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初三+圆难题压轴题答案解析+

圆难题压轴题答案解析

1. 解:(1)如图1,设⊙O的半径为r,

当点A在⊙C上时,点E和点A重合,过点A作AH⊥BC于H,∴BH=AB?cosB=4,

∴AH=3,CH=4,

∴AC==5,

∴此时CP=r=5;

(2)如图2,若AP∥CE,APCE为平行四边形,

∵CE=CP,

∴四边形APCE是菱形,

连接AC、EP,则AC⊥EP,

∴AM=CM=,

由(1)知,AB=AC,则∠ACB=∠B,

∴CP=CE==,

∴EF=2=;

(3)如图3:过点C作CN⊥AD于点N,

∵cosB=4

5

∴∠B<45°,

∵∠BCG<90°,

∴∠BGC>45°,

∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B,

∴当∠AEG=∠B时,A、E、G重合,∴只能∠AGE=∠AEG,

∵AD∥BC,

∴△GAE∽△GBC,

∴=,即=,

解得:AE=3,EN=AN﹣AE=1,

∴CE===.

2. 解:(1)①若圆P与直线l和l2都相切,

当点P在第四象限时,

过点P作PH⊥x轴,垂足为H,连接OP,如图1所示.

设y=x的图象与x轴的夹角为α.

当x=1时,y=.

∴tanα=.

∴α=60°.

∴由切线长定理得:∠POH=(180°﹣60°)=60°.

∵PH=1,

∴tan∠POH===.

∴OH=.

∴点P的坐标为(,﹣1).

同理可得:

当点P在第二象限时,点P的坐标为(﹣,1);

当点P在第三象限时,点P的坐标为(﹣,﹣1);

②若圆P与直线l和l1都相切,如图2所示.

同理可得:当点P在第一象限时,点P的坐标为(,1);

当点P在第二象限时,点P的坐标为(﹣,1);

当点P在第三象限时,点P的坐标为(﹣,﹣1);

当点P在第四象限时,点P的坐标为(,﹣1).

③若圆P与直线l1和l2都相切,如图3所示.

同理可得:

当点P在x轴的正半轴上时,点P的坐标为(,0);

当点P在x轴的负半轴上时,点P的坐标为(﹣,0);

当点P在y轴的正半轴上时,点P的坐标为(0,2);

当点P在y轴的负半轴上时,点P的坐标为(0,﹣2).

综上所述:其余满足条件的圆P的圆心坐标有:

(,﹣1)、(﹣,1)、(﹣,﹣1)、

(,1)、(﹣,1)、(﹣,﹣1)、(,﹣1)、

(,0)、(﹣,0)、(0,2)、(0,﹣2).

(2)用线段依次连接各圆心,所得几何图形,如图4所示.由图可知:该几何图形既轴对称图形,又是中心对称图形,由对称性可得:该几何图形的所有的边都相等.

∴该图形的周长=12×(﹣)=8.

3. (1)解:连接OB,OD,

∵∠DAB=120°,∴所对圆心角的度数为240°,

∴∠BOD=120°,

∵⊙O的半径为3,

∴劣弧的长为:×π×3=2π;

(2)证明:连接AC,

∵AB=BE,∴点B为AE的中点,

∵F是EC的中点,∴BF为△EAC的中位线,

∴BF=AC,

∵=,

∴+=+,

∴=,

∴BD=AC,

∴BF=BD;

(3)解:过点B作AE的垂线,与⊙O的交点即为所求的点P,∵BF为△EAC的中位线,

∴BF∥AC,

∴∠FBE=∠CAE,

∵=,

∴∠CAB=∠DBA,

∵由作法可知BP⊥AE,

∴∠GBP=∠FBP,

∵G为BD的中点,

∴BG=BD,

∴BG=BF,

在△PBG和△PBF中,

∴△PBG≌△PBF(SAS),

∴PG=PF.

4. 解:(1)∵l1⊥l2,⊙O与l1,l2都相切,

∴∠OAD=45°,

∵AB=4cm,AD=4cm,

∴CD=4cm,AD=4cm,

∴tan∠DAC===,

∴∠DAC=60°,

∴∠OAC的度数为:∠OAD+∠DAC=105°,

故答案为:105;

(2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设⊙O1与l1的切点为E,连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,

在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4,

∴tan∠C1A1D1=,∴∠C1A1D1=60°,

在Rt△A1O1E中,∠O1A1E=∠C1A1D1=60°,

∴A1E==,

∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2,

∴t﹣2=,

∴t=+2,

∴OO1=3t=2+6;

(3)①当直线AC与⊙O第一次相切时,设移动时间为t1,

如图,此时⊙O移动到⊙O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,

设⊙O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2,

∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2,

由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°,

∴∠O2A2F=60°,

在Rt△A2O2F中,O2F=2,∴A2F=,

∵OO2=3t,AF=AA2+A2F=4t1+,

∴4t1+﹣3t1=2,

∴t1=2﹣,

②当直线AC与⊙O第二次相切时,设移动时间为t2,

记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时位置二,第二次相切时为位置三,由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,

∴+2﹣(2﹣)=t2﹣(+2),

解得:t2=2+2,

综上所述,当d<2时,t的取值范围是:2﹣<t<2+2.

5.解:(1)证明:如图1,

∵CE为⊙O的直径,

∴∠CFE=∠CGE=90

∵EG⊥EF,

∴∠FEG=90°.

∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°.

∴四边形EFCG是矩形.

(2)①存在.

连接OD,如图2①,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠ADC=90°.

∵点O是CE的中点,

∴OD=OC.

∴点D在⊙O上.

∵∠FCE=∠FDE,∠A=∠CFE=90°,

∴△CFE∽△DAB.

∴=()2.

∵AD=4,AB=3,

∴BD=5,

S△CFE=()2?S△DAB

=××3×4

=.

∴S矩形ABCD=2S△CFE

=.

∵四边形EFCG是矩形,

∴FC∥EG.

∴∠FCE=∠CEG.

∵∠GDC=∠CEG,∠FCE=∠FDE,

∴∠GDC=∠FDE.

∵∠FDE+∠CDB=90°,

∴∠GDC+∠CDB=90°.

∴∠GDB=90°

Ⅰ.当点E在点A(E′)处时,点F在点B(F′)处,点G在点D(G′处,如图2①所示.此时,CF=CB=4.

Ⅱ.当点F在点D(F″)处时,直径F″G″⊥BD,

如图2②所示,

此时⊙O与射线BD相切,CF=CD=3.

Ⅲ.当CF⊥BD时,CF最小,此时点F到达F″′,

如图2③所示.

S△BCD=BC?CD=BD?CF″′.

∴4×3=5×CF″′

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∴CF″′=.

∴≤CF≤4.

∵S矩形ABCD=,

∴×()2≤S矩形ABCD≤×42.

∴≤S矩形ABCD≤12.

∴矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为.

②∵∠GDC=∠FDE=定值,点G的起点为D,终点为G″,∴点G的移动路线是线段DG″.

∵∠GDC=∠FDE,∠DCG″=∠A=90°,

∴△DCG″∽△DAB.

∴=.

∴=.

∴DG″=.

∴点G移动路线的长为.

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6.解:(1)以AB为边,在第一象限内作等边三角形ABC,以点C为圆心,AC为半径作⊙C,交y轴于点P1、P2.

在优弧AP1B上任取一点P,如图1,

则∠APB=∠ACB=×60°=30°.

∴使∠APB=30°的点P有无数个.

故答案为:无数.

(2)①当点P在y轴的正半轴上时,

过点C作CG⊥AB,垂足为G,如图1.

∵点A(1,0),点B(5,0),

∴OA=1,OB=5.

∴AB=4.

∵点C为圆心,CG⊥AB,

∴AG=BG=AB=2.

∴OG=OA+AG=3.

∵△ABC是等边三角形,

∴AC=BC=AB=4.

∴CG=

=

=2.

∴点C的坐标为(3,2).

过点C作CD⊥y轴,垂足为D,连接CP2,如图1,

∵点C的坐标为(3,2),

∴CD=3,OD=2.

∵P1、P2是⊙C与y轴的交点,

∴∠AP1B=∠AP2B=30°.

∵CP2=CA=4,CD=3,

∴DP2==.

∵点C为圆心,CD⊥P1P2,

∴P1D=P2D=.

∴P2(0,2﹣).P1(0,2+).

②当点P在y轴的负半轴上时,

同理可得:P3(0,﹣2﹣).P4(0,﹣2+).

综上所述:满足条件的点P的坐标有:

(0,2﹣)、(0,2+)、(0,﹣2﹣)、(0,﹣2+).

(3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时,∠APB最大.

①当点P在y轴的正半轴上时,

连接EA,作EH⊥x轴,垂足为H,如图2.

∵⊙E与y轴相切于点P,

∴PE⊥OP

∵EH⊥AB,OP⊥OH,

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°.

∴四边形OPEH是矩形.

∴OP=EH,PE=OH=3

∴EA=3.

∵∠EHA=90°,AH=2,EA=3,

∴EH=

=

=

∴OP=

∴P(0,).

②当点P在y轴的负半轴上时,

同理可得:P(0,﹣).

理由:

①若点P在y轴的正半轴上,

在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合),

连接MA,MB,交⊙E于点N,连接NA,如图2所示.

∵∠ANB是△AMN的外角,

∴∠ANB>∠AMB.

∵∠APB=∠ANB,

∴∠APB>∠AMB.

②若点P在y轴的负半轴上,

同理可证得:∠APB>∠AMB.

综上所述:当点P在y轴上移动时,∠APB有最大值,

此时点P的坐标为(0,)和(0,﹣).

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7.解答:证明:(1)如图,连接PM,PN,

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∵⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,

∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,∵PE⊥PF,

∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE,

在△PMF和△PNE中,,∴△PMF≌△PNE(ASA),

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∴PE=PF,

(2)解:①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,如图,

由(1)得△PMF≌△PNE,∴NE=MF=t,PM=PN=1,

∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE﹣ON=t﹣1,

∴b﹣a=1+t﹣(t﹣1)=2,∴b=2+a,

②0<t≤1时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上,

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同理可证△PMF≌△PNE,

∴b=OF=OM+MF=1+t,a=ON﹣NE=1﹣t,

∴b+a=1+t+1﹣t=2,

∴b=2﹣a,

(3)如图3,(Ⅰ)当1<t<2时,

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∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,

∴F′(1﹣t,0)

∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,∴Q(1﹣t,0)∴OQ=1﹣t,

由(1)得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1

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当△OEQ∽△MPF∴=∴=,

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解得,t=,当△OEQ∽△MFP时,∴=,

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=,解得,t=,

(Ⅱ)如图4,当t>2时,

∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,

∴F′(1﹣t,0)

∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,∴Q(1﹣t,0)∴OQ=t﹣1,

由(1)得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1

当△OEQ∽△MPF∴=∴=,无解,

当△OEQ∽△MFP时,∴=,=,解得,t=2±,

所以当t=,t=,t=2±时,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似.

8.答::(1)∵DF⊥AB,EF⊥AC,

∴∠BDF=∠CEF=90°.

∵△ABC为等边三角形,

∴∠B=∠C=60°.

∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,

∴△BDF∽△CEF.

(2)∵∠BDF=90°,∠B=60°,

∴sin60°==,cos60°==.

∵BF=m,

∴DF=m,BD=.

∵AB=4,

∴AD=4﹣.

∴S△ADF=AD?DF

=×(4﹣)×m

=﹣m2+m.

同理:S△AEF=AE?EF

=×(4﹣)×(4﹣m)

=﹣m2+2.

∴S=S△ADF+S△AEF

=﹣m2+m+2

=﹣(m2﹣4m﹣8)

=﹣(m﹣2)2+3.其中0<m<4.

∵﹣<0,0<2<4,

∴当m=2时,S取最大值,最大值为3.∴S与m之间的函数关系为:

S═﹣(m﹣2)2+3(其中0<m<4).当m=2时,S取到最大值,最大值为3.(3)如图2,

∵A、D、F、E四点共圆,

∴∠EDF=∠EAF.

∵∠ADF=∠AEF=90°,

∴AF是此圆的直径.

∵tan∠EDF=,

∴tan∠EAF=.

∴=.

∵∠C=60°,

∴=tan60°=.

设EC=x,则EF=x,EA=2x.

∵AC=a,

∴2x+x=A.

∴x=.

∴EF=,AE=.

∵∠AEF=90°,

∴AF==.

∴此圆直径长为.

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9.

解答:解:(1)连接OA,过点B作BH⊥AC,垂足为H,如图1所示.∵AB与⊙O相切于点A,

∴OA⊥AB.

∴∠OAB=90°.

∵OQ=QB=1,

∴OA=1.

∴AB=

=

=.

∵△ABC是等边三角形,

∴AC=AB=,∠CAB=60°.

∵sin∠HAB=,

∴HB=AB?sin∠HAB

=.

∴S△ABC=AC?BH

=××

=.

∴△ABC的面积为.

(2)①当点A与点Q重合时,

线段AB与圆O只有一个公共点,此时α=0°;

②当线段A1B所在的直线与圆O相切时,如图2所示,

线段A1B与圆O只有一个公共点,

此时OA1⊥BA1,OA1=1,OB=2,

∴cos∠A1OB==.

∴∠A1OB=60°.

∴当线段AB与圆O只有一个公共点(即A点)时,α的范围为:0°≤α≤60°.

(3)连接MQ,如图3所示.

∵PQ是⊙O的直径,

∴∠PMQ=90°.

∵OA⊥PM,

∴∠PDO=90°.

∴∠PDO=∠PMQ.

∴△PDO∽△PMQ.

∴==

∵PO=OQ=PQ.

∴PD=PM,OD=MQ.

同理:MQ=AO,BM=AB.

∵AO=1,

∴MQ=.

∴OD=.

∵∠PDO=90°,PO=1,OD=,

∴PD=.

∴PM=.

∴DM=.

∵∠ADM=90°,AD=A0﹣OD=,

∴AM=

==.

∵△ABC是等边三角形,

∴AC=AB=BC,∠CAB=60°.

∵BM=AB,

∴AM=BM.

∴CM⊥AB.

∵AM=,

∴BM=,AB=.

∴AC=.

∴CM===.

∴CM的长度为.

10.

解答:(1)证明:∵CD是⊙O的直径,

∴∠DFC=90°,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠A=∠C,AD∥BC,

∴∠ADF=∠DFC=90°,

∵DE为⊙O的切线,

∴DE⊥DC,

∴∠EDC=90°,

∴∠ADF=∠EDC=90°,

∴∠ADE=∠CDF,

∵∠A=∠C,

∴△ADE∽△CDE;

(2)解:∵CF:FB=1:2,

∴设CF=x,FB=2x,则BC=3x,

∵AE=3EB,

∴设EB=y,则AE=3y,AB=4y,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC=3x,AB=DC=4y,

∵△ADE∽△CDF,

∴=,

∴=,

∵x、y均为正数,

∴x=2y,

∴BC=6y,CF=2y,

在Rt△DFC中,∠DFC=90°,

由勾股定理得:DF===2y,

∴⊙O的面积为π?(DC)2=π?DC2=π(4y)2=4πy2,

四边形ABCD的面积为BC?DF=6y?2y=12y2,

∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2:12y2=π:3.

11.

(1)证明:∵,

∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所对的圆周角=180°﹣所对的圆周角=所对的圆周角=∠APC.

在△PAC和△PDF中,

∴△PAC∽△PDF.

(2)解:如图1,连接PO,则由,有PO⊥AB,且∠PAB=45°,△APO、△AEF 都为等腰直角三角形.

在Rt△ABC中,

∵AC=2BC,

∴AB2=BC2+AC2=5BC2,

∵AB=5,

∴BC=,

∴AC=2,

∴CE=AC?sin∠BAC=AC?=2?=2,

AE=AC?cos∠BAC=AC?=2?=4,

∵△AEF为等腰直角三角形,

∴EF=AE=4,

∴FD=FC+CD=(EF﹣CE)+2CE=EF+CE=4+2=6.

∵△APO为等腰直角三角形,AO=?AB=,

∴AP=.

∵△PDF∽△PAC,

∴,

∴,

∴PD=.

(3)解:如图2,过点G作GH⊥AB,交AC于H,连接HB,以HB为直径作圆,连接CG并延长交⊙O于Q,

∵HC⊥CB,GH⊥GB,

∴C、G都在以HB为直径的圆上,

∴∠HBG=∠ACQ,

∵C、D关于AB对称,G在AB上,

∴Q、P关于AB对称,

∴,

∴∠PCA=∠ACQ,

∴∠HBG=∠PCA.

∵△PAC∽△PDF,

∴∠PCA=∠PFD=∠AFD,

∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=.

∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG==,

∴y==x.