九年级数学下册知识讲义-23统计与概率的综合应用(附练习及答案)-北京版
学习目标
一、考点突破
1. 会分析样本数据，并会求数据的特征数字（如平均数、标准差）理解各种统计方法。
2. 会用正确的算法求解概率统计。
3. 会利用概率解决实际问题。
二、重难点提示
重点：应用各种统计方法解决数学问题。
难点：统计在实际生活中的应用。
考点精讲
1. 随机事件与确定事件。
生活中的随机事件分为确定事件和随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件。
必然事件：在一定的条件下重复进行实验时，在每次实验中必然会发生的事件。
不可能事件：有的事件在每次实验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
2. 事件发生的概率：
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
【规律总结】
①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件，那么0 3. 概率的综合应用解题思想。 要判断随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复实验所获取一定的经验数据可以预测它们发生概率的大小；要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的概率是否一样。 【方法指导】所谓判断事件概率是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 典例精讲 例题1 （佛山）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证： ①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值； ②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值； ③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值。 上面的实验中，不科学的有（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 思路分析：分析每个实验的概率后，与原来的掷硬币的概率比较即可。 答案：解：①由于一枚质地均匀的硬币，只有正反两面，故正面朝上的概率是； ②由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，标奇数和偶数的转盘各占一半，指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为； ③由于圆锥是均匀的，所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为，三个实验均科学，故选A。 技巧点拨：选择和抛硬币类似的条件的实验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟实验方法。 例题2（义乌市三模）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上，从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，则所画四边形是平行四边形的概率为。 思路分析：利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率。 答案：解：用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果： ∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形， ∴所画的四边形是平行四边形的概率P=＝，故答案为：。 技巧点拨：解答此题要结合平行四边形的判定，利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键。 提分宝典 统计的综合应用 【针对训练】（十堰）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目，某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为；请补全条形统计图； （2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数； （3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平，若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率。 思路分析：（1）由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生占的百分比，乘以360°得到结果，补全条形统计图即可； （2）求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以900即可得到结果； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率。 答案：解：（1）根据题意得：30÷50%=60（名），“了解”人数为60-（15+30+10）=5（名），“基本了解”占的百分比为×100%=25%，占的圆心角度数为25%×360°=90°，补全条形统计图如图所示： （2）根据题意得：900×=300（人）， 则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人； 剪石布 剪（剪，剪）（石，剪）（布，剪） 石（剪，石）（石，石）（布，石） 布（剪，布）（石，布）（布，布）所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种，则P==。 技巧点拨：同学们解答本题时，要综合前面所学的条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法等知识，弄清题意是解本题的关键． 同步练习 （答题时间：20分钟） 1. 小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（） A. B. C. D. 2. 掷两个骰子，下列说法错误的是（） A. 点数之和为7的可能性最大 B. 点数之和为2或者12的可能性最小 C. 点数之和为11的概率为 D. 点数之和不可能为1 **3. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（） A. B. C. D. **4. 甲、乙、丙三人用牌面数字为“A，2，3”的三张扑克牌做游戏（牌的背面完全相同），将三张牌打乱顺序正面朝下放置，然后由甲、乙、丙三人依次从中抽出一张（不放回），且规定抽到“A”者获胜，下面对甲、乙、丙三人获胜概率的陈述正确的是（） A. 甲先抽，甲获胜的概率最大 B. 乙获胜的概率比甲小，比丙大 C. 丙最后抽，丙获胜的概率最小 D. 三人获胜的概率相同，与抽牌的顺序无关**5. 小明和爸爸今年五一节准备到峨眉山去游玩，他们选择了报国寺、伏虎寺、清音阁三个景点去游玩，如果他们各自在这三个景点中任选一个景点作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择报国寺为第一站的概率是__________。 **6. 如图是4×3正方形网格，图中已涂灰四个单位正方形，小林分别在A、B两区的剩下四个白色正方形中任取1个涂灰，则小林涂灰后的正方形网格恰好是一个轴对称图形的概率是_______________。 7. “端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗，某班学生在“端午节”前组织了一次综合实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们。统计全班学生制作粽子的个数，将制作粽子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A，B，C，D四个组，各组每人制作的粽子个数分别为4，5，6，7．根据如图不完整的统计图解答下列问题： （1）请补全上面两个统计图；（不写过程） （2）该班学生制作粽子个数的平均数是_________； （3）若制作的粽子有红枣馅（记为M）和蛋黄馅（记为N）两种，该班小明同学制作 这两种粽子各两个混放在一起，请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率。 **8. 黔西南州实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高，某学校为了了解学生自主学习、合作交流的具体情况，对部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差，现将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调査了名同学，其中C类女生有名； （2）将下面的条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，学校想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男生、一位女生的概率。 答案 1. A 解析：共4种情况，有1种情况为每个路口都是绿灯，所以概率为， 故选A。 2. C 解析：共有36种情况： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6） 2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6） 3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6） 4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6） 5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6） 6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6） 由表可知：点数之和为11的概率为=，而不是，所以选项C不正确，故选C。 3. D 解析：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，∴画树状图得： 共可以组成4个三角形，所作三角形是等腰三角形的只有：△OA1B1，△OA2B2， 所作三角形是等腰三角形的概率是：=，故选：D。 4. D 解析：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，甲、乙、丙获胜的情况都是2种， ∴P（甲胜）=P（乙胜）=P（丙胜）=，故选D。 5. 解析：列表如下：（a表示报国寺，b表示伏虎寺，c表示清真阁） a b c a （a，a）（b，a）（c，c） b （a，b）（b，b）（c，b） c （a，c）（b，c）（c，c） 所有等可能的情况有9种，其中他们都选择报国寺为第一站的为（a，a）1种，则P=，故答案为：。 6. 解析：把空白区域分别标上数字，列表如下： 共有16种情况，涂灰后的正方形网格恰好是一个轴对称图形的情况有：（2，1）（5，4）（6，3）（8，7）四种情况，则小林涂灰后的正方形网格恰好是一个轴对称图形的概率是=；故答案为：。 7. 解：（1）根据题意得：6÷15%=40（人），D的人数为40×40%=16（人），C占的百分比为1-（10%+15%+40%）=35%，补全统计图，如图所示： （2）根据题意得：（6×4+4×5+14×6+16×7）÷40=6（个），则该班学生制作粽子个数的平均数是6个； M M N N M --- （M，M）（N，M）（N，M） M （M，M）--- （N，M）（N，M） N （M，N）（M，N）--- （N，N） N （M，N）（M，N）（N，N）--- 所有等可能的情况有12种，其中粽子馅料不同的结果有8种，则P==。 8. 解析：（1）样本容量：25÷50%=50，C类总人数：50×40%=20人，C类女生人数：20-12=8人，故答案为：50，8； （2）补全条形统计图如下： 男A 女A1 女A2 男D 男A男D 女A1男D 女A2男D 女D 女D男A 女A1女D 女A2女D ∴共有6种结果，每种结果出现可能性相等， ∴两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为： P（一男一女）==。