浅谈微积分初等化与职业学校高等数学的教学改革
浅谈微积分初等化与职业学校高等数学的教学改革
烟台鲁东大学数学与信息学院
唐瑞娜
本人三十多年来一直在鲁东大学教书，不曾在高职高专任过教，只是在04年主编了两套21世纪高职高专理工类和经管类高等数学的规划教材，并在教材编写之前，对高职高专的高等数学教材及教学情况做过一定范围的调查，所以对职业学校高等数学的教学改革应该是没有太多的发言权的，有点认识也是粗浅的，因此对微积分初等化与职业学校高等数学的教学改革的问题的探讨，只能是浅谈了，不当之处，敬请大家批评、指正。
怎样将微积分的初等化与职业学校高等数学的教学改革联系起来呢？首先让我们来
一、浅析（一下）职业学校高等数学教学的现状
高职、高专教育是我国高等教育的重要组成部分，它的根本任务是培养生产、建设、管理和服务第一线需要的德智体美全面发展的高等技术应用型专门人才，所培养的学生应重点掌握从事本专业领域实际工作的基本知识和职业技能。
要达到这个目的，就要掌握相应的专业知识，而高等数学就是服务于各类专业的一门重要的先修课和必须的基础课。基础不牢，难有深造。
微积分是高等数学的主要内容，是现代工程技术和科学管理的主要数学支撑，也是高职、高专各类专业学习高等数学的首选。
要进行高职高专的高等数学的教学改革，对微积分的教学的研究当然就应该列在首位了。
怎样改革微积分的教学？首先应是教材问题。
过去专科教学往往用的都是本科教材。到了九十年代初，国内开始有了专科层次的《高等数学》教材，但从本质上讲，仍旧是本科的压缩。在我当时的调查中，就发现有的职业学校的高等数学教材很不实用，有些比某些本科院校的高数教材内容都难、都全。进入二十一世纪后，教育部先后召开了三次全国高等职业教育产学研经验交流会，明确了高等职业教育要“以服务为宗旨，以就业为导向，走产学研结合的发展的道路”，这为高职办学指明了方向，也为高职高专数学教育的改革指明了方向。在教育部的指导下，成立了“21世纪高职高专教育教材研究与编审委员会”，推出了一系列的各类高职高专教材，其中也包括了各种各样的高职高专的高等数学教材。
现在的高职高专的高等数学教材都注重了教材的定位与实用性。从许多申报高职高专高等数学优质课的材料中可以看出，多数学校在高等数学课程体系的构建中，一般都采用了模块式的分层次教学，选用了相应的适用的教材。
在我们编写的高职高专教材中，就特别注意了教材的针对性及定位的准确性——以高职高专院校的培养目标为依据，以适用、够用、好用为指导思想，在体现数学思想为主的前提下删繁就简，深入浅出，做到既注重高等数学的基础性，适当保持其学科的科
学性与系统性，同时更突出它的工具性；另外注意教材编排模块化，为方便分层次、选择性教学服务。
在高等数学的教学上，现在的高职高专院校都基本改变了过去重理论轻应用的思想和现象，确立了数学为专业服务的教学理念，强调理论联系实际，突出了“应用”的主旨；增加了数学实验内容，提高了学生运用数学及计算机技术解决实际问题的能力，增加了数学建模的内容，引导学生去怎样用数学。有的院校还提出了“项目法教学”，以实际项目带动教学，让学生在干中学，学中干等等。
事物都是一分为二的。由于强调学生应用能力的培养及实践活动的增多，所以许多职校的基础课时被普遍削减，高等数学课也不例外。理论教学被淡化，定理不用证明；许多概念被弱化；只要记住公式，会计算、会应用即可。
这样以来，就出现了一个问题：学生的数学思想的培养大打折扣了。我们知道，数学在形成人类理性思维方面起着核心的作用，许多数学系的毕业生都有这样一个体会：在工作中真正需要用到的具体数学分支、具体的数学定理、公式和结论，其实并不很多，学校里学过的一大堆数学知识很多都似乎没有派上什么用处，但所受到的数学训练、所领会的数学思想和精神，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。因此，如果忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生的数学素质的提高，那么学生即便记住了数学公式和定理，也难免沦为一堆僵死的教条，
难以谈什么灵活应用了。另外，数学概念的抽象性决定了数学应用的广泛性，弱化了数学概念，何以谈应用？何以谈数学建模？要知道，要把实际问题转化为一个数学问题，主要靠的是数学的抽象，靠的就是对数学概念的深刻理解。
所以，在微积分的教学中，能尽可能多的渗透一些数学思想，让学生尽可能多的掌握一些数学思想，应该是我们教学改革的目标之一吧。
另外数学是工具，是服务于社会各行各业的工具，作为工具，它的特点应该是简单的。能把复杂问题简单化，才应该是真数学。因此，若能在高职高专的微积分教学中，用简单的初等的方法解决相应问题，让学生了解同一个实际问题，可以从不同的角度、用不同的数学方法去解决，这对开阔学生的学习视野，提高学生运用数学的兴趣与能力都是很有帮助的，这也应该是我们教改的又一个目标吧。
而微积分初等化就可以在一定程度上实现上述两个目标
二、微积分初等化利弊的探讨
什么是微积分的初等化？所谓微积分的初等化，简单的说就是不讲极限，而直接学习导数与积分。
1、利
（1）符合人们的认知规律与数学的发展过程。
纵观微积分的发展史，是先有了导数和积分，后有的极限理论。因为实际生活中的大量事物的变化率问题的存在，有各种各
样的求积问题的存在，才有了导数和定积分的产生；为使微积分理论严格化，才有了极限的理论。而我们现在向学生介绍的顺序正好是倒过来了，学生往往会误以为是先有了极限，才有的导数与积分。这与人们的认知过程是不符的。
（2）顺应了当前提倡的“问题驱动的数学研究”思想与方向。
李大潜院士在2006年全国数理科学部科学基金项目研究成果报告会上的报告中，提出了关于大力提倡和推动以问题驱动的应用数学研究的建议。我认为，不仅数学研究应如此，数学教学也应如此。
学习微积分，就是要由实际问题驱动，通过为解决实际问题而引入、建立起来的导数与积分概念的过程，使学生学会数学地处理实际问题的思想与方法，提高他们举一反三用数学知识去解决实际问题的能力。
按传统的微积分内容的教学处理，数学的这种强烈的应用性被滞后了，因为它要先讲极限理论，而在初等化的微积分中，上来就从实际问题入手，撇开了极限讲导数、讲积分，正好顺应了用“问题驱动数学的研究、学习数学”的时代潮流。
（3）有利于培养、提高学生的公理化的数学思想
我们一直强调要对学生进行数学素质的培养，其中重要的是对学生数学思想的培养。
数学思想包括两个部分：论证的思想和公理化的思想。
论证的思想和公理化的思想是数学最重要的特点之一。
论证的思想学生在中学时就已经接触到了，也比较熟悉了。在传统的微积分教学里，也不乏论证的思想。
而对公理化的数学思想，学生虽然在学习平面几何时有所认识，但总的说来，对于公理化体系的如何建立还是比较是陌生的。什么是公理化的思想呢？公理化思想是对一些在实践或理论中得到的零散、不系统的知识和方法进行分析，找出一些不证自明的前提（公理），从这些前提出发，进行逻辑地论证，形成严密的体系。
这种思维模式不仅对于数学的发展，而且对于科学的发展和人类思想的进步都起了重要的作用。在西方，公理化的数学思想已经融入到了文化传统中了。西方的科学家和思想家常常以这种思维模式来思考和研究科学、社会、经济以至政治问题。例如，牛顿从他着名的三定律出发，演绎出了经典力学系统；美国的《独立宣言》的作者也试图借助公理化的模式使人们对其确实性深信不疑；马克思从商品出发，一步步演绎出资本主义经济发展的过程和重要结论，这个过程也受到了公理化思想的影响，但对这么重要的公理化的数学思想，在我们高职高专乃至在许多本科院校非数学专业的数学教学中是接触不到的。因此，若能在微积分教学中，进行公理化数学思想的教育与渗透是件十分有益的事情。这一点，在初等化的微积分中就可以得到了实现。
在初等化的微积分中,积分概念就是建立在公理化的体系之上的.由积分学的建立,学生可以了解数学的公理化体系的建立过
程，学习公理化方法的本质，学习如何用分析的方法，从纷繁的事实中找出基本出发点，用讲道理的逻辑的方式将其它事实演绎地陈述出来,这对学生将来用数学是大有益处的，也为将来进一步学习打下了基础。
（4）有利于培养学生的发散思维及探索精神
在初等微积分中，通过对实际问题的分析引入了强可导函数的概念，使学生清楚的看到，问题是怎样提出的，数学概念是如何形成的。类比中学已经接触到的用导数描述曲线切线斜率的问题，使学生了解到同一个实际问题可以用不同的数学方式去解决的事实，从而可以有效的培养学生的发散思维及探索精神。（5）有利于掌握用已知的简单的知识去解决新问题的方法在高职高专的高等数学教学中，极限的讲述是描述性的，是不用εδ-语言的，这就使学生减少了一个培养逻辑推理、论证思想的机会，而在初等微积分中，导数的概念完全用学生已经熟悉的不等式和绝对值的知识来严格定义的，与εδ-理论相比，难度大大下降，体现了数学的简单美。
2、弊
(1)从学生毕业继续深造角度看，高职高专中微积分完全初等化不太现实
我国的高等教育已经从精英化走向了大众化，这个变化使得现在高校毕业生就业形势越来越严峻，就业压力越来越大，用人单位对应聘人员的学历要求越来越高，针对这一现实状况，不少的
高职高专的学生毕业后还要继续深造，可能要升本、以后还可能要读研，这些目标的实现，都是需要参加考试的，所以高职高专所开设的高等数学课还要与现实接轨，与实现上述目标尽可能的挂上钩，接上碴儿。由于微积分的初等化现在还只是刚刚开始、没有普及，所以升本、考研的数学题目必然是传统的内容与思想方法，如果高职高专的高等数学中的微积分的教学完全初等化的话，那么势必要影响学生的考试分数及升学率。毕竟在升学问题上，现在分数还是决定一切的。
（2）从高职高专高等数学教学计划课时看，微积分完全初等化也是不太现实的
若要考虑（1）的情况，最好是既讲传统微积分，又能讲初等化的微积分。但高职高专高等数学的教学课时比本科的要少的多，因此上要做到这一点是不大可能的。
（3）从高职高专的学生数学基础看，微积分完全初等化也是行不大通的。
近几年来，随着国家对职业教育的重视和政策的调控以及社会对专业技术人才的需求形势的变化，职业学校的规模得到了快速发展，招生范围也大大扩大，同时也带来了一个问题，就是学生的文化基础参差不齐，有的二百来分就上了学。这些学生成绩不高的背后，往往反映出他们的数学思维能力低、数学思想差的特点。让这样的学生学习突出强调数学思想的初等微积分是比较困难的。
那么，鉴于以上原因，高职高专的微积分教学怎样与初等化联系起来进行改革呢？对此，我谈谈自己的想法。
三、对职业学校微积分初等化教学的设想
我觉得在高职高专中微积分的教学中，一方面要渗透数学思想，同时也要兼顾学生继续深造的实际情况。所以职业学校高等数学中微积分初等化的教学可以这样进行：
设想一：
1、微分学部分——采取：传统的“头”＋初等化的“尾”的讲法
即“头”是传统的，按传统的方法，依次讲授“极限－连续－导数－微分－微分学的应用”，其中极限理论抓住无穷小这个重点，使学生掌握将极限问题的论证化为对无穷小的讨论的方法；“尾”引进强可导的概念，简单介绍强可导函数的性质及与点态导数的关系，把“微分的初等化”作为微分学的后缀，为后面积分概念的引进及积分的计算奠定基础，架起桥梁。此举不仅在于使学生获得又一种定义导数的方法，更重要的是，可以揭去数学概念神秘的面纱，开阔学生的眼界，丰富学生的数学思维，激发学生敢于思考、探索、创造的自信心，
2、积分学部分――采取：初等化的头＋传统的尾的讲法
积分学的“头”——通过实际问题驱动，引入、建立公理化的积分概念，再利用强可导函数的相关性质推出N—L公式，解决积分的计算问题。最后从求曲边梯形面积外包、内填的几何角
度，介绍传统的积分定义的思想。
这样处理的结果，不但使学生学习了积分知识，而且能够使学生学到数学的公理化思想，学到解决实际问题的不同数学方法，对培养、提高学生的数学素质是大有好处的。
设想二：
由于导数、积分等概念只不过就是一种特殊的极限，若将极限初等化了，导数、积分等自然就可以初等化了，所以可以不改变原来的传统的微积分讲授顺序，只是重点将极限概念初等化一下即可，也就是不用εδ-语言，而是用绝对值不等式及张景中院士创造的D语言来讲极限（这个问题，后面我们的邹慧超老师将要介绍），这样的讲法，虽然与传统的微积分教学相比没有太大的改动，但却能使学生对极限有关知识的学习，不仅有了描述性的、直观的认识，而且还能对与极限有关问题进行证明了，达到了培养、提高学生论证的数学思想与能力的目的。
上述就是我对高职高专高等数学教学改革的几点想法，很不成熟。抛砖引玉，供大家参考。至于它是否合理?是否可行？这还有待于同行的讨论、批评与指正。
谢谢大家！2007、8、7