最新定积分习题及答案
第五章 定积分
(A 层次)
1．?20
3
cos sin π
xdx x ； 2．?-a
dx x a x
2
2
2
； 3．?+3
1
2
2
1x
x
dx ；
4．?--11
45x xdx ； 5．?
+4
1
1
x dx ； 6．?--1
4
3
1
1x dx ；
7．?
+2
1
ln 1e x
x dx
； 8．?
-++0
222
2x x dx
； 9．dx x ?+π02cos 1； 10．dx x x ?-π
πsin 4
； 11．dx x ?-
22
4
cos 4π
π； 12．?-++5
5242
312sin dx x x x
x ；
13．?3
4
2sin π
πdx x x
； 14．?41ln dx x x ； 15．?10xarctgxdx ； 16．?20
2cos π
xdx e x ； 17．()dx x x ?
π
2
sin ； 18．()dx x e
?1
ln sin ；
19．?-
-24
3
cos cos π
πdx x x ； 20．?+4
sin 1sin πdx x
x ； 21．dx x x
x ?+π02cos 1sin ；
22．?-+21
11ln dx x
x
x ； 23．?∞+∞-++dx x x 42
11； 24．?20sin ln π
xdx ； 25．(
)()
?∞+++0
211dx x x dx
α
()0≥α。
(B 层次)
1．求由0cos 0
=+??x
y
t
tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数
dx
dy 。 2．当x 为何值时，函数()?-=x
t dt te x I 0
2
有极值？
3．
()
?x x dt t dx
d cos sin 2
cos π。 4．设()???
??>≤+=1,2
11,12x x x x x f ，求()?20dx x f 。
5．()1
lim
2
02
+?+∞
→x dt arctgt x
x 。
6．设()?????≤≤=其它,00,sin 21
π
x x x f ，求()()?=x dt t f x 0
?。
7．设()??????
?<+≥+=时当时当0,110,11
x e x x
x f x
，求()?-2
1dx x f 。
8．()
22
21
lim
n n n n n +++
∞→Λ。
9．求∑
=∞
→+n
k n
k n k n ne
n e
1
2lim 。
10．设()x f 是连续函数，且()()?+=1
2dt t f x x f ，求()x f 。
11．若?
=
-2ln 26
1
x
t
e dt π
，求x 。
12．证明：?
-
--<<21
2
121222
dx e e
x 。
13．已知?∞+-+∞→=??? ??+-a x
x
x dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。 14．设()?????≥<+=-0
,
0,
12
x e x x x f x
，求()?-3
1
2dx x f 。
15．设()x f 有一个原函数为x 2
sin 1+，求()?'20
2π
dx x f x 。
16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()?3
1
dx x f 最
小。
17．已知()2
x e
x f -=，求()()?'''1
dx x f x f 。
18．设()()()??+-=1
2
22dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。 19．()()[]?
'-π
2
sin cos cos cos dx x x f x x f 。
20．设0→x 时，()()
()dt t f t x x F x
''-=?0
22的导数与2x 是等价无穷小，试求
()0f ''。
(C 层次)
1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知
()()()??
????+???
??+=
?
12140611
f f f dx x f ，求()dx x
g b a ?。 2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，
使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f b a
''-+??? ??+-=?3
24
12。 3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。试证
()()()()()()2
a f
b f a b dx x f a f a b b
a +-<<-?。
4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f b
a ?'≤
2
1(b x a <<)。 5．设()x f 在[]1,0上连续，()01
=?dx x f ，()11
=?dx x xf ，求证存在一点x ，
10≤≤x ，使()4>x f 。
6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()()
d t t x tf x F x
?-=022，求()4
lim
x
x F x →。 7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则
()
()()x f dx x f a b b
x a b
a
'≤-≤≤?max 4
2
。 8．设()x f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<，求证()()dx k
x f k x f b a
k ?
-+→0
lim
()()a f b f -=。
9．设()x f 为奇函数，在()+∞∞-,内连续且单调增加，()()()dt t f t x x F x
?-=0
3，
证明：(1)()x F 为奇函数；(2)()x F 在[)+∞,0上单调减少。
10．设()x f 可微且积分()()[]dt xt xf x f ?+1
的结果与x 无关，试求()x f 。
11．若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：
()()[]?=''+π
3sin xdx x f x f 。
12．求曲线()()?--=x
dt t t y 0
21在点(0,0)处的切线方程。
13．设()x f 为连续函数，对任意实数a 有
()?+-=a
a
dx x xf ππ
0sin ，求证
()()x f x f =-π2。
14．设方程()?
-=--y
x tdt y x tg x 0
2
sec 2，求22dx
y
d 。
15．设()x f 在[]b a ,上连续，求证：
()()[]()()a f x f dt t f h t f h
x
a h -=-+?+
→1lim 0
(b x a <<) 16．当0≥x 时，()x f 连续，且满足()()x dt t f x x =?
+10
2，求()2f 。
17．设()x f 在[]1,0连续且递减，证明
()()??≤λ
λ0
10
dx x f dx x f ，其中()1,0∈λ。
18．设()x f '连续，()()()dt t a f t f x F x
-'=?20
，()00=f ，()1=a f ，试证：
()()122=-a F a F 。
19．设()x g 是[]b a ,上的连续函数，()()dt t g x f x
a
?=，试证在()b a ,内方程
()()0=--
a
b b f x g 至少有一个根。
20．设()x f 在[]b a ,连续，且()0>x f ，又()()()
dt t f dt t f x F x
b
x
a
??+=1
，证明： (1)()2≥'x F (2)()0=x F 在()b a ,内有且仅有一个根。 21．设()x f 在[]a 2,0上连续，则()()()[]??
-+=a
a dx x a f x f dx x f 0
20
2。
22．设()x f 是以π为周期的连续函数，证明：
()()()()??+=+π
ππ0202sin dx x f x dx x f x x 。
23．设()x f 在[]b a ,上正值，连续，则在[)b a ,内至少存在一点ξ，使
()()()???
=
=b
a b
a
dx x f dx x f dx x f 2
1ξ
ξ
。 24．证明()()()
()???++=+1001
0ln 1ln
ln du u f du u f u f dt t x f x
。 25．设()x f 在[]b a ,上连续且严格单调增加，则()()()??<+b
a
b a
dx x xf dx x f b a 2。
26．设()x f 在[]b a ,上可导，且()M x f ≤'，()0=a f ，则()()22
a b M
dx x f b
a
-≤
?。
27．设()x f 处处二阶可导，且()0≥''x f ，又()t u 为任一连续函数，则
()()()??
?
??≥??a a
dt t u a f dt t u f a
0011，()0>a 。 28．设()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()0<''x f ，则()()??
?
??+-≤?2b a f a b dx x f b a 。 29．设()x f 在[]b a ,上连续，且()0≥x f ，()0≤?b
a
dx x f ，证明在[]b a ,上必有
()0≡x f 。
30．()x f 在[]b a ,上连续，且对任何区间[][]b a ,,?βα有不等式
()δ
β
α
α
β+-≤?1M dx x f (M ，δ为正常数)，试证在[]b a ,上()0≡x f 。
第五章 定积分
(A)
1．?20
3cos sin π
xdx x
解：原式41cos 41cos 20
420
3=-=-=?π
π
x xdx 2．?-a
dx x a x 0
222
解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2
π=
t
原式???=20
22cos cos sin π
tdt a t a t a
()??-==
20
4202
4
4cos 18
2sin 4
π
π
dt t a
tdt a
420
4
4
164sin 41828a t a a π
ππ
=-=
3．?
+3
1
2
2
1x
x
dx
解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为
4π，3
π
原式θθθθ
π
πd tg ?=34
22
sec sec
()?-=34
2
sin sin π
πθθd
33
2
2-= 4．?
--11
45x
xdx
解：令u x =-45，则2
4145u x -=
，udu dx 2
1-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式()
6
1
5811
32=-=?du u 5．?
+4
1
1
x dx
解：令t x =，tdt dx 2=
当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式??
????+-=+=???
212
121
1212t dt dt t tdt
()[]
3
2
ln
221ln 22
12
1+=+-=t t 6．?--1
4
3
1
1x dx
解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=
x 时0,2
1=u 原式2ln 2111
121221
00
21-=-+-=--=??du u u du u u
7．?
+2
1
ln 1e x
x dx
解：原式()?
?++=+=221
1
ln 1ln 11ln ln 11e e x d x
x d x
232ln 1221
-=+=e x
8．?
-++0
222
2x x dx
解：原式()
()?
--+=++=02
22
111x arctg x dx
()2
4
4
11π
π
π
=
+
=--=arctg arctg
9．dx x ?
+π
2cos 1
解：原式??==π
π
2cos 2cos 2dx x dx x
()??-+=ππ
π
2
20
cos 2cos 2dx x xdx
22sin sin 2220=?????
?-=πππ
x x 10．dx x x ?-π
π
sin 4
解：∵x x sin 4为奇函数
∴?-=π
π
0sin 4xdx x
11．dx x ?-22
4cos 4π
π
解：原式()?
?=?=2
2
2
20
4
cos 22cos 24π
πdx x xdx
()
()
??
++=+=20
220
2
2cos 2cos 2122cos 12π
π
dx x x dx x
()?
?+++=20
20
20
4cos 12cos 22π
π
π
dx x xdx x
?+++=20
2
044cos 41
22sin 2π
π
π
πx xd x πππ
23
4sin 412320
=+=x
12．?-++5
524
231
2sin dx x x x
x 解：∵1
2sin 2423++x x x
x 为奇函数
∴01
2sin 5
524
23=++?-dx x x x
x 13．?3
4
2
sin π
πdx x x
解：原式?-=34
π
πxdctgx
?+-=34
3
4
π
πππ
ctgxdx xctgx 34sin ln 9341π
ππx +?
??
? ??-= 22
ln 23ln 9341-+???? ??-=π 23ln 219341+???
? ??-=π 14．?
4
1
ln dx x
x
解：原式?=4
1
ln 2x xd
??
???
?-=?4
141ln ln 2x d x x x
?????
?
-=?4112ln 42dx x x
?-
-=41
2
1
22ln 8dx x
42ln 8-= 15．?1
0xarctgxdx
解：原式?=1
221arctgxdx
??
????+-=?1022102
121dx x x arctgx x ??++-
=
10210121218
x
dx
dx π
1
01
021
218arctgx x +-=π
2
14-=
π
16．?20
2cos π
xdx e x
解：原式?=20
2sin π
x d e x
??-=20
220
22sin sin π
πdx e x x
e x x
?+=20
2cos 2π
πx d e e x
??-+=20
220
22cos 2cos 2π
ππdx e x x
e e x x
?--=20
2cos 42π
π
xdx e e x
故()
25
1cos 20
2-=
?π
π
e xdx e x 17．()dx x x ?
π
2
sin
解：原式()??-==π
π
2
2
2
2cos 1sin dx x
x dx x x ??-=
ππ02
022cos 2
121xdx x dx x ?-
=ππ
02
3
2sin 4
161
x d x x ????
???--
=
?πππ002
3
22sin 2sin 416
xdx x x x
?-
=
π
π03
2cos 4
16
x xd 462cos 2cos 4163003
πππππ-=????
??--=
?xdx x x 18．()dx x e
?1
ln sin
解：原式()()??-=e e
dx x
x x x x 111ln cos ln sin
()?-=e
dx x e 1
ln cos 1sin
()()?????
?
?+-=?e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin
()?-+-=e
dx x e e 1
ln sin 11cos 1sin
故()()11cos 1sin 2
ln sin 1
+-=
?e
dx x e
19．?--24
3cos cos π
πdx x x
解：原式()?--=24
2cos 1cos π
πdx x x
()??
+-=-
20
04
sin cos sin cos π
π
xdx x dx x x
()()2
23
4
23cos 32cos 32π
π??????-+??????=-x x
3
2
344-=
20．?+4
sin 1sin π
dx x
x
解：原式()?--=4
2sin 1sin 1sin π
dx x
x x ???
? ??-=4022cos sin π
dx x tg x x ()
??
---=40240
21sec cos cos π
π
dx x x
x
d ()24
2cos 1
4040
-+
=--=
π
π
πx tgx x
21．dx x
x
x ?
+π0
2
cos 1sin 解：令t x -=
2
π
，则
原式?-??
? ??-+??
? ??-??? ??--=2222cos 12sin 2πππππdt t t t
?-
+-+-=22
2
2sin 1cos sin 1cos 2π
ππ
dt t t t t t
()4sin sin 1cos 22020
2
π
πππ
π
==+=?t arctg dt t
t 22．?-+21
11ln
dx x
x
x 解：原式?
???
?
??-+=210
2211ln x d x x ()()()
?--+--?+-?--+=21
022
2
1
02
111111211ln 2dx x x x x x x x x x ?-+=21
02
21
ln 3ln 81dx x x
??-++=21
0221
013ln 8
1x dx
dx
2
1
011
ln 21213ln 81+-++=x x
3ln 8
321-=
23．?∞
+∞-++dx x x 4
2
11 解：原式??
∞+∞+++=++=02220
4
2
1
11
211dx x x
x dx x x ??? ?
?
-+??? ?
?
-=?
∞+x x d x x 12
1120
2
π22
1
220=-
=+∞
+
x x arctg
24．?20
sin ln π
xdx
解：原式()??++??? ?
?
-==40220cos ln sin ln 2ln 22cos 2sin 2ln π
πdt t t dx x x t x 令
??
?
???++=??4040cos ln sin ln 22ln 2π
ππ
tdt tdt
??
????++??-=24402
sin ln sin ln 22ln 2π
πππ
π
udu tdt u
t
?+=
20
sin ln 22ln 2
π
π
tdt
故2ln 2
sin ln 20
π
π
-
=?xdx
25．(
)()
?
∞+++0
211α
x x dx
()0≥α
解：令t x 1=，则dt t
dx 21
-=
原式()()
??∞+∞+++=+?+-
=020********
ααααt t dt t t
t t t dt t ∴(
)()()()()()
???
∞+∞+∞
++++++=++02020
21111112ααααx
x dx
x x x dx x x dx 2110
2π==+=∞
+∞
+?arctgx dx x
故(
)()
4110
2π
α
=++?∞+x
x dx
(B)
1．求由0cos 0
=+??x
y
t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数
dx
dy
。 解：将两边对x 求导得
0cos =+x dx dy
e y
∴y e x dx dy cos -=
2．当x 为何值时，函数()?-=x
t dt te x I 0
2
有极值？
解：()2
x xe x I -='，令()0='x I 得0=x
当0>x 时，()0>'x I 当0 ∴当0=x 时，函数()x I 有极小值。 3． () ?x x dt t dx d cos sin 2 cos π。 解：原式()() ???? ??+=??t a a x dt t dt t dx d cos 2sin 2cos cos ππ ()() ???? ??+-= ??x a x a dt t dt t dx d cos 2sin 2 cos cos ππ ()()() ()' +'-=x x x x cos cos cos sin sin cos 22π ()()()x x x sin cos cos cos sin cos 22-+-=ππ ()()x x x x 22sin cos sin cos sin cos πππ---= ()()x x x 2sin cos cos sin π-= 4．设()??? ??>≤+=1,2 11,12x x x x x f ，求()?20dx x f 。 解：()()? ??++=21 2 10 20 2 11dx x dx x dx x f 3 861212 131 02=+??? ??+=x x x 5．()1 lim 2 2 +?+∞ →x dt arctgt x x 。 解：()()() x x arctgx x dt arctgt x x x 212 1lim 1 lim 212 2 20 2-+∞ →∞ ∞ +∞ →++?型 ()() x arctgx x x x arctgx x x x 222 21 1lim 1lim + =+=+∞→+∞ → ()411lim 222π=+=+∞ →arctgx x x 6．设()?? ???≤≤=其它,00,sin 21 π x x x f ，求()()?=x dt t f x 0 ?。 解：当0 ===??x x dt dt t f x ? 当π≤≤x 0时，()2 cos 1sin 210x tdt x x -==? ? 当π>x 时，()()()()10sin 2 1000=+=+==?????x x x dt tdt dt t f dt t f dt t f x π πππ? 故()()???????>≤≤-<=时当时当时当ππ?x x x x , 10,cos 12 1 0, 0。 7．设()?????? ?<+≥+=时当时当0,110,11 x e x x x f x ，求()?-2 1dx x f 。 解：()?????? ?<+≥=--时当时当1,111,1 11 x e x x x f x ()()??? -+++=--211 01 20 111 11dx x e dx dx x f x ()??+-+-+=---211 011 1111x dx x d e e e x x x ()2ln 1ln 110 1++-=-x e ()e +=1ln 8．() 22 21 lim n n n n n +++ ∞→Λ。 解：原式n n n n n n 1 21lim ???? ??+ ++=∞→Λ 3 2 1lim 101 ==?=?∑ =∞ →dx x n n i n i n 9．求∑ =∞ →+n k n k n k n ne n e 1 2lim 。 解：原式∑ =∞ →+=n k n k n k n n e e 1 211lim 4 110 1 02π - ==+=?arctge arctge dx e e x x x 10．设()x f 是连续函数，且()()?+=1 2dt t f x x f ，求()x f 。 解：令()A dt t f =?1 ，则()A x x f 2+=， 从而()()A dx A x dx x f 22 1 21 10 += +=?? 即A A 221+= ，2 1-=A ∴()1-=x x f 11．若? = -2ln 26 1 x t e dt π ，求x 。 解：令u e t =-1，则()21ln u t +=，du u u dt 2 12+= 当2ln 2=t 时，3=u 当x t =时，1-=x e u ∴( ) 31 31 22ln 22121 --=+=-? ? x x e e x t arctgu u u udu e dt 6 132π π=??? ??--=x e arctg 从而2ln =x 12．证明：? - --<<21 2 12 1222 dx e e x 。 证：考虑??????-21,21上的函数2 x e y -=，则 2 2x xe y --='，令0='y 得0=x 当??? ??-∈0,21x 时，0>'y 当??? ??∈21,0x 时，0<'y ∴2 x e y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2 x e y -=在2 1± =x 处取最小值2 1- e 故? ? ? - --- -<<21 2 1212 121 2 12 112 dx dx e dx e x 定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =． 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??． 定积分与微积分 一、知识回顾： 1.用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和： 1 ()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限： () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ； 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质： 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 （定积分的线性性质） 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<） 4.定积分的计算（微积分基本定理） （1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有 二、常考题型： 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()( 3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于（ ） A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于（ ） A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于（ ） A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos （a ＞0），则?a xdx 0cos =（ ） A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是（ ） A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是（ ） A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ，则k 等于（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（ ） ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031；②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ；③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义，?202 dx x =（ ） A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置 为 （ ） A ． ? 1 )(t dt t v B ．dt t v s t ? + 1 0)( C ．00 1 )(s dt t v t -? D ．dt t v s t ?-1 0)( 例1．計算 dx x x ?++1 1 42 解法1 ).12)(12(1224+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ???++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 11 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++- =???? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??+++-++-=++)12)(12(2)12(112 2242 . arctan 21)12arctan(211212242 c x x dx x x x x dx +++=++++=?? 解法3 ???+-=++=++≠22222421)1 (11111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=?21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221arctan 2 1lim 20 π - =-+ →x x x Θ ,2 221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有 .0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ??? ? ? ? ?<+--=>++-=++?x c x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .) 1()1(2 2 23dx x x x ?+++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(222223?????++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(2 3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26)1() 2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以 .2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得 .1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 424dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則 定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子 1 n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分.即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?. 例２ ? =___＿_＿_＿_． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= （0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法２ 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ）,则 ? =22 tdt ππ-?=2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??. 不定积分的典型例题 例1．計算?Skip Record If...? 解法1 ?Skip Record If...? 而?Skip Record If...??Skip Record If...?所以 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法2 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法3 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 由拼接法可有 ?Skip Record If...? 例2.求?Skip Record If...? 解将被积函数化为简单的部分分式 ?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，约去?Skip Record If...?的因子后令?Skip Record If...?得?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，对?Skip Record If...?求导，再令?Skip Record If...?，施以上运算后，右端得A,而左端为 ?Skip Record If...? 在分解式（*）中令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?分解式（*）两边同乘以?Skip Record If...?，再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?故有 ?Skip Record If...? 例3.求?Skip Record If...? 解令?Skip Record If...?再用部分分式，則 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以 ?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?令?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 例4 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 例5.求?Skip Record If...? 定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以 定积分典型例题 例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3). n _.: ∏ 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限?若对题目中被积函数难以想到， 可采取如下方法：先对区间［O, 1］n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 1 III 1 解 将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为.汉=丄，然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n n n n n 各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 n i ?^贰+痢+山+疔)=曲(￡ +￡ +川+晋)=MdX=扌? 例 2 ￡ J 2x 一 X d X __________ . 解法1由定积分的几何意义知， °?2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0) 与X 轴所围成的图形的面积?故 2? 2^x 2dx = _ ? ■° 2 解法2本题也可直接用换元法求解?令 x_1 = sint (—巴 不定积分典型题型 1. 原函数 2.积分公式 3.第一类换元积分法(也称凑微分法） 4.第二类换元积分法 5. 分部积分法 原函数 1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则 ?=dx x f )(（ ） A. G （x ） B. F （x ） C. F （x ）+C 分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。 2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（ ） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x 分析：验证两个函数的差是否为常数。运用对数函数的运算。Ln2x=ln2+lnx 积分公式 1.=? dx e x x 3 分析：运用公式 ? a x dx= a ln 1a x +C ， 把3e 看做一个整体,化为x e )3(。 答： C e x x ++3 ln 13 2.=+?dx x x 2 2 13 分 析 ： 对 函 数 进 行 “ 加 一 项 减 一 项 ” 处 理 ， 则 C x x dx x x x dx x x +-=+-=+-+=+???)arctan (3)11 1(311131322222 3.=? dx x 2tan 分析：运用三角恒等式,1sec tan 2 2-=x x 则C x x dx x ec s dx x +-=-=? ?tan )1(tan 2 2 4. =?dx x x 22sin cos 1 分 析 ： 运 用 三 角 恒 等 式 sin 2x+cos 2x=1, 则 C x x dx x x dx x x x x dx x x +-=+=+=???cot tan )csc (sec sin cos cos sin sin cos 12 2222222. 定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 定积分在高考中的常见题 型 Last revision on 21 December 2020 定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中（555200） 王代鸿 定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解：因为 x x x x 21 )ln 2+='+（ 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。 跟踪训练：1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b, y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )( 2、例题讲义： 例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解： 联立方程组 （如图所示） ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????）（）（ = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++（ =3 8 【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积 和 例3、求dx x ?+402)2-4（ 的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点 求其定积分。 练习：由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 三、利用变换被积函数求定积分 欢迎阅读 题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积 题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ） A ． 2 a a e e -+ B ． 2a a e e -- C ． 12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a 定积分典型例题 例1 求 2 1lim n n →∞ ．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被 积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2 111n n n = ?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求 极限转化为求定积分．即 2 1lim n n →∞ = 1lim n n →∞ = 34 = ? ． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知， ? 等于上半圆周2 2(1) 1x y -+= (0y ≥) 与 x 轴所围成的图形的面积．故 ? =2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π-≤≤ ），则 ? = tdt =2 tdt =2 20 2 cos tdt π ? =2 π 例3 比较 12 x e dx ? ，2 1 2x e dx ?，12 (1)x dx +?．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无 法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0 x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调 递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ??? ． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ =++ 得1x e x >+．注意到 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ? ?? ． 例4 估计定积分2 02 x x e dx -? 的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12 x = , 而 0 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 1 4 1 ()2 f e -=, 故 1 2 4 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈,从而2 122 4 22x x e e dx e - -≤ ≤? ,所以 2 102 4 2 22x x e e dx e - --≤ ≤-? . 例5 设 ()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b a n g x →∞ ? ． 解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又 ()0g x ≥()b a g x dx (b a g x ≤ ? ()b a g x dx ．由于1n n →→，故lim (b a n g x →∞ ? = ()b a g x dx ? ． 例6求sin lim n p n n x dx x +→∞ ? , ,p n 为自然数．分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用 方法是利用积分中值定理与夹逼准则． 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题11198
定积分高考试题
不定积分的典型例题
定积分典型例题精讲
最新不定积分的典型例题
定积分典型例题56177
定积分典型例题
不定积分典型题型
定积分典型例题20例答案
定积分在高考中的常见题型
定积分的应用练习题,DOC
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分的典型例题
不定积分例题及问题详解
定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx