离散余弦变换
离散余弦变换
在数字信号处理领域中，除了应用前面介绍的DFT和DWT之外，还有很多种离散正交变换被广泛采用，其中离散余弦变换（DCT）日益受到重视，特别是在数字图像处理技术中，DCT显示许多优点。通常，以DCT[x(n)]表示对离散时间序列x(n)取一维离散余弦变换，为书写简短借助符号C(k)表示DCT[x(n)]，它的定义如下：
C(0)=
N
x(n) N?1
n=0
C(k)=2
N
x(n)
N?1
n=0
cos[(2n+1)kn
2N
]
逆变换IDCT[C(k)]=x(n)定义如下：
x(n)=
N 0+2
N
cos[(2n+1)kn
2N
]
N?1
k=1
以上各式中序号
N=0,1,2,3,………N-1共N个；
K=0,1,2,3,……….N-1也为N个。
从定义表达式容易看出，DCT与DNT的计算有着密切联系，将余弦函数改写为负指数函数取实部的形式可导出如下关系：
C k=2
N
x n Re[e?j(2n+1)kπ] N?1
n=0
=2
Re[x n e?j(2n+1)kπ
2N
N?1
n=0
]
如果把x(n)做如下的时域延拓，以x e(n)表示
x e n=x n (n=1,2,3,………N?1) 0 (n=N,N+1,………2N?1)
则DCT定义表达式可改写为
C0=1
N
x e
2N?1
n=0
(n)
C k=2
x e
2N?1
n=0
(n)cos[
(2n+1)kπ
]
=2
N
Re[x e
2N?1
n=0
n e?j2n+1kπ]
=2
N
Re[e?j kπx e
2N?1
n=0
n e?j2knπ] =
2
N
Re[e?j kπX e(k)]
式中X e k为x e(n)的2N点DFT。可见为求得DCT正变换，可以先求序列x e(n)的2N点DFT（也即FFT），然后在求得C(k).
在做DCT变换时也可现在变换域把C(k)做如下延拓，
C e k=C k (k=1,2,3,………N?1)
0 (k=N,N+1,………2N?1)
可导出IDCT的里一种形式
x(n)=(-
N ?2
N
)C e0+
2
Re[e j kπ2N C e(k)e j2knπ2N]
2N?1
k=0
这表明为求得IDCT,可先求[e?j kπ
C e k]的IDFT,然后在
计算x(n)
在数字图像信号处理的许多实际问题中经常用二维离散余弦变换，其表达式为
C（k1,k2）=2
N
x(n1,n2)cos[2n1+1k1π
2N
]
N?1
n2=0
N?1
n1=0
·cos[2n2+1k2π
2N
]
上式中的k1,k2都不等于零，若其中k1或k2等于零，则二维DCT 如下，
C（0,0）=1
N
x(n1,n2)
N?1
n2=0
N?1
n1=0
C（0,k2）=2
N
x(n1,n2)
N?1
n2=0
N?1
n1=0
cos[2n2+1k2π
2N
]
C（k1,0）=2
N
x(n1,n2)
N?1
n2=0
N?1
n1=0
cos[2n1+1k1π
2N
]
相应的IDCT为
x(n1,n2)=1
N C(0,0)+2
N
C(0,k2)
N?1
k2=0
cos[2n2+1k2π
2N
]+
2 N
C(k1,0)
N?1
k1=0
cos[2n1+1k1π
2N
]+
2
N
C(k1,k2)
N?1
n2=0
N?1
n1=0
cos[
2n1+1k1π
2N
]cos[
2n2+1k2π
2N
]
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
离散余弦变换(DCT)
离散余弦变换（DCT）及其C++实现：1．定义：离散余弦是一种基于实数的正交变换。一维离散余弦的 定义如下： 式中，F(u)为第u个余弦变换系数，u为广义频率分量，f(x)为时域中N点序列，x=0,1,2,…N-1。 对于二维的离散余弦变换的定义如下： 2．基本算法 二维的DCT可分解为两个一维的DCT，即现对图像信号（二维数据）的行进行一位DCT，然后再对列进行一维DCT。 基本算法描述如下： 1）求对行进行一位DCT的变换矩阵系数coefa 2）求系数矩阵coefa的转置矩阵coefb用来对列进行一维DCT 3）利用系数矩阵coefa和coefb对二维信号data先近行行变换，再进行列变换。 3．快速算法 利用快速傅立叶变换可以得到DCT的快速算法。首先，将f（x）进行延拓： 按照上述定义，f e（x）的离散余弦变换为： 式中，R e{}表示取复数的实部。 由上式知，为f e（x）的2N点离散傅立叶变换。以此，对于快速离散余弦变换，可以把长度为N的序列f(x)的长度延拓为2N的序 列f e（x），然后再对延拓的结果 f e（x）进行离散傅立叶变换，最后取离散傅立叶变换的实部便是离散余弦变换的结果，完成快速的DCT。 4．程序说明 采用C＋＋语言编写，共有三个函数： 主函数void main()完成DCT变换； 子函数void FFT_1D(complex
傅里叶变换在信号与系统系统中的应用
河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日
题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.wendangku.net/doc/8b6574266.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人
正弦函数余弦函数的图像(附答案)
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．
DCT变换原理
数字图像的冗余包括空间冗余、结构冗余、知识冗余和视觉冗余等。空间冗余是指规则物体和规则背景的表面物理特性都具有相关性，数字化后表现为数字冗余。例如：某图片的画面中有一个规则物体,其表面颜色均匀,各部分的亮度、饱和度相近,把该图片作数字化处理,生成位图后,很大数量的相邻像素的数据是完全一样或十分接近的,完全一样的数据当然可以压缩,而十分接近的数据也可以压缩,因为恢复后人亦分辨不出它与原图有什么区别,这种压缩就是对空间冗余的压缩。再比如视觉冗余，视觉系统对于图像场的注意是非均匀和非线性的，视觉系统不是对图像的任何变化都能感知，因此对图像进行压缩后人眼也并不会非常敏锐地察觉画面内容有所删减。 所谓的图像压缩编码技术就是对要处理的图像数据按一定的规则进行变换和组合, 从而达到以尽可能少的数据流(代码)来表示尽可能多的数据信息。在众多的图像压缩编码标准中，JPEG(Joint Photographic Experts Group)格式是一种称为联合图像专家组的图像压缩格式，它适用于不同类型、不同分辨率的彩色和黑白静止图像。 而在JPEG图像压缩算法中，有一种是以离散余弦变换(DCT，Discrete Cosine Transform)为基础的有损压缩算法，是为本论文的主要研究对象。 DCT变换利用傅立叶变换的性质。采用图像边界褶翻将像变换为偶函数形式，然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项，所以称之为离散余弦变换。 DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空间冗余。变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到系数空间(频域信号)上进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。图像经DCT变换以后，DCT系数之间的相关性就会变小。而且大部分能量集中在少数的系数上，因此，DCT变换在图像压缩中非常有用，是有损图像压缩国际标准JPEG的核心。从原理上讲可以对整幅图像进行DCT变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理的方式效果不好。为此，发送者首先将输入图像分解为8*8或16*16块，然后再对每个图像块进行二维DCT变换，接着再对DCT系数进行量化、编码和传输；接收者
离散傅里叶变换应用举例
x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角')
N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k')
n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。
图像处理DCT变换
DCT 变换 一、 实验目的： 1.熟悉图像变换的思想； 2.熟悉掌握DCT 变换的处理过程； 3.深入学习和了解DCT 变换的公式以及规律； 4.掌握图像的DCT 变换的Matlab 实现； 5.掌握图像的DCT 变换，求出图像的频谱。 二、实验内容： 练习图像的DCT 变换的Matlab 实现 三、 实验原理： 离散余弦变换是一种实数域变换，其变换核心为实数余弦函数。对一幅图像进行离散余弦变换后，许多有关图像的重要可视信息都集中在DCT 变换的一小部分系数中。因此，离散余弦变换是有损图像压缩JPEG 的核心，同时也是所谓“变换域信息隐藏算法”的主要“变换域（DCT 域）”之一。因为图像处理运用二维离散余弦变换，所以直接介绍二维DCT 变换。 离散余弦变换（DCT ）的定义 ()()?? ????+??????+=∑∑-=-=N y v COS N x u y x f N v u F N x N y c 212212cos ),(2),(1010ππ 其逆变换： ()()??????+??????+=∑∑-=-=N y v COS N x u y x F N v u f N x N y c 212212cos ),(2),(101 0ππ 离散余弦变换使图像压缩中常用的一个变换编码方法，任何是对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，就成为余弦变换，因此余弦变换是傅里叶变换的特例。余弦变换与傅里叶变换一样有明确的物理意义，是简化傅里叶变换的重要方法。 四、实验步骤： DCT 变换的Matlab 实现 [A,map]=imread('lenna'); %显示原图 imshow(A,map),
傅里叶变换及应用
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
离散余弦变换
编辑本段基本介绍 最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为"反离散余弦变换"，"逆离散余弦变换"或者"IDCT"。 有两个相关的变换，一个是离散正弦变换(DST for Discrete Sine Transform),它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。 编辑本段主要应用 离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换(Karhunen-Loève 变换--它具有最优的去相关性)的性能。 例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG 的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分类。 一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和MP3 音频压缩当中。 离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来接偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。 编辑本段计算方式 尽管直接使用公式进行变换需要进行O(n2)次操作，但是和快速傅里叶变换类似，我们有复杂度为O(nlog(n))的快速算法，这就是常常被称做蝶形变换的一种分解算法。另外一种方法是通过快速傅里叶变换来计算DCT，这时候需要O(n)的预操作和后操作。 编辑本段参考资料
离散余弦变换(DCT)的DSP程序设计与实现
D S P课程设计论文 题目离散余弦变换(DCT)的DSP实现 专业电气工程及其自动化 姓名陈梦泽班级 11东电气 学号 11811527 执行学期 2014-2015
离散余弦变换（DCT）的DSP实现 一、实验目的 1. 掌握离散余弦变换的概念和实现方法； 2. 掌握用 C 语言或汇编语言编写 DSP 程序的方法； 3. 熟悉DCT原理； 二、实验设备 1. 一台装有 CCS 软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320C5410 主控板； 3. DSP 硬件仿真器； 三、实验原理论述 1、原理 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，简称DCT变换）是一种与傅立叶变换紧密相关的数学运算。在傅立叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数，那么其傅立叶级数中只包含余弦项，再将其离散化可导出余弦变换，因此称之为离散余弦变换。对于给定的实际数据序列x(0),X(1) ，x(2).... X( N-1 )的DCT(FDCT)算法如下： z(k) N ()()cos () = + ? ?? ? ?? = - ∑ 221 2 1 α π k x n n k N n N (1) 其中: αα() () k k = =≠ 1 2 for k=0 1 for k0 (2) 二维离散余弦变换（FDCT）： z(k,)()()(,)cos () cos () l N k l x m n m k N n l N m N n N =? ? ? ? ? + ? ?? ? ?? + ? ?? ? ?? = - = - ∑ ∑ 221 2 21 2 1 1 αα ππ (3) 其逆运算是:
傅里叶变换的应用.
傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化
离散余弦变换
离散余弦变换（英语：DCT for Discrete Cosine Transform）是与傅里叶变换相关的一种变换，类似于离散傅里叶变换，但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位（DCT有8种标准类型，其中4种是常见的）。 最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为"反离散余弦变换"，"逆离散余弦变换"或者"IDCT"。 有两个相关的变换，一个是离散正弦变换，它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换，它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。 应用 离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像（包括静止图像和运动图像）进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性：大多数的自然信号（包括声音和图像）的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔可夫过程的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换（Karhunen-Loève变换——它具有最优的去相关性）的性能。 例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中（0,0）位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分量。 一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码，Vorbis和MP3音频压缩当中。 离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来解偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。
图像处理DCT变换讲解学习
图像处理D C T变换
DCT 变换 一、 实验目的： 1.熟悉图像变换的思想； 2.熟悉掌握DCT 变换的处理过程； 3.深入学习和了解DCT 变换的公式以及规律； 4.掌握图像的DCT 变换的Matlab 实现； 5.掌握图像的DCT 变换，求出图像的频谱。 二、实验内容： 练习图像的DCT 变换的Matlab 实现 三、 实验原理： 离散余弦变换是一种实数域变换，其变换核心为实数余弦函数。对一幅图像进行离散余弦变换后，许多有关图像的重要可视信息都集中在DCT 变换的一小部分系数中。因此，离散余弦变换是有损图像压缩JPEG 的核心，同时也是所谓“变换域信息隐藏算法”的主要“变换域（DCT 域）”之一。因为图像处理运用二维离散余弦变换，所以直接介绍二维DCT 变换。 离散余弦变换（DCT ）的定义 ()()?? ????+??????+=∑∑-=-=N y v COS N x u y x f N v u F N x N y c 212212cos ),(2),(1010ππ 其逆变换： ()()??????+??????+=∑∑-=-=N y v COS N x u y x F N v u f N x N y c 212212cos ),(2),(101 0ππ 离散余弦变换使图像压缩中常用的一个变换编码方法，任何是对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，就成为余弦变换，因此余弦变换是傅里叶变换的特
例。余弦变换与傅里叶变换一样有明确的物理意义，是简化傅里叶变换的重要方法。 四、实验步骤： DCT变换的Matlab实现 [A,map]=imread('lenna'); %显示原图 imshow(A,map), title('原图'); image=double(A); N=8; for x=1, a(x)=sqrt(1/N); end, for x=2:8, a(x)=sqrt(2/N); end, %dct rimage=zeros(8,8); for x=1:32, for y=1:32, for u=1:N, for v=1:N, for i=1:N, for j=1:N, rimage(i,j)=image(i+(x-1)*8,j+(y-1)*8); b(i,j)=rimage(i,j).*cos((2*(i-1)+1)*(u-1)*pi/(2*N)).*cos((2*(j-1)+1)*(v-1)*pi/(2*N)); end, end, d(u,v)=sum(sum(b,1),2); C(u,v)=a(u).*a(v).*d(u,v); end, end, xhimage{x,y}=C; end, end, aa=zeros(8,8); b1=zeros(256,256); for x=1:32,
三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿
（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）
离散余弦变换原理特点及程序
1 离散余弦变换(Discrete Cosine Transform ，DCT)原理 1）离散余弦变换定义 (1)一维离散余弦变换的定义由下式表示： 式中F(u)是第u 个余弦变换系数，u 是广义频率变量，u=1,2,3.....N-1，f(x)是时域N 点序列，x=0,1,2...N-1 (2)一维离散余弦反变换由下式表示: (3)二维离散余弦变换的定义由下式表示: 最后的式子是正变换公式。其中f(x,y)是空间域二维向量之元素，其中x,y=0,1,2...N-1， F(u,v)是变换系数阵列之元素。式∑-==10)(1)0(N x x f N F N u x x f N u F N x 2)12(cos )(2)(10π+=∑-=N u x u F N F N x f N u 2)12(cos )(2)0(1)(11π++=∑-=N v y N u x y x f N v u F N u x y x f N u F N v y y x f N v F y x f N F N x N y N y N x N x N y N x N y 2)12(cos 2)12(cos ),(2),(2)12(cos ),(2)0,(2)12(cos ),(2),0(),(1)0,0(1010101010101010ππππ+?+=+=+?==∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=
中表示的阵列为N ×N 。 (4)二维离散余弦反变换由下式表示： 2) 性质： (1)余弦变换是实数、正交。 (2)离散余弦变换可由傅里叶变换的实部求得 (3)对高度相关数据，DCT 有非常好的能量紧凑性 (4)对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT 是K-L 变换的最好近似 2 离散余弦变换Matlab 实现 （1）二维离散余弦变换 f=imread('trees.tif'); f=im2double(f); F=dct2(f); subplot(121),imshow(f,[]); subplot(122),imshow(log(1+20*abs(F)),[]) N v y N u x v u F N N u x u F N N v y v F N F N y x f N u N v N u N v 2)12(cos 2)12(cos ),(2 2)12(cos )0,(22)12(cos ),0(2)0,0(1),(11111111ππππ+?++++++=∑∑∑∑-=-=-=-=
傅里叶变换及其在图像处理中的应用
傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞
MATLAB离散傅里叶变换及应用资料
MATLAB 离散傅里叶变换及应用 一、DFT 与IDFT 、DFS 、DTFT 的联系 1、 序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT) 在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为 1N ,0,1,k , W x(n)DFT [x(n)]X(k)1 N 0n nk N -===∑-= (12-1) 1N ,0,1,n , W X(k)N 1IDFT[X(k)]x(n)1N 0 k nk N -===∑-=- (12-2) 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT 和IDFT 。要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg ［X(k)］图形。 (2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT ［X(k)］图形进行比较。 程序源代码： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); n=0:(N-1);k=0:(N-1); Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)');
subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); title('IDFT|X(k)|'); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk)); title('|X(k)|'); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk)); title('arg|X(k)|'); 运行图如下： x(n) IDFT|X (k)| 2 4 6 8 |X (k)| 2 4 6 8 arg|X (k)| 从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N 点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N 点的离散序列。 2、 序列DFT 与周期序列DFS 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，
正弦函数余弦函数的图像(附)
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？
答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线． 根据诱导公式sin ????x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)． 要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，????π2，0，(π，－1)，????3 2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象． 思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？ 答案
DCT算法的相关知识与原理
DCT变换后的数据 左上角是低频 右下角是高频 忽略了高频（量化），并且用ZigZag方式排列DCT系数，前几个都是比较大的值，后面都是0 这种有规律的排列就可以找出规律压缩（游程编码） 对直流分量进行的是Huffman编码 DCT和FFT有关联，反正可以变到频域 色度和亮度原来也是二进制的，只不过随机一些 DCT本身不是用来压缩的，只是把数据组织得便于压缩而已，特别是用于有损压缩。 DCT变换后的数据如果不经量化，再反变换后是可以无损还原的。 简而言之，DCT变换后的数据，左上角的非常重要，要精确存储，右下角的可以粗略存储，甚至扔掉也没关系。 图象压缩（JPEG）编码算法及压缩过程的实现 摘要 本文首先介绍了静态图像压缩（JPEG）编码算法的基本原理、压缩的实现过程及其重要过程的离散余弦变换（DCT）算法的实现原理及软件实现的例程，其次着重介绍了压缩过程中的DCT、量化和编码三个重要步骤的实现原理。 关键词：图像压缩有损压缩JPEG 离散余弦变换DCT 量化 第一章图像压缩编码的综述 1.1 图象压缩的目的和方法 图象的数字化表示使得图象信号可以高质量地传输，并便于图像的检索、分析、处理和存储。但是数字图像的表示需要大量的数据，必须进行数据的压缩。即使采用多种方法对数据进行了压缩，其数据量仍然巨大，对传输介质、传输方法和存储介质的要求较高。因此图象压缩编码技术的研究显得特别有意义，也正是由于图象压缩编码技术及传输技术的不断发展、更新，推动了现代多媒体技术应用的迅速发展。
1.1.1 图象压缩的目的 图象采样后，如果对之进行简单的8bit量化和PCM编码，其数据量是巨大的。以CIF（Common Intermediate Format）格式的彩色视频信号为例，若采样速率为25帧/秒，采样样点的Y、U、V分量均为8bit量化，则一秒钟的数据量为： 352×288×3×8×25＝60.83Mbit 要传输或存储这样大的数据量是非常困难的，必需对其进行压缩编码，在满足实际需要的前提下，尽量减少要传输或存储的数据量。 虽然数字图象的数据量巨大，但图象数据是高度相关的。一幅图象的内部相邻象素之间，相邻行之间的视频序列中相邻图象之间有大量冗余信息—空间相关性和时间相关性，可以使用各种方法尽量去除这些冗余信息，减少图象的数据量。 除了时间冗余和空间冗余外，在一般的图象数据中还存在信息熵冗余、结构冗余、知识冗余和视觉冗余。各种冗余就是压缩图象数据的出发点。图象编码的目的就在于采用各种方法去除冗余，以尽量少的数据量来表示个重建图象。 1.1.2图象压缩的几种方法 1.统计和字典的压缩方法 常规程序和计算机熵的数据对于那些基于利用统计变种的压缩，效果很好，这些统计变种表现在单个符号的频率以及符号或短语字符串的频率等方面，而基于字典的系统实际山就是假扮统计程序。可是遗憾的是，这类压缩对于连续色调图象的作用并不很好。 这些程序的主要问题产生于这样的一个事实：照片图象的象素广泛地分布在整个范围。如果将图象中的彩色用频率分布画出，那么频率分布图中，没有我们在统计压缩的成功的情况下所看到的“尖峰”状，实际上，如果延长这个分布图，那么从类似于电视那样的生活图象源中得出的分布图会趋于平展。这意味着，每个象素代码彼此是大约相同的出现机会，决定不存在挖掘熵差的任何机会。 基于字典的压缩程序的运行也有类似的问题，基于扫描照片的图象决定没有任何类型的数据特征以产生相同的短语的多次出现。例如，一个栅格化的图象，类似房子墙边的垂直部分，在图片的许多连续的行中可能可以给出相似的字符串。但不幸的是，由于真实世界是变化多端的，每行中的相同的性能将彼此地略有不同，对于20个象素的