复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式,模与辐角的概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:
1.熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化,会求复数的模、辐角及辐角主值. 2.深刻理解复数三角形式的结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3.能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值).
4.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换,复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议:
1.复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁,相比之下,代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示,即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示,复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示,也可以用复平面上的向量
来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的
模和辐角来表示,设其模为r ,辐角为θ,则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r=
三角形式
Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角,不一定是辐角主值. 五、基础知识 1)复数的三角形式
①定义:复数z=a+bi (a,b ∈R )表示成r (cos θ+ i sin θ)的形式叫复数z 的三角形式。即z=r (cos θ
+ i sin θ)
其中z r = θ为复数z 的辐角。
②非零复数z 辐角θ的多值性。
始边,向量oz →
所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π(k ∈z )
③辐角主值 表示法;用arg z 表示复数z 的辐角主值。
2π)的角θ叫辐角主值 02≤ 定义:适合[0, 唯一性:复数z 的辐角主值是确定的,唯一的。 ④不等于零的复数的模z r =是唯一的。 ⑤z =0时,其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。(求法) 这是复数计算中必定要解决的问题,物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算,尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容(也是解题术)复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法,辐角主值的确定是难点,也是关键存在,这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2)复数的向量表示 在复平面内与复数z 1、z 2对应的点分别为z 1、z 2(如图) 何量oz z 11→ 对应于 何量oz z 22→ 对应于 何量z z z z z 1221→ -=对应于 与复数z 2-z 1对应的向量为oz → 显然oz ∥z 1z 2 则arg z 1=∠xoz 1=θ1 arg z 2=∠xoz 2=θ2 arg z (z 2-z 1)=arg z=∠xoz=θ 3)复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1) z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2) ①乘法:z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图:其对应的向量分别为oz oz oz 12→ → → 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→ 逆时针旋转θ2角模变为oz 1→ 的r 2 倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz → 。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→ 顺时针旋转θ2角模变为 r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz → 。 为此,若已知复数z 1的辐角为α,z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷= =-+-z z z z z r r i 12121 2 1212[cos()sin()]θθθθ (其中 z 2≠0) 除法对于辐角主要是“相减”(被除数的辐角一除数的辐角)依向量旋转同乘法简述如下: < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角2oz 。 < 2 >θθ22时逆时针旋转角<→ 01oz 。 例1.下列各式是否是三角形式,若不是,化为三角形式: (1) Z 1=-2(cosθ+isinθ) (2) Z 2=cosθ-isinθ (3) Z 3=-sinθ+icosθ (4) Z 4=-sinθ-icosθ (5) Z 5=cos60°+isin30° 分析:由三角形式的结构特征,确定判断的依据和变形的方向.变形时,可按照如下步骤进行:首先确定复数Z 对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率. 解:(1)由“模非负”知,不是三角形式,需做变换:Z 1=Z(-cosθ-isinθ) 复平面上Z 1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角),余弦“-cosθ”已在前,不需再变换三角函数名称,因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z 1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)] (2)由“加号连”知,不是三角形式 复平面上点Z 2(cosθ,-sinθ)在第四象限(假定θ为锐角),不需改变三角函数名称,可用诱导公式 “2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限. ∴ Z 2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z 2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ) 考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一. (3)由“余弦前”知,不是三角形式 复平面上点Z 3(-sinθ,cosθ)在第二象限(假定θ为锐角),需改变三角函数名称,可用诱导公式 “+θ”将θ变换到第二象限. ∴Z 3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ) 同理(4)Z 4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ) (5)Z 5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos +isin )=(cos +isin ) 小结:对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题. 例2.求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos 2-1)+2i.sin cos =2cos (cos +isin ) (1) ∵ π<θ<2π ∴ <<π, ∴cos <0 ∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)] ∴r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z) ∵<<π∴π<π+<2π,∴argZ=π+. 小结:(1)式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ= 错误之处在于他们没有去考虑θ角范围,因此一定要用“模非负,角相同,余弦前,加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题,你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ,Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题. 例3.将Z=(π<θ<3π)化为三角形式,并求其辐角主值. 分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化. 解:====cos2θ+isin2θ ∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π, ∴π<2θ-4π<2π,∴argZ=2θ-4π 小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确,即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同,从而决定变形的方向,采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思,并能由此及彼,举一反三,达到熟练解决一类问题的目的,如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等. 2.复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离,复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1,Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边,以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0,2π)范 围内的辐角称辐角主值,记为argZ. 要求学生不仅要理解以上所说各几何意义,还要运用几何意义去解决相关问题. 例4.若Z∈c,|Z-2|≤1,求|Z|的最大,最小值和argZ范围. 解:法一,数形结合 由|Z-2|≤1,知Z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周), |Z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1, 另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由|CA|=1,|OC|=2知 ∠AOC=∠BOC=,∴argZ∈[0,]∪[π,2π) 法二:用代数形式求解|Z|的最大,最小值,设Z=x+yi(x,y∈R) 则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1, ∴|Z|=≤=, ∵(x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3, ∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3. 小结:在一题多解的基础上,分析比较各种方法的异同,如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势,通过分析与比较都一目了然. 例5.复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值. 分析:由两个复数模的和取最小值,联想到一个点到两个定点距离和的最小 值,将之转化为几何问题来解决应比较简便. 解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA,∠xOA=π,而 |Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)| 将B(-3,0)与C(3,3)连结,BC连线与OA交点为D,取Z+3为D点,表示复数时, |Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, ∴所求最小值=3. 法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA,则Z轨迹应是平行于OA, 且过点(-3,0)的射线BM, ∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和,连结PQ与射线BM交于点N,取E为N点表示复数时, |Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3, ∴所求最小值=3. 小结:两种方法的本质相同,都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解,难度会很大.对有关最值问题,尤其是模(距离)和辐角主值最值问题,用数形结合方法显然较为简便. 例6.已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值. 解:∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆面,在其上任取一点Z,连Z与点(0,4)得一以(0,4)为起点,Z为终点的向量,将起点平移到原点,则θ为其对应的辐角主值,显然arg(Z-4i)最大 值为π. 3.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是模的伸缩及 对应向量的旋转. 两个复数相除,商的模等于模的商(除数不为零),辐角为两辐角之差,其几何意义同乘法. 由复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转问题,如等腰、等边三角形、直角三角形,平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示. 复数三角形式较之代数形式,在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘(乘方),相除及乘除混合运算. 例7.若与分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状. 解:欲求∠Z2OZ1,可计算 ==== ∴∠Z2OZ1=且=, 由余弦定理,设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2 ∴|Z1Z2|=k, 而k2+(k)2=(2k)2,∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形. 小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便. 例8.已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l与抛物线C的方程. 解:如图,建立复平面x0y,设向量、对应复数分别为 x1+y1i, x2+y2i. 由对称性,|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8, ∴x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i ∴设抛物线方程为y2=2px(p>0)则有y12=2px1, y22=2px2, ∴x1=, y12=p2, 又|OA'|=1, ∴()2+p2=1,∴p=或-(舍) ∴抛物线方程为y2=x,直线方程为:y=x. 小结:对于解析几何的许多问题,若能借助于复数的向量来表示,常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置,特殊关系的图形时,尤显其效. 五、易错点 1.并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0,辐角主值不确定. 2.注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角,而argZ表示复数Z的辐角主值. ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角,但辐角不一定是辐角主值. 3.复数三角形式的四个要求:模非负,角相同,余弦前,加号连,缺一不可.任何一个不满足,就不是三角形式. 4.注意复数三角形式的乘除运算中,向量旋转的方向. 六、练习 1.写出下列复数的三角形式 (1) ai(a∈R)(2) tgθ+i(<θ<π)(3) -(sinθ-icosθ) 2.设Z=(-3+3i)n, n∈N,当Z∈R时,n为何值? 3.在复平面上A,B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α,判断ΔAOB形状,并证明SΔAOB=|d|2. 参考答案: 1.(1)ai= (2)tgθ+i(<θ<π)=-[cos(π-θ)+isin(π-θ)] (3)-(sinθ-icosθ)=[cos(+θ)+isin(+θ)] 2.n为4的正整数倍 3.法一:∵α≠0,β=(1+i)α ∴=1+i=(cos+isin), ∴∠AOB=, ∵分别表示复数α,β-α, 由β-α=αi,得=i=cos+isin, ∴∠OAB=90°,∴ΔAOB为等腰直角三角形. 法二:∵||=|α|, ||=|β-α|=|αi|=|α|,∴||=|| 又||=|β|=|(1+i)α|=|α|,||2+||2=|α|2+|α|2=2|α|2=||2 ∴ΔAOB为等腰直角三角形,∴SΔAOB=||·||=|α|2. 在线测试 选择题 1.若复数z=(a+i)2的辐角是,则实数a的值是() A、1 B、-1 C、- D、- 2.已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a,b满足|a-b|=3,则p的值是() A、-2 B、- C、 D、1 3.设π<θ<,则复数的辐角主值为() A、2π-3θ B、3θ-2π C、3θ D、3θ-π 4.复数cos+isin经过n次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,则n的值等于() A、3 B、12 C、6k-1(k∈Z) D、6k+1(k∈Z) 5.z为复数,()|z-3|=()|z+3|()-1的图形是() A、直线 B、半实轴长为1的双曲线 C、焦点在x轴,半实轴长为的双曲线右支 D、不能确定 答案与解析 答案:1、B 2、C3、B4、C5、C