2017-2018年上海市浦东区中考一模数学试题含答案
1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 4．已知非零向量 a ， b ， c ，下列条件中，不能判定向量 a 与向量 b 平行的是
（A ） AD
浦东新区 2017 学年第一学期初三教学质量检测
数 学 试 卷
（完卷时间：100 分钟，满分：150 分）
2018.1
考生注意：
．．．
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
．．．
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】
1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角 A 的余切值 1
（A ）扩大为原来的两倍； （B ）缩小为原来的 ；
2
（C ）不变；
（D ）不能确定．
2．下列函数中，二次函数是
（A ） y = -4 x + 5 ； （B ） y = x (2 x - 3) ；
（C ） y = ( x + 4) 2 - x 2 ；（D ） y =
3．已知在 △Rt ABC 中，∠C =90°，AB =7，BC =5，那么下列式子中正确的是
1
x 2
.
（A ） sin A = 5 5 5 5
； （B ） cos A = ； （C ） tan A = ； （D ） cot A = ．
7 7 7 7
（A ） a // c ， b // c ； （B ） a = 3 b ；
（C ） a = c ， b = 2c ； （D ） a + b = 0 ．
5．如果二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像全部在 x 轴的下方，那么下列判断中正确的是
（A ） a < 0 ， b < 0 ； （C ） a < 0 ， c > 0 ；
（B ） a > 0 ， b < 0 ； （D ） a < 0 ， c < 0 ．
6．如图，已知点 D 、F 在△ABC 的边 AB 上，点 E 在边 AC 上，且 DE ∥BC ，要使得 EF ∥CD ，
还需添加一个条件，这个条件可以是
A
EF
CD AB
= ；
（B ） AE AD =
AC AB
；
F
AF （C ） =
AD AD AB
；
（D ） AF AD =
AD DB
． D E
C
B
（第 6 题图）
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．已知△9 ABC ∽ △A 1B 1C ，△1 ABC 的周长与 △A 1B 1C 1 的周长的比值是 ，BE 、B 1E 1 分别是它
l l ．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．已知 x 3 x - y
= ，则
y 2 x + y
的值是 ▲ ．
8．已知线段 MN 的长是 4cm ，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，则较长线段 MP 的长是
▲ cm ．
3 2
们对应边上的中线，且 BE =6，则 B 1E 1=
▲ ．
1
10．计算： 3a + 2(a - b ) =
▲ ． 2
l 5
D
l 4
A
l 1
11．计算： 3tan 30? + sin 45? =
▲
．
B
E
l 2 12．抛物线 y = 3x 2 - 4 的最低点坐标是
▲
．
C
F
（第 14 题图）
l 3
13．将抛物线 y = 2x 2 向下平移 3 个单位，所得的抛物线的表达式是
▲
．
14．如图，已知直线 l 1、2、3 分别交直线 l 4 于点 A 、B 、C ，交直线 l 5 于点 D 、E 、F ，且 l 1∥l 2∥l 3，
AB =4，AC =6，DF =9，则 DE =
▲ ．
15．如图，用长为 10 米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 10 米），围成一个矩形花圃，设矩
形垂直于墙的一边长为 x 米，花圃面积为 S 平方米，则 S 关于 x 的函数解析式是 ▲
（不写定义域）．
16．如图，湖心岛上有一凉亭 B ，在凉亭 B 的正东湖边有一棵大树 A ，在湖边的 C 处测得 B
在北偏西 45°方向上，测得 A 在北偏东 30°方向上，又测得 A 、C 之间的距离为 100 米，
则 A 、B 之间的距离是
▲ 米（结果保留根号形式）．
17．已知点（-1， m ）、（2， n ）在二次函数 y = ax 2 - 2ax - 1 的图像上，如果 m > n ，那么
a
▲ 0（用“>”或“<”连接）
18．如图，已知在 Rt △ABC 中，∠ ACB =90 °， cos B = 4 5
，BC= 8，点 D 在边 BC 上，将
△ABC 沿着过点 D 的一条直线翻折，使点 B 落在 AB 边上的点 E 处，联结 CE 、 D E ，
当∠BDE =∠AEC 时，则 BE 的长是
▲ .
（第 15 题图）
B A
45°30°
C A
（第 16 题图）
C
（第 18 题图）
B
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．
．
）
．
． ．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19 （本题满分 10 分）
将抛物线 y = x 2 - 4 x + 5 向左平移 4 个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标
和对称轴．
20 （本题满分 10 分，每小题 5 分） 如图，已知△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 和 AC 上，DE ∥BC ，
且 DE 经过△ABC 的重心，设 BC = a ．
（1） DE =
▲
（用向量 a 表示）；
A
D E
1
（2）设 AB = b ，在图中求作 b + a ．
2
B
（第 20 题图）
C
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．
21 （本题满分 10 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 如图，已知 G 、H 分别是□ABCD 对边 AD 、BC 上的点，直线 GH
分别交 BA 和 DC 的延长线于点 E 、F ．
F
C H B
（1）当
S ?CFH
S
四边形CDGH
1 CH
= 时，求 的值；
8 DG D G
A （2）联结 BD 交 EF 于点 M ，求证： MG ? ME = MF ? MH .
22 （本题满分 10 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）
如图，为测量学校旗杆 AB 的高度，小明从旗杆正前方 3 米处的
点 C 出发，沿坡度为 i = 1: 3 的斜坡 CD 前进 2 3 米到达点 D ，在点
D 处放置测角仪，测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°，量得测角仪 D
E 的
高为 1.5 米．A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地
面垂直.
（1）求点 D 的铅垂高度（结果保留根号）； （2）求旗杆 AB 的高度（精确到 0.1）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，t an37°≈0.75， 3 ≈ 1.73 ．）
E
（第 21 题图）
A
37° E
D
B C
（第 22 题图）
A
23 （本题满分 12 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
如图，已知，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点 E ，点 D 在边 AC 上， E
D
联结 BD 交 CE 于点 F ，且 EF ? FC = FB ? DF . （1）求证：BD ⊥AC ；
F
（2）联结 AF ，求证： AF ? BE = BC ? EF .
B
（第 23 题图）
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C
24（本题满分12分，每小题4分）
．
已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CP A的值；
（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
y
5
4
3
2
1
12345x
–5–4–3–2–1O
–1
–2
–3
–4
–5
（第24题图）
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（3）联结 ，当△DF EFD 是等腰三角形时，请直接写出 FG 的长度．
．
25 （本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分）
如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点 D 在射线 BC 上，以点 D 为圆 心，BD 为半径画弧交边 AB 于点 E ，过点 E 作 EF ⊥AB 交边 AC 于点 F ，射线 ED 交射线 AC 于点 G ． （△1）求证： EFG ∽△AEG ； （2）设 FG =△x ， EFG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域；
．．
A
A A
E
F
B
D
C
（第 25 题图） G
B C
（第 25 题备用图）
B C
（第 25 题备用图）
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7． ；8． 2 5 - 2 ； 9．4；10． 5a - b ；11． 3 + ；12．（0,-4）；
S 1
21．（1）解：∵
= ，
F
B
C
四边形CDGH 8 DFG 9
?DFG DG 9 = C H
∵ □MD
ABCD 中，AB //CD ，
?? S ?CFH = ( = 1
浦东新区 2017 学年度第一学期初三教学质量检测
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．C ．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
1 2
5 2
13． y = 2 x 2 - 3 ； 14．6； 15． S = -2 x 2 + 10 x ；16． 50 3 + 50 ；17．>；18．
39
5
．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．解：∵ y = x 2 - 4 x + 4 - 4 + 5 = ( x - 2) 2 + 1 ．…………………………………（3 分）
∴平移后的函数解析式是 y = ( x + 2) 2 + 1．………………………………（3 分）
顶点坐标是（-2，1）．……………………………………………………（2 分） 对称轴是直线 x = -2 ．………………………………………………… （2 分）
A
2 20．解：（1） DE =
a ．……………………………（5 分）
3
（2）图正确得 4 分，
结论： AF 就是所要求作的向量． …（1 分）．
D E
?CFH S
（第 20 题图） S 1 ∴ ?CFH = ． ……………………………………………………（1 分） S
∵ ABCD 中，AD //BC ,
∴ △CFH ∽△DFG ． ………………………………………………（1 分）
∴
CH
) 2 ．…………………………………………… （1 分） S CH 1
∴ =
． …………………………………………………………（1 分）
（2）证明：∵□DG
ABCD 中，AD //BC ，
F
3
MB MH ∴ ． ……………………………………（2 分）
MG
M
ME MB ∴ = ．
……………………………………（2 分）
MF MD D
G
ME MH
∴
=
． ……………………………………（1 分）
MF
MG
E
A
B
（第 21 题图）
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答：点 D 的铅垂高度是 3 米.…………（1 分）
B
C
∴△ EFB ∽△DFC . …………………（1 分）
D
∴ MG ? ME = MF ? MH ． ……………………………（1 分）
22．解：（1）延长 ED 交射线 BC 于点 H .
由题意得 DH ⊥BC .
在 △Rt CDH 中，∠DHC =90°，tan ∠DCH = i = 1: 3 .……………（1 分）
∴ ∠DCH =30°．
∴ CD =2DH ．……………………………（1 分）
∵ CD = 2 3 ，
A
F
37° E
∴ DH = 3 ，CH =3 .……………………（1 分）
（第 22 题图）
D
H
（2）过点 E 作 EF ⊥AB 于 F .
由题意得，∠AEF 即为点 E 观察点 A 时的仰角，∴ ∠AEF =37°. ∵ EF ⊥AB ，AB ⊥BC ，ED ⊥BC ， ∴ ∠BFE =∠B =∠BHE =90°. ∴ 四边形 FBHE 为矩形.
∴ EF =BH =BC +CH =6. ……………………………………………（1 分）
FB =EH =ED +DH =1.5+ 3 .
……………………………………（1 分）
在 △Rt AEF 中，∠AFE =90°， AF = EF ? tan ∠AEF ≈ 6 ? 0.75 ≈ 4.5 .（1 分）
∴ AB =AF +FB =6+ 3
………………………………………………（1 分）
≈ 6 + 1.73 ≈ 7.7 . ……………………………………………（1 分） 答：旗杆 AB 的高度约为 7.7 米. …………………………………（1 分）
23．证明：（1）∵ EF ? FC = FB ? DF ，
∴ EF FB =
DF FC
. ………………………（1 分）
A
∵ ∠EFB =∠DFC ， …………………（1 分）
E
∴ ∠FEB =∠FDC . ………………… （1 分） F
∵ CE ⊥AB ，
∴ ∠FEB = 90°.……………………… （1 分） B C
∴ ∠FDC = 90°. （第 23 题图） ∴ BD ⊥AC . ………………………… （1 分）
（2）∵ EFB ∽△DFC ，
∴ ∠ABD =∠ACE . …………………………………………… （1 分）
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?a+b+5=0；
∴?…………………………（1分）l ∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，∴
CA
∴tan∠CBP=PH1
=，tan∠CPA=.………………………（1分）
∵CE⊥AB，
∴∠FEB=∠AEC=90°.
∴△AEC∽△FEB.……………………………………………（1分）
∴∴AE EC
=
FE EB
AE FE
=
EC EB
.……………………………………………………（1分）
.…………………………………………………（1分）
∵∠AEC=∠FEB=90°，
∴AEF∽△CEB.………………………………………………（1分）
∴AF EF
=
CB EB，∴AF?BE=BC?EF.………………………（1分）
24．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0），B（5，0），
y
?25a+5b+5=0.
?a=1；
解得?…………………………（2分）
?b=-6.D
H C A B
∴抛物线的解析式为y=x2-6x+5.……（1分）O x
（2）∵A（1，0），B（5，0），
∴OA=1，AB=4.
∵AC=AB且点C在点A的左侧，∴AC=4.P E N M （第24题图）
∴CB=CA+AB=8.………………………………………………（1分）
CP
=
CP CB.
∴CP=42.……………………………………………………（1分）又∵∠PCB是公共角，
∴△CP A△∽CBP.
∴∠CP A=∠CBP.………………………………………………（1分）过P作PH⊥x轴于H.
∵OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴∠DCO=45°.∴∠PCH=45°
∴PH=CH=CP s in45=4，
∴H（-7，0），BH=12.∴P（-7，-4）.
1
BH33
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∴ ME AM ME 2 5 ∴ tan A = BC
（3） ∵ 抛物线的顶点是 M （3，-4），………………………………… （1 分）
又 ∵ P （-7，-4），∴ PM ∥x 轴 .
当点 E 在 M 左侧， 则∠BAM=∠AME . ∵ ∠AEM=∠AMB ，
∴ △AEM ∽△BMA .…………………………………………………（1 分）
= . ∴ =
AM BA 2 5
4 .
∴ ME=5，∴ E （-2，-4）. …………………………………（1 分）
过点 A 作 AN ⊥PM 于点 N ，则 N （1，-4）. 当点 E 在 M 右侧时，记为点 E ' ， ∵ ∠A E ' N=∠AEN ，
∴ 点 E ' 与 E 关于直线 AN 对称，则 E ' （4，-4）.………………（1 分） 综上所述，E 的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.
25．解：（1）∵ ED =BD ，
∴ ∠B =∠BED ．………………………………（1 分）
A ∵ ∠AC
B =90°， ∴ ∠B +∠A =90°． ∵ EF ⊥AB ，
∴ ∠BEF =90°．
∴ ∠BED +∠GEF =90°．
∴ ∠A =∠GEF ． ………………………………（1 分）
∵ ∠G 是公共角， ……………………………（1 分） E H ∴ △EFG ∽△AEG ． …………………………（1 分）
（2）作 EH ⊥AF 于点 H ．
F
∵ 在 △Rt ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，AC =4， B D
C 1
= ．
AC 2
（第 25 题图） G
∴ 在 △Rt AEF 中，∠AEF =90°， tan A = ∵ △EFG ∽△AEG ，
EF 1
= ． AE 2
∴ FG GE EF 1 = = = ．……………………………………………（1 分）
EG GA AE 2
∵ FG =x ，
∴ EG =2x ，AG =4x ．
∴ AF =3x ． ……………………………………………………………（1 分） ∵ EH ⊥AF ，
∴ ∠AHE =∠EHF =90°． ∴ ∠EFA +∠FEH =90°． ∵ ∠AEF =90°，
∴ ∠A +∠EFA =90°．
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1
?FG?EH=1
?x?
6
x=
3
∴∠A=∠FEH．
∴tan A=tan∠FEH．
∴在△Rt EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH=∴EH=2HF．HF1
=．EH2
∵在△Rt AEH中，∠AHE=90°，tan A=∴AH=2EH．
∴AH=4HF．
∴AF=5HF．EH1
=．AH2
∴HF=3
5 x．6
∴EH=x．…………………………………………………………（1分）5
∴y=x2．………………………………（1分）2255
4
定义域：（0 3 （△3）当EFD为等腰三角形时，FG的长度是：25 , 4 , 25-55 27312．……（5分） （第25题备用图） 第10页共10页