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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)专题58_开放探究型问题

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)

专题58:开放探究型问题

一、选择题

二、填空题

1. (2012陕西省3分)在同一平面直角坐标系中,若一个反比例函数的图象与一次函数

y=2x+6-的图象无.

公共点,则这个反比例函数的表达式是 ▲ (只写出符合条件的一个即可). 【答案】5y x

=(答案不唯一)。 【考点】开放型问题,反比例函数与一次函数的交点问题,一元二次方程根与系数的关系。 【分析】设反比例函数的解析式为:k y x =

, 联立y=2x+6-和k y x =,得k 2x+6x

-=,即22x 6x+k 0-= ∵一次函数y=2x+6-与反比例函数k y x

= 图象无公共点, ∴△<0,即268k 0<--(),解得k >92

。 ∴只要选择一个大于92的k 值即可。如k=5,这个反比例函数的表达式是5y x

=(答案不唯一)。

2. (2012广东湛江4分) 请写出一个二元一次方程组 ▲ ,使它的解是x=2y=1

??-?.

【答案】x+y=1x+2y=0???

(答案不唯一)。 【考点】二元一次方程的解。

【分析】根据二元一次方程解的定义,围绕x=2y=1

??-?列一组等式,例如:

由x +y=2+(-1)=1得方程x +y=1;由x -y=2-(-1)=3得方程x -y=3;

由x +2y=2+2(-1)=0得方程x +2y=0;由2x +y=4+(-1)=3得方程2x +y=3;

等等,

任取两个组成方程组即可,如x+y=1x+2y=0???

(答案不唯一)。

3. (2012广东梅州3分)春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验,这块正方形木板在地

面上形成的投影是可能是▲ (写出符合题意的两个图形即可)

【答案】正方形、菱形(答案不唯一)。

【考点】平行投影。

【分析】根据平行投影的特点:在同一时刻,平行物体的投影仍旧平行。所以,在同一时刻,这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形,例如,正方形、菱形(答案不唯一)。

4. (2012浙江衢州4分)试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式

▲ .

【答案】

1

y=

x

-(答案不唯一)。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】位于二、四象限的反比例函数比例系数k<0,据此写出一个函数解析式即可,如1

y=

x

-(答案不唯一)。

5. (2012江苏盐城3分)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB DC

=.在不添加任何辅助线的前

提下,要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个

..条件是▲ .(填上你认为正确的一个答案即可)

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【答案】∠A=90°(答案不唯一)。

【考点】矩形的判定。

【分析】由已知,根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形,

从而在不添加任何辅助线的前提下,根据矩形的判定写出一个内角是直角或相邻两角相等或对角互补即

可。例如,∠A=90°(答案不唯一)。

6. (2012广东河源4分)春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验,这

块正方形木板在

地面上形成的投影可能是▲ (写出符合题意的两个图形即可).

【答案】正方形、菱形(答案不唯一)。

【考点】平行投影。

【分析】根据平行投影的特点:在同一时刻,平行物体的投影仍旧平行。所以,在同一时刻,这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形,例如,正方形、菱形(答案不唯一)。

7. (2012福建三明4分)如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,∠BDE=∠CDF,请你添

加一个

..条

件,使DE=DF成立.你添加的条件是▲ .(不再添加辅助线和字母)

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【答案】∠B=∠C(答案不唯一)。

【考点】全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,邻补角的性质。

【分析】在△BDE和△CDF中,已有BD=CD和∠BDE=∠CDF,只要添加一角相等即可由ASA 或AAS证得△BDE≌△CDF,从而证得DE=DF成立。

故可添加∠B=∠C或∠BED=∠CFD;

也可添加AB=AC,根据等腰三角形等边对等角的性质得∠B=∠C;

也可添加∠AED=∠AFD,根据邻补角的性质得∠BED=∠CFD等。答案不唯一。

8. (2012湖南娄底4分)写出一个x的值,使|x﹣1|=x﹣1成立,你写出的x的值是▲ .【答案】2(答案不唯一)。

【考点】开放型,绝对值。

【分析】根据非负数的绝对值等于它本身,那么可得x﹣1≥0,解得x≥1。故答案可是2(答案不唯一)。

9. (2012湖南郴州3分)如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,连接DE,要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件▲ (只需写一个).

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【答案】∠ADE=∠C(答案不唯一)。

【考点】相似三角形的判定,开放题。

【分析】∵∠A 是公共角,

∴当∠ADE=∠C 或∠AED=∠B 时,△ADE∽△ACB(有两角对应相等的三角形相似);

当AD :AC=AE :AB 或AD?AB=AE?AC 时,△ADE∽△ACB (两组对应边的比相等且夹

角对应相等的两个三角形相似)。

∴要使△ADE∽△ACB,还需添加一个条件:答案不唯一,如∠ADE=∠C 或∠AED=∠B

或AD :AC=AE :AB 或AD?AB=AE?AC 等。

10. (2012湖南湘潭3分)如图,△ABC 的一边AB 是⊙O 的直径,请你添加一个条件,使

BC 是⊙O 的切线,你所添加的条件为 ▲ .

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【答案】∠ABC=90°(答案不唯一)。

【考点】开放型,切线的判定。

【分析】根据切线的判定方法知,能使BC 成为切线的条件就是能使AB 垂直于BC 的条件,

从而得出答案即可:

当△ABC 为直角三角形时,即∠ABC=90°时,BC 与圆相切。故添加的条件可以是

∠ABC=90°,或AB⊥BC 等,答案不唯一。

11. (2012四川达州3分)写一个比-3小的整数 ▲ .

【答案】-2(答案不唯一)。

【考点】实数大小比较,估算无理数的大小。

【分析】∵1<3<4,∴12。∴21<---。

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∴符合条件的数可以是:-2(答案不唯一)。

12. (2012四川绵阳4分)如图,BC=EC,∠1=∠2,要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件为

▲(答案不唯一,只需填一个)。

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【答案】AC=DC(答案不唯一)。

【考点】开放型,全等三角形的判定

【分析】由∠1=∠2,求出∠BCA=∠ECD,又BC=EC,

∴根据SAS可添加的条件为AC=DC;根据ASA可添加的条件为∠B=∠E;根据AAS 可添加的条件为∠A=∠D。只需填一个即可。

13. (2012贵州安顺4分)如图,∠1=∠2,添加一个条件▲ 使得△ADE∽△ACB.

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【答案】∠D=∠C(答案不唯一)。

【考点】开放型,相似三角形的判定。

【分析】∵∠1=∠2,∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠DAE=∠CAB。

∴当∠D=∠C或∠E=∠B或AD AE

AC AB

时,△ADE∽△ACB(答案不唯一)。

14. (2012山东滨州4分)根据你学习的数学知识,写出一个运算结果为a6的算式

▲ .

【答案】a4a2=a6(答案不唯一)。

【考点】幂的运算。

【分析】根据幂的乘方与积的乘方,同底数乘法,同底数幂的除法的运算法则写出一个即可:如a4a2=a6(答案不唯一)。

15. (2012山东淄博4分)一个三位数,其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍,请写出符合上述条件的一个三位数▲ .

【答案】101(答案不唯一)。

【考点】列方程,代数式变形,非负数的性质。

【分析】设三位数各位上的数字为x ,y ,z ,则根据题意,得222x +y +z =2xy ,即

()22x y +z =0-。

∴根据非负数的性质,得x=y 且z=0。

∴符合上述条件的三位数可以是101,110,202,220,……。

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【考点】开放型,无理数。

【分析】求的一个无理数要大于2小于4,通常把有理数写入根号,比较得出结果:

2=,4=,

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∴24(5,6,7,8,10,11,1213,14,15)x =<<==。

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也可以填π

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17. (2012新疆区5分)请你写出一个主视图与左视图相同的立体图形是 ▲ .

【答案】圆柱(答案不唯一)

【考点】开放型,简单几何体的三视图。

【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看,所得到的图形,所以主视图与左视图

相同的立体图形有圆柱(主视图与左视图都为长方形),圆锥(主视图与左视图都为三角形),

球(主视图与左视图都为圆)等,(答案不唯一)。

18. (2012吉林省3分)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 为⊙O 的切线,∠ACB=40°,点P 在边BC 上,则

∠PAB 的度数可能为_ ▲____(写出一个符合条件的度数即可).

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【答案】30°(答案不唯一)。

【考点】开放型,切线的性质,直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵AB 是⊙O 的直径,BC 为⊙O 的切线,∴AB⊥BC。∴∠ABC=90°。

∵∠ACB=40°(已知),∴∠CAB=50°(直角三角形的两个锐角互余)。

又∵点P 在边BC 上,∴0<∠PAB<∠CAB。

∴00<∠PAB<50°,故只要写出在0?到50?间的一个角即可。

19. (2012内蒙古赤峰3分)存在两个变量x 与y ,y 是x 的函数,该函数同时满足两个条

件:①图象经过(1,1)点;②当x >0时,y 随x 的增大而减小,这个函数的解析式是 ▲ (写出一个即可). 【答案】1y=x

(答案不唯一)。 【考点】函数和图象,一次函数,反比例函数和二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的

关系。

【分析】根据题意,函数可以是一次函数,反比例函数或二次函数。例如 设此函数的解析式为k y=x

(k >0), ∵此函数经过点(1,1),∴k=1。∴此函数可以为:1y=

x 。 设此函数的解析式为y=kx+b (k <0),

∵此函数经过点(1,1),∴k+b=1, k <0。∴此函数可以为:

y=x+2y=2x+3--???,,。

设此函数的解析式为()()2

y=a x m +n a 0m 0<-≤,,

∵此函数经过点(1,1),∴()()2a 1m +n=1a 0m 0<-≤,。 ∴此函数可以为:()2

22y=x +2y=2x +3y=x+1+5---???,,,

。 三、解答题

1. (2012山西省12分)问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC 和Rt△DEF)按图1所示

的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB ,∠FDE=90°,O 是AB 的中点,点D 与点O 重合,DF⊥AC

于点M ,DE⊥BC 于点N ,试判断线段OM 与ON 的数量关系,并说明理由.

探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:

解:OM=ON ,证明如下:

连接CO ,则CO 是AB 边上中线,

∵CA=CB,∴CO 是∠ACB 的角平分线.(依据1)

∵OM⊥AC,ON⊥BC,∴OM=ON.(依据2)

反思交流:

(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:

依据1: 依据2:

(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.

拓展延伸:

(3)将图1中的Rt△DEF 沿着射线BA 的方向平移至如图2所示的位置,使点D 落在BA 的

延长线上,FD 的延长线与CA 的延长线垂直相交于点M ,BC 的延长线与DE 垂直相交于点N ,

连接OM 、ON ,试判断线段OM 、ON 的数量关系与位置关系,并写出证明过程.

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【答案】(1)解:等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边

上的高互相重合);角平分线上的点到角的两边距离相等。

(2)证明:∵CA=CB,∴∠A=∠B。

∵O 是AB 的中点,∴OA=OB。

∵DF⊥AC,DE⊥BC,∴∠AMO=∠BNO=90°。

∵在△OMA 和△ONB 中,∠A=∠B,OA=OB ,∠AMO=∠BNO,

∴△OMA≌△ONB(AAS )。∴OM=ON。

(3)解:OM=ON ,OM⊥ON。理由如下:

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连接CO ,则CO 是AB 边上的中线。 ∵∠ACB=90°,∴OC=

12

AB=OB 。 又∵CA=CB,

∴∠CAB=∠B=45,∠1=∠2=45°,∠AOC=∠BOC=90°。∴∠2=∠B。

∵BN⊥DE,∴∠BND=90°。

又∵∠B=45°,∴∠3=45°。∴∠3=∠B。∴DN=NB。

∵∠ACB=90°,∴∠NCM=90°。

又∵BN⊥DE,∴∠DNC=90°。∴四边形DMCN 是矩形。∴DN=MC。∴MC=NB。

∴△MOC≌△NOB(SAS)。∴OM=ON,∠MOC=∠NOB。

∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON,即∠MON=∠BOC=90°。

∴OM⊥ON。

【考点】等腰三角形的性质,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质。

【分析】(1)根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。

(2)利用AAS证明△OMA≌△ONB即可。

(3)利用SAS证明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON,∠MOC=∠NOB。通过角的等量代换即可得∠MON=∠BOC=90°,而得到OM⊥ON。

2. (2012浙江衢州12分)如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y 轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.

(1)求该抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

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【答案】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O,∴c=0。

又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C,

∴a+b=24a+2b=1???,解得27

b=2

??????。 ∴抛物线解析式为237y=x +x 22

-。 (2)设点P 的横坐标为t ,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得PN=t 2

。∴P(t ,t 2

)。 ∵点M 在抛物线上,∴M(t ,237t +t 22

-)。 如图1,过M 点作MG⊥AB 于G ,过P 点作PH⊥AB 于H ,

AG=y A ﹣y M =2﹣223737t +t =t t+22

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222??-- ???, BH=PN=t 2

。 当AG=BH 时,四边形ABPM 为等腰梯形, ∴237t t t+2=222

-,化简得3t 2﹣8t+4=0。 解得t 1=2(不合题意,舍去),t 2=23

, ∴点P 的坐标为(2133

,)。 ∴存在点P (2133

,),使得四边形ABPM 为等腰梯形。 (3)如图2,△AOB 沿AC 方向平移至△A′O′B′,A′B′

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交x 轴于T ,交OC 于Q ,A′O′交x 轴于K ,交OC 于R 。

由A 、C 的坐标可求得过A 、C 的直线为y AC =﹣x+3

设点A′的横坐标为a ,则点A′(a ,﹣a+3),

易知△OQT∽△OCD,可得QT=

a 2。 ∴点Q 的坐标为(a ,23

)。 设AB 与OC 相交于点J , ∵△A′RQ∽△AOJ,相似三角形对应高的比等于相似比,∴HT A Q =OB AJ

'。

∴A Q 2HT=OB=1=2a 1AJ 22

'??--。 ∴KT=

12A′T=12(3﹣a ),A′Q=y A′﹣y Q =(﹣a+3)﹣a 2=3﹣32

a 。 ∴S 四边形RKTQ =S △A′KT ﹣S △A′RQ =12KT?A′T﹣12A′Q?HT ()()2

213a 131331333a 3a a+2=a +a =a +2222224228

-????=??--?-?----- ? ?????。 ∵12

-<0, ∴在线段AC 上存在点A′(3322

, ),能使重叠部分面积S 取到最大值,最大值为38

。 【考点】二次函数综合题,二次函数的图象和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值,等腰梯形的性质,相似三角形的判定和性质,图形平移的性质以及几何图形面积的求法。

【分析】(1)抛物线y=ax 2

+bx+c 经过点O 、A 、C ,利用待定系数法求抛物线的解析式。

(2)根据等腰梯形的性质,确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系,得到一元二次方程,求出t 的值,从而可解。结论:存在点P (2133

,),使得四边形ABPM 为等腰梯形。

(3)求出得重叠部分面积S 的表达式,然后利用二次函数的极值求得S 的最大值。

3. (2012浙江义乌12分)如图1,已知直线y=kx 与抛物线2422y=x +x 273

-

交于点A (3,6).

(1)求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度;

(2)点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM ,交x 轴于点M (点M 、O 不重合),交直线OA 于点Q ,再过点Q 作直线PM 的垂线,交y 轴于点N .试探究:线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;

(3)如图2,若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上(与点O 、A 不重合),点D (m ,0)是x 轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m 在什么范围时,符合条件的E 点的个数分别是1个、2个?

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【答案】解:(1)把点A (3,6)代入y=kx 得;6=3k ,即k=2。

∴y=2x。

∴OA

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(2)线段QM 与线段QN 的长度之比是一个定值,理由如下:

如图1,过点Q 作QG⊥y 轴于点G ,QH⊥x 轴于点H .

①当QH 与QM 重合时,显然QG 与QN 重合,

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此时QM QH QH tan AOM=2QN QG OH

===∠。 ②当QH 与QM 不重合时,

∵QN⊥QM,QG⊥QH 不妨设点H ,G 分别在x 、y 轴的

正半轴上,

∴∠MQH=∠GQN。

又∵∠QHM=∠QGN=90°,∴△QHM∽△QGN。∴QM QH QH tan AOM=2QN QG OH

===∠。 当点P 、Q 在抛物线和直线上不同位置时,同理可得

QM =2QN

。 ∴线段QM 与线段QN 的长度之比是一个定值。

(3)如图2,延长AB 交x 轴于点F ,过点F 作FC⊥OA

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于点C ,过点A 作AR⊥x 轴于点R 。

∵∠AOD=∠BAE ,∴AF=OF。

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∴OC=AC=12 ∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,

∴△AOR∽△FOC。∴OF AO OC OR ==152

=。

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∴点F (

152

,0)。 设点B (x ,2422x +x 273

-),过点B 作BK⊥AR 于点K ,则△AKB∽△ARF。 ∴BK AK FR AR =,即24226x +x x 32737.536??-- ?-??=-。 解得x 1=6,x 2=3(舍去)。∴点B (6,2)。

∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE 与△OED 中,∵∠BAE=∠BED,∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED。

设OE=x ,则

AE=x

(0x <<,

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由△ABE∽△OED 得AE OD AB OE

=

m x =。

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∴(

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)(221119m=x x =x x +0x 5554<

? ,。 如图3,当9m=4时,

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)专题58_开放探究型问题

,此时E 点有1个; 当90m 4

<<时,任取一个m 的值都对应着两个x 值,此时E 点有2个. ∴当9m=4时,E 点只有1个,当90m 4

<<时,E 点有2个。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质,二次函数的性质。

【分析】(1)利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式,根据A 点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度。

(2)如图1,过点Q 作QG ⊥y 轴于点G ,QH ⊥x 轴于点H ,构造相似三角形△QHM 与△QGN ,将线段QM 与线段QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比,即

QM QH QH tan AOM=2QN QG OH

===∠为定值.需要注意讨论点的位置不同时,这个结论依然成立。

(3)由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED。在相似三角形△ABE与△OED中,运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度,如图2,可以通过构造相似三角形,或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度。设OE=x,则由相

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似边的比例关系可以得到m关于x的表达式

2

19

m=x+

54

?

--

?

,这是一个二次函数.借

助此二次函数图象(如图3),可见m在不同取值范围时,x的取值(即OE的长度,或E点的位置)有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。

4. (2012浙江义乌6分)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是.(不添加辅助线).

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【答案】解:添加的条件是:DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等)。

以添加DE=DF证明:

在△BDF和△C DE中,

∵BD=CD(已知),∠EDC=∠FDB(对项角相等),DE=DF(添加),

∴△BDF≌△CDE(SAS)。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】由已知BD=CD,又∠EDC﹦∠FDB,因为三角形全等条件中必须是SSS,SAS,ASAA 或AAS,故添加的条件是:DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等)。

5. (2012浙江宁波10分)邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又剩下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1,ABCD中,若AB=1,BC=2,则ABCD为1阶准菱形.

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(1)判断与推理:

①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形;

②小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:如图2,把ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.

(2)操作、探究与计算:

①已知?ABCD的邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;

②已知ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=5r,请写出ABCD是几阶准菱形.

【答案】解:(1)①2。

②由折叠知:∠ABE=∠FBE,AB=BF,

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥BF。∴∠AEB=∠FBE。

∴∠AEB=∠ABE。∴AE=AB。∴AE=BF。

∴四边形ABFE是平行四边形。∴四边形ABFE是菱形。

(2)①如图所示:

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②∵a=6b+r,b=5r,∴a=635r+r=31r。

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如图所示,

故ABCD是10阶准菱形。

【考点】图形的剪拼,平行四边形的性质,平行的性质,菱形的性质,作图(应用与设计作图)。

【分析】(1)①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是边长为1菱形,故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形。

②根据平行四边形的性质得出AE∥BF,从而得出AE=BF,即可得出答案。

(2)①利用3阶准菱形的定义,即可得出答案。

②根据a=6b+r ,b=5r ,用r 表示出各边长,从而利用图形得出

ABCD 是几阶

准菱形。

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7. (2012江苏苏州10分)如图,已知抛物线()211b y=x b+1x+444

-(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴

分别交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C.

⑴点B 的坐标为 ▲ ,点C 的坐标为 ▲ (用含b 的代数式表示);

⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角

顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;

⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形

均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

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【答案】解:(1)B (b ,0),C (0,b 4

)。 (2)假设存在这样的点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点

P 为直角顶

点的等腰直角三角形。

设点P 坐标(x ,y ),连接OP ,

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则PCO POB PCOB 1b 1S S S x+b y=2b 242

??=+=

????四形边 ∴x+4y=16。

过P 作PD⊥x 轴,PE⊥y 轴,垂足分别为D 、E ,

∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°。∴四边形PEOD 是矩形。∴∠EPD=90°。

∵△PBC 是等腰直角三角形,∴PC=PB,∠BPC=90°。

∴∠EPC=∠BPD。∴△PEC≌△PDB(AAS )。∴PE=PD,即x=y 。 由x y x+4y=16

=??? 解得,16x y=5=。 由△PEC≌△PDB 得EC=DB ,即

16b 16=b 545--,解得128b=225>符合题意。

∴点P 坐标为(165,165

)。 (3)假设存在这样的点Q ,使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形

均相似.

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.

∴要使得△QOA 和△QAB 相似,只能∠OAQ=∠QAB=90°,即QA⊥x 轴。

∵b>2,∴AB>OA. ∴∠QOA>∠QBA,∴∠QOA=∠AQB,此时∠OQB =90°。

由QA⊥x 轴知QA∥y 轴,∴∠COQ=∠OQA。

∴要使得△QOA 和△OQC 相似,只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°。

(Ⅰ)当∠OCQ=90°时,△QOA≌△OQC,∴AQ=CO=

b 4。

由2

AQ OA AB =? 得:2b b 14??=- ???,解得:b=8±。

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∵b>2,∴b 4

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,。∴点Q 坐标为(1,. (Ⅱ)当∠OQC=90°时,△QOA∽△OCQ,∴OQ AQ CO QC =,即2O Q A QC O =?。

又2OQ OA OB =?,∴AQ CO OA OB ?=?,即b A Q 1b 4

?=?,解得:AQ=4 此时b=17>2符合题意。∴点Q 坐标为(1,4)。

综上可知:存在点Q (1,1,4),使得△QCO、△QOA 和△QAB

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中的任

意两个三角形均相似。

【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)令y=0,即()211b y =x b+1x+=0444

-,解关于x 的一元二次方程即可求出A ,B 横坐标,令

x=0,求出y 的值即C 的纵坐标。

(2)存在,先假设存在这样的点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是

以点P 为直

角顶点的等腰直角三角形.设点P 的坐标为(x ,y ),连接OP ,过P 作PD⊥x 轴,PE⊥y 轴,垂足分别为D 、E ,利用已知条件证明△PEC≌△PDB,进而求出x 和y 的值,从而求出P 的坐标。

(3)存在,假设存在这样的点Q ,使得△QCO,△QOA 和△QAB 中的任意两个三角

形均相似,

由条件可知:要使△QOA 与△QAB 相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x 轴;要使△QOA 与△OQC 相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°。再分别讨论求出满足题意Q 的坐标即可。

8. (2012江苏连云港12分)已知梯形ABCD ,AD∥BC,AB⊥BC,AD =1,AB =2,BC =3,

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问题1:如图1,P为AB边上的一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?

问题2:如图2,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ 的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.

问题3:若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.

问题4:如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA(n为常数),以PE、PB 为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.

【答案】解:问题1:对角线PQ与DC不可能相等。理由如下:

∵四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,

∴∠DPC=90°。

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∵AD=1,AB=2,BC=3,∴DC=。

设PB=x,则AP=2-x,

在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,即x2+32+(2-x)2+12=8,化简得x2-2x+3=0,

∵△=(-2)2-43133=-8<0,∴方程无解。

∴不存在PB=x,使∠DPC=90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。

问题2:存在。理由如下:

如图2,在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,

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则G是DC的中点。

过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H。

∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH。