当前位置：文档库 › 首届大学生全高等数学竞赛总决赛试题与答案

首届大学生全高等数学竞赛总决赛试题与答案

一、（20分）计算下列各题：

1．求极限 21

sin )1(lim n k n k n k n π∑-=→∞+

解法1

因21

sin )1(n k n k n k π

∑-=+

2sin

sin 21(2sin

21n

k n k n

n k π

∑-=+=

）

)22cos 22(cos 1(2sin 21

12n k n k n k n

n k πππππ+--+=

∑-=） )22cos 22(cos 1(2

2112

n k n k n k n n k πππππ+--+≈

∑-=） 2

11221

22cos 1(22cos 1(n

k n k n n k n k n n k n k π

πππππ++--+=∑∑-=-=）） 2

22cos 11(22cos 1(n k n k n n k n k n n

k n k π

ππ

πππ--+

--+=∑∑=-=））

21222222

22cos 12)12(cos 11(2cos )11(n k n n n n n n n n n n n k π

ππππππ-+--+-+=∑-=） 2

122222

2)12(cos 2)12(cos 12(2cos )11(n

k n n n n n n n n n k π

πππππ-+---+=∑-=）（*）而

22)12(cos n k n k π

-∑-=2

2sin 2)12(cos

22sin 21n n k n

n k π

ππ∑-=-=

])1(sin [sin

2sin

2121

k n k n

n k πππ

--=

∑-=

222sin 2sin )1(sin

n n n n ππ

π--=

2sin

2)2(sin 2cos n n n n π

ππ-=（**）将（**）代入（*），然后取极限，得

原式]2sin

2)2(sin

2cos

2)12(cos 12(2cos )11([

lim 2

222

22n n n n

n n n n n n n

n π

ππππ-+---+=→∞

）

]2)2(sin 2cos 2)8)12(1(12()11([lim 22342222

n n n n n n n n n n n π

πππππ-+----+=∞→） ]2)2(sin 2cos 2)21(12()11([lim 2

232222

n n n n n n n n n n ππππππ-+---+=∞→） )]48)2(2)2()(81(2)21(12()11([lim 633222232222

n n n n n n n n n n n πππππππ----+---+=∞→）

)]482)(81(2)21(12()11([lim 33222232222

n n n n n n n n n n ππππππππ---+---+=∞→） 6

5π

上式中含2

n 的项的系数为01

πππ，含n 的项的系数为

0)2(1

=-+

，常数

项系数为6

568

24π

πππ

π=-

解法2 Step 1

因∑-=1

12sin n k n k π

1222sin sin

22sin 21n n k n

n k πππ∑-==

)22cos 22(cos

2sin

212

k n k n

n k π

ππππ

+--=

∑-= )2)12(cos

2(cos

2sin

212

n n n n π

--=

故

)2)12(cos 2(cos 2sin 21lim sin

lim 2

2n n n n n k n n k n ππππ--=→∞-=→∞

∑

)2)12(cos

2(cos

lim

n n n n π

--=→∞

n n n n 2sin 2)1(sin

2lim

ππ

-=→∞

n n n n n 22)1(2lim 22π

ππ-=∞→2

π= Step 2因2

22)12(cos

k n

k π

-∑= 2

2sin 2)12(cos

22sin

21n n k n

k π

ππ

∑=-=

])1(sin [sin

2sin

212

n k n k n

k πππ

--=

∑= 2222sin 2sin

sin n n n n ππ

π-=

222sin 2)1(sin 2)1(cos n

n n n n πππ-+=

因此

∑-=1

12sin n k n k n

k π2

2sin

sin 22sin 21n n

k n k n n k π

π∑-==

]2)12(cos 2)12(cos [2sin 21

n k n k n k n k n

n k n k π

ππ+--=∑∑-=-= ]2)12(cos 12)12(cos [2sin 21

n k n k n k n k n

k n k π

ππ----=∑∑=-= ???

?-+---=∑-=2122222)12(cos 12)12(cos 12cos 12sin 21

n k n n n n n n n n

n k ππππ

???

?-+--=∑=222222)12(cos 12)12(cos 2cos 12sin 21

n k n n n n n n

k ππππ(*) ????

?????

-++--=2222

222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21n

n n n n n n n n n n ππππππ 于是

∑-=→∞1

12sin lim n k n n k n

k π

????

?????

-++--=→∞2

222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21lim n

n n n n n n n n n n n ππππππ ?

???

??????

-++---=→∞n n n n n n n n n n 22)1(sin 2)1(cos 8)12(11lim 224222πππππ）（ ??

???

??????---+-++-=∞→n n n n n n n n n n n 2)48)1(2)1()(8)1(1211lim 6332422222ππππππ（

??????----++-=∞→)24)1(1)(81211lim 52322222n n n n n n n n n ππππ（ ??????---++-=∞→)241()(81211lim 2222222n n n n n n n n ππππ（ ??

????---++-=∞→)2411)(81211lim 2222222n n n n n n n ππππ（）（222222282411211lim n n n n n n n ππππ---++-=→∞ ）（22222228242lim n

n n n n ππππ--=∞→ 62

3π

原式6

532πππ=+=

2．计算??

∑

++++2

2)(z

y x dxdy

a z axdydz ，其中 ∑为下半球面

222y x a z ---= 的上侧, 0>a .

解记1∑为平面 222,0a y x z ≤+= 的上侧，2∑为下半球面 222y x a z ---= 的下侧，Ω是由1∑和2∑所围成的立体，则

221

)(a dxdy a dxdy a dxdy a z axdydz a y x ??

????≤+∑∑===++π，设,sin ,cos θθr y r x ==则

??∑+∑++2

)

(dxdy a z axdydz

???Ω

+++=dxdydz a z a )220( ???Ω

+=dxdydz a z )32(

???

≤+---+=

222

220

)32(a y x y x a dz a z dxdy

≤+---+=

222

220

2]3[a y x y x a dxdy az z

≤+--+++-=

22)3(2

22222a y x dxdy y x a a y x a ??

≤≤≤≤-++-=

θθ2002222d d )3(a

r r r r a a r a ?-++-=a

r r r a a r a 0

2222d )3(2π

?-++-=a

r r a a r a 0

22222)d()3(π

?-++-=2

2d ))(3(a u u a a u a π

2)(42a u a a u

u a ??????--+-=π

74a π=

∑

++++2

2)(z

y x dxdy

a z axdydz

????∑∑+∑+++++-

212

2)(1)(1dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a 2

2733

3a a a πππ-=+-=

3．现设计一个容积为V 的圆柱体容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a

元，而侧面的材料费为单位面积b 元. 试给出最节省的设计方案；即高与的上下底直径之比为何值时所需费用最少？

解设圆柱体的底半径为r ，高为h ，则h r V 2π=，2r

h π=总造价为

222r a rh b P ππ+=222r a r

π+=，则

22242r r a bV r a r bV P ππ--=+-='，由0='P 知，解得3

2???

??=πa bV r ，3

2??

? ??=ππa bV V h ，因为是惟一的驻点，所以当

122

23131222222:2???

? ??=??? ??=??? ????? ??=

b a bV V a bV a bV V h r ππππππ 时，所需费用最少.

4．已知 x x x f 3

3cos sin 1)(+='，)2

,41(∈x ，求)(x f 解因x x x f 33cos sin 1)(+='，

)21

,41(∈x ，故 ?+=x x

x x f d cos sin 1

)(3

3 ?+-+=x x x x x x x d )cos )(sin cos sin cos (sin 1

+-=x x x x x d )

cos )(sin cos sin 1(1

+-=x x x d )

sin()2sin 211(21

?+?

?? ??++=

x x x d )

4sin()22cos(2

111

21ππ ?+?

?? ??++=

x x x d )4sin()4(2cos 2

111

21ππ

令)4

(21π

+=x t ，则

+=t t

t x f d 2sin )4cos 2

1(2

)(?

+=t t

t t d cos sin )4cos 2(2

?-+=t t

t t t d cos sin )2sin 2cos 2(222?+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 3(2

22 ?

+-=t t

t t t t t d cos sin )cos sin 4)sin (cos 3(2

2222 ?-++=t t t t t t t t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3()cos (sin 222442

?-+++=t t t t t t t t

t t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3(cos sin 2sin cos 22

2442244 ?-+++=t t t t t

t tan d tan )tan 2tan 33(tan 2tan 122424

令t u tan =，2u v =，则

?-+++=u u u u u u x f d )233(212)(2424?-+++=2

24224d )

233(2122u u u u u u ?-+++=v v v v v v d )233(212222?+-++=v v v v v v d )

323(1

22222 令)()323(122

2v R v

v v v v v +=+-++，则31=A ， )

323(33

2336331)323(12)(22222+--+-++=

-+-++=v v v v v v v v v v v v v v R )323(382+-=v v 因此

??+-+=

23d 324d 62)(2v v v

v v x f ?+-+

23d 324ln 622v v v

v ?+-+=9

8)31(d 924ln 622v v v C v v +-

+=3

2231

arctan 3221924ln 62C v v +-+=2

213arctan 32ln 62 C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C t t +-+=2

21tan 3arctan 32tan ln 6222

C x x +-+++=2

)82(tan 3arctan 32)82(tan ln 6222π

π 二、（10分）求下列极限

1．??

? ??-+∞→e n n n n )11(lim

解设x

x x f 1

)1()(+=, 则

))

1ln()1(1(

)1()(2

x x x x x f x

+-++=')1()1ln()1()(2x x x x x x f +++-= 原式=)(lim )1(lim

0x f x

e x x x

x '=-+→→)()

(lim )(lim 00x f x f x f x x '=→→

)

1()

1ln()1(lim

)(lim 2

x x x x x x f x x +++-=→→ 2

1ln()1(lim

x x x x e x ++-=→

2)1ln(lim 0e x x e x -=+-=→ 2．n

n n n c b a ???

??++∞→3lim 111

，其中0>a ，0>b ，0>c 解因

300ln 3

ln ln ln 3ln ln ln lim 33lim abc c b a c c b b a a x c b a x x x x x x x x =++=++=-++→→ 故原式=333lim

)13

(1lim 10003lim abc e

e c b a x c b a c b a

x x x x x x x x

x x

x ===???

?++-++-++→→→

三、（10分）设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，求x

x x x x f x tan )

cos (sin lim 220++→ 解设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，则

x x f x x f x x x x x f x x tan )1()cos (sin lim tan )cos (sin lim 220220+-+=++→→ 1cos sin )1()cos (sin lim 1cos sin lim tan lim 220220220-+-+-++=→→→x x f x x f x x x x x x x x x x 1

cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim cos 1

11lim

220020

-+-+-+=→→→x x f x x f x x x x x

x x x 1cos sin )

1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim 212200-+-+-=→→x x f x x f x x x x x x

cos sin )

1()cos (sin lim 21cos 2lim sin lim 2122000-+-+-=→→→x x f x x f x x x x x x 1

cos sin )1()cos (sin lim 41220-+-+=→x x f x x f x 1)1()(lim 41

1--=→t f t f t )1(41f '=21=

四、（10分）设)(x f 在),0[+∞上连续，?+∞0

d )(x x f 收敛，求?+∞→y

y x x xf y 0

d )(1lim .

解令?=x

t t f x G 0

d )()(，则因

+∞0

d )(x x f 收敛，故)(lim y G y +∞

→，不妨设

R A y G y ∈=+∞

→)(lim ，则

[]}d )()(1{lim )(d 1lim d )(1lim 0000???-==+∞→+∞→+∞→y y

y y y y y x x G x xG y

x G x y x x xf y

)d )(1)((lim 0?-

=+∞

→y

y x x G y

y G

?+∞→-=y

y x x G y A 0

d )(1lim

0)(lim =-=-=+∞→A A y G A y

五、（12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且0)1()0(==f f ，

1)21(=f ，证明：（1）存在??

??∈1,21ξ使得ξξ=)(f ；（2）存在()ξη,0∈使得1)()(+-='ηηηf f .

证（1）记x x f x F -=)()(，则函数)(x F 在]1,21

[上连续，且1)1(-=F ，

21)21(=F ，故由零点存在性定理知存在??

??∈1,21ξ使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . （2）因x x x f x f e x d )1)()((?+-'--

x e x xe x x f e x x f e x x x x d d d )(d )(????----+-'-= x e e x x f e x x f e x x x x d d )(d d )(????----++-=

x x xe x f e --+-=)(

故令x e x x f x F --=))(()(, 则函数)(x F 在],0[ξ上连续，在()ξ,0内可微，

0)0(=F ,0)(=ξF ,x x e x x f e x f x F -----'='))(()1)(()(, 故由罗尔定理知,存在

()ξη,0∈使得0)(='ηF , 1)()(+-='ηηηf f .

六、设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，在0=x 的某邻域内有一阶连续导数，且

0)(lim 0>=→a x x f x ，证明级数∑∞=-1

)1()1(n n n f 条件收敛. 证因 0)

(lim

>=→a x

x f x ，故存在一个正数δ，使得当δ<-<00x 时，有 2

)(a

a x x f <- 因此x x f a )(2<（δ<-<00x ），于是，当δ1>n 时， δ<-<010n ，n

n f a )

<，

n a n f 2)1(>，这表明级数∑∞=1)1(n n f 发散，即级数∑∞

=-1

)1()1(n n n f 发散.

下证原级数收敛：由0)

(lim

0>=→a x

x f x 知，

(lim lim )(lim )0(000====→→→a x x f x x f f x x x ，

(lim )0()(lim )0(00>==-='→→a x

x f x f x f f x x

由)(x f 在0=x 的某邻域内有一阶连续导数知，)(lim )0(0

x f f a x '='=→，因此存

在一个正数η，使得当η<-0x 时，有

)(a

a x f <

-' 因此)(20x f a '<<（),(ηη-∈x ）. 特别地，)(x f 在),0(η上单调增，于是当η

1>n 时，)1()11(

n f n f <+，且0)0()1

(lim ==∞→f n

f .最后由Leibniz 判别法知，原级数收敛.

综上可知，原级数条件收敛.

六、（14分）设1>n 为整数，????

? ??++++=-x n t

t n t t t e x F 0

2d !!2!11)( ，证明：方程 2)(n x F =

在??

??n n ,2内至少有一个根. 证记

!!2!11)(2n t t t t p n

n ++++= ,

!2!11()(2n t t t e t r n

n ++++-= ,则

)()(t r e t p n t n -=,且当0>t 时,0)(>t p n , 0)(>t r n ,0)(>-t r e n t .

记2)()(n x F x -

=ψ，则?--=n n t t t r e n

x 0d )(2

)(ψ, 因????

??++++=-x n t

t n t t t e x F 0

2d !!2!11)( ，故函数)(x ψ在],2[n n 上连续，在??

??n n ,2内可微，且

2)2()2(n n F n -=ψ??<-=--=--20200d )(2

d ))(1(n

n t n n t t t r e n t t r e ,

d )()(0

n t t p e n n

n t -=?-ψ

????----+-=+--=20

d )(d )(d )(2d ))(1(n n

n n t n t n n n t n n t t

t p e t t r e t

t p e n

t t r e

??++-=-

--20

d )2

(d )(n n n n t n t

t n t p e

t t r e

??+++-=---202

02d )2(d )!1(1n

n n

t t t n t p e t e e n ξ ??+-++-=+---2020

22d ))2((d )!1(1n

n n

t n

t t t n t r e e t e e n ξ ??+---+-+-=202022d )!

1(1d )!1(121n

t t t e e n t e e n n ξξ ??--+-+-=2020

d )!1(1d )!1(121n n

t t t e e n t e e n n ξξ ?-+->202d )!

1(22n n

t t e e n n []

202)!

1(22n

t n

e e n n -++= )1()!1(222-+-=n

e n n )!

1(2

)!1(222

+-=

n n e n n )!

1(22)!1(222

=+->

n e

n n e n n n 012

>->

（若2>n ，则左边的两个不等式都成立） ()()??-+-=-+=-=--101021d 121d 121)1()1(t t

e t t t e F ψ

()[]

?-++-=--101021d 1t e e t t t 032321)1(211

1>-=--+-=--e

e e

1)2(>-

>e ψ 012

23!4223)3(122314414431492

>-=->?>?>>>e e e e ψ 0123

2452!522)4(2>->->->e e e ψ,

012

212e e 12)(>->++->

n n n n n e n n ψ 故由零点存在性定理知, 存在),2(n n ∈ξ使得0)(=ξψ, 即2

)(n

F =ξ.

七、（12分）是否存在R 中的可微函数)(x f 使得53421))((x x x x x f f --++=? 若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.

解不存在

假如存在R 中的可微函数)(x f 使得54321))((x x x x x f f -+-+=，

则4325432)))((x x x x x f x f f -+-=''（

，若1)1(=f ，则025432)1))1(()]1[2<-=-+-=''='（（

f f f f 矛盾。下面只需证明1)1(=f .

记)1(f a =，则 1]1[))1(()(15342=--++===x x x x x f f a f ，

a x x x x x a f f f a =--++===]1[))(()1(534253421a a a a --++=,

即

53421a a a a a --++=

移项得

015432=-+-+-a a a a a

分解因式得

0)1)(1)(1(22=-+++-a a a a a

因此

1=a

八、（12分）设)(x f 在),0[∞上一致连续，且对于固定的),0[∞∈x ，当自然数∞→n 时0)(→+n x f .证明：函数序列},2,1:)({ =+n n x f 在]1,0[上一致收敛于0.

证若函数序列},2,1:)({ =+n n x f 在]1,0[上不一致收敛于0, 则存在一个正数0ε使得对任何正整数k ，存在k n k >和]1,0[∈k x 使得k n k >,0)(ε≥+k k n x f , 可以假设1+

]1,0[0∈→x x i k .

事实上, 由0)(0→+n x f 知, 对上述的0ε, 存在正整数1N 使得当1N n >时, 有2

)(0

0ε<

+n x f ;

由)(x f 在),0[∞上一致连续知,对上述的0ε, 存在正数0δ使得当0

0δ<-x x 时, 有2

)()(0

0ε<

-x f x f ;

由]1,0[0∈→x x i k 知, 对于上述的

0δ, 存在正数2N ,使得当2N i >时,

00δ<-x x i k ;

取一个自然数i ,使得21N N i +>, 则00δ<-x x i k , 2

)()(0

0ε<

-x f x f i k ,

121N N N i n i k >+>>, 2

)(0

0ε<

+i k n x f ,

002

)()()()(εεε=+

+++-+≤+i i i i i i k k k k k k n x f n x f n x f n x f ,

这与0)(ε≥+i i k k n x f 矛盾.

广义的Stirling(斯特林)公式

)(12)

()(21

)()

1(2)()2)(1(x n x x n x n e

x n x x n x x +++-++++Γ=+++θπ 其中n 为正整数，0≥x ,1)(0<

n n e e n n n 122!θ

π??

??=

其中n 为正整数,10<<θ.

补充题1 设)(x f 在]2

0[π

上具有连续的二阶导数，且0)0(='f ，证明：存在

,0(,,πωηξ∈，使得)(2sin 2

)(ωξηπ

ξf f ''='.

证因)(x f 和x x g 2cos )(=在]2

,0[π

上连续，在)2,0(π内可导，且

02sin 2)2(cos )(≠='='x x x g ，)2,0(π

∈x

故由Cauchy 中值定理知，存在），（2

0πξ∈，使得

）（）（ξξππ

g f g g f f '

--)0()2

()

0()2( 即

）

（）（ξξπ

2sin 22)

0()2(-'=--f f f （*）

因)(x f 在]2,0[π上具有连续的二阶导数，故存在），（2

0π

ω∈，使得

2)2(2)(2)0()0()2(πωππf f f f ''+'+= 再由0)0(='f 知，

)(8

)0()2(2

ωππf f f ''=- （**）由（*）式和（**）式知，

)(8

2sin 2

ωπξξf f ''='）（）（（***）

取4

η=

，则)2

0(π

η∈，且（***）式可以写成

)(2sin 2

)(ωξηπ

ξf f ''=

其中)2,0(πη∈，），（20π

ω∈，），（2

0πξ∈

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一一试（考试时间：80分钟满分100分）一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数是。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最小值为。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值；（2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二试（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。。 O 2

高二数学竞赛模拟试题及答案

高二数学竞赛模拟试题考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是（） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个可能的值是（） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（）（A ）相离（B ）相交（C ）相切（D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（）

广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(1)

广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专) 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．设函数()f x 、()g x 在区间(,)-∞+∞内有定义，若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]g f x 为（ B ）. (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有界函数 2．设函数()f x 是以3为周期的奇函数, 且(1)1f -=-,则(7)f =( A ) . (A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2- 3．设(0)0f =，且极限0()lim x f x x →存在，则0() lim x f x x →=（ C ）. (A) ()f x ' (B) (0)f (C) (0)f ' (D) 1 (0)2 f ' 4．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()<0f x '，若()>0f b ，则在(,)a b 内()f x （ A ）. (A) 0> (B) 0< (C) ()f x 的符号不能确定 (D) 0= 5．设()F x 是()f x 的一个原函数，则（ D ）. (A) ()d ()F x x f x =? (B) ()d ()F x x f x C =+? (C) ()d ()f x x F x =? (D) ()d ()f x x F x C =+? 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．极限201lim 1→?? -= ??? x x x 1 .

2．已知函数1 sin sin 33 y a x x =+（其中a 为常数），在3 x π =处取得极值，则a = 2 . 3．设1 ()ln ln 2f x x =-，则(1)f '= 1- . 4．设函数()y y x =由方程e e sin()x y xy -=所确定，求隐函数y 在0x =处的导数0='=x y 1 . 5．4 1 -=? 62 5 . 三、(10分）设函数1sin , 0()e , x x x f x x x α β?>?=??+≤?，根据α和β的不同情况，讨论()f x 在0x =处的连续性. 10 10 110 1 lim ()lim ()1,lim ()lim sin 0sin 1,lim 0,lim sin 0,lim ()=lim ()=(0)0=0lim sin lim sin 0lim ααα αββαβαα--+ +++-++++ →→→→→→→→→→→=+=+=>≤====-=>≠-=x y x y x y x 不存在;所以当时，在点处不连续；当且时，在点处连续；当且时，在点处不连续。四、(10分）求极限1 lim 1)tan 2 π →-x x x （. x 1 x 1 x 1 x 1 (1)sin 112 2 =lim limsin lim lim 2 cos cos sin 2 2 2 2 x x x x x x x π π π π π π π →→→→---===- 解：原式. 五、(10分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续, a 为常数, 且对任意(,)x ∈-∞+∞, 有 3()d 540=+?x a f t t x , 求()f x 和a .

全国大学生数学竞赛简介资料

全国大学生数学竞赛第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。竞赛用书该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。竞赛大纲中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

原创!!全面大学生数学竞赛试题

2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++，则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切，则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+，其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：

lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠，又20 ()()()x F x x t f t dt =-?，当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小，则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界；

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ，所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?，由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ，综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ，所以，4 π= I 。四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。【解】因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0，容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。而3 3 1 2 132> ? <

全国高中数学联赛精选模拟试题一

最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 1、函数的最大值是（） A、2 B、 C、 D、3 2. 已知，定义，则（） A． B．C． D． 3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（） A．B．C．D． 4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（） A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且则a的值有（）（A）个（B）个（C）个（D）无数个 6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（） A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为 _______________的数列也是等比数列． 10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）． 12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1) 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM

山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案

山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案（非数学类，2010）考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分亦即023=-a -------------14分所以2 3= a -------------15分.

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类).

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

2019-2020年初中数学竞赛模拟试题

2019-2020年初中数学竞赛模拟试题一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（）个（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（）（A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（）（A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（）个（A ）8个（B ）9个（C ）7个（D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于． A B F C E D · D C O B A

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

全国初中数学竞赛模拟试题及答案

全国初中数学竞赛初赛模拟试卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图）（第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是

A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有条. （第10题图） D F B A E C C

大学生数学竞赛经典题库

10月16日 1:求极限3 0sin arctan lim x x x x -→. 2:已知 ,0)0(,1)0(=='f f 求)2 (lim n nf n ∞ →. 3：设数列}{n x 满足: ),,2,1(sin ,011 ==<< +n x x x n n π求: (1) 证明n n x ∞ →lim 存在, (2)计算1 1)(lim n x n n n x x +∞→ 4：已知 )(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且,2cos 1) (lim ,0)0(0 =-=→x x f f x 则在点0 =x 处 )(x f (A) 不可导 (B) 可导,且 ,0)0(≠'f (C) 取得最大值 (D) 取得最小值 5：设 ,3)(22x x x x f +=则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为 . 6：求对数螺线θ ρe =在点)2,(2 π πe 处得切线的直角方程. 7：计算dx e e x x )(0 cos cos ? --π . 8：计算dx x x ? ++4 2 ) 2() 1ln(. 9: 计算 dx x x ? -π 53sin sin . 10: 化三重积分 ???Ω ) ,,(z y x f 为累次积分,其中 Ω 为六个平面 2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 围成的区域.. 11：求2 2 2 a z y =+在第一卦限中被)0(,),0(,0>=>== b b y m my x x 截下部分面积. 12计算,)(22dxdydz y x I ???Ω +=其中Ω是曲线0,22==x z y 绕OZ 轴旋转一周而成的曲面与两平面8,2==z z 所围的立体.

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类）考试形式：闭卷考试时间： 150 分钟满分： 100 分. 一、计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x .

二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分）设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?.

五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.

前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续 1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8．连续函数的性质和初等函数的连续性. 9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、

首届大学生全高等数学竞赛总决赛试题与答案

最新全国大学生数学竞赛简介

高中数学竞赛模拟试题一汇总

最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

高二数学竞赛模拟试题及答案

广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(1)

全国大学生数学竞赛简介资料

原创!!全面大学生数学竞赛试题

全国大学生数学竞赛试题及答案

全国高中数学联赛精选模拟试题一

山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类).

2019-2020年初中数学竞赛模拟试题

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

全国初中数学竞赛模拟试题及答案

大学生数学竞赛经典题库

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类