第二章作业题解:
2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.
解:
由表格知并且,361)12()2(=
===X P X P ;362)11()3(====X P X P ; 363)10()4(====X P X P ;364)9()5(====X P X P ; 36
5)8()6(=
===X P X P ;366)7(==X P 。 即 36
|
7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{Λ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解:根据
1)(0
==∑∞=k k X P ,得10
()1k
k
k k ae
a e ∞
∞
--====∑∑,即111
1
=---e ae 。 故 1-=e a
2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率:
(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解:分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中,则
12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========
两人两次都未投中的概率为:0324.06.06.03.03.0)(2121=???=B B A A P , 两人各投中一次的概率为:
2016
.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=????=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为:0784.0)(2121=B B A A P 。所以: (1)两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为:
12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=???+?+??=
2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15
}{==
=k k
k X P ,求 )31()1(≤≤X P )5.25.0()2(< 2153152151)31(=++= ≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==< 1152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21 }{Λ===k k X P k ,求 };6,4,2{)1(Λ=X P }3{)2(≥X P 解:31)21211(21212121}6,4,2{)1(4 22642=++?=++= =ΛΛΛX P 4 1 }2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P 2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出 信号, 求下列事件的概率: (1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号. 解:(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P 1792.04.06.04.04 3 3 4=+?=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P 31744.04.06.04.06.04.05 4452335=+?+?=C C . 2.7 某城市在长度为t (单位:小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊 松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率: (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解:(1) ()! k P X k e k λλ-== ,由题意,0.53 1.5,0k λ=?==,所求事件的概率为 1.5e -. (2) 0 (2)110! 1! P X e e e e λλλλλλ λ----≥=-- =--, 由题意,0.54 1.5λ=?=,所求事件 的概率为2 13e --. 2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01,假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99? 解:设应配备m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X ,则)01.0,180(~B X 。 依题意,设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即99.0)(≥≤m X P ,也即 01.0)1(≤+≥m X P 因为n =180较大,p =0.01较小,所以X 近似服从参数为8.101.0180=?=λ的泊松分布。 查泊松分布表,得,当m +1=7时上式成立,得m =6。 故应至少配备6名设备维修人员。 2.9 某种元件的寿命X (单位:小时) 的概率密度函数为: 2 1000 ,1000()0,1000 x f x x x ?≥? =???p 求5 个元件在使用1500 小时后, 恰有2 个元件失效的概率。 解:一个元件使用1500小时失效的概率为 3 1 10001000)15001000(1500 10001500 10002= -==≤≤?x dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ,则)3 1 ,5(~B Y 。所求的概率为 22351280 (2)()()33243 P Y C ==?= 。 2.10 设某地区每天的用电量X (单位:百万千瓦?时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数为: 212(1),01, ()0,x x x f x ?-=??p p 其他 假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦?时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的供电量上升到90万千瓦?时, 每天供电量不足的概率是多少? 解:求每天的供电量仅有80万千瓦?时, 该地区每天供电量不足的概率,只需要求出该地区用电量X 超过80万千瓦?时(亦即X ≥0.8百万千瓦?时)的概率: 0.80.8 20 2 3 4 0.8 (0.8=1-(X 0.8=1-()112(1)1(683)0.0272 P X P f x dx x x dx x x x -∞>≤=--=--+=? ?)) 若每天的供电量上升到90万千瓦?时, 每天供电量不足的概率为: 0.90.9 20 2340.9 (0.9=1-P(X 0.9=1-()112(1)1(683) 0.0037 P X f x dx x x dx x x x -∞ ≤=--=--+=? ?f )) 2.11 设随机变量~(2,4),K U -求方程2 2230x Kx K +++=有实根的概率. 解:方程2 2230x Kx K +++=有实根,亦即2 48124(3)(1)0K K K K ?=--=-+≥, 显然,当31K K ≥?≤-时,方程2 2230x Kx K +++=有实根;又由于~(2,4),K U -所 求概率为: 1(2)431 4(2)3 ---+-=--。 2.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命X (单位:小时) 服从参数为0.005 的指数分布, 求下列 事件的概率: (1) 发射管寿命不超过100 小时; (2) 发射管的寿命超过300 小时; (3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间. 解:(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率: 1001000.0050.0050.50 (100)0.0051x x P X e dx e e ---<==-=-?=0.39 (2) 发射管的寿命超过300 小时的概率: 1.5 1.5(300)1(300)1(1)0.223P X P x e e -->=-<=--== (3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间. 0.50.5 1.5(1)()0.15e e e -----=。 2.13 设每人每次打电话的时间(单位:分钟) 服从参数为0.5 的指数分布. 求282人次所打 的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率. 解:设每人每次打电话的时间为X ,X ~E (0.5),则一个人打电话超过10分钟的概率为 510 5.010 5.05.0)10(-+∞ -+∞ -=-==>?e e dx e X P x x 又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ,则),282(~5 -e B Y 。 因为n =282较大,p 较小,所以Y 近似服从参数为9.12825 ≈?=-e λ的泊松分布。 所求的概率为 )1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P 56625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e 2.14 某高校女生的收缩压X (单位:毫米汞柱) 服2 (110,12)N , 求该校某名女生: (1) 收缩压不超过105 的概率; (2) 收缩压在100 至120 之间的概率. 解:(1))42.0(1)42.0()12 110 105( )105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 3372.06628.01=-= (2))12 110 100()12110120()120100(-Φ--Φ=≤≤X P 5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-?=-Φ=-Φ-Φ=。 2.15 公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01 设计的, 设成年男性的 身高X (单位:厘米) 服从正态分布N (170,2 62), 问车门的最低高度应为多少? 解:设车门高度分别为x 。则: 170 ()10.010.99( )6 x P X x -≤=-==Φ 查表得,(2.33)0.99Φ=,因此170 2.336 x -=,由此求得车门的最低高度应为184厘米。 2.16 已知20 件同类型的产品中有2 件次品, 其余为正品. 今从这20 件产品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4 次共取出次品的件数, 求X 的概率分布与分布函数. 解:X 的可能取值为0,1,2。 因为1817161512(0),2019181719P X ===; 2184203 (2)95 C P X C === ; 12332(1)1199595 P X ==- -= 所以X X 0 0120119()921295 12x x F x x x ??≤=??≤?≥? 2.17 袋中有同型号小球5 只, 编号分别为1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以X 表示取 出的3只中的最小号码, 求随机变量X 的概率分布和分布函数. 解:X 的可能取值为1,2,3。 因为6.0106 )1(3524====C C X P ; 1.01011)3(35 ====C X P ; 3.01.06.01)2(=--==X P 所以X 的分布律为 X ???? ???≥<≤<≤<=3 1329.0216.010 )(x x x x x F 2.18 设连续型随机变量X 的分布函数为: 0, 1,()ln ,1,1,x F x x x e x e ? =≤?≥? 求(1){2}P X <,{03}P X <<,{2 2.5}.P X <≤ (2)求X 的概率密度函数()f x 。 解:(1)2ln )2()2(== 101)0()3()30(=-=-=< 25.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤ (2) ???<≤='=-其它0 1)()(1e x x x F x f 2.19 设连续型随机变量X 的分布函数为: 2 2,0, ()0,0. x a be x F x x - ?+≥?? =? ?? (1)求常数,a b (2)求X 的概率密度函数()f x 。 (3 )求P X <≤ 解:(1)由1)(=+∞F 及)0()(lim 0 F x F x =→,得? ? ?=+=01 b a a ,故a =1,b =-1. (2) ?????<≥='=-0 0)()(2 2 x x xe x F x f x (3) )4ln ()16ln ()16ln 4ln (F F X P -=< < 25.04 1 )1()1(2 4ln 2 16ln == ---=--e e 。 2.20设随机变量 解:(1) Y 的可能取值为0, π2, 4π2。 因为2.0)2 ()0(== ==π X P Y P ; 7.0)()0()(2 ==+===ππX P X P Y P ; 1.0)2 3 ()4(2== ==π πX P Y P 所以Y 的分布律为 (2) Y 因为 7.0)()0()1(==+==-=πX P X P Y P ; 3.0)2 3()2 ()1(== += ==π π X P X P Y P 所以Y 2.21 设随机变量X 的分布函数为 10.311()0.81212 x x F x x x <-??-≤=?≤?≥? (1)求X 的概率分布; (2)求Y X =的概率分布。 解:(1) X 的可能取值为F (x )的分界点,即-1,1,2。 因为 3.0)1(=-=X P ;5.03.08.0)1(=-==X P ;2.08.01)2(=-==X P 所以X 的分布律为 (2) Y 因为 8.0)1()1()1(==+-===X P X P Y P ; 2.0)2()2(= ===X P Y P 所以Y 2.22 设随机变量~(0,1)X N ,求下列随机变量Y 概率密度函数: (1)21;Y X =- (2)X Y e -=; (3)2 Y X =. 解:设()Y F y 和()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数。 (1)已知2 221)(x X e x f - = π 因为)2 1 ()21()12()()(+=+≤ =≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y 求导得 )2 1 (21)21)(21()(+='++=y f y y f y f X X Y 8 )1(2)21( 2 2 22121 21+- +-= =y y e e π π 所以Y 参数分别为-1, 22服从正态分布。 (2) 当0y ≤,(){}()0Y F y P Y y P φ=≤==,当0y >,由已知条件,2 221)(x X e x f - = π , 22 ln ()()()(ln ) (ln )1(ln )1(ln )1X Y t y X F y P Y y P e y P X y P X y P X y F y -- --∞ =≤=≤=-≤=≥-=-≤-=--=-? 求导得 2 ln 2,0()0,0; x Y y f y y -?>=≤? (3) 当0y ≤,(){}()0Y F y P Y y P φ=≤==,当0y >,由已知条件2 221)(x X e x f - = π , 2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=- 求导得 2,0()0,0; y Y y f y y -?>=≤? 2.23 设随机变量~(0,)X U π,求下列随机变量Y 概率密度函数: (1)2ln ;Y X = (2)cos Y X =; (3)sin Y X =. 解:(1)已知??? ??<<=其他 01)(ππ x x f X 则)()()ln 2()()(2 2y X y Y e F e X P y X P y Y P y F =≤=≤=≤= 求导得 )(2 1 ))(()(222 2y X y y y X Y e f e e e f y f ='= 因为当π<<20y e ,即πln 2 1 )(2 = y X e f ;当y 取其他值时0)(2 =y X e f 。 所以 ?????<=其他 ln 221)(2ππ y e y f y Y 为所求的密度函数。 (2)根据已知条件,由三角函数和反三角函数的性质,我们知道cos (1,1)Y X =∈-。当 (1,1)y ∈-,()()(cos )(arccos )Y F y P Y y P X y P y X π=≤=≤=≤≤,由于随机变量~(0,)X U π,容易求得arccos ()Y y F y ππ -= 求导得 11()0Y y f y -<<=? 其他 (3)根据已知条件,由三角函数和反三角函数的性质,我们知道sin (0,1)Y X =∈。当 (0,1)y ∈, ()()(sin )(0arcsin )(arcsin )Y F y P Y y P X y P X y P y X ππ=≤=≤=≤≤+-≤≤,由于 随机变量~(0,)X U π,容易求得2arcsin ()Y y F y π = 求导得 11()0Y y f y -<<=? 其他 二、第二章定义、定理、公式、公理小结及补充: 第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好? 解: 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >,即乙机床的平均次品数比甲机床少,所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号,求E (X ). 解:X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ;3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ; 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数,求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ,下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数, 易知幂级数的收敛半径为1=R ,于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑ ·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 习题三 1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表: 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表: 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 F (x ,y )=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度 f(x,y)= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求:(1)常数A; (2)随机变量(X,Y)的分布函数; (3)P{0≤X<1,0≤Y<2}. 【解】(1)由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 (2)由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=,P (B)=,P (B A)=,则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)? ()?(21θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件,且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=,则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α= 。 6. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。 * 8. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=,P (A -B)=,则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ=,Φ=,则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ,则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ,则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ,其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ,则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX EX X Y /)(-=,则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51,则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ~N (2,2σ),且P {2 < X <4}=,则P {X < 0}= 。 ! 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解:根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ,得10 =∑∞ =-k k ae ,即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解:用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数,X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:(1)P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解:(1)P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- (2)P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解:设i A 表示第i 次取出的是次品,X 的所有可能取值为0,1,2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解:(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数,则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数,则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= (1)X ~P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - (2)X ~P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:对立不是独立。两个集合互补。第2题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A发生,必然导致和事件发生。第3题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:密度函数在【-1,1】区间积分。第5题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A答案,包括了BC两种情况。 第6题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中,且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第8题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数,加绝对值。第9题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用概率密度的性质,概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用分布函数的性质,包括分布函数的值域[0,1]当自变量趋向无穷时,分布函数取值应该是1.排除答案。 第11题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用上分位点的定义。 第12题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P(AB)小于等于P(C)。第13题 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一.填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -,则 =≤)2(X P ;=>)3(X P ;=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ,则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4.设A ,B 为两个随机事件,且A 与B 相互独立,P (A )=,P (B )=,则()P AB =____________.() 5.设事件A 、B 互不相容,已知()0.4=P A ,()0.5=P B ,则()=P AB 6. 盒中有4个棋子,其中2个白子,2个黑子,今有1人随机地从盒中取出2个棋子,则这2个棋子颜色相同的概率为____________.( 13 ) 7.设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布,则()E X =____________.( 12 ) 8.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,则概率密度函数为 __. (k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L )) 9.某种电器使用寿命X (单位:小时)服从参数为1 40000 λ=的指数分布,则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.(40000) 10在3男生2女生中任取3人,用X 表示取到女生人数,则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ,则=a π1 ;=>)0(X P ;==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ,则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计) 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。 解:μ,σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 (1)? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知,θ>1,θ为未知参数。 (2)?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0,θ为未知参数。 (5)()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解:(1)X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令, 得c X X θ-= (2),1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 (5)E (X ) = mp 令mp = X , 解得m X p =? 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解:(1)似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”, 如连续查出2个次品就停止,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。用“0”表示次品,用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段,观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ,每次从其中取一只(取后不放回) ,直到将3只次品都取出 , 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ,改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 , e4 ,… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 , e4 ,… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标; (3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数; (4)测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 (1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x2+y2<1} (3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件: (1)A发生,B和C不发生; (2)A与B都发生,而C不发生; (3)A、B、C都发生; (4)A、B、C都不发生; (5)A、B、C不都发生; (6)A、B、C至少有一个发生; (7)A、B、C不多于一个发生; (8)A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3.在某小学的学生中任选一名,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是三年级学生,事件C表示该学生是运动员,则 (1)事件AB表示什么? (2)在什么条件下ABC=C成立? ?是正确的? (3)在什么条件下关系式C B (4)在什么条件下A B =成立? 解所求的事件表示如下 (1)事件AB表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC=C成立. ?是正确的. (3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B (4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=,P (A -B )=,试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=1 4 ,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A ={两球颜色相同}, B ={两球颜色不同}. 解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为2 2a b A A +,有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 习题五 1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件,则i =1,2,…,n ,且 X 1,X 2,…,X n 独立同分布,p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} {=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)} 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ; {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ; {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++; (4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++; (6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ; (9)C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:C B A ++,C AB +,AC B -. 解:如图: 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A -B)=(0.3 )。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求 敌机被击中的概率为(0.94 )。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为(0.496 )。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立 射击4次,则击中二次的概率为 ( 0.3456 )。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都 不发生可表示为(ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不多于一个发生可表示为(AB AC BC I I); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=(0.5 ); 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机 的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为(0.8 ); 10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=(0.5 ) 11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864 )。 12.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=(0.3 ); 13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=(0.5 ) 14.A、B为两互斥事件,则A B= U(S )15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰 有一个发生可表示为 (ABC ABC ABC ++) 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=,() P A=,()0.2 ( 0.2 ) 17.A、B为两互斥事件,则AB=(S ) 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次 )。 就能打开保险箱的概率为(1 10000 《概率论与数理统计》作业集及答案 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版(高等教育出版社) 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1) ??? ????=n n n n o S 1001, ,n 表小班人数 (3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。([一] 2) S={10,11,12,………,n ,………} (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。 ([一] (3)) S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,} 2.[二] 设A ,B ,C 为三事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列事件。 (1)A 发生,B 与C 不发生。 表示为: C B A 或A - (AB+AC )或A - (B ∪C ) (2)A ,B 都发生,而C 不发生。 表示为: C AB 或AB -ABC 或AB -C (3)A ,B ,C 中至少有一个发生 表示为:A+B+C (4)A ,B ,C 都发生, 表示为:ABC (5)A ,B ,C 都不发生, 表示为:C B A 或S - (A+B+C)或C B A ?? (6)A ,B ,C 中不多于一个发生,即A ,B ,C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为:C A C B B A ++。 (7)A ,B ,C 中不多于二个发生。 相当于:C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为:ABC C B A 或++ (8)A ,B ,C 中至少有二个发生。 相当于:AB ,BC ,AC 中至少有一个发生。故 表示为:AB +BC +AC 6.[三] 设A ,B 是两事件且P (A )=0.6,P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 解:由P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.7即知AB ≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理, P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾). 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B ) (*) (1)从0≤P (AB )≤P (A )知,当AB =A ,即A ∩B 时P (AB )取到最大值,最大值为 P (AB )=P (A )=0.6, (2)从(*)式知,当A ∪B=S 时,P (AB )取最小值,最小值为 P (AB )=0.6+0.7-1=0.3 。 7.[四] 设A ,B ,C 是三事件,且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ,8 1 )(= AC P . 求A ,B ,C 至少有一个发生的概率。 解:P (A ,B ,C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )-P (AB )-P (BC ) 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示? 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生},则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ;或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二{8只鞋子均不成双}, B={恰有2只鞋子成双}, C 珂恰有4只鞋子成双}. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C :C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率? 4 (1) P {三位数为偶数} = P {尾数为偶数}=-, 9 ⑵P {三位数为奇数} = P {尾数为奇数} = 5, 9 或P {三位数为奇数} =1 -P {三位数为偶数} =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A ={最小号码为5}, B={最大号码为5}. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16 . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~,其中参数μ,2σ为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设: (1)0:0,1H μσ==; (2)0:0,1H μσ=>; (3)0:3,1H μσ<=; (4)0:03H μ<<; (5)0:0H μ=. 解:(1)是简单假设,其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ,其中参数μ未知,x 是子样均值,如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域:12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ,试决定常数c ,使检验的显着性水平为 解:因为(,9)N ξμ~,故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下, 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==,所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ,20σ已知,对假设检验0010:,:H H μμμμ=>,取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L , (1)求此检验犯第一类错误概率为α时,犯第二类错误的概率β,并讨论它们之间的关系; (2)设0μ=,20σ=,α=,n=9,求μ=时不犯第二类错误的概率。 解:(1)在0H 成立的条件下,2 00(, )n N σξμ~,此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ,由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下,2 0(, )n N σξμ~,此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知,当α增加时,1αμ-减小,从而β减小;反之当α减少时,则β增加。 (2)不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体,对()f x 考虑统计假设: 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足2min αβ+=,并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他(c 为检验的拒绝域)概率论与数理统计第4章作业题解
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次,观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是:S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则 A= ;B:数点大于 2,则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次, A:第一次出现正面,则 A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= ;b5E2RGbCAP ;p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件,用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C 都不发生表示为: .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为: .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为: .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为: .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为: .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}:则 (1) A ? B ? (4) A ? B = , (2) AB ? , (5) A B = , (3) A B ? 。 ,
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ,则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签,其中 2 个“中” ,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案
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