八年级数学下册第十八章平行四边形特殊的平行四边形矩形一教案新人教

18.2.1 矩形(一)

一、教学目的：

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．

二、重点、难点

1．重点：矩形的性质．

2．难点：矩形的性质的灵活应用．

三、例题的意图分析

例1是教材的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．

四、课堂引入

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．

【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．

矩形性质1 矩形的四个角都是直角．

矩形性质2 矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有

AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半．

五、例习题分析

例1已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．

解：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AC 与BD 相等且互相平分． ∴ OA=OB ．

又 ∠AOB=60°，

∴ △OAB 是等边三角形．

∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）．

例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．

分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得x=6． 则 AD=6cm ．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE ×DB ＝ AD ×AB ，解得 AE ＝ 4.8cm ．

例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ． 分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF ＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，

∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD ．又 AD=AE ， ∴ △ABE ≌△DFA （AAS ）． ∴ AF=BE ． ∴ EF=EC ．

此题还可以连接DE ，证明△DEF ≌△DEC ，得到EF ＝EC ．

六、随堂练习 1．（填空）

（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ． （3）已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm ， cm ， cm ， cm ． 2．（选择）

（1）下列说法错误的是（ ）．

（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等

（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．

（A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对

3．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．

七、课后练习

1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．

(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm

2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．

4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．

2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A ．A

B ∥D

C ，A

D ∥BC B ．AB=DC ，AD=BC C ．AO=CO ，BO=DO

D ．AB ∥DC ，AD=BC

2．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点．若AC=10，BD=6，则四边形EFGH 的面积为（ ）

A ．15

B ．20

C ．30

D ．60

3．如图,平行四边形ABCD 中,∠BDC=30°，DC=4,AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，且E 、F 恰好是BD 的三等分点，AE 、CF 的延长线分别交DC 、AB 于N 、M 点,那么四边形MENF 的面积是( )

A 2

B 3

C ．2

D ．34．关于x 的分式方程144

x a

x x +=--有增根，则a 的值为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．一组数据 1，2，3，4，5 的方差与下列哪组数据的方差相同的是( ) A ．2，4，6，8，10 B ．10，20，30，40，50 C ．11，12，13，14，15 D ．11，22，33，44，55

6．正比例函数2y x =-的图象向上平移1个单位后得到的函数解析式为（ ） A ．21y x =-+

B ．21y x =--

C ．21y x =+

D ．21y x =-

7．4名选手在相同条件下各射靶10次，统计结果如下表，表现较好且更稳定的是（ ）

选手 甲 乙 丙 丁 平均环数 9 9.5 9 9.5 方差 4.5 4 4 5.4

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

8．小明在家中利用物理知识称量某个品牌纯牛奶的净含量，称得六盒纯牛奶的含量分别为：248mL ，250mL ，249mL ，251mL ，249mL ，253mL ，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）. A ．平均数为251mL B ．中位数为249mL C ．众数为250mL

D ．方差为

9．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．345，，

B ．112，，

C ．111

345

，，

D ．1,3,2

10．二次根式4x -中x 的取值范围是( ) A ．4x > B ．4x <

C ．4x ≥

D ．4x ≤

二、填空题

11．函数2

1

x y x +=-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点D （4，2），反比例

函数k

y x

=

的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C 落在该反比例函数图象上，则n 的值为_____________．

13．计算:(3+2)2 017(3-2)2 018=__________.

14．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，点P ．Q 分別是AB 、AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，D 是BC 的中点，当点P 运动到___时，四边形APDQ 是正方形．

15．如图，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，已知背水坡CD 的 坡度i ＝1：2.4，CD 长为13米，则河堤的高BE 为 米．

16．若式子x 2-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 17．如图，在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AB=2，则CD 的长为_____.

三、解答题

18．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线1:=-+l y x b 与x 轴的正半轴交于点()6,0A ，与直线2:l y kx =交于点B ，若B 点的横坐标为3，求直线1l 与直线2l 的解析式．

19．（6分）已知平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,23m m -+ (1)当m 为何值时，点P 到x 轴的距离为1? (2)当m 为何值时，点P 到y 轴的距离为2？

(3)点P 可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上吗？若可能，求出m 的值；若不可能，请说明理由． 20．（6分）目前由重庆市教育委员会，渝北区人们政府主办的“阳光下成长”重庆市第八届中小学生艺术展演活动落下帷幕，重庆一中学生舞蹈团、管乐团、民乐团、声乐团、话剧团等五大艺术团均荣获艺术表演类节目一等奖，重庆一中获优秀组织奖，重庆一中老师李珊获先进个人奖，其中重庆一中舞蹈团将代表重庆市参加明年的全国集中展演比赛，若以下两个统计图统计了舞蹈组各代表队的得分情况： （1）m ＝ ，在扇形统计图中分数为7的圆心角度数为 度． （2）补全条形统计图，各组得分的中位数是 分，众数是 分．

（3）若舞蹈组获得一等奖的队伍有2组，已知主办方各组的奖项个数是按相同比例设置的，若参加该展

演活动的总队伍数共有120组，那么该展演活动共产生了多少个一等奖？

21．（6分）先阅读下面的内容，再解决问题：

问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2

()x a +的形式． 但对于二

次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了． 此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：

2223x ax a +-

2222(2)3x ax a a a =++--

22()4x a a =+- 22()(2)x a a =+- (3)()x a x a =+-

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：2815a a -+=______；

（2）若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足22148650a b a b +--+=，c 边的长为奇数，求△ABC 的周长的最小值；

（3）当x 为何值时，多项式2243x x --+有最大值？并求出这个最大值．

22．（8分）求证：有一组对边平行，和一组对角相等的四边形是平行四边形．（请画出图形，写出已知、求证并证明）

23．（8分）化简：(2(21)(21)(32)+-+-.

24．（10分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E 点，延长BC 至F 点使=CF BE ，连接AF ，DE ，DF.

（1）求证：四边形AEFD 是矩形；

（2）若6AB =，8DE =，10BF =，求AE 的长. 25．（10分）如图，在平行四边形中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F ．已知

，

，

求△CDF 的面积．

参考答案

一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．D 【解析】

根据平行四边形判定定理进行判断：

A 、由“A

B ∥D

C ，A

D ∥BC”可知，四边形ABCD 的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

B 、由“AB=D

C ，AD=BC”可知，四边形ABC

D 的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

C 、由“AO=CO ，BO=DO”可知，四边形ABC

D 的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

D 、由“AB ∥DC ，AD=BC”可知，四边形ABCD 的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D ．

考点：平行四边形的判定． 2．A 【解析】 【分析】

根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到平行四边形EFGH 为矩形，根据矩形的面积公式计算即可．

解：∵点E，F分别为边AB，BC的中点．

∴EF=1

2

AC=5，EF∥AC，

同理，HG=1

2

AC=5，HG∥AC，EH=

1

2

BD=3，EH∥BD，

∴EF=HG，EF∥HG，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∵EF∥AC，AC⊥BD，

∴EF⊥BD，

∵EH∥BD，

∴∠HEF=90°，

∴平行四边形EFGH为矩形，

∴四边形EFGH的面积=3×5=1．

故选：A．

【点睛】

本题考查中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键．3．B

【解析】

【分析】

由已知条件可得EN与EF的长，进而可得Rt△NEF的面积，即可求解四边形MENF的面积．【详解】

解：∵E，F为BD的三等分点，

∴DE=EF=BF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴EN∥FC，

∴EN是△DFC的中位线，

∴EN=1

2 FC.

∵在Rt△DCF中，∠BDC=30°，DC=4，∴FC=2，

∴EN=1，

∴在Rt△DEN中，∠EDN=30°，

∴DN=2EN=2，，

∴

∴S △ENF =

12×12

，

四边形MENF 的面积故选B. 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理. 4．D 【解析】 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值． 【详解】

解：去分母得：x+1=a ，

由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4， 代入整式方程得：a=5， 故选：D ． 【点睛】

此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 5．C 【解析】 【分析】

根据方差的性质即可解答本题. 【详解】

C 选项中数据是在数据 1，2，3，4，5上都加10，故方差保持不变. 故选：C. 【点睛】

本题考查了方差，一般一组数据加上（减去）相同的数后，方差不变. 6．A 【解析】

根据“上加下减”的平移原理，结合原函数解析式即可得出结论．

【详解】

根据“上加下减”的原理可得：

函数y=?2x的图象向上平移1个单位后得出的图象的函数解析式为y=?2x+1.

故选A

【点睛】

此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质

7．B

【解析】

【分析】

先比较平均数，乙、丁的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．

【详解】

解：∵乙、丁的平均成绩大于甲、丙，且乙的方差小于丁的方差，

∴表现较好且更稳定的是乙，

故选：B．

【点睛】

本题考查方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

8．D

【解析】

试题分析：中位数是一组数据按大小顺序排列，中间一个数或两个数的平均数，即为中位数；出现次数最多的数即为众数；方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．A、这组数据平均数为：（248+250+249+251+249+253）÷6=250，故此选项错误；B、数据重新排列为：248，249，249，250，251，253，其中位数是（249+250）÷2=249.5，故此选项错误；C、这组数据出现次数最多的是249，则众数为249，故此选项错误；D、这组数据的平均数250，根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，则其方差为：×[（248﹣250）

2+（250﹣250）2+（249﹣250）2+（251﹣250）2+（249﹣250）2+（253﹣250）2]=，故此选项正确；故选D．

考点：平均数、中位数、众数、方差的定义.

9．C

【分析】

根据勾股定理的逆定理逐项计算即可. 【详解】

A. ∵32+42=52，∴345，，能构成直角三角形；

B. ∵12+22=

2

，∴11 C. ∵2

22

111543??????+≠ ? ? ???????

，∴111345，，不能构成直角三角形；

D. ∵12

+2

=22

，∴ 2能构成直角三角形；

故选C. 【点睛】

本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a ，b ，c 表示三角形的三条边，如果a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形. 10．D 【解析】 【分析】

由二次根式有意义的条件得：被开方数为非负数可得答案． 【详解】

40x -≥，解得：4x ≤． 故选D ． 【点睛】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 二、填空题 11．x≠1 【解析】

10x -≠，x≠1

12．1 【解析】 【分析】

根据菱形的性质得出CD=AD ，BC ∥OA ，根据D （4，2）和反比例函数x

k

y =的图象经过点D 求出k=8，C 点的纵坐标是2×2=4，求出C 的坐标，即可得出答案．

∵四边形ABCO 是菱形， ∴CD=AD,BC ∥OA ， ∵D (4,2),反比例函数x

k

y =

的图象经过点D ， ∴k=8，C 点的纵坐标是2×2=4， ∴8

x

y =

， 把y=4代入得：x=2， ∴n=3?2=1，

∴向左平移1个单位长度，反比例函数能过C 点， 故答案为：1. 【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化-平移，数形结合思想是关键.

13．2 【解析】 【分析】

根据同底数幂的乘法得到原式)))

2007

2007

2

2

?2=

,再根据积的乘方得到原式

)

)

2007

222??

=?

?

,然后利用平方差公式计算.

【详解】

原式)))

2007

2007

2

?2

?2=

))

2007

222??

=?

?

())2007

342=- )

1?2=-

2=-

故答案为2=-【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了整式的运算. 14．AB 的中点．

【解析】

【分析】

若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AP，得到P点是AB的中点．【详解】

当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°，

又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，

∴四边形APDQ为矩形，

又∵DP＝AP＝1

2 AB，

∴矩形APDQ为正方形，

故答案为AB的中点．

【点睛】

此题考查正方形的判定，等腰直角三角形，解题关键在于证明△ABD是等腰直角三角形

15．1

【解析】

在Rt△ABE中，根据tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．

解：作CF⊥AD于F点，

则CF=BE，

∵CD的坡度i=1：2.4=CF：FD，

∴设CF=1x，则FD=12x，

由题意得CF2+FD2=CD2

即：（1x）2+（12x）2=132

∴x=1，

∴BE=CF=1

故答案为1．

本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用． 16．x 2≥． 【解析】 【详解】

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，

x 20x 2-≥?≥. 故答案为x 2≥ 17．1 【解析】 【分析】

根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】

解：在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点， ∴CD=

1

2

AB=1， 故答案为：1． 【点睛】

本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 三、解答题

18．直线l 1的解析式为y=﹣x+6，直线l 2的解析式为y=x ． 【解析】 【分析】

把A （6，0）代入y=﹣x+b 求得直线l 1的解析式，把B 点的横坐标代入y=﹣x+6得到B 点的坐标，再把B 点的坐标代入y=kx ，即可得到结论． 【详解】

∵直线l 1：y=﹣x+b 与x 轴的正半轴交于点A （6，0），∴0=﹣6+b ，∴b=6，∴直线l 1的解析式为y=﹣x+6； ∵B 点的横坐标为3，∴当x=3时，y=3，∴B （3，3），把B （3，3）代入y=kx 得：k=1，∴直线l 2的解析式为y=x ． 【点睛】

本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 19． (1)11m =-,22m =- ;(2)13m =,21m =-;(3)不可能，理由见解析. 【解析】

【分析】

（1）根据点(),x y 到x 轴的距离为y ，可求m 的值； （2）根据点(),x y 到y 轴的距离为x ，可求m 的值；

（3）根据角平分线上的点到角两边距离相等，可求m 的值，且点P 在第一象限，可求m 的范围，即可判断可能性. 【详解】 解：()

1点P 到x 轴的距离为1,12311m m ∴+=∴=-，22m =-

()2点P 到y 轴的距离为2,1123m m ∴-=∴=，21m =-

()

3如果点P 可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上123,4

m m m ∴-=+∴=-点P 在第一象限

10m ∴->，230m +>,14m m ∴>∴=-不合题意

∴点P 不可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上．

【点睛】

本题考查了点到坐标，关键是利用点的坐标(),x y 的性质解决问题.

20．（1）25，54；（2）如图所示见解析；6.5，6；（3）该展演活动共产生了12个一等奖． 【解析】 【分析】

（1）根据条形统计图和扇形统计图中的数据，即可得到总的组数，进而得出各分数对应的组数以及圆心角度数；（2）根据中位数以及众数的定义进行判断，即可得到中位数以及众数的值；（3）依据舞蹈组获得一等奖的队伍的比例，即可估计该展演活动共产生一等奖的组数． 【详解】

（1）10÷50%＝20（组），20﹣2﹣3﹣10＝5（组）， m%＝

5

20

×100%＝25%， 3

20

×360°＝54°， 故答案为：25，54；

（2）8分这一组的组数为5，如图所示：

各组得分的中位数是1

2

（7+6）＝6.5，

分数为6分的组数最多，故众数为6；故答案为：6.5，6；

（3）由题可得，2

20

×120＝12（组），

∴该展演活动共产生了12个一等奖．

【点睛】

本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．

21．（1）（a?3）（a?1）；（2）当a＝7，b＝4，c＝1时，△ABC的周长最小，最小值是：7＋4＋1＝16；（3）当x＝?1时，多项式?2x2?4x＋3有最大值，最大值是1．

【解析】

【分析】

（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；

（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；

（3）根据配方法即可求出答案．

【详解】

解：（1）a2?8a＋11＝（a2?8a＋16）?1＝（a?4）2?12＝（a?3）（a?1），

故答案为：（a?3）（a?1）；

（2）∵a2＋b2?14a?8b＋61＝0，

∴（a2?14a＋49）＋（b2?8b＋16）＝0，

∴（a?7）2＋（b?4）2＝0，

∴a?7＝0，b?4＝0，

解得，a＝7，b＝4，

∵△ABC的三边长是a，b，c，

∴3＜c＜11，

∴c＝1，7，9，

当a＝7，b＝4，c＝1时，△ABC的周长最小，最小值是：7＋4＋1＝16；

（3）?2x2?4x＋3，

＝?2（x2＋2x＋1?1）＋3，

＝?2（x＋1）2＋1，

∴当x＝?1时，多项式?2x2?4x＋3有最大值，最大值是1．

【点睛】

本题考查配方法，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题，本题属于基础题型．

22．证明见解析.

【解析】

【分析】

已知条件的基础上，根据平行四边形的判定方法，只需证明另一组对边平行或另一组对角相等．

【详解】

已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD, ∠A=∠C.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°，

∠B+∠C=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠B=∠D ，

∴四边形ABCD是平行四边形．

23．3

【解析】

【分析】运用平方差公式和完全平方公式可求出结果.

【详解】解：原式=2﹣1+3﹣3

=8﹣3

【点睛】本题考核知识点：整式运算.解题关键点：熟记平方差公式和完全平方公式.

24．（1）见解析；（2）24 5

【解析】

试题分析：（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．

试题解析：（1）证明：∵CF=BE，

∴CF+EC=BE+EC．

即 EF=BC．

∵在?ABCD中，AD∥BC且AD=BC，

∴AD∥EF且AD=EF．

∴四边形AEFD是平行四边形．

∵AE⊥BC，

∴∠AEF=90°．

∴四边形AEFD是矩形；

（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=1，

∴AF=DE=1．

∵AB=6，BF=10，

∴AB2+AF2=62+12=100=BF2．

∴∠BAF=90°．

∵AE⊥BF，

∴△ABF的面积=1

2AB?AF=

1

2

BF?AE．

∴AE=

?6824

105 AB AF

BF

?

==．

25．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，

∴△BEF∽△CDF

∵AB=DC，BE：AB=2：3，

∴BE：DC=2：3

∴

∴

【解析】

试题分析：根据平行四边形的性质，可证△BEF∽△CDF，由BE：AB=2：3，可证BE：DC=2：3，根据相似三角形的性质，可证

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点

第一章特殊平行四边形教案

第一章特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定（1） 【教学目标】 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形的关系。 2.经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。 3.能运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学重难点】 重点：掌握菱形的性质。 难点：运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学过程】 一、回顾复习 1.平行四边形的定义。 2.平行四边形的性质。 3.平行四边形的判定。 二、新课讲授 1.出示生活中菱形的例子，引出这类特殊的平行四边形——菱形，并得出菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.组织学生活动，通过折菱形纸片，得出以下结论： （1）菱形是轴对称图形； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的对角线互相垂直。

3.证明这些结论。 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。 求证：（1）AB=BC=BC=AD；（2）AC⊥BD。 证明： 由此可以得到菱形的两条性质定理： 菱形的四条边相等。 菱形的对角线互相平分。 4.总结菱形所有的性质： 边：菱形的四条边相等； 角：菱形的对角相等，领角互补； 对角线：菱形的对角线互相垂直且平分。 对称性：菱形是轴对称图形（两条对称轴是对角线所在的直线）

菱形也是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点）5.范例学习（P3） 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。 6、随堂练习，巩固新知 1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 2）菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______. 3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）4）菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。 5）“P4随堂练习”

北师大版八年级数学下册全套教案(精华版)

1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ，圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ，

4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。

特殊平行四边形难题综合训练(含答案)

第五章 特殊平行四边形难题综合训练 1、正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 2、如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 . 第1题 第2题 第3题 第4题 3、如图，平面内4条直线l 1、l 2、l 3、l 4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正方形的面积是 平方单位． 4、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 . 5、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为 . 6、如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2 B ．3 C ．22 D ．32 第5题 第6题 第7题 第8题 7、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（ ） A 、（2,2-） B 、（2,2-） C 、（3,3-） D 、（2,2--） 8、如图，正方形ABCD 中，AB =3，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于

八年级数学下册《特殊的平行四边形》教案

（封面） 八年级数学下册《特殊的平行四边形》教 案 授课学科： 授课年级： 授课教师： 授课时间： XX学校

教学目标： 1、进一步熟练运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法解决有关问题,清楚平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系。 2、能利用它们的性质和判定进行推理和计算。 3、使学生明确知识体系，提高空间想象能力，掌握基本的推理能力。 教学重点、难点： 重点：掌握特殊平行四边形性质与判定。 难点：能用特殊平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算。 教学过程： 一、梳理知识： 1.特殊平行四边形的性质. 1)如图所示：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，已知AB=3cm,AC=5cm 则BC=_____cm,△BOC的周长=_____cm 2)如图所示：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，已知AB=5cm,AC=6cm， 则你能求出哪些线段的长度？ 3)如图所示：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，已知OA=3cm,

则AB=_____cm, △BOC的周长=_______cm. 小结：特殊平行四边形的性质（PPT呈现） 2.特殊平行四边形的判定. 要使平行四边形ABCD成为矩形，需要增加的条件________. 要使平行四边形ABCD成为菱形，需要增加的条件________. 要使矩形ABCD成为正方形，需要增加的条件________. 要使菱形ABCD成为正方形，需要增加的条件________. 小结：特殊平行四边形的判定（PPT呈现） 二、深化提高： 1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E， （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时， 四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． 2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O， 过点D作DP∥OC，过C点作CP ∥DO ，交DP于点P ， 试判断四边形CODP的形状. 变式1：如果题目中的矩形变为菱形，(图一) 结论应变为什么？ 变式2：如果题目中的矩形变为正方形，(图二) 结论又应变为什么？ 3.如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． （1）求证：．

人教版平行四边形全章教案

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．1．1平行四边形的性质第一课时 修订：陈广营教学目标： 1.知识目标 经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，使学生理解平行四边形的概念和性质；探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质. 2.能力目标 在进行探索的活动过程中发展学生的探究能力，提高学生运用数学知识解决问题的能力； 3.情感目标 在探索讨论中养成与他人合作交流的习惯，提高克复困难的勇气和信心. 教学重点：探索平行四边形的性质 教学难点：通过操作、思考、升化、归纳出结论 教学过程： 一、揭题示标 1.创设情境，引入课题 老师给大家准备一些生活中常见的有关平行四边形的事物图案和标志，请大家欣赏（投影显示），激起学习兴趣 2、板书课题：平行四边形的性质 3、出示学习目标 过渡语：本节课我们要达到什么样的学习目标呢？请看：（投影显示） 学习目标 1、理解平行四边形的定义，理清四边形与平行四边形的关系. 2、熟记平行四边形的性质，并会利用性质解决问题. 今天的目标有信心实现吗？为了实现本节课的学习目标，请大家在学习指导的帮助下进行自学！ 二、学习指导（见投影）

【学习指导】 认真看课本（P41-43练习前）注意： 1、理解平行四边形的定义，理清四边形与平行四边形的关系.并举例说明。 2、动手画一个平行四边形，量一量，猜想它的边之间有什么关系角呢利用三角形全等来证明你的猜想.怎样用几何语言表示平行四边形的性质 3、回答云图中的问题，并思考解题依据是什么？ 4、认真分析例1，并注意例1的解题格式和步骤. 5、类比两点间的距离，点到直线的距离来理解两平行线之间的距离。并思考它们之间有何联系与区别？ 自学6分钟，不能独立解决的问题上作标记，便于对子交流或组内讨论。 三、自研共探 1、自主学习（6分钟） 学生看书、思考，教师巡视，督促每个学生都认真、紧张的自学，对学生自学过程中出现的问题做到心中有数，进行二次备课。 2、合作交流 师：自学完了吗全部问题都能独立解决吗 生：不能。 师：对于依然存在的问题，下面开始对子交流，对子交流不了的问题，进行组内解决，也可以问老师，下面开始交流。 （1）对子交流：自学指导问题1 （2）小组讨论：自学指导问题2、5 （学生把解决不了的问题讨论完毕自动坐下） 3、汇报成果 口答：学习指导中的问题1、:5 1、平行四边形的定义，四边形与平行四边形的有什么关系.并举例说明。

8下特殊平行四边形综合题型

八年级数学——特殊平行四边形综合题型 1．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM ⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P． （1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN． 2．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG． （1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF． 3．在?ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）

4．如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．（1）若ED=，求AG；（2）求证：2DF+ED=BD． 5．如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE 交BC于点G．（1）求证：AF=FG；（2）如图②，连接EG，当BG=3，DE=2时，求EG的长． 6．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．

初中数学特殊平行四边形知识点总结

特殊的平行四边形 一、平行四边形（复习）：中心对称图形，非轴对称图形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的性质 （1）平行四边形的对边平行且相等。（对边） （2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角） （3）平行四边形的对角线互相平分。（对角线） （4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 补充： （1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 （2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （3）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例 平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（对边） （2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（对边） （3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（对边） （4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（对角） （5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。（对角线） 两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 注意：平行线间的距离处处相等。 平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形：特殊平行四边形，有平行四边形一切性质 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质 （1）菱形的四条边相等，对边平行。（边） （2）菱形的相邻的角互补，对角相等。（对角） （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。（对角线） （4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对 称轴有两条，是对角线所在的直线。 菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。（边） （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（对角线） （4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。（对角线） 菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、矩形：特殊平行四边形，具有平行四边形的一切性质。矩形就是长方形 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质 （1）矩形的对边平行且相等。（对边） （2）矩形的四个角都是直角。（内角） （3）矩形的对角线相等且互相平分。（对角线） （4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

第18章-平行四边形复习课教学设计

第18 章平行四边形复习课教学设计教学目标】 1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，三角形的中位线定理等； 2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系； 3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。 【教学重点】 1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。 2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形的中位线定理的知识体系及应用方法。【教学难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。 【教学模式】 以题代纲，梳理知识------ 变式训练，查漏补缺----- 综合训练，总结规律------ 测试练习，提高效率。 【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。 【教学过程】一、以题代纲，梳理知识 例1如图，分别以厶ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即厶ABD , △ BCE,A ACF .请回答下列问题: 1）说明四边形ADEF 是什么四边形？ （2）当厶ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形? （3）当厶ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形? （4）当厶ABC满足什么条件时，四边形ADEF 是正方形? （5）当厶ABC满足什么条件时，以A，D，E， F 为顶点的四边形不存在? 第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）

4 B C 【分析】根据等边三角形的性质及平行四边形的判定（两组对边分别相等的四边形是平行边形）来证明四边形ADEF是平行四边形，同理可根据各多边形的判定方法来证明. 【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形. ???等边三角形BCE和等边三角形ABD , ??? BE=BC, BD=BA . 又???/ DBE=60 -Z ABE，/ ABC=60 -Z ABE , ???/ DBE= Z ABC . BE=BC [ 0D=BA ???△BDE^A BCA. ??? DE=AC . ???在等边三角形ACF中，AC=AF , ??? DE=AF . 同理DA=EF . ???四边形ADEF是平行四边形. （2）当Z BAC=150时，四边形ADEF是矩形.（5分） 理由：TZ DAF=360 -Z DAB -Z BAC -Z CAF=90， ??? ? ADEF是矩形. （3）当AB=AC，或Z ABC= Z ACB=15时，四边形ADEF是菱形.（6分）理由：??? AB=AC， ??? AD=AF， ??? ? ADEF是菱形. (4)当/ BAC=150 且AB=AC，或/ ABC= / ACB=15 时，四边形ADEF 是正方形.

人教版初中八年级下册数学教案全册

八年级数学下学期教学工作计划 一、指导思想 在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。 二、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。我班优生稍少，学生非常活跃，有少数学生不求上进，思维不紧跟老师。有的学生思想单纯爱玩，缺乏自主学习的习惯，有部分同学基础较差，厌学无目标。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。 三、教材分析 本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：《义务教育教科书?数学》八年级下册包括二次根式，勾股定理，平行四边形，一次函数，数据的分析等五章内容，学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准（2013年版）》（以下简称《课程标准》）中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容，本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实践”的要求。 第16章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。 第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。 第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。 第19章是“一次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。 第20章“数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及方差

特殊平行四边形综合测试题

特殊平行四边形综合测试题 一．选择题（共10小题，每小题2分，共20分） 1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 2.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF ．若EF=，BD=2，则菱形ABCD 的面积为（ ） A ．2 B ． C ．6 D ．8 3.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，若AB=2， ∠ABC=60o ，则BD 的长为（ ） A.2 B.3 C.3 D.32 3. ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，若增加一个条件，使得 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ） A.AB=CD B.AC ⊥BD C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC 4.如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，若∠ACB=30o ，AB=2， 则OC 的长为（ ） A.2 B.3 C.32 D.4 5.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ， AD=32,DE=2，则四边形OCED 的面积为（ ） A.32 B.4 C.34 D.8

6.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点， 则三角形BEF的面积为（） A.8 B.12 C.16 D.24 7.已知如图，矩形ABCD中AB=4cm，BC=3cm，点P是AB上除A、B外任意一点，对角线AC 与BD相交与点O，DP，CP分别交AC，BD与点E、F，且 ADE和 BCF面积之和为4cm2,则四边形PEOF的面积为（） A.1cm2 B.1.5cm2 C.2cm2 D.2.5cm2 8.如图，已知点P是正方形对角线BD上的一点，且BP=BC， 则∠ACP的度数为（） A.45o B.22.5o C.67.5o D.75o 9.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交与 点F，则∠BFC为（） A.45o B.55o C.60o D.75o 10.如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G。连ED交AF于M，GC交DE与N，下列结论： ①GM⊥CM ②CD=CM ③四边形MFCG为等腰梯形 ④∠CMD=∠AGM. 其中正确的有（） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二．填空题（共5题，每小题3分，共15分） 1.如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20o，则∠C= 2.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120o，AB=5，则BD= 矩形的面积为 3.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC 上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN=．

初中数学+特殊平行四边形的证明及详细答案

初中数学特殊平行四边形的证明 一．解答题（共30小题） 1．（泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论． 2．（福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． 求证：四边形BCFE是菱形． 3．（深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

4．（济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点． 求证：EB=EC． 5．（临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？ 6．（宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE． 7．（雅安）如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．

8．（贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长． 9．（遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证： （1）△ODE≌△FCE； （2）四边形ODFC是菱形． 10．（宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形． 11．（钦州）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．

平行四边形全章教案

19.1.1 平行四边形及其性质(一) 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、例题的意图分析 例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证． 四、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边 形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．

八年级数学下册全册教案

16．1.1 二次根式 教案序号：1 时间： 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知 很明显3、10、4 6 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根 的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二 次根式，“”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x（x>0）、 0、42、-2、 1 x y + 、x y +（x≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y≥0）；不是二 次根式的有：33、1 x 、42、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，31 x-在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?31x -才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥1 3 当x ≥ 1 3 时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++ 1 1 x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和1 1 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得230 10 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥- 32 由②得：x ≠-1 当x ≥- 3 2 且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案: 25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．x D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

特殊平行四边形综合练习题

特殊平行四边形综合练习题 考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是四边形的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题： 例1：（2007义乌）在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2：（2007大连）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 例3：（2008台州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 例4：（2008青岛）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：BCG DCE △≌△； （2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由． 实战演练： 1.（2007滨州）对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A B C D E F E ' G

A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形 C ．矩形、正方形 D ．菱形、正方形 2.（2008常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 3.（2008扬州）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.（2007连云港）如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边 AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BA C ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 5.（2007德州）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 6.（2008潍坊）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7.（2007泉州）在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点）， 若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，已知120 2.5AOD AB ∠==o ，，则AC 的长为 ． D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D A B C D A B C D

苏教版初中数学八年级下册教案 全册

苏教版小学数学八年级下册教案（全册） 第七章 教学目标与要求： （1）了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质。 （2）会解一元一次不等式（组），能正确用轴表示解集。 （3）能够根据具体问题中的数量关系，用一元一次不等式（组），解决简单的问题。 知识梳理： （1）不等式及基本性质； （2）一元一次不等式（组）及解法与应用； （3）一元一次不等式与一元一次方程与一次函数。 1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 3不等式的性质：○1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 ○2不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。 4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。 但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。 5用一元一次不等式解决问题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。 （2）设：设出适当的未知数。 （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。 （4）解：解出所列不等式的解集。 （5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 6一元一次不等式组： 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。 一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。 7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。

九年级数学上册特殊平行四边形练习题42795

九年级数学上册《特殊平行四边形》 一、填空题： 1.判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________. 2.菱形的面积为24cm 2，边长为5cm ，则该菱形的对角线长分别为 。 3.正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少_______度可以与原图形重合. 4.正方形的对角线长为10 cm ，则正方形的边长是_________. 5.矩形的两条对角线的一个交角是60°,一条对角线与较短边 的和是12 cm ，则对角线长是_ __. 6.如图，矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上，如果 ∠BAE=50°，则∠DAF=_______. 7.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连接平行四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_________。由此猜想：顺次连结___ ____的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连结_ _ _______的四边形四边中点所得四边形是菱形。即新四边形的形状与原四边形的____ _____有关。 8.已知菱形ABCD 的两条对角线长分别是6 cm 和8 cm ，则菱形的周长是_________. 9.如图，正方形ABCD ，以AB 为边分别在正方形内、外作等边△ABE 、△ABF ，则∠CFB=_______，若AB=4，则AFBE 四边形S =_________. 10.如图，E 为正方形ABCD 边BC 延长线上一点，且CE=BD ，AE 交DC 于F ，则∠AFC=________. 11.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案， 则FAC ∠= ，FCA ∠= 。 12.边长为a 的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b 正方形， 则所剩余图形的周长为 。 13.已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线 长为8cm ，则这个菱形的周长为 。 14.如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折 叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长为 ，折痕EF 的长为 。 二、选择题： 1.能判定一个四边形是菱形的题设是（ ） A.有一组邻边相等 B.对角线互相垂直 C.有三边相等 D.四条边都相等 2.□ABCD 是正方形需增加的条件是（ ） A.邻边相等 B.邻角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 3.矩形边长为10cm 和15cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（ ） A.6cm 和9cm B. 5cm 和10cm C. 4cm 和11cm D. 7cm 和8cm 4.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点， 则菱形的内角中钝角的度数是（ ） A.150 B. 135 C. 120 D.100 5.如图，在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD=90°， 若矩形ABCD 的周长为30 cm ，则AB 的长为( ) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.7.5 cm 6.矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 7.若菱形ABCD 的周长为16，∠A ∶∠B=1∶2，则菱形的面积为（ ） A.23 B.33 C.43 D.83 8.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点， 使该点到各顶点距离相等的图形是（ ） A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形 9.如图，过矩形ABCD 的顶点A 作对角线BD 的平行线交CD 的延长线于E ，则△AEC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.等腰直角三角形 10.矩形的对角线长10 cm ，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（ ） A.40 cm B.10 cm C.5 cm D.20 cm 11.如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边， 则∠FAB 等于( ) A.135° B.45° C.22.5° D.30° 12.如图矩形ABCD 中,AB=2AD,E 是CD 上一点,AE=AB,则∠CBE 等于( ) A F D C B E B D A F 9题图 E B C D A F 10题图 E B C D A G F 11题图 14题图 D C B A F E G 5题图 A C B D A D C B E 9题图 11题图 12题图

初中数学特殊的平行四边形

特殊的平行四边形 中考要求 知识点睛 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 4．三角形的中位线 中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线． 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质． 中点中点平行 中点 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半． 5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 6．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

正 方形 菱形 矩形平行四边形 7．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 例题精讲 板块一、菱形 【例1】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的 大小是 【解析】如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，则 1 2 AC BD BC AE ?=?，又2AC BD AB ?=，得1 302 AE AB ABC = ∠=?，，150BAD ∠=? E D C B A 【答案】150? 【例2】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=?，18BAE ∠=?．求： CEF ∠的度数． F E D C B A 【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形 ∴AB BC CD AD === ∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=?， ∵60EAF ∠=? ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△