3.已知点A (-1,0),B (1,0),C (- 5712,0),D (5712 ,0),动点P (x , y )满足AP →·BP → =0,动点Q (x , y )满足|QC →|+|QD →|=10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1; ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形,若存在,请求出一个这样的平行四边形,若不存在,请说明理由; ⑶固定曲线C 0,在⑵的基础上提出一个一般性问题,使⑵成为⑶的特例,探究能得出相应结论(或加强结论)需满足的条件,并说明理由。 4.已知函数f (x )=m x 2+(m -3)x +1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧, ⑴求实数m 的取值范围; ⑵令t =-m +2,求[1 t ];(其中[t ]表示不超过t 的最大整数,例如:[1]=1, [2.5]=2, [-2.5]=-3) ⑶对⑵中的t ,求函数g (t )=t +1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。
高考数列与不等式压轴题(难题)
高考数列与不等式压轴题 1. 已知数列{}n a 为等差数列,且满足211n n n a a na +=-+,*n N ∈。 1) 求数列{}n a 的通项公式; 2) 求证: 12321 1111 ...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3) 当01λ<<时,设1 ()2n n b a λ=-,(1)n n c a λ=-,数列1n n b c ?????? 的前n 项和为n T ,求证: 91 43 n n T n -> +。 2. (2013?蓟县一模)已知数列{}n a 中,11a =,*12311 23()2 n n n a a a na a n N +++++???+= ∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ; 2) 求数列2 {}n n a 的前n 项和n T ; 3) 若存在* n N ∈,使得(1)n a n λ≥+成立,求实数λ的取值范围. 3. (2010?无锡模拟)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列是公比为2的等比数列. 1) 证明:数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =; 2) 设*5(1)()n n n b n a n N =--∈,若1n n b b +<对*n N ∈恒成立,求1a 的取值范围. 4. 已知数列{}n a 中,2 2(a a a =+为常数),n S 是{}n a 的前n 项和,且n S 是n na 与na 的等差中项. 1) 求数列{}n a 的通项公式; 2) 设数列{}n b 是首项为1,公比为2 3 - 的等比数列,n T 是{}n b 的前n 项和,问是否存在常数a ,使1012n a T ?<恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由. 5. 已知数列{}n a 满足11a =,2*123()1 n n n n a a m a n N a +++=∈+。 1) 若恒有1n n a a +≥,求m 的取值范围. 2) 在31m -≤<时,证明: 121111 11112 n n a a a ++???+≥-+++ 3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件:*() 10()n n n a na n N +-=∈,求证:1 02 n a ≤≤ 。
2020年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解4
第 1 页 共 16 页 第 1 页 共 2020年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解4 1.(本小题满分14分) 已知f(x)= 2 22 +-x a x (x ∈R)在区间[-1,1]上是增函数. (Ⅰ)求实数a 的值组成的集合A ; (Ⅱ)设关于x 的方程f(x)= x 1 的两个非零实根为x 1、x 2.试问:是否存在实数m ,使得不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立?若存在,求m 的取值范 围;若不存在,请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类讨 论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. 解:(Ⅰ)f '(x)=222)2(224+-+x x ax = 2 22) 2() 2(2+---x ax x , ∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f '(x)≥0对x ∈[-1,1]恒成立, 即x 2-ax -2≤0对x ∈[-1,1]恒成立. ① 设?(x)=x 2-ax -2, 方法一: ?(1)=1-a -2≤0,
— 2 — ① ? ?-1≤a ≤1, ?(-1)=1+a -2≤0. ∵对x ∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f '(-1)=0以及当a=-1时,f ' (1)=0 ∴A={a|-1≤a ≤1}. 方法二: 2a ≥0, 2 a <0, ①? 或 ?(-1)=1+a -2≤0 ?(1)=1-a -2≤0 ? 0≤a ≤1 或 -1≤a ≤0 ? -1≤a ≤1. ∵对x ∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f '(-1)=0以及当a=-1时,f ' (1)=0 ∴A={a|-1≤a ≤1}. (Ⅱ)由 2 22 +-x a x =x 1,得x 2-ax -2=0, ∵△=a 2 +8>0 ∴x 1,x 2是方程x 2-ax -2=0的两非零实根, x 1+x 2=a ,
高考数学压轴专题最新备战高考《数列》难题汇编及解析
高中数学《数列》复习知识点 一、选择题 1.在等差数列{}n a 中,2436a a +=,则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为( ) A .108 B .90 C .72 D .24 【答案】B 【解析】 由于152436a a a a +=+=,所以1555()536 9022 a a S +?= ==,应选答案A . 点睛:解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=,然后整体代换前5项和中的15=36a a +,从而使得问题的解答过程简捷、巧妙.当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解,但是解答过程稍微繁琐一点. 2.设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A . 3 4 B . 23 C . 12 D . 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果. 【详解】 ∵数列{}n a 为等比数列,且其前n 项和记为n S , ∴51051510,,S S S S S --成等比数列. ∵105:1:2S S =,即1051 2 S S =, ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551 2 S S S -=-, ∴()151010551 1 24 S S S S S -=--=, ∴15510513 44 S S S S =+=, ∴1553:4 S S =. 故选A . 【点睛】 在等比数列{}n a 中,其前n 项和记为n S ,若公比1q ≠,则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列,即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列,利用此性质解题时可简化运算,提
(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列(二)
2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列(二) 1.数列{}n a 的前n 项和为n S , * 23()n n S a n n =-∈N . (1)证明数列{}3n a +是等比数列,求出数列{}n a 的通项公式. (2)设21 (3)3 n n n b a -= +,求数列{}n b 的前n 项和n T . (3)数列{}n b 中是否存在三项,它们可以构成等比数列?若存在,求出一组符合条件的项;若不存在,说明理由. 2.设数列{} n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n ,总存在正整数m ,使得n n S a =, 则称{ }n a 是“H 数列”. (1)若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n =∈N ,证明:{}n a 是“H 数列”. (2)设{}n a 是等差数列,其首项11a =,公差0d <,若{}n a 是“H 数列”,求d 的值.
3.已知点 (,)()n n a n ∈N * 在函数()22f x x =--的图象上,数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 是6n S 与8n 的等差中项. (1)求数列{}n b 的通项公式. (2)设83n n c b n =++,数列{}n d 满足11d c =,()n n l d c n d +∈=N * .求数列{}n d 的前n 项和 n D . (3)在(2)的条件下,设()g x 是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数1x ,2x ,恒有121221()()()g x x x g x x g x =+成立,且(2)g a =(a 为常数,0a ≠),试判断数列121n n d g d ?+??? ?????????+?????? 是否为等差数列,并说明理由. 4.已知等比数列{}n a 的公比1q >,11a =,且1a ,3a ,214a +成等差数列,数列{}n b 满 足: 1122(1)31n n n a b a b a b n +++=-?+L ,*n ∈N . (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. (Ⅱ)若8n n ma b -≥恒成立,求实数m 的最小值.
高考压轴题数列50例
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 高考压轴题瓶颈系列之 ——浙江卷数列 【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b ()()* ∈=N n a a a n b n 2 2 1 . 若 {}n a 为等比数列,且.6,2231b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ; (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 1 1。记数列{}n c 的前n 项和为n S . (i )求 n S ; (ii )求正整数k ,使得对任意* ∈N n ,均有 n k S S ≥. 2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且11a ,21a ,41 a 成等比数列 (Ⅰ)求数列 {} n a 的通项公式及 n S (Ⅱ)记 1231111 ...n n A S S S S = ++++ , 212221111...n n B a a a a =++++,当2n ≥时,试比较 n A 与 n B 的大
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 3. 【2008年.浙江卷.理22】(本题14分)已知数列 {}n a ,0≥n a ,01=a , 22111() n n n a a a n N ?+++-=∈. n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= . 求证:当? ∈N n 时,(Ⅰ) 1 +n S n ;(Ⅲ) 3 历年高考数学压轴题集锦
高考数学压轴题集锦 1.椭圆的中心是原点O ,它的短轴长为(,)0F c (0>c )的准线l 与x 轴相交于点A ,2OF FA =,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若0OP OQ ?=,求直线PQ 的方程; (3)设AP AQ λ=(1λ>),过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ,证 明FM FQ λ=-. (14分) 2. 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ,且当]2,0[∈x 时,|1|)(-=x x f 。 (1) )](22,2[Z k k k x ∈+∈时,求)(x f 的表达式。 (2) 证明)(x f 是偶函数。 (3) 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没有实数根,请说明理由。 3.(本题满分12分)如图,已知点F (0,1),直线L :y=-2,及圆C :1)3(2 2 =-+y x 。 (1) 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1,求动点M 的轨迹E 的方程; (2) 过点F 的直线g (3) 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S
4.以椭圆2 22y a x +=1(a >1)短轴一端点为直角顶点,作椭圆内接等腰直角三角形,试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知,二次函数f (x )=ax 2 +bx +c 及一次函数g (x )=-bx ,其中a 、b 、c ∈R ,a >b >c ,a +b +c =0. (Ⅰ)求证:f (x )及g (x )两函数图象相交于相异两点; (Ⅱ)设f (x )、g (x )两图象交于A 、B 两点,当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时,试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f (x )=12 3++ax x 的图象上一点B (1,b )的切线的斜率为-3。 (1) 求a 、b 的值; (2) 求A 的取值范围,使不等式f (x )≤A -1987对于x ∈[-1,4]恒成立; (3) 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ,使得当]1,0(∈x 时,g (x )有 最大值1? 7 已知两点M (-2,0),N (2,0),动点P 在y 轴上的射影为H ,︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 (1) 求动点P 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线; (2) 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ,求实轴最长的双曲线C 的方程。 8.已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 (1)求数列{b n }的通项公式; (2)设数列{b n }的前项和为S n ,试比较S n 与 8 7 的大小,并证明你的结论. 9.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心,1为半径的圆相切,又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程; (Ⅱ)设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围; (Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,21F F 为双曲线C 的左,右两个焦点,从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程. 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f
最新高考数学压轴题秒杀
秒杀压轴题第五章关于秒杀法的最难掌握的一层,便是对于高考数很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。压轴题,各省的难度不一致,但毫无疑问,尤其是理科的,会难倒很多学压轴题的把握。很多很多人。出题人很怕很怕全省没多少做出来的,相反,压轴题并不是那般神秘难解,不过,明白么?他很怕。那种思想,在群里面我也说过,在这里就不多啰嗦了。想领悟、把握压轴题的思路,给大家推荐几道题目。 08的除山东的外我都没做过,所以不在推荐范围内)。09全是数学压轴题,且是理科(全国一07山东,08江西,07全国二,08全国一, 可脉络依然清晰。虽然一年过去了,做过之后,但这几道题,很 多题目都忘了,一年过去了,都是一些可以秒杀的典型压轴 题,望冲击清华北大的同学细细研究。记住,压轴题是出题人在微笑着和你对话。会在以后的视频里面讲以及怎么发挥和压榨 一道经典题目的最大价值,,”精“具体的题目的解的很清楚。 \ 不过,我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么(难度以及要求依次增高)尤其推荐通项公式的求法(不甚解的去看一下以前的教案,或者问老师,这里必考。:1 )我押题的第一道 数列解答题。裂项相消(各种形式的都要会)、迭加、迭乘、错 位相减求和(这几个是最基本和简:2. 单的数列考察方式,一 般会在第二问考)数学归纳法、不等式缩放:3 基本所有题目都 是这几个的组合了,要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想 对应才行哦。开始解答题了哦,先来一道最简单的。貌似北 京的大多挺简单的。意义在只能说不大。这道题意义在什么呢? 对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释,于,提醒大家 四个字,必须必须必须谨记的四个字:分类讨论!!!!!!! 年山东高考的这道导数题,对分类讨论的考察尤为经典,很具参 考性,类似的题目07下面年高考题中见了很多。10、09、08在 )
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷:(本题满分18分) 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足()sin n n b a =,集合 {}*|,n S x x b n N ==∈. (1)若120,3 a d π ==,求集合S ; (2)若12 a π = ,求d 使得集合S 恰好有两个元素; (3)若集合S 恰好有三个元素:n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的 值. 二、2019年高考数学浙江卷:(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注: 2.71828e =为自然对数的底数.
设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. (1)求n 的值; (2)设(1n a =+*,a b ∈N ,求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷:(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ,若无穷数列{}n b 满足:对任意*n N ∈,都有1n n b a -≤,则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列,11n n b a +=+,*n N ∈,判断数列{}n b 是否与{}n a 接近,并说明理由; (2)设数列{}n a 的前四项为:12341,248a a a a ====,,,{}n b 是一个与{}n a 接近的数列,记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===,求M 中元素的个数m ; (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列,若存在数列{}n b 满足:{}n b 与{}n a 接近,且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数,求d 的取值范围.
高考数学压轴题秒杀
第五章压轴题秒杀 很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。关于秒杀法的最难掌握的一层,便是对于高考数学压轴题的把握。压轴题,各省的难度不一致,但毫无疑问,尤其是理科的,会难倒很多很多很多人。 不过,压轴题并不是那般神秘难解,相反,出题人很怕很怕全省没多少做出来的,明白么?他很怕。那种思想,在群里面我也说过,在这里就不多啰嗦了。 想领悟、把握压轴题的思路,给大家推荐几道题目。 全是数学压轴题,且是理科(09的除山东的外我都没做过,所以不在推荐范围内)。 08全国一,08全国二,07江西,08山东,07全国一 一年过去了,很多题目都忘了,但这几道题,做过之后,虽然一年过去了,可脉络依然清晰。都是一些可以秒杀的典型压轴题,望冲击清华北大的同学细细研究。 记住,压轴题是出题人在微笑着和你对话。 具体的题目的“精”,以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值,会在以后的视频里面讲解的很清楚。 不过,我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么(难度以及要求依次增高)\ 1:通项公式的求法(不甚解的去看一下以前的教案,或者问老师,这里必考。尤其推荐我押题的第一道数列解答题。) 2.:裂项相消(各种形式的都要会)、迭加、迭乘、错位相减求和(这几个是最基本和简单的数列考察方式,一般会在第二问考) 3:数学归纳法、不等式缩放 基本所有题目都是这几个的组合了,要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。 开始解答题了哦,先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。 这道题意义在什么呢?对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释,只能说不大。意义在于,提醒大家四个字,必须必须必须谨记的四个字:分类讨论!!!!!!! 下面07年山东高考的这道导数题,对分类讨论的考察尤为经典,很具参考性,类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。 (22)(本小题满分14分) 设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0. (Ⅰ)当b> 时,判断函数f(x)在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数f(x)的极值点; (Ⅲ)证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立. 这道题我觉得重点在于前两问,最后一问..有点鸡肋了~ 这道题,太明显了对吧?
高考数学数列压轴专项练习集
2018年高考数学数列压轴专项练习集(一) 1.已知等差数列 {}n a 和等比数列{}n b ,其中{}n a 的公差不为 0.设 n S 是数列 {} n a 的前n 项和.若521,,a a a 是数列{}n b 的前3项,且4S =16. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)若数列??????+-t a S n n 14为等差数列,求实数t ; (3)构造数列,...,,...,,,,...,,,,,,,,,21321321211k k b b b a b b b a b b a b a 若该数列前n 项和 1821=n T ,求n 的值. 2.已知数列{}n a 满足1,121=-=a a ,且 ) (2)1(2*2N n a a n n n ∈-+=+. (1)求65a a +的值; (2)设n S 为数列{}n a 的前n 项的和,求n S ; (3)设n n n a a b 212+=-,是否存正整数i ,j ,k (i <j <k ),使得b i ,b j ,b k 成等差数列?若存在,求出所有满足条件的i ,j ,k ;若不存在,请说明理由. 3.(本题满分12分)设数列 {} n a 的前n 项和为 n S ,已知 121a a ==, (2)n n n b nS n a =++,数列 {} n b 是公差为d 的等差数列,* n N ∈. (1) 求d 的值; (2) 求数列 {} n a 的通项公式; (3) 求证: 21 12122()()(1)(2)n n n a a a S S S n n +???????< ++. 4.设数列{}n a 的首项1()a a a =∈R ,且 13,34,3n n n n n a a a a a +->?=? -+?≤时,1m =,2,3,. (1)若01a <<,求2a ,3a ,4a ,5a . (2)若04n a <<,证明:104n a +<<. (3)若02a <≤,求所有的正整数k ,使得对于任意*n ∈N ,均有n k n a a +=成立.
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》难题汇编
【最新】数学《数列》试卷含答案 一、选择题 1.已知单调递增的等比数列{}n a 中,2616a a ?=,3510a a +=,则数列{}n a 的前n 项和n S =( ) A .2 12 4 n -- B .1 12 2 n -- C .21n - D .122n +- 【答案】B 【解析】 【分析】 由等比数列的性质,可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根,求得1,a q ,再结合等比数列的求和公式,即可求解. 【详解】 由题意,等比数列{}n a 中,2616a a ?=,3510a a +=, 根据等比数列的性质,可得3516a a ?=,3510a a +=, 所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根,解得352,8a a ==或358,2a a ==, 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列,所以352,8a a ==, 设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为(1)q q > 可得214128 a q a q ?=?=?,解得11,22a q ==, 所以数列{}n a 的前n 项和 11(12) 122122 n n n S --==- -. 故选:B . 【点睛】 本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算,以及等比数列的前n 项和公式的应用,着重考查了推理与运算能力. 2.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足6a ,43a ,5a -成等差数 列,则4 2 S S ( ) A .3 B .9 C .10 D .13 【答案】C 【解析】 【分析】 设{}n a 的公比为0q >,由645,3,a a a -成等差数列,可得2 60,0q q q --=>,解得q ,
高中数学数列压轴题练习江苏及详解
高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解 1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且?, (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)数列满足, ①求数列的通项公式; ②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m, n的值;若不存在,请说明理由. 解:(I)设数列的公差为d,则 由?,,得, 计算得出或(舍去). ; (Ⅱ)①,, , , 即,,, ,
累加得:, 也符合上式. 故,. ②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列, 则 又,,, ,即, 化简得: 当,即时,,(舍去); 当,即时,,符合题意. 存在正整数,,使得,,成等差数列. 解析 (Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; (Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式;
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则 .由此列关于m的方程,求计算得出答案. 2.在数列中,已知, (1)求证:数列为等比数列; (2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围. 解:(1)证明:, 又, ,, 故, 是以3为首项,公比为3的等比数列 (2)由(1)知道,, 若为数列中的最小项,则对有 恒成立, 即对恒成立 当时,有; 当时,有?; 当时,恒成立,
对恒成立. 令,则 对恒成立, 在时为单调递增数列. ,即 综上, 解析 (1)由,整理得:.由, ,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列; (2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围, 当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得 的取值范围. 3.在数列中,已知, , ,设 为的前n项和. (1)求证:数列是等差数列; (2)求;