解直角三角形的应用专题复习
解直角三角形的应用专题复习
解直角三角形的应用既是初中数学的重要容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：
一、解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分容的关键。
二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考容，更是热点容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题，几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。
1.解直角三角形有以下类型：
①已知两边
先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角．
②已知一边和一锐角
先求另一锐角，再由边角关系求其余两边．
典例分析：
例1 在ABC Rt ?中,,900=∠C 3,30==∠b A ,解这个三角形.
解法一 ∵ ,30,9000=∠=∠A C ∴ .2a c =
设x a =,则.2x c =由勾股定理,得222)2().3(x x =+ ∴ 1=x . ∴ 000060309090.22,1=-=∠-=∠===A B x c a . 解法二 .13
3
330tan 0=?
==b a 0002222603090.2)3(1=-=∠=+=+=
B b a c
说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用本章所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题.
巩固训练： 分别由下列条件解直角三角形（090=∠C ）.
（1）;45,80=∠=B c （2）060,36=∠=B b ；（3）;24,4==c a
（4）.6,2==
b a
解 （1）000045459090=-=∠-=∠B A 。
∵ c
a A =sin ∴ .2445sin 8sin 0=?==A c a ∴ 24==a
b 。 （2）000030609090=-=∠-=∠B A 。 ∵ c
b B =sin . ∴ .122
3
3
660sin 36sin 0
====
B b c ∵ .sin c
a
A = ∴ .62
11230sin 12sin 0=?=?==A c a (3) ∵ ,24,4,sin ===c a c
a A ∴ .2
22
44sin =
=
A ∴ .450=A ∴ .454590000=-=
B ∴ .4==a b
(4) ,6,2,tan ===b a b
a A ∴ 3
36
2tan =
=
A . ∴ .300=∠A 000060309090=-=∠-=∠A
B . ∵ 222c b a =+, ∴ 2262=+=c .
说明:本题考查直角三角形的解法,解题关键是正确地选用关系式.易错点是选用关系式不当,造成计算错误或增大结果的误差。
2. 应用解直角三角形知识解决实际问题：
例：直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB．
【分析】如图所示，要求AB长，先设法求出边AO与BO的长，然后相减即可，由条件可得30
PAO
∠=?，45
PBO
∠=?，又因为PO=450米，可选择上述两特殊角正切分别求得AO与BO．
【解】由题意得，
30,45
PAO PBO
∠=?∠=?，
tan30,tan45
PO PO
OA OB
=?=?，4504503
tan30
OA
∴==
?
，450450
tan45
OB==
?
，
450(31)()
AB OA OB m
∴=-=-答：大桥的长AB为450(31)
-米．（强调解题完整，要写“答”，注意单位，这些都是中考失分的重要因素）
变题1：直升飞机在长400米的
β
α
P
O B A
450米
例1图
β
α
P
跨江大桥AB 的上方P 点处，且A 、B 、O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的 仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO ．
请大家自行分析解决，注意方程思想的运用．
（本题应注意方程思想的运用，可设所求PO 长为x ，由45度角的正切或直接由“等角对等边”可求得OB 也等于x ，然后再由30度角
的正切列出方程，即
4003
x x =+，熟练后也可以直400x =+，所以
200()x m =）
变题2直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO ．
将问题转化为两个直角三角形组合图形中加以解决，可割可补
（本题会出现两种不同解法，割或补，即过A作AC⊥PO，要求PO 长，此时CO=AB=200，只需求出PC即可；或是过P作PC垂直BA延长线于点C，求出AC。不管哪种方法，必须注意所设未知数是哪条边，如果不是直接设PO为未知数，则一定要注意最后的结果必须是PO
的长，结果为300()m）
变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°，测得
变题2图
大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离．
找出等量关系，列方程．
（列方程关键在于找出等量关系，本题可以以AB 长为等量关系，充分利用好45度角的特点，即PD=AD ，如果设PD=x ，则AD=x ，由
30度角可表示
3
3
BD x =
，从而可以列出方程
3
200,3001003()3
x x x m +
==-；
设BD=x ，则AD=PD=200-x ，3200x x =-，得1003100x =-，不能忘记求
PD ）
根据以上解题过程，列举四题中三个示意图，分析归纳这类问题的共同点．从而了解数学建模及方程思想，并归纳出这类图形的结构特点．
规律总结：（将例1及3个相关变题中的图形加以分析，从每个问题所提供的条件特点，结合图形结构特征，可归纳出这类问题：（1）示意图为有一个公共边的两个直角三角形，分布位置有两种，位于公共边同侧或异侧；（2）所给条件一般为两角一边，且边一般为已知角的邻边或对边（非直角三角形斜边），
此时选用的三角函数关系多为正切）
变题4：（2008）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30?，
β α P O
B A
4
例1
β
α
P O B A
4
340
变题
43
P
A
B
D O 20变题3
3
4
2P
A 变
B 村的俯角为60?（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．
总结：[通过以上题目，重点是让大家掌握如何把实际问题转化为数学问题，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何图形，就本课而言是主要是两个三角形的两种不同组合图形。此外在解直角三角形中也渗透了方程思想。] （1）数学建模及方程思想
从实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题求解； 解直角三角形常结合用方程。 （2）解题方法小结
A ．把实际问题转化为数学问题的两个方面；（图形转化，条件转化）
B ．把数学问题转化为解直角三角形的处理方法．（构造直角三角形） （将实际问题转化为数学问题，关键要画好示意图，从实际问题抽象出数学模型，如果是单个直角三角形，则直接解直角三角形，如果是一般三角形，甚至是梯形或组合图形，则通过作高将其转化为直角形再求解，而解直角三角形的常用方法是结合方程进行计算）
联系实际，对问题情境的理解需要具有一定的空间想象能力，逐步从实际问题中，抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题来解决。变题1与例1是交换题目条件与结论，情境不变，分别求桥长
Q
B C
P A
450
60?
30?
与飞机高。变题2-3情境有所变化，由测桥变为测楼，所求问题是飞机高及飞机到楼房距离。以上问题的解题关键在于转化实际问题为数学问题，着重是示意图的画法（包括已知什么和求什么），进而利用解直角三角形知识解决问题，并在解题后及时加以归纳，挖掘图形结构及条件的特点。
]
例 3 已知如图在直角梯形ABCD中，,
,
60
∠分别为AD、
10
=
?
//=
AB、
E
F
cm
BC
B
,
CD
BC的中点，14
EF cm，求两底AB、CD的长.
=
解：过C 作AB CG ⊥于G 交EF 于H.
∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴GB HF AB EF //,// . 在Rt CBG ?中，cm 10,60=?=∠BC B . ∴??=60cos BC GB ).cm (5102
1
=?=
∵HF 为CBG ?的中位线，
)
cm (5.1655.11 ),cm (5.115.214 ).cm (5.22
1
=+=+=+==-=-==∴==
∴GB DC GB AG AB HF EF EH CD GB HF 答：AB 的长是16.5cm ，CD 的长是11.5cm.
说明：本题使用“转化思想”，把分散的元素，通过添加辅助线，集中到一个三角形中，然后再解此三角形。一种重要的方法与途径是使用割补法，将图形分割或拼补成一些直角三角形，再注意寻找公共边与公共角进行过渡．
例 3在ABC ?中，?=∠?=∠+=60,45,26B A AB ，求AB 边上的高CH.
分析 注意到AH CH =，在CHB ?Rt 中，构造关于CH 的方程.
解：设h CH =，在AHC ?Rt 中，h CH AH ==，于是h AH
AB HB -+=-=)26(，
所以有关于h 的方程360tan )26(=?=-+h
h ，
解这个方程，得
h h =-+3)26(3，
∴ 61
3)26(3=++=h .
说明 这是一个利用三角函数建立方程的例题，是方程思想在解直角三角形中的应用.
在解直角三角形中，根式运算起着重要的作用.本例中关于
1
3)26(3++的计算如果是这样：
,
622232
)
26623(32
)
13)(26(31
3)26(3=?=--+=
-+=
++
就不是好的计算过程，如果看到)13(226+=+就有简便的算
法
6)
13()
13(6)13()26(3=++=++.
小结：
常见的解斜三角形基本图形
1．当所求的角或线段不在直角三角形中时。应怎样处理?
在求线段的长或角的大小时，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去．这种方法叫做“化斜为直”法。转化的途径及办法有很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形的边(或角)来替代所要求的元素等．
2．利用解直角三角形解决有关问题时。常用的辅助线有哪些?
(1)作高线，将斜三角形中有关边角的计算问题转化为直角三角形的问题．
(2)连接对角线或作垂线，将四边形中有关边角的计算问题转化为解直角三角形的问题．
巩固训练：
1.某船自西向东航行，在A处测得某岛在北偏东60°的方向上，
前进8千米测得某岛在船北偏东45 °的方向上， 问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？
2海岸上有A 、B 两点相距120米，由A 、B 两点观测海上一轮船C ，得∠CAB ＝60°∠CBA ＝75°，求轮船C 到海岸AB 的距离。
3铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度是i=2:3,顶宽是3m,路基高是4m ，求路基的下底宽？
8千米 A
B
C
D
45
30
C
4(选做)如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD ，已知堤顶宽BC 为6m ，堤高为3.2m ，为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高2m ，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度1:2也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。
(1)求加高后的堤底HD 的长。 (2)求增加部分的横断面积 (3)设大堤长为1000米，需多少立方米土加上去？ (4)若每方土300元，计划准备多少资金付给民工？
i=2:3 B
A
D
解直角三角形 中考经典专题
第一章复习题（一） 1. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，，则点B 的 坐标为（ ）A ．(21)， B ．(12)， C ．(211)+， D ．(121)+， 2. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5 4 A cos =，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2 ABCD 15S cm =菱形． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25 B ．253 C ． 1003 3 D ．25253+ 4. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA= 5 4 ，BC ＝10 ，则 AB 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 5. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为（ ） （A ） km 3310 （B ）km 3 3 5 （C ）km 25 （D ）km 35 6. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =5 1 ，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 7. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5 8. 如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且 21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ． 4 33 C ．23 D ．43 x y O C B A B C A D l A B C D E
解直角三角形练习题
解直角三角形练习 一、耐心填一填 1．如图1，某车间的人字屋架为等腰三角形，跨度14AB =米，CD 为中柱，则上弦AC 的长是________米（用A ∠的三角函数表示）． 2．如图2，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，1EC =，5cos 13B =，则这个菱形的面积是________． 3．计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30++-+= ________． 4．如图3，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点 作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶ 50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm ， 则山顶P 的海拔高度约为________m ．（取3 1.732≈）． 5．已知ABC △中，90C ∠=，A B C ∠∠∠，，所对的边分别是a b c ，，，且3c a =，则cos A =________． 二、精心选一选 6．在ABC △中，90C ∠=，若2B A ∠=∠，则cos A 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．32 Ｃ．12 Ｄ．23 7．在ABC △中，90C ∠=，AC BC =，则sin A 的值等于（ ） Ａ．12 Ｂ．22 Ｃ．32 Ｄ．1 8．ABC △中，90C ∠=，3sin 5A = ，则:BC AC 等于（ ） Ａ．3:4 Ｂ．4:3 Ｃ．3:5 Ｄ．4:5 9．如图4，Rt ABC △中，90C ∠=，D 为BC 上一点，30DAC ∠=， 2BD =，23AB =，则AC 的长是（ ） Ａ．3 Ｂ．22 Ｃ．3 Ｄ．332 10．Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4a b =，运用计算器计算，A ∠的度数（精确到1°）
解直角三角形及其应用
解直角三角形及其应用 ?课前热身 1. 图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图?其中 地面的水平线， Z ABC=150 ,BC 的长是8 m 则乘电梯从点 沿着长方体的表面从点 A 爬到点B,需要爬行的最短距离是（ ） 3.如图3,先锋村准备在坡角为:的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5米，那 5.如图5,在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间 的水平距离）为 4m 如果在坡度为0.75的山坡上种树, 也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A. 5m B . 6m C . 7m D . 8m A. B. 4 m C . 4.3 m D. 8 m 5，一只蚂蚁如果要 2.如图 2,长方体的长为15,宽为10,高为2 0 ,点B 离点 C 的距离为 AB CD 分别表示一楼、二楼 B 到点C 上升的高度h 是（ ） 25 C. 10 .55 D. 35 么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ） A. 5cos ： B. C. 5sin ： D. 5 cos ： 5 4.如图 4，在 RtA ABC 中，/ACB =90°, BC =1, 则下列结论正确的是（ A. ) 1 B. tan A =— C. cosB .3 D. tan B =、3 B 图4
【参考答案】 1. B CE 【解析】过点B作直线AB的垂线，，垂足为E,在Rt△ BCE中，sin / CBE= ，即 BC h 1 sin3 0° = ，所以h=4m.【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利 8 2 用已知锐角的正弦关系解答即可?本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于 斜边的一半”来求解? 2. B 【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B,较短爬行路线有以下4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第2条. 【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来 解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论 5 3.B【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB为斜边的直角三角形中，cos ，所 AB 5 以AB= .【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系. cos- 4.D【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知/ A=30°,Z B=60°,对照 30°、60°的三角函数值选择正确答案.【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函 数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC,然后根据锐角三角函数定义判断. 5.A【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在 这里设铅直高度为h米，则有h:4=0.75 , h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为? 32 42=5m.
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解直角三角形和应用题 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基 础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形 的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问 题： 一、重点难点 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角 三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三 角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一 般在 4%~10% 。分值约在 8%~12% 题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 【典型例题】 例 1. 如图，点两个村庄，现要在A 是一个半径为300 米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有 B、 C B、C 两村庄之间修一条长为 1000 米的笔直公路将两村连通，经测得∠ o o ABC=45，∠ ACB=30，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 AH 解：在Rt ABH 中， BH tan45 A AH 在Rt ACH 中， CH AH AH tan30 1000 tan45 tan30 B H C AH 500 3 500 300 不会穿过 例 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整 地带，该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从A、D、 C三点可看到塔顶 端H，可 供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （ 1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并 将应测数据标记在图形上（如果测 A、D间距离，用 m表示；如果测 D、C间距离，用 n 表示； 如果测角，用α、β、γ表示）。 （ 2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。
(完整版)初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
解直角三角形及其应用
解直角三角形及其应用 1． 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图J 25－2①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图J 25－2②所示的位置，其示意图如图J 25－2③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)( ) 图J 25－2 图J 25－3 2．如图J 25－4，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8 m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB＝45°，那么旗杆AB 的高度是( ) 图J 25－4 A ．(8 2＋8 3)m B ．(8＋8 3)m C ．(8 2＋ 8 33)m D ．(8＋8 3 3 )m 3．如图J 25－5所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡角是30°，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( ) 图J 25－5 A ．10 m B ．10 3 m C ．15 m D ．5 3 m 4．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度(测角仪高度忽略不计)．他们的操作方法如下：如图J 25－6，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°.请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)．
解直角三角形练习题及答案
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54 cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）12 13 （C ）1013 （D ）5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
《解直角三角形及其应用》教案
【教案三】23.2解直角三角形及其应用 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠，sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
解直角三角形练习题1(含答案)
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式 中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
中考数学复习专题七：解直角三角形
中考数学复习专题7 解直角三角函数 一、知识点回顾 1、锐角∠A 的三角函数（按右图Rt △ABC 填空） ∠A 的正弦：sin A = , ∠A 的余弦：cos A = , ∠A 的正切：tan A = , ∠A 的余切：cot A = 2、锐角三角函数值，都是 实数（正、负或者0）； 3、正弦、余弦值的大小范围： ＜sin A ＜ ； ＜cos A ＜ 4、tan A ?cot A = ； tan B ?cot B = ； 5、sin A = cos （90°- ）； cos A = sin （ - ） tan A =cot （ ）； cot A = 6、填表 7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b , 1）、三边关系（勾股定理）： 2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90° 3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ； cos A = ； cos B = ； tan A = ； tan B = ； cot A = ；cot B = 8、图中角 可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（h ）和 长度（l ）的比。 记作i ,即i = ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝ l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 （1）
二、巩固练习 （1）、三角函数的定义及性质 1、在△ABC 中,,900=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为 2、在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____, cos ==A B ； 3、Rt △ABC 中,若,900=∠C 2,4==BC AC ,则tan ______=B 4、在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos 5、已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,13 5 == BC A ,则._______=AC 6、Rt △ABC 中,,900=∠C 3 5 tan ,3= =B BC ，那么.________ =AC 7、已知32sin -=m α，且a 为锐角，则m 的取值范围是 ； 8、已知：∠α是锐角，?=36cos sin α，则α的度数是 9、当角度在?0到?90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ） A ．正弦和正切 B ．余弦和余切 C ．正弦和余切 D ．余弦和正切 10、当锐角A 的2 2 cos >A 时，∠A 的值为（ ） A 小于?45 B 小于?30 C 大于?45 D 大于?60 11、在Rt ⊿ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A 的正弦址与余弦值的情况（ ） A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定 12、已知α∠为锐角，若0 30cos sin =α，αtan ＝ ；若1t an 70tan 0 =?α，则_______=∠α； 13、在△ABC 中,,900 =∠C sin 2 3 = A , 则cos B 等于( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 （2）、特殊角的三角函数值 1、在Rt △ABC 中，已知∠C ＝900，∠A=450 则A sin = 2、已知：α是锐角，22 1 cos = α，tan α=______；
中考数学专题练习解直角三角形
《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ
《解直角三角形及其应用》 word版 公开课一等奖教案1
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 解直角三角形及其应用 课题 28.2解直角三角形及其应用1 授课时间 课型 新授 二次修改意见 课时 1 授课人 科目 数学 主备 教学目标 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感态度价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 教材分析 重难点 重点：直角三角形的解法 难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学设想 教法 三主互位导学法 学法 小组合作 教具 三角板，多媒体
本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思
(完整版)解直角三角形练习题(三)及答案
解直角三角形 一、 填空题： 1. 若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2 1 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 60cos 4522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. 在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵 树间的斜坡距离为 米。 5. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为3 2，那么该 等腰三角形的腰长等于 。 6. 如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米， 3取1.732） 7. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知 AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. 正方形ABCD 的边长为1。如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. 在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. 为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角 为α,则楼房BC 的高为（ ） E D C B A 四川03/3 D A B C α
九年级解直角三角形专题复习教案
解直角三角形 一、 复习目标 1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。 2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。 3.能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。 4.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。 二、自测导学： 1.在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin 40° B ．3sin 50° C ．3tan 40° D ．3tan 50° 2.在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为________． 3. 若ααcos ,2 3 )90sin(则= -ο=______. 4.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =500，则此时就将坝底向外拓宽多少米（结果保留到米，参考数据：sin620 ≈ ,cos620 ≈ ,tan500 ≈ ）
三、复习过程 （一）知识回顾 1.三角函数 （1）锐角三角函数的定义： B C a ① 斜边 的对边 A ∠ 叫∠A的正弦.记作sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ② 斜边 的邻边 A ∠ 叫∠A的余弦.记作cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ③ 的邻边 的对边 A A ∠ ∠叫∠A的正切.记作 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 （1）解直角三角形的定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)． （2）直角三角形的边角关系 ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2； ②两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； （3）解直角三角形的类型 3. 解直角三角形的应用 （1）仰角、俯角 如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上
中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
专题42：解直角三角形和应用
专题42：解直角三角形和应用 一、选择题 1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300 ，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 【 】 A.(6米 B.12米 C.(4+米 D ．10米 【答案】A 。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数 定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。 【分析】延长AC 交BF 延长线于E 点，则∠CFE=30°。 作CE⊥BD 于E ，在Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF=4， 在Rt△CED 中，CE=2， ∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。 ∵△DCE∽△DAB，且CE ：DE=1：2， ∴在Rt△ABD 中，AB=12BD=(12=A 。 2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则AB 等于【 】米．
A ． asin40° B ． acos40° C ． atan40° D ．0a tan40 【答案】C 。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。 【分析】∵△ABC 中，AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°， ∴AB=atan40°。故选C 。 3. （2012福建福州4分）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热 气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是【 】 A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100(3＋1)米 【答案】D 。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可： 由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD ＝100， ∵ CD⊥AB 于点D ， ∴在Rt△ACD 中，∠CDA＝90°，tanA ＝CD AD ，∴ AD＝CD tanA ＝1003 3 ＝1003。 在Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠B＝45°，∴ DB＝CD ＝100。 ∴ AB＝AD ＋DB ＝1003＋100＝100(3＋1)（米）。故选D 。 4. （2012湖北宜昌3分）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳 光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为【 】
【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)
《解直角三角形》专题复习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21 AB=BD=AD 】 4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2】 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠=斜边的对边A A c b cos =∠=斜边的邻边A A b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 三、锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA ?tan(90°—A)=1； cotA ?cot(90°—A)=1； （3）弦切关系 tanA=A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°— A) C B
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