中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)
二次函数判断符号问题大全
1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）
2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2
-x-2 B 、y=12
1
212++-
x C 、y=12
1
212+--
x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：
0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增
大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
3题图 4题图 5题图
4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（
）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定
5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
6、二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2
4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x
++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）
B ．
C ．
D ．
O
7、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：
20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7题图 8题图 9题图 8、已知=次函数y ＝ax 2
+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B 3 C 、4 D 、5
9、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：
20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10、二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2
4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x
++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）
x
x
x
x
x
x
x
x
x
11、小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2）
1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
12题图
12、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（ ） A ．0c > B ．20a b += C ．2
40b ac -> D ．0a b c -+> 13、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可．能．
是（ ）
14、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是
A ．a ＜0
B.abc ＞0
C.c b a ++＞0
D.ac b 42-＞0
15、已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③
0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ． ①③④
C ．①②③⑤
D ．①②③④⑤
11题图
15题图
16、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是 （ ）
A ．0 B ．0 C ．0 D ．042 <-ac b 17、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） ac b 42-c b a ++ （17题图） 二次函数常见关系式符号的判定 例1如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0； ④ 0；⑤ 0；⑥ 0；⑦ 0。 图3 例 2如图2，已知二次函数的图像与轴相交于( ，0 )，( ， 0)两点，且，与轴相交于(O ，-2)，下列结论：① ； ② ；③ ； ④；⑤ 。． 其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B .2个 C .3个 D ．4个 练习1、如图3，的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0. 你认为其中错误．．的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 2、函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象如图4，下列结论正确的是：__________ ① 0>abc ; ② c a b +<; ③ 4a +2b +c >0; ④ 2c <3b; ⑤ 2a +b =0; ⑥ a +b >m (am +b ); ⑦042 <-ac b 图5 图4 图6 3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图5，给出下列结论：①b2－4ac>0；② 2a＋b<0； ③ 4a－2b＋c=0；④a︰b︰c=-1︰2︰3.其中正确的是( ) A．①②B．②③C．③④D．①④ 4、如图6为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当-1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 压轴题训练：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由． 二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定 一、基础练习 1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图 所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果① b 2＞4a c ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结 论是（ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤ 3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1）， 下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确 结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，则下列结论正确的是（ ） A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图 所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其 中正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，下面四条信息： （1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．错 误的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个 7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的 是（ ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -b/2a ＜-1 D 、a-b+c ＜0 8、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结 论： ① b 2-4ac ＞0 ②abc ＞0 ③8a+c ＞0 ④9a+3b+c ＜0， 则其中结论正确 的个数是（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 读书破万卷下笔如有神 关于二次函数的符号判断 2c?ax?bxy?）例1 已知抛物线的图象如图所示，则a、b、c（a?0,b?0,c?0a?0,b?0,c?0Ａ. B.a?0,b?0?a?0,b0,c?0,c?0 C. D. 2y?ax?bx?c中，b＝4a例2 抛物线，它的图象如图，有以下结论：① 2a?b??0c?0cc?0a?b?b?4ac?0④③；② abc?04a?c；其中正确的为（；⑥⑤） A．①② B．①④ C．①②⑥ D．①③⑤ 2y?ax?b0?ab axy?的图象是时，函数（与例3 下列图象中，当） yyy y O O xx xx O O A B D C 0，则它的图象可能是图所示的( ) a，且＋b已知二次函数＋y＝ax＋bx＋c，c如果a>b>c4 2＝ 例yy y y O O Ox1x Ox11x1 B D AC2CB?A c?ax?bxy?为等，且、CA的图象与两个坐标轴的交点分别为、例6 如图，二次函数B20c??1a?b?0ac?cS?，其中一定成立；④；③；②腰直角三角形，那么下列结论①ABC?y的有（） x例 读书破万卷下笔如有神 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（） x?0时，．贝贝：我注意到当0m?y?1．晶晶：我发现图象的对称轴为?x 2x?a?x．欢欢：我判断出 21 a?1的符号．迎迎：我认为关键要判断 m可以取一个特殊的值．妮妮： 20c??b?a0ac?b?4例8下列命题：①若，则；20?bx?cax?c?a?b，则一元二次方程②若有两个不相等的实数根；20c?ax?bx?c3b?2a?③若有两个不相等的实数根；，则一元二次方程20?b?4ac3. ④若或，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2其中正确的是（）．Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④ ??22a0?bx?a?b??yaxa( ) 9 已知，二次函数的图像为下列图像之一，则的值为例 4 3 D. － 1 C. A.－1 B ．－ 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定方法 一、知识点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0． （4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． 二、基础练习 1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（） A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac； ②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数 是（） A、1 B、2 C、3 D、4 4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列 结论正确的是（） A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2 =3 C、2a-b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小 5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（） A、1 B、2 C、3 D、4 有关二次函数的符号判断 前面，我们已经学过二次函数c bx ax y ++=2的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质： 二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ,应用配方法可将其化为=y ．其中=h ， =k ．其图象与函数2ax y =的图象的 相同，开口方向相同， 那么，我们今天一起来学习抛物 线的位置与?,,,c b a 之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说： （1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置： 0>c ?抛物线交y 轴于 ； 0 c b 二次函数特殊符号判断练习 1.二次函数y =ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A . a<0,b>0,c>0, b 2-4ac <0 B . a<0,b >0,c <0, b 2-4ac >0 C . a <0,b <0,c >0, b 2-4ac <0 D . a <0,b <0,c <0, b 2-4ac >0 2.抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过原点和二、三、四象限， 判断a 、b 、c 的符号情况：a 0,b 0,c 0. 3.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，若a >0，b <0，c <0，那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限. 4.已知：y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，则点M （ ，a ）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示， 下列判断不正确的是（ ）. A. abc >0, B. b 2-4ac <0, C. a-b+c <0, D. 4a+2b+c >0. 6.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示， 则下列结论错误的是( ) A. a >0 B. c <0 C. b 2-4ac <0 D. a+b+c >0 7.二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图26-18所示，有下列结论： ①0c <；②0b >;③420a b c ++>；④22()a c b +<, 其中正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如所示，则下列结论: ①ac >0；② a ＋b ＋c <0 ；③a －b ＋c <0；④2a ＋b ＝0. 错误的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴ a+b+c =0; ⑵ a-b+c <0; ⑶ abc <0; ⑷ b =2a. 其中正确的结论的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图3所示， 二次函数abc组合的符号判断（一）（通用版） 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) A. ②③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) A. 1个 B. 2个 D. 4个 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线 ，则下列结论正确的是( ) A. B. a+b=0 C. D. 6.(本小题16分)如图，二次函数图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的有( ) A. 1个 B. 4个 D. 2个 7.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④；⑤．其中正确的是( ) A. ②③⑤ B. ①②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 二次函数abc组合的符号判断（二）（通用版） 单选题(本大题共6小题，共100分) 1.(本小题15分)二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线x=-1，且过点 （-3，0）．下列说法：①；②2a-b=0；③；④若， 是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) 二次函数判断符号问题大全 1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： 0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增 大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3题图 4题图 5题图 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6、二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） x y O 1 B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O 二次函数abc组合的符号判断（一）（通用版）试卷简介:检测学生对于二次函数中abc组合的符号判断套路掌握情况，分为三个层次，首先根据函数图象确定a，b，c的符号以及对称轴信息，其次是找特殊点的函数值，获取等式和不等式，最后在判断残缺型符号时，将等式代入不等式。过程中考查学生读图，数形结合以及逻辑分析能力。 一、单选题(共7道，每道12分) 1.如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：∵抛物线开口向上， ∴． 对称轴在y轴右侧，根据左同右异可知，． ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴， ∴，故选项A中的结论错误． 由图象可知抛物线对称轴为直线x=1， ∴， ∴，故选项B中的结论错误． ∵抛物线的对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0）， ∴该抛物线与x轴的另一交点为（-1，0）， ∴当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，故选项C中的结论也错误． 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，， 故选项D中的结论正确． 试题难度：三颗星知识点：abc组合的符号判断 2.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解题思路：抛物线开口向下，，故①正确． 对称轴在y轴右侧，根据左同右异可知a，b异号，，故②错误． ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴，故③正确． ∵对称轴为直线， ∴b+2a=0，故④正确． 由图可知，当x=1时，，即，故⑤错误． 综上可得，正确的结论是①③④，共3个． 试题难度：三颗星知识点：abc组合的符号判断 3.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) 二次函数abc组合的符号判断 对于二次函数中abc组合的符号判断套路掌握情况，分为三个层次，首先根据函数图象确定a，b，c符号以及对称轴信息，其次是找特殊点的函数值，获取等式和不等式，最后在判断残缺型符号时，将等式代入不等式。过程中考查学生读图，数形结合以及逻辑分析能力。 单选题(本大题共7小题，共100分) 1.(本小题12分)如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 2.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；②； ③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 3.(本小题12分)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③；④．其中正确的是( ) ? A. ②③ ? B. ③④ ? C. ②④ ? D. ①④ 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 4.(本小题16分)如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察 得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( ) ? A. 1个 ? B. 2个 ? C. 3个 ? D. 4个 核心考点: 二次函数图象与系数的关系abc组合的符号判断 5.(本小题16分)已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是( ) ? A. ? B. a+b=0 ? C. ? D. 核心考点: 二次函数图象与系数的关系 abc组合的符号判断 二次函数知识点总结和题型总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。 这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 2. 二次函数 2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题： 例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式 y=ax 2 +bx+c 则最值为4ac-b 24a ） 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 。 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质例题： 1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。 2．抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2 +8x －2； （3）y=－14 x 2+x －4 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 关于二次函数的符号判断 【知识要点】 1．根据二次函数的图像你能大致判断?,,,c b a 的符号吗？ 2．根据图像你能判断代数式b a b a b a b a c b a c b a -+-++-+++,,2,2,,的符号吗？ 3．通过已知?,,,c b a 等的值，你能确定抛物线的大致位置吗？ 4．当二次函数系数满足什么条件时，y 的值恒大于零？恒小于零？ 【典型例题】# 例1 已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 、b 、c 的符 号为（ ） Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b a C.0,0,0=<>c b a D.0,0,0<<>c b a # 例2 抛物线c bx ax y ++=2中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论： ①0>c ；②0>++c b a ③0>+-c b a ④042 <-ac b ⑤0 好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线c bx ax y+ + =2，则下列结 论：① 60 1 - < a②0 60 1 < < -a③0 > + -c b a④a b12 0- < <其中正确的结论是（） A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 例6 如图，二次函数c bx ax y+ + =2的图象与两个坐标轴的交点分别为A、B、C，且ABC ?为等腰直角三角形，那么下列结论①0 = b；②2c S ABC = ? ；③1 - = ac；④ a 例 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（） 贝贝：我注意到当0 x=时，0 y m =>． 晶晶：我发现图象的对称轴为 2 1 = x． 欢欢：我判断出 12 x a x <<． 迎迎：我认为关键要判断1 a-的符号． 妮妮：m可以取一个特殊的值． 例8下列命题：①若0 a b c ++=，则240 b ac -≥； 10 A B C D 二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0?；a<0?．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0?抛物线交y轴于； c<0?抛物线交y轴于；c=0?． （3）ab决定抛物线对称轴的位置， 当a,b同号时?对称轴在y轴；b=0?对称轴为；a,b异号?对称轴在y轴，简称为． 一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号． 例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号 y x 2.看图填空 （1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0 （3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0 二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置： 例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（） y y y y O x O x O x O x A B C D 例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1 的大致图象是（） y y y 1 x0x-1x 0-10 1．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限． 2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是() y O x 3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点 , ? 在．（ ） ? b 2 - 4ac b ? y y A 、 a < 0, b > 0, c < 0 B 、 b 2 - 4ac < 0 C 、 a + b + c < 0 D 、 a - b + c > 0 ? a + b ac ? y A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 O 4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是 ( ) y y O x O x O x O x A B C D 5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论① c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（ ） A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个 6．已知函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , c y O x x = 1 y 有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其 中正确个数为 ． 7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线 y = ax 2 + bx 一定经过（ ） A ．第一、二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限 8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图 象，那么 a 的值是__． - O 1 x 二次函数y=aχ2+bx+c系数符号的确定方法、知识点 二次函数y=aχ2+bx+c系数符号的确定: (1) a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，贝U a>0;否则av0. (2) b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式X=门判断符号. (3) C由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则C>0;否则C V0. (4)b2-4ac的符号由抛物线与X轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac >0; 1个交点，b2-4ac=0 ;没有交点，b2-4ac V 0. (5)当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号. (6)由对称轴公式X=未，可确定2a+b的符号. 、基础练习 1、已知抛物线y=aχ2+bx+c (a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正 确的是( ) A、a>0 B、b v0 C、C V0 D、a+b+c>0 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1 ,给出下列结果①b2>4ac; ②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+c V0，则正确的结论是( ) A 、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤ 3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为( 结 论：①ac v0；②a+b=0;③4ac-b2=4a:④a+b+c v0.其中正确结论的个数是( ) A 、1 B、2 C、3 D、4 4、已知二次函数y=aχ2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1 ,贝U下列 结论正确的是( ) A、ac > 0 B、方程ax2+bx+c=0 的两根是X1=-1，X2=3 C、2a-b=0 D、当X > 0时，y随X的增大而减小 5、已知二次函数y=ax2+bx+c (a，b，C为常数，a≠0)的图象如图所示，有下 列结论：①abc>0，②b2-4ac V 0，③a-b+c >0，④4a-2b+c V 0，其中正确结 论的个数是( ) A 、1 B、2 C、3 D、4 二次函数：图象位置与a ，b ，c ， （1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ?抛物线交y 轴于 ； 0 二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定方法 一、知识点 二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定： （1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0． （4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号． 二、基础练习 1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞0 2、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤ 3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数 是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列 结论正确的是（ ） A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有 下列结论：①abc ＞0，②b 2-4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确 结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 精心整理 精心整理 二次函数的符号问题 1.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（1，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ） A ．①② B ． ②③ C ． ①②④ D ． ②③④ 2.如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(-3，0)和(-2，0)之间，有四个结论：①b 2-4ac ＜0；②a +b +c ＜0；③2c -b =4； ④方程ax 2+bx +c -2=0有两个不相等的实数根．其中正确结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3．二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的图象如图，其对称轴为x =-1，有下面五个结论：①b ＞0；②24b ac -＞0；③c=-3a ；④4a -2b+c ＞0；⑤对于图象上的两个不同的点(m ,n )、(-1,k )，有n k >.其中正确结论有() A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 4.抛物线2y ax bx c =++图象如图所示，给出下列四个结论：①abc >0；②2a b c ++=；③12 a >；④ b ＜1.其中正确的结论是（????） （A ）①②??（B ）②③??（C ）②④??（D ）③④ 5.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2 ﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 6.小轩从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤ ． 你认为其中正确信息的个数有（ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ． 5个 7.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0; ② b ＜a ＋c; ③4a ＋2b+c>0④2 c ＜3b ；⑤a ＋b ＜m(am ＋b)（m ≠1的实数）其中正确结论的序号有＿＿＿＿＿ 二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：? >0 a；? <0 a．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，0 > c?抛物线交y轴于； < c?抛物线交y轴于；0 = c?． （3）ab决定抛物线对称轴的位置， 当b a,同号时?对称轴在y轴；0 = b?对称轴为；b a,异号?对称轴在y轴，简称为． 一、通过抛物线的位置判断a，b，c，△的符号． 例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号 （1）a＋b＋c_______0（ 2）a－b＋c_______0 （ 3）2a－b _______0（4）4a＋ 2b＋c_______0 二、通过a，b，c ，△的符号判断抛物线的位置： 例1．若0 ,0 ,0< > A 、0,0,0<> 二次函数 一、二次函数概念: １.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而 b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数，c 是常数项. 例1(基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．(-1,８） Ｂ.(1,8) Ｃ(-1,2） D （1，-4) １、二次函数y ＝a ｘ２+b ｘ+ｃ的图象如图所示,反比例函数y = 错误!未定义书签。与正比例函数y ＝（b ＋c )x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ) 2、若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为( ） A .0 5 Ｂ .0． 1 C.－4. 5 D.-4. １ 3、图（１）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m ．如图（2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ） A ． B. C. D ． 22y x =-2 2y x =2 1 2 y x =-212 y x = 4、已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( ） A.223y x x =-+?? B.223y x x =-- C.223y x x =+- ? D ．223y x x =++ 5. 若2y ax bx c =++,则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ） x 1 - 1 2ax 1 2ax bx c ++ 8 3 A ．43y x x =-+ B ．34y x x =-+ C ．33y x x =-+ D ．48y x x =-+ ６、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高为1米的喷水管喷水最大高度为３米，此时喷水水平距离为 1 2米,在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是( )A ）21()32 y x =--+ （B ）213()12 y x =-+( 图（1） 图（2） 课题二次函数图象与系数符号 学习目标： 1．探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图象之间的关系； 2．由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号； 学习过程 一、知识回顾： 1.抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定： 开口向上 开口向下. 2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（）. c>o与y轴的交点在； c 与 y 轴的交点在； c=o抛物线过点 3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线. b=0对称轴是； a、b同号－ 0对称轴在y轴的侧； a、b异号－ 0对称轴在y轴的侧. 4.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由决定. 抛物线与x轴有两个交点； 抛物线与x轴有一个交点； 抛物线与x轴没有交点. 二、协作归纳，获取新知 （一）a、b、c、△=b2-4ac的符号与抛物线位置的关系。 1. 抛物线y=ax2+bx+c开口向上； 抛物线y=ax2+bx+c开口向下 . 2. 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的负半轴上； 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴上， 抛物线经过坐标原点. 3. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴b 0； 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的左侧－ 0a、b号； 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧－0a、b号. 4. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点△ ； 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点△； 抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点△. 试一试： 根据二次函数的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号，并说明理由. （二）确定代数式a+b+c； a-b+c； 4a+2b+c；4a-2b+c；2a+b；2a-b的符号 1.二次函数y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=；当x=-1时，y=.二次函数常见关系式符号的判定
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