圆与相似三角形的综合常见题型
圆与相似三角形专题训练
27、如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB 。【2005】
⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若AB ＝6，AE ＝
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，求BD 和BC 的长。
27、已知：如图，⊙O 与⊙A 相交于C 、D 两点，A 、O 分别是两圆的圆心，△ABC 接于⊙O ，弦CD 交AB 于点G ，交⊙O 的直径AE 于点F ，连结BD 。【2006】
（1）求证：△ACG ∽△DBG ；（2）求证：2
AC AG AB =?
；
（3）若⊙A 、⊙O 的直径分别为15，且CG ：CD ＝1：4，求AB 和BD 的长。
E
O
D G
C
A
E
F
B P
27．如图,A 是以BC 为直径的
O 上一点,AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点
E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点
F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．【2007】 （1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是O 的切线；
（3）若FG BF =，且O 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．
27. 如图，已知⊙O 的半径为2，以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M ，点C 是⊙O 优弧AB 上的一个动点（不与点A 、点B 重合）.连结AC 、BC ，分别与⊙M 相交于点D 、点E ，连结DE.若AB=23.【2008】 (1)求∠C 的度数；（2）求DE 的长； （3）如果记tan ∠ABC=y ，AD
DC
=x （0 A B C D E F G O 27．如图，Rt △ABC 接于⊙O ，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．【2009】 (1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； (2)求证：AE=BF ； （3）若3(22)OG DE ?=-，求⊙O 的面积。 27．已知：如图，ABC ?接于 O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长 交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．【2010】 （1）求证：P 是ACQ ?的外心； （2）若3 tan ,84 ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2 ()FP PQ FP FG +=． 27．(本小题满分1 0分)【2011】 已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥A C，垂足为K。过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H． (1)求证：AE=CK；(2)如果AB=a，AD=1 3 a(a为大于零的常数)，求BK的长： (3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长． 27．(本小题满分I0分) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．【2012】 （1）求证：KE=GE；（2）若2 KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=3 5 ，AK=23，求FG的长． 27.（本小题满分10分） 如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 接圆⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.【2013】 （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由： （2）若3 tan 4 ADB ∠= ，4333PA AH -=，求BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积. 27.（本小题满分10分） 如图，在⊙O 的接△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是⌒AC 上异于A,C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G. （1）求证：△PAC ∽△PDF ； （2）若AB=5，⌒AP =⌒BP ，求PD 的长； （3）在点P 运动过程中，设 x BG AG =，y AFD =∠tan ，求y 与x 之间的函数关系式.（不要求写出x 的取值围）tan AE AFD FE ∠= ，【2014】 20.（本小题满分10分）【2015】 如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =.O 是BEF ?的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交O 于点H ，连接BD ，FH . （1）求证：ABC EBF ???； （2）试判断BD 与O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ?的值. 20．如图在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以CB 为半径作⊙C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接ED 、BE ． （1）求证：△ABD ∽△AE B ； （2）当 4 3 AB BC =时，求tanE ； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F ，若AF =2，求⊙C 的半径．【2016】 G H O E D A F B