品” ，
，则
表示“产品是合格品”
即该产品的一级品率为
7.解：
设“箱中有件次品”，由题设，有，
又设“该箱产品通过验收” ，由全概率公式，有于是
8.解：
依题意，该厂产品的合格率为，
于是，次品率为
设表示“有放回取 5 件，最多取到一件次品”
则
四、证明题
证明
，，
由概率的性质知则
又
且
故
试卷二
一、填空（每小题 2 分，共 10 分）
1.若随机变量的概率分布为，，则__________。
2.设随机变量，且，则__________。
3.设随机变量, 则__________。
4.设随机变量，则__________。
5.若随机变量的概率分布为
则__________。
二、单项选择 ( 每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分，共 20 分)
1. 设与分别是两个随机变量的分布函数，为使
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）。
( A)( B)
(C)(D)
2.设随机变量的概率密度为，则（）。
( A) ( C)( B) ( D)
3. 下列函数为随机变量分布密度的是()。
A
(B
( ))
(C)(D)
4. 下列函数为随机变量分布密度的是()。
A
(B
( ))
(C)(D)
5.设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（）。
A B
( )( )
( C)( D)
6. 设服从二项分布，则（）。
A B
( )( )
( C)( D)
7.设，则（）。
(A B )( )
(C)( D)
8．设随机变量的分布密度为,则（）。
(A)2(B) 1
(C) 1/2(D) 4
9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。
( A) 二项分布( B)指数分布
( C) 正态分布( D)泊松分布
10．设为服从正态分布的随机变量，则( )。
A
(B
( ) 9) 6
C
(D
( ) 4) -3
三、计算与应用题（每小题8 分，共 64 分）
1.盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球， 3 个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，
直到取到新球为止。
求抽取次数的概率分布。
2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。
求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？
（2）若车间中仅有 2 台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？
3.某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为
求（1）常数；
（2）若将 3 个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150 小时后仍能正常工作的概率。
4.某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。
求（1）这样的电池寿命在250 小时以上的概率；
（2），使电池寿命在内的概率不小于 0.9 。
5.设随机变量。
求概率密度。
6.若随机变量服从泊松分布，即，且知。
求。
7.设随机变量的概率密度为。
求和。
8.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或
绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求（1）的概率分布；
（2）。
四、证明题（共 6 分）
设随机变量服从参数为 2 的指数分布。
证明：在区间上，服从均匀分布。
试卷二
参考答案
一、填空
1. 6
由概率分布的性质有
即，
得。
2.
，则
3. 0.5
4.
5. 0.25
由题设，可设
即
01
0.50.5
则
二、单项选择
1.()
由分布函数的性质，知
则，经验证只有满足，选
2.()
由概率密度的性质，有
3.()
由概率密度的性质，有
4.()
由密度函数的性质，有
5.()
是单减函数，其反函数为，求导数得由公式，的密度为
6.()
由已知服从二项分布，则
又由方差的性质知 ,
7.()
于是
8.( A) 由正态分布密度的定义 , 有
9.( D)
∴如果时, 只能选择泊松分布 .
10. ( D)
∵ X 为服从正态分布 N (-1, 2),EX =-1
∴E(2X - 1) = -3
三、计算与应用题
1.解：
设为抽取的次数
只有个旧球,所以的可能取值为：
由古典概型，有
则
1234
2.解：
设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有
，
，于是
（ 1）的最可能值为，即概率达到最大的
（2）
3.解：
（ 1）由可得
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件
的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作” ，则
而
故
4.解：
（1）
（查正态分布表）
（ 2）由题意
即查表得。
5.解:
对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，
又由题设知
故由公式知：
6.解:
，则
而