2021年浙江大学自主招生试题数学试题
3 + = + + ( 2 浙江大学 2019 年自主招生数学试题
1. 已知α= π
，求cos α- cos 2α+ cos 3α的值.
7
2. 已知 S = {1, 2,3, 4}，若| a - a | + | a - a | 的平均数为最简分数 q
，
1 3
2 4
p
其中 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ∈ S ，则 p + q 的值为 3. 动圆过定点(a , 0) ，且圆心到 y 轴的距离为 2a ，则圆心的轨迹是（
） A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 无法确定
4. 一枚质地均匀的硬币，扔硬币 10 次，正面朝上次数多的概率为
5. 已知 x 2 + y 2 + z 2 = 1，求 3xy + yz 的最小值.
6. 已知 p (n ) 为 n 次的整系数多项式，若 p (0) 和 p (1) 均为奇数，则（
）
A. p (n ) 无整数根
B. p (n ) 可能有负整数根
C. p (n ) 无解
D.忘了
7. 3.abc 是所有小数中最接近 的数，求 a + b + c 的值.
8. 已知 n ∈ N * ，下列说法正确的是（
）
A. 若 n ≠ 3k ， k ∈ N ，则7 | 2n -1 C. 若 n ≠ 3k ， k ∈ N ，则7 | 2n +1
B. 若 n = 3k ， k ∈ N ，则7 | 2n -1 D. 若 n = 3k ， k ∈ N ，则7 | 2n +1
9. 复数| z 1 |=| z 2 |= 1 (z 1 ≠ z 2 ) ，满足| z k +1 + i | + | z k -1 - i |= 2 (k = 1, 2) ，求
z 1 z 2 . 10. 若 x > 1，且满足 x 2 + 1 x 2 = 3 ，求 x 5 - 1 .
x 5
2
11. 已知点(a ,b ) 在椭圆 x y 1上，求2a 3b 4 的最大值与最小值的和.
4 3
12. 若将 19 表示为若干个正整数的和，则这些正整数的积的最大值为
13. 数列{a n } 满足 a 1 = 1， S n +1 = 4a n + 3 ，求 a 2019 - a 2018 的值.
14. 定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x +1) = 1 +
2
，求 f 121
) .
2
15. 若 p 、 q 是方程 x 2
+ 6x + 5a - a 2
= 0 的两根，且满足 q + 8 p = p 3 ，则 a 的可能取值有 多少个？
16. △ ABC 的顶点 A (- p , 0) ，B ( p , 0) ，其内心在直线 x = q 上，且 p > q > 0 ，则顶点C 的轨迹方程为
11 f (x ) - f 2
(x )
参考答案
1. 令α= cos π
+ cos
3π+ cos 5π ， 7 7 7
π
π π π
3π π 5π
则 2a s in
= 2sin cos + 2sin cos + 2sin cos ，
7 7 7 7 7 7 7
由积化和差公式可知： 2a sin π = sin 2π+ sin 4π- sin 2π+ sin 6π- sin 4π
，
化简可得： a = 1
.
2
7 7 7 7 7 7
2. 易知| a - a | + | a - a | 的最小值为 0，最大值为 6，则平均数为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7
，
1 3
2 4
6 2
∴ p + q = 9 .
3. ∵圆心到 y 轴的距离为 2a ，∴圆心在直线 x = 2a 或 x = -2a 上，且圆心的轨迹是一个动圆截直线，所截的图像依然还是一条直线，∴圆心的轨迹为直线，故无答案.
C 6 + C 7 + C 8 + C 9 + C 10 193
4.易知： P = 10
10 10 10 10 210 = . 512
5. 由常见不等式可知：1 = x 2 + 3 y 2 + 1
y 2 + z 2 ≥ -
4 4 3xy - yz ，解得： 3xy + yz ≥ -1，
当且仅当 x = -
3
y ， z = - 1
y 时，等号成立，则 3xy + yz 的最小值为-1. 2 2
6. 设 p (n ) = a + a x + a x 2 + ? ? ? + a x n ，
1
2
n
∵ p (0) 和 p (1) 为奇数，则 a 0 为奇数， a 1 + a 2 + ? ? ? + a n 为偶数， 假设 p (n ) 有整数根，设 p (x 0 ) = 0 ，易知 x 0 | a 0 ，则 x 0 为奇数，
情形一：当 a 1 ， a 2 ， ? ? ?， a n 全是偶数时，则此时易知： p (x 0 ) 为奇数，
情形二：当 a 1 ， a 2 ，? ? ?， a n 中有奇数时，而 a 1 + a 2 + ? ? ? + a n 为偶数，则奇数必定时成对出现，则此时 p (x 0 ) 还是为奇数， 综上： p (n ) 无整数根，故选 A.
(cos α+1)2 + (sin α+1)2
(cos α-1)2 + (sin α-1)2 3 3 k k k
7. 易知 a = 3 ， b = 1， c = 6 ，则 a + b + c = 10 .
8. 情形一：当 n = 3k ， k ∈ N * 时，
则 2n -1 = 8k -1 = (7 +1)k -1 = C k 7k + C k -17k -1
+ ? ? ? + C 17 ，此时7 | 2n -1 ，则 B 正确； 情形二：当 n = 3k -1， k ∈ N * 时，
n
8k (7 +1)k 1 k k k -1 k -1 1 n
则 2 -1 = -1 = 2 -1 = ( C 7 2 2 k
+ C k 7 + ? ? ? + C k 7 -1) ，此时7 | 2 -1不成立； 情形三：当 n = 3k - 2 ， k ∈ N * 时，
n 8k (7 +1)k 1 k k k -1 k -1 1
3 则 2 -1 = -1 = -1 = ( C 7 + C 7 + ? ? ? + C 7) - ，此时7 | 2n -1 不成立，
4 4 4 则 A 错误，同理可得，C 、D 错误，
综上：选 B.
k k k
4
9. 设 z 1 = cos α+ isin α， z 2 = cos β+ isin β， 则 + = 2 ，
整理可得： 3 + 2(cos α+ sin α) + 同理可得： sin β+ cos β= 0 ，∴α=
3π
4
+ 2k 1π， β=
2 ，解得： sin α+ cos α= 0 ， 7π 4
+ 2k 2π， k 1 , k 2 ∈ Z ，
而 z 1 z 2 = cos(α+ β) + isin(α+ β) ，∴ z 1 z 2 = i .
10. ∵ x 2 + 1 x 2 = 3 ，则 x 4 + 1 x 4
= 7 ， x - 1 = 1，
x
而(x 4
+
1
)(x - 1) = x 5 - 1 - (x 3 - 1 ) ，又 x 3 - 1 = (x - 1 )(x 2 + 1+ 1 ) = 4 ， ∴ x 5 -
x
4 1 = 11.
x 5
x x 5 x 3 x 3 x x 2
11. 设 a = 2cos α， b =
3 sin α，
则 2a + 3b + 4 = 4cos α+ 3 3 sin α+ 4 = ∴ 2a + 3b + 4的最大值与最小值的和为 8.
43 sin(α+ ?) + 4 ∈[4 - 43,
4 + 43] ，
12. 设分拆中有 x 个 2， y 个 3，则 2x + 3y = 19 ， 当 x = 2 时，此时乘积最大，乘积为 22 ? 35 = 972 ，
3 - 2(cos α+ sin α)
2 + 2 2 + 2 n n -1 2019
=
? ? -
= ∴乘积的最大值为 972.
13. 易知 a n +1 = 4a n - 4a n -1 ，则 a n +1 - 2a n =2(a n - 2a n -1 ) ，
此时有 a
- 2a
= 2n ，整理可得： a n - a
n -1 = 1， n
n -1
2n 2n -1
∴ a n = n ? 2 - 2 ，则 a 2019 - 2a 2018 = 2 .
14. ∵ f (x +1) = 1
+
2 ，则 f 2 (x +1) - f (x +1) + f 2
(x ) - f (x ) = - 1 ， 4
令 g (x ) = f 2 (x ) - f (x ) ，则 g (x +1) + g (x ) = - 1
，
4
由上式可知 g (x ) 具有周期性，周期为 2，而 f (x ) 为偶函数，∴ g (x ) 也为偶函数，
121 1 1 1 1 则 g ( ) g ( ) ， g (- ) + g ( ) = - ， 2 2 2 2 4
解得： g ( 1 ) = - 1 ，此时 f 2 ( 1 ) - f ( 1 ) = - 1 且 f (x ) ≥ 1 ，
2 8 2 2 8 2 1 121
解得： f ( ) = ，∴ f ( ) 的值为 .
2 4 2 4
? p + q = -6 15. 由韦达定理可知： ? pq = 5a - a 2
?? = 36 - 4(5a - a 2 )
，又 q + 8 p = p 3 ，则( p -1)( p - 2)( p + 3) = 0 ，
情形一：当 p = 1时， q = -7 ，则 a 2 - 5a - 7 = 0 ，且 ? > 0， ∴此时 a 的值有两个；
情形二：当 p = 2 时， q = -8 ，则 a 2 - 5a -16 = 0 ，且 ? > 0， ∴此时 a 的值有两个；
情形三：当 p = -3 时， q = -3，则 a 2 - 5a + 9 = 0 ，易知此时 a 无解； 综上： a 的可能值有 4 个.
16. 易知点C 的轨迹为双曲线，且c = p ，a = q ，∴顶点C 的轨迹方程为 x q 2
y 2 1. p 2 - q 2
f (x ) - f 2
(x )
2