第三讲 函数的性质
第三讲 函数的性质
如果说函数是高中数学的心脏，那么函数的性质就是血液。函数的性质只要有单调性、奇偶性和周期性。在高考试题中，函数的性质考查是核心部分，难易程度跨度比较大。
一、函数的单调性
（1）定义法：判断（或证明）函数的单调性应分为以下两个步骤：
A ：所给出的区间上设两个自变量x 1与x 2的大小；
B ：它们所对应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小.
（2）基本函数的单调区间
（3）利用导数判断函数的单调性
2．奇偶性
考查奇偶性的函数题，一般有以下几个意图：
（1）判断函数的奇偶性两个方面：函数的定义域（是否关于原点对称）及f (x )与f (－x )的关系；
（2）借助函数的奇偶性，描绘函数的图象及性质——奇函数的图象关于“原点成中心对称”图形，偶函数的图象关于“y 轴成轴对称”图形；
（3）借助函数的奇偶性来计算某些函数值。
3．周期性
【应用举例】：
例1：求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性.
（1）y = x 2－3 | x | +41； （2）y =x x -??? ??231； （3）y = log 2 (6 + x －2x 2).
【分析】：首先求相应函数的定义域，然后根据“复合函数”单调性的判断方法判断.
【解】：（1）y = x 2－3 | x | +41=???
????-+=++≥--=+-02)23(41302)23(4132222＜，，x x x x x x x x ， 由于x ∈R ，
∴ 根据二次函数的单调区间及单调性可知：
单调递增区间是：[
23，+∞)、[－23，0]；单调递减区间是(－∞，－23]、[0，2
3]. （2）由于x 2－x = (x －21)2－41，所以u = x 2－x 的单调减区间是(－∞，21]，单调增区间是[21，+∞)，又函数y =u ??
? ??31在(－∞，+∞)上是减函数， ∴ 单调减区间是[21，+∞)；单调增区间是(－∞，2
1].
（3）由6 + x －2x 2＞0，得2x 2－x －6＜0，解得23-
＜x ＜2. ∵ u = 6 + x －2x 2 =－2 (x －41)2 +4
49，而函数y = loh 2u 在(0，+∞)上是增函数， ∴ 函数的单调增区间是(2
3-，41]，单调减区间是[41，2). 【说明】：
函数的单调性是一个函数的核心，研究它，要在掌握常见基本函数的单调性判断的基础上精细的理解常用的一些基本方法：
（1）熟练常见的基本函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的单调区间的求法；
（2）理解“复合函数”的结构及其单调性的判断方法；
（3）求复合函数的单调区间分三个步骤：
第一步：求函数的定义域；第二步：在定义域内写出单调区间；第三步：判断各自区间的单调性。
例2：已知函数f (x ) =???≥+-1log 14)13(x x x a x a a
，＜，是(－∞，+∞)上的减函数，求实数a 的取值范围. 【分析】：这是一道分段函数单调性的题目，除了对一次函数和对数函数的单调性判断之外，还应注意“图象”的特征及所在单调区间上的考虑。
【解】：∵函数f (x ) =???≥+-1log 14)13(x x x a x a a
，＜，是(－∞，+∞)上的减函数， ∴ 函数u (x ) = (3a －1)x + 4a 及v (x ) = log a x 都是减函数且u (1)≥v (1)，
∴ ??
???≥+--1log 41310013a a a a a ＜＜＜，解得71≤a ＜31. 【说明】：
本题体现了对函数在所给区间上是单调函数的理解，其难点在于对“3a －1+ 4a ≥log a 1”条件的忽略与理解。
例3：（07上海）已知函数f (x ) = x 2 +
x
a （x ≠0，常数a ∈R ）. （I ）讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由； （II ）若函数f (x )在x ∈[2，+∞)上为增函数，求a 的取值范围.
【解】：（1）当a = 0时，f (x ) = x 2，
对任意x ∈(－∞，0)∪(0，+∞)，f (－x ) = (－x )2 = x 2 = f (x )，
∴ f (x )为偶函数.
当a ≠0时，f (x ) = x 2 +x
a （a ≠0，x ≠0）， 取x =±1，得f (－1) + f (1) = 2≠0，f (－1)－f (1) =－2a ≠0，
∴ f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴ 函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）『解法1』：“利用定义法”，设2≤x 1＜x 2，
)()(21x f x f -=222121x a x x a x --+=2
121)(x x x x -[x 1x 2 (x 1 + x 2)－a ]， 要使函数f (x )在x ∈[2，+∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)＜0恒成立，
∵ x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2 (x 1 + x 2)恒成立，
又 ∵ x 1 + x 2＞4， ∴ x 1x 2 (x 1 + x 2)＞16，∴ a 的取值范围是(－∞，16].
『解法2』：“利用导数法”，2
2)(x a x x f -
='， ∵ 函数f (x )在x ∈[2，+∞)上为增函数， ∴ 不等式)(x f '≥0在x ∈[2，+∞)上恒成立，
由 2x －
2x
a ≥0，得a ≤2x 3恒成立即可，当x ∈[2，+∞)时，2x 3≥16， 故a ≤16即可，∴ a 的取值范围是(－∞，16]. 【说明】：
借助于函数单调性定义来判断或证明函数的单调性是一种基本工具，也是理解单调性的最好方法，在教学中要重视这一工具。同时利用“导数法”也是判断或证明单调性的一种常用方法。
『练习』：
1．已知函数f (x ) =1
2+-+x x a x （a ＞1），证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. 【证明】：『方法1』：“定义法”，任取x 1、x 2∈(－1，+∞)，不妨设－1＜x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2) =12111+-+x x a x －1
2222+--x x a x =)
1)(1()(3212121++-+-x x x x a a x x . 由－1＜x 1＜x 2，且a ＞1，得：21x x a a -＜0且
)1)(1()(32121++-x x x x ＜0， ∴ f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，
故函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数.
『方法2』：“导数法”，由f (x ) =12+-+
x x a x （a ＞1）， 得：2)
1(3ln )(++='x a a x f x ， ∵ a ＞1，∴ 当x ＞1时，a x ln a ＞0，且
2)1(3+x ＞0， ∴ )(x f '＞0在(－1，+∞)上恒成立，则函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数.
2．（07宁夏文）设函数f (x ) = ln (2x + 3) + x 2.
（I ）讨论f (x )的单调性；
（II ）求f (x )在区间[－
43，4
1]的最大值和最小值. 【解】：f (x )的定义域为(2
3-，+∞). （I ）)(x f '=3
22+x + 2x =32)1)(12(2322642+++=+++x x x x x x . 当23-＜x ＜1-时，)(x f '＞0；当1-＜x ＜21-，)(x f '＜0；当x ＞2
1-时，)(x f '＞0. 从而，f (x )分别在区间(23-，1-)，(21-，+∞)单调增加，在区间(1-，2
1-)单调减少. （II ）由（I ）知f (x )在区间[43-，41]的最小值为f (2
1-) = ln2 +41； 又f (4
3-)－f (41) =)649ln 1(212173ln 16127ln 16923ln -=+=--+＜0， 所以f (x )在区间[43-，41]的最大值为f (41) =27ln 161+. 例4：已知y = f (x )对一切实数x ，满足f (－x ) = －f (x )且在区间(0，+∞)上是减函数，且f (x )＜0，试判断函数F （x ）= －)
(1x f 在区间(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 【分析】：借助函数单调性定义证明
【解】：F （x ）在区间（－∞，0）上是减函数.
∵ 设x 1＜x 2＜0，则－x 1＞－x 2＞0.
F (x 1)－F (x 2) = －)(11x f +)
(12x f = )()()()(2121x f x f x f x f -. ∵ x 1＜x 2＜0，则－x 1＞－x 2＞0
而f (x )且在区间（0，+∞）上是减函数，且f (x )＜0，∴ f (－x 1)＜f (－x 2)＜0
又∵ f (x )对一切实数x ，满足f (－x ) = －f (x )，
∴ －f (x 1)＜－f (x 2)＜0，∴ f (x 1)＞f (x 2)＞0.
∴ )
()()()(2121x f x f x f x f -＞0，即：F (x 1)＞F (x 2). 故F (x )在区间(－∞，0)上是减函数.
【说明】：
本题反映了一类抽象函数的单调性判断方法，其紧扣函数单调性定义来判断，在学习中，此类试题是学生的一个难点，往往从步骤上书写不规范。
『练习』：
（07北京东城）函数对任意的a ，b ∈R ，都有f (a + b ) = f (a ) + f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )＞1.
（1）求证：f (x )是R 上的增函数；
（2）若f (4) = 5，解不等式f (3m 2－m －2)＜3.
【解】：（1）设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，∴ f (x 2－x 1)＞1，
∴ f (x 2 = f [ (x 2－x 1) + x 1] = f (x 1) + f (x 2－x 1)－1＞f (x 1).
故f (x ) 是R 上的增函数.
（2）∵对任意的a ，b ∈R ，都有f (a + b ) = f (a ) + f (b )－1，
∴ f (4) = f (2 + 2) = f (2) + f (2)－1 = 5，∴ f (2) = 3，
由不等式f (3m 2－m －2)＜3，得f (3m 2－m －2)＜f (2 )，
由（1）可知，f (x ) 是R 上的增函数，
∴ 3m 2－m －2＜2，即3m 2－m －4＜0，
解得：－1＜m ＜3
4. 故不等式的解集是m ∈(－1，
34). 【说明】：
对于抽象函数的单调性判断或证明，理解单调性的定义并且紧扣定义是解题的关键所在。
例5：（08开封统练）设函数f (x ) =x
a x -
+1(log 21)在区间[1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围. 【解】：『方法1』：“导数法”，∵ e x a x x a
x f 212log 11)(?-++
='， 由题意可知，由于e 21log ＜0，要使f (x ) =x
a x -
+1(log 21)在区间[1，+∞)上单调递减， ∴ 只需x ≥1时，???????≥-+01012x
a x a x ＋＞，即?????-≥+22x a x x a ＜恒成立，解得???-≥12a a ＜， ∴ －1≤a ＜2.
故所求a 的取值范围是[－1，2)
『方法2』：“复合函数单调性法”，首先在x ∈[1，+∞)时，x + 1－
x
a ＞0恒成立， 即a ＜x 2 + x 在x ∈[1，+∞)上恒成立，由于x 2 + x ≥2，
∴ a ＜2.
又∵ y =u 21log 是单调递减函数，
∴ 要使f (x ) =x a x -
+1(log 21)在区间[1，+∞)上单调递减，只需u =x
a x -+1在区间[1，+∞)上单调单
调递增， 由2
221x a x x a u +=+='＞0， 当a ≥0时，有u '≥0，满足；当a ＜0时，在[a -，+∞)上有u '≥0，
∴ a 所满足的条件是：
??
???≤-210＜＜a a a 或???≥20＜a a ，解得：－1≤a ＜0或0≤a ＜2， 故a 的取值范围是[－1，2).
【说明】：
（1）借助于“导函数”考查判断或证明函数的单调性也是一种常用方法，在学生理解方面要深刻体会到函数的单调性是在定义域（即存在性）内来研究的，这是学生容易忽视的一个方面。
（2）“利用复合函数单调性法”判断单调性时，要注意原函数的存在条件（定义域）.
例6：下列判断正确的是（ ）
A ．函数2
2)(2--=x x x x f 是奇函数 B
．函数()(1f x x =- C
．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 『分析』：
只要得出选项A 、B 中函数的定义域，发现不满足奇偶性定义，即定义域内任一x 的值，有的f (－x )的值不存在，选项C 、D ，寻找f (－x )与f (x )的关系即可.
【解】：选项A ：其定义域是{x | x ∈R 且x ≠2}，故f (－2)存在，但f (－2)不存在，故非奇非偶函数； 选项B ：f (－1)存咱，但f (1)不存在，故非奇非偶函数；
选项C ：由于在x ∈(－∞，－1]∪[1，+∞)，f (－x ) ≠－f (x )且f (－x ) ≠f (x )，故f (x )是非奇非偶函数，满足.
选项D ：f (－x ) = 1 = f (x )，但f (－x ) ≠－f (x )，故f (x ) = 1是偶函数，但不是奇函数；
故选（C ）
本题主要考查对函数奇偶性定义的理解，函数的奇偶性的函数的“整体性”的性质，其判断首先在其定义域内存在f (x )与f (－x )，然后才是考查f (－x )与f (x )的关系。
【说明】：
判断函数的奇偶性，应从以下两个方面考虑：（1）看函数的定义域是否关于“原点对称”（必要条件）；
（2）看f (x )与f (－x )的关系，两个条件，缺一不可.
例7：判断下列函数的奇偶性：
（1）f (x ) =
21
x a x x +-； （2）f (x ) = lg (x +21x +).
『分析』：先求函数的定义域，然后根据指数、对数运算来确定f (－x )与f (x )的关系.
【解】：（1）∵ f (x ) = 21x a x x +-=)1(21
-+?x x a a x ，
由于x ∈R 且x ≠1，
∴ f (－x ) =x x x
x x x a a a a x a a x ?-?
+?-=-+?-----)1(2)1()()1(21)(=)1(21x x a a x -+?-= f (x )
∴ 函数f (x )为偶函数.
（2）∵ x ∈R ，
∴ f (x ) + f (－x ) = lg (21x ++ x ) + lg (21x +－x )
= lg (1 + x 2 －x 2 ) = lg1 = 0
∴ f (x )为奇函数.
说明
寻找f (x )与f (－x )的关系是比较灵活的，比如：
（1）直接计算f (－x )；
（2）看f (x ) ± f (－x )与0的关系（奇函数用“+”；偶函数用“－”）；
（3）看)()
(x f x f -与±1的关系（注：f (x )≠0）.
例8：（07北京西城）已知函数f (x )对一切x ，y ∈R 都有f (x + y ) = f (x ) + f (y ).
（1）求证：f (x )是奇函数；
（2）若f (－3) = a ，用a 表示f (12).
『分析』：对于f (x + y ) = f (x ) + f (y )而言，只需分别令x = y = 0和y =－x 即可。
【解】：（1）∵ 函数f (x )对一切x ，y ∈R 都有f (x + y ) = f (x ) + f (y ).
∴ 令x = y = 0，得f ( 0 ) = f (0) + f (0)，解得：f (0 ) = 0，
∴ f (x －x ) = f (x ) + f (－x ) = 0，即f (－x ) =－f (x )，
∴ f (x )是奇函数.
（2）∵ f (－3) = a ，
∴ 根据函数是奇函数，得f ( 3 ) =－f (－3) =－a ，
∴ f (12) = f (6 ) + f (6) = f (3 ) + f (3) + f (3) + f (3) = 4f (3) =－4a .
例9：已知函数f (x ) =21
++x ax 在(－2，+∞)上是增函数，求a 的取值范围.
『分析』：利用增减函数的定义可求解，或利用函数的图象平移及基本函数的单调性可求解。
【解法1】：——利用定义求a 的范围，
设－2＜x 1＜x 2，则有：
f (x 1)－f (x 2) =2
111++x ax －2122++x ax =)2)(2()12)((2121++--x x a x x , ∵ －2＜x 1＜x 2，∴ x 2－x 1＞0，x 1 +2＞0，x 2 +2＞0，
而f (x )在(－2，+∞)上是增函数，
∴ f (x 1)－f (x 2)＜0，∴ 2a －1＞0，即a ＞
2
1. 【解法2】：利用图象法： 由于f (x ) =
21++x ax = a －2
12+-x a ∴ 函数f (x )的单调性与函数2
12+-x a 的单调性相同， ∴ 依题，得：2a －1＞0，即：a ＞21. 【说明】：
本题的解法1利用函数的单调性定义来计算出a 所在的范围，是一种常用的方法；解法2是根据函数图象的特征来寻求a 的范围，也是一种常用求单调区间的方法。
例10：（1）已知定义在(－1，1)上奇函数f (x )是单调递减函数，若f (1－a ) + f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围.
（2）定义在（－2，2）上的偶函数f (x )，又当x ≥0时，f (x )是减函数，若f (1－a )＜f (a )，求a 的取值范围.
『分析』：根据奇偶函数的图象特点，可得出相应的单调性.
【解】：（1）∵f (x )的定义域是（－1，1），
∴ ???--1111112＜－＜－＜＜a a ，即：??
???2220＜＜－＜＜a a 且a ≠0 ∴ a 的取值范围为[（0，)2 ①
∵对于任意的x 满足f (－x ) = －f (x )，且f (1－a ) + f (1－a 2)＜0，
∴ f (1－a )＜－f (1－a 2) = f (a 2－1)
又∵ f (x )是定义在（－1，1）上的递减函数，
∴ 1－a ＞a 2－1，即－2＜a ＜1，再由①知，0＜a ＜1.
（2）由于f (x )的定义域为（－2，2），且f (1－a )＜f (a ).
∵ f (x )在x ≥0时是减函数，且满足f (－x ) = f (x )
∴ ?????----|||1|22212a a a a ＞＜＜＜＜ ? ???
????--212231＜＜＜＜＜a a a ，解得：－1＜a ＜21. 说明：
由于函数的图象能够比较直观的反映函数的性质，这样，在研究抽象函数时往往将其问题通过函数的图象来反映。
例11：已知奇函数f (x ) =c
bx ax ++12（a ，b ，c ∈Z ）满足f (1) = 2，f (2)＜3. （1）求a 、b 、c 的值；
（2）当x ＜0时，判断f (x )的单调性.
『分析』：根据奇函数、f (1) = 2，f (2)＜3以及a ，b ，c ∈Z 可求a ，b ，c .
解：（1）∵ f (－x ) + f (x ) = 0，∴ c bx ax +-+12= －c
bx ax ++12 解得：－bx + c = －bx －c ，即：c = 0
由f (1) = 2，得：2b = a +1，
由f (2)＜3，得：
b
a 214+＜3， ∴ 114++a a ＜3 ?12+-a a ＜0，∴ －1＜a ＜2 又∵ a ，
b ，
c ∈Z ，∴ a = 0或a = 1
由a = 0得b =2
1
Z ，（舍去），由a = 1得b = 1.
故a = 1，b =1，c = 0.
（2）由（1）知：f (x ) =x x 12+= x +x
1. 任取x 1＜x 2≤－1，则：
f (x 1)－f (x 2) =1211x x +－2221x x +=2
12112)1)((x x x x x x --. 当x 1＜x 2≤－1时，x 1x 2＞1，x 2－x 1＞0
∴ f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).
则f (x )在(－∞，－1]上是增函数.
当－1＜x 1＜x 2＜0时，同理可证f (x 1)＞f (x 2).
则f (x )在(－1，0)上是减函数.
例12：函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x ) = f (x －1)，若f (0) = 2，求f (2008)的值. 解：∵ f (x )是偶函数， g (x )是奇函数，∴ f (－x ) = f (x )，g (－x ) =－g (x )，
又∵ g (x ) = f (x －1)，
∴ f (x －1) =－f (－x －1) =－f (x + 1)，
∴ f (x ) =－f (x + 2)，f (x + 2) =－f (x + 4)，即f (x ) = f (x + 4)，
故函数f (x )是周期为4的函数，
∴ f (2008) = f (4×502 + 0) = f (0) = 2.
例13：（08四川）设定义在R 上的函数f (x )满足)2()(+?x f x f = 13，若f (1) = 2，则f (99) =（ ）
A ．13
B ．2
C ．
213 D ．13
2 『分析』： 这也是一道考查函数的周期性的题目，又)2()(+?x f x f = 13，若f (1) = 2，逐个计算f (2)，f (3)，f (4)，f (5)等会发现其周期，或直接求周期.
【解】：由)2()(+?x f x f = 13及)4()2(+?+x f x f = 13，
得：f (x + 4 ) = f (x )，故周期T = 4，
∴ f (99) = f (4×25－1) = f (－1) =
)21(13+-f =213，选（C ）. 说明：
解决此类问题的关键在于理解好“递推关系：)2()(+?x f x f = 13”，是高考试题中通过抽象函数的形式考查“逻辑思维”的一种方法。
在考查周期性方面，形如下列形式都是考查函数的周期性的：
（1）f (1 + x ) = f (x －10)；（2）f (x ) =－f (x + 2)；（3）f (x + 2) =
)
(1x f .
4 对数函数及其性质(1)
高中数学教学设计大赛 获奖作品汇编 4、对数函数及其性质（1） 一、教材分析 本小节主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计
函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳
函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳 知识点精讲 函数奇偶性 定义 设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数 )(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数. 性质 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数)(x f 是偶函数?函数)(x f 的图象关于y 轴对称； 函数)(x f 是奇函数?函数)(x f 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ； 偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记 )]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([2 1 )(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷?-+. 对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇)(÷?奇=偶；奇)(÷?偶=奇；偶)(÷?偶=偶. （7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 函数的单调性 定义 一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ?，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间. 注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.
初中函数图像及性质
函数的定义 一、自变量与应变量 在数学中，通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。那么y 随着x 变化而变化，则我们把x 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是x 函数。 一次函数的图像及性质 一、一次例函数定义 形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。 二、正比例函数 当一次函数()()叫正比例函数。时，中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0和点()b ,0的直线。且与y 轴的截距是b ，与y 轴的交点坐标为()b ,0。 2、当0>k 时，正比例kx y =的函数图像过一、三象限， 的增大而增大。随x y 3、当0
六、用函数的观点看不等式 设两个一次函数111b x k y +=和222b x k y +=的交点 为点()00,y x ，如图可知 （1）当o x x >时，21y y >； （2）当o x x =时，21y y =； （3）当o x x <时，21y y <。 反比例函数图像及性质 一、反比例函数定义 形如()0≠= k x k y 这样的函数叫反比例函数。k 叫比例系数()为常数k 。 二、反比例函数的图像 反比例函数图像为双曲线。 三、反比例函数的性质 2、当0>k 时，反比例函数x k y =的图像分布在一、三象限。 3、当0 一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿ （答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ） 三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等． 师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2 1．某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A 、B 两种共50辆货车运往外地．已知一辆A 种货车的运费需0.5万元，一辆B 种货车的运费需0.8万元． （1）设A 种货车为x 辆，运输这批货物的总运费为y 万元，试写出y 与x 的关系表达式； （2）若一辆A 种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A ，B 两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来； （3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 【答案】（1）y 0.3x 40=-+（2）共有三种方案，见解析（3）A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元 【解析】解：（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50＋x ）辆。 根据题意，得 y 0.5x 0.8(50x)=+-，即 y 0.3x 40=-+。 （2）根据题意，得 9x 6(50x)360 3x 8(50x)290 +-≥??+-≥?，解这个不等式组，得20x 22≤≤。 ∵x 是整数，∴x （3）由（1∵k=－0.3＜0，∴一次函数y 0.3x 40=-+的函数值随x 的增大而减小。 ∴x 22=时，y 有最小值，为y 0.3224033.4=-?+=（万元）。 ∴选择方案三：A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。 （1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50－x ）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。 （2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x 的不等式组，再根据x 是整数，即可求得x 的值，从而确定运输方案。 （3）运费可以表示为x 的函数，根据函数的性质，即可求解。 2．.某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作 设每周制作西服x 件，休闲服y 件，衬衣z 件。 （1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z, （2）求y 与x 之间的函数关系式。 （3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】（1）z=360－x －y （2）y=360－3x （3）每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元 【解析】解：（1）从件数方面：z=360－x －y ， 从工时数方面：由 21x+31y+41z=120整理得：z=480－2x －4 3 y 。 正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________． 解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题． 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 解析：选A.????? x －1>04－x ≥0 ，解得1 考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 【高考再现】 热点一 函数的单调性 1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在 区间(1,2)内是增函数的为（ ） A ．cos 2y x = B ．2log ||y x = C ．2x x e e y --= D ．31y x =+ 2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又 是增函数的为 A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x = D ．||y x x = 【答案】D 【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握 基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都 不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D. 3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区 间是[3,)+∞,则_____a = 【方法总结】 1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致． (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 3.函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1) 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x =的图象，进而画出 y cos x =的图象；会用“五点法”画y sin x =和y cos x =在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数[]x 0,2 蝡的图象，用“五点法”画y sin x =和 y cos x =在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像 对数函数及其性质 Prepared on 22 November 2020 对数函数及其性质（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1．对数函数的概念； 2．对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求 1．理解对数函数的概念； 2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质． 3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为 ),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。 补充：反函数定义： 例题：定义在r 上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b R 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f(x)= x k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象 限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 值域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性：无 奇偶性：奇函数 反函数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）图像移动比较 3）、f(x)= d cx b ax + + (c≠0且d≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项容） 二次函数 一般式：)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f 顶点式：)0 ( ) ( ) (2≠ + - =a h k x a x f 两根式：)0 )( )( ( ) ( 2 1 ≠ - - =a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0 > a时，开口向上，有最低点当0 < a时。。。。。 ③当= >0时，函数图象与x轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x轴 有一个交点（）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。 ④)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f关系)0 ( ) (2≠ =a ax x f 定义域：R值域：当0 > a时，值域为（）；当0 < a时，值域为（） 单调性：当0 > a时；当0 < a时. 奇偶性：b=/≠0 x y O f(x)= d cx b ax + + x y O f(x)=c bx ax+ + 2 课题三角函数的图像及性质 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π2/±α , π的±正α弦、余弦、正切) 教学目标 2.利用单位圆中的三角函数线作出y sin x,x R的图象，明确图象的形状； 3.根据关系cosx sin(x ) ，作出y cosx,x R的图象； 2 4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 重点、难点 1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 2、作余弦函数的图象。 教学内容 、正弦函数和余弦函数的图象： -1 正弦函数y sin x 和余弦函数y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, ,3 ,2 22 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数y sin x(x R) 、余弦函数y cosx(x R) 的性质： ( 1)定义域：都是R。 (2)值域： 1、都是1,1 ， 2、y sinx ，当x 2k k 2 3、y cosx ，当x 2k k Z 例： ( 1)若函数y a bsin(3 x Z 时，y 取最大值1 ；当x 时，y 取最大值1，当x 2k ) 的最大值为3，最小值为 62 3 2k 3 k Z 时，y 取最小值－1； 2 k Z 时，y 取最小值－ 1 。 1，则 a __， b ＿ 2 3 y -2 1 y=cosx -3 -5 -32 -4 -7 -2 -3 22 1 答： a 1 2,b 1或b 1)； ⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是 3）周期性 ： （正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交 点）。 5）单调性 ： 别忘了 k Z ！ ⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（ ① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ； ② f ( x) A sin( x )和 f (x) Acos( 2 x ） 的最小正周期都是 T 2 sin 3x ，则 f （1） f （2） ⑵．下列函数中，最小正周期为 例： (1)若 f (x) f (3) L 的是（ A. y cos 4x B. y sin 2x C.y f (2003) ＝ 答： 0）； x sin 2 D.y x cos 4 （ 4）奇偶性与对称性 ： 1、正弦函数 y sin x （ x R ） 是奇函 数， 对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ； 2 2、余弦函数 y cosx （x R ） 是偶函数， 对称中心是 k 2 ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z 5 例：（1） 函数 y sin 5 2 2x 的奇偶性是 答：偶函数）； 2）已知函数 f （ x ） a x bsin 3 x 1( a,b 为常数)， 且 f (5 ) 7， 则 f ( 5) 答：－ 5）； y sin x 在 2k , 2k 2 k Z 上单调递增，在 2k , 2k 2 3 k Z 单调递减； 2 y cosx 在 2k ,2 k Z 上单调递减，在 2k ,2k k Z 上单调递增。 特别提醒 ， 函数的周期性 张磊 一函数周期性的定义 1 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称y=f(x)为周期函数,T为一个周期. 2 周期的一个性质 若T是y=f(x)的周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期. 二周期函数的常见结论 1 f(x+a)=?f(x)? f(x)是周期函数,周期T=2a 证明:用x+a替换f(x+a)=?f(x)中的x可得f(x+2a)=?f(x+a) ,又因为f(x+a)=?f(x),所以f(x+2a)= f(x).即f(x)是周期函数,周期T=2a 2 f(x+a)=± (b为常数)? f(x)是周期函数,周期T=2a 证明:仿照上述方法. (略) 3 周期性与对称性的关系(注意,奇偶性是特殊的对称性) 由双对称性可推导出函数的周期性.(联系三角函数对称性与周期性的关系,很自然的推导出函数的周期性) 例⑴若函数f(x)既关于x=a对称,又关于x=b对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2. 证:依题∴ ,用x?2b替代x可得) ,∴函数f(x)是周期函数,其周期T=2. 读者仿照该例自己下面结论 ⑵若函数f(x)既关于x=a对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=4. ⑶若函数f(x)既关于点(a ,0)对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2. ⑷若函数f(x)偶函数,且关于x=a对称, 则函数f(x)是周期函数,其周期T=2a ⑸若函数f(x)奇函数,且关于x=a对称, 则函数f(x)是周期函数,其周期T=4a 说明:⑷是⑴的特殊情况.因为偶函数关于y轴对称,即关于x=0对称,所以函数f(x)既关于x=a对称,又关于x=0对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2 ⑸是⑵的特殊情况.因为奇函数关于原点对称,即关于(0 ,0)对称,所以函数f(x)既关于x=a对称,又关于点(0 ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=4. xx －xx 学年度下学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（6）—正、余弦函数的图象和性质 一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)4 sin(π +=x y 在闭区间（ ）上为增函数. （ ） A ．]4 ,43[ππ- B ．]0,[π- C ．]4 3 ,4[ππ- D ．]2 ,2[π π- 2．函数)4 2sin(log 2 1π + =x y 的单调减区间为 （ ） A ．)(],4(Z k k k ∈- ππ π B ．)(]8,8(Z k k k ∈+- π πππ C ．)(] 8 ,83(Z k k k ∈+-π πππ D ．)(]8 3 ,8(Z k k k ∈++ππππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2 -+=x a x x f 的最大值为 （ ） A ．12+a B ．12-a C ．12--a D ．2 a 4．函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2 π - =x B ．4 π - =x C ．8π=x D ．π4 5=x 5．方程x x lg sin =的实根有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 6．下列函数中，以π为周期的偶函数是 （ ） A ．|sin |x y = B ．||sin x y = C ．)32sin(π + =x y D ．)2 sin(π +=x y 7．已知)20(cos π≤≤=x x y 的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是 （ ） A ．4π B ．2π C ．8 D ．4 8．下列四个函数中为周期函数的是 （ ） 浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的周期性 教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用 函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。 学情分析：大多数学生了解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应 用，对函数的周期的求法还没有掌握。 教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶 性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。 教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。 教学流程： 一、回顾上节课内容（问答式） C1.奇偶函数的判断基本步骤： （1）先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数； （2）定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。 C2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点（0，0）对称；偶函数关于y 轴对称。 二、函数的周期 C 1.周期的概念 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫f(x)的周期，如果所以的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。 C 判断：最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期是不变。 答：错,不一定不变 2.周期函数的性质 C (1)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f(x)的周期，则ｋT(k ∈Z,k ≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。 （2）如何判断函数的周期性: ⑴定义; ⑵图象; ⑶利用下列补充性质：设a>0， C-①函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 。 B-②函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 2a 。 B-③函数y=f(x),x ∈R,若 ，则函数的周期为 2a 。 B-④函数f(x)时关于直线 x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为||2a b - 了解证明过程： 证明：由已知得： )(1)(x f a x f -=+) ()(,)()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+[][] )2()(2x a b b f x a b f +-+=+-∴[])2(x a b b f +--=) 2(x a f -= 疱丁巧解牛 知识·巧学·升华 一、对数函数及其性质 1.对数函数 一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞），指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的. 只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0）的函数才叫对数函数.像y=log a （x+1），y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数.对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践. 2.对数函数的图象和性质 （1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象 描点即可完成y=log 2x ，y=x 21log 的图象，如下图. 0 1 2 4 8 x -1 -2 y=log 1/2x -3s 由表及图可以发现： 我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0.5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0.5x=-log 2x ，点(x,y)与点(x,-y)关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x,y)关于x 轴对称点(x,-y)在y=log 0.5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象． 方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象，其关键是作出三个特殊点（a 1，-1），（1，0），（a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法.”②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称. 函数的单调性与周期性 第4讲 函数的单调性与周期性 一、函数的单调性 我们在初中研究了一次函数、二次函数的图象，研究了)0(≠+=a b ax y 与 )0(2≠++=a c bx ax y 函数在某个区间内的增大或减小的性质这节课我们探讨一般函数的单调性。 [问题1] 分别作出函数 2(1) 3(2) 21 y x y x x ==?+的图象，并观察说出在定义域),(+∞?∞内函数值的增减变 化情况。 （1）()3f x x =的图象在定义域),(+∞?∞内，自左至右是上升的，即：函数值)(x f 随自变量x 的增大而增大。 （2）2()21g x x x =?+的图象在对称轴左方的区间)1,(?∞是下降的，在对称轴右方的区间 ),1(+∞ 是上升的，既：在区间)1,(?∞内，)(x g 随自变量x 的增大而减小，在区间) ,1(+∞内，)(x g 随自变量x 的增大而增大。 定义1：设函数))((A x x f y ∈=，对于区间,),(A b a ? 1、如果任意1212,(,)x x a b x x ∈<，时，都有),()(21x f x f <那么就说，函数)(x f y =在区间 ),(b a 内是增函数（increasing function ）。 2、如果任意1212,(,)x x a b x x ∈<，时，都有),()(21x f x f >那么就说，函数)(x f y =在区 间),(b a 内是减函数(decreasing function)。 定义2、若函数)(x f y =在某个区间内是增函数或减函数，则称)(x f 在这一区间内具有单调性，该 区间叫做)(x f 的单调区间。 [问题2] 思考函数的单调性与函数的图象之间的关系。 1、)(x f 是增（减）函数?图象自左到右上升（下降） 2、图象的峰（谷）?函数增（减）变减（增）点? 函数的极大（小）值点三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
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