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江苏省2020年高二数学上学期期末考试试题

高二数学上学期期末考试试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试内容为必修3、选修2—1、选修2—2全部内容，共4页．考试时量120分钟，满分150分.

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在试题卷、草稿纸上无效.

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．已知复数(12i)(1i)z =+-，则z 的虚部为

A ．1-

B ．3

C ．1

D ．i

2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙下成平局的概率为

A ．0.5

B ．0.3

C ．0.1

D ．0.6

3．“11()()22

b a >”是“77log log a b >”成立的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知直线l 的一个方向向量(213)=-，，m ，且直线l 过(03)A y ，，和(12)B z -，，两点，

则y z -=

A ．0

B ．1

C ．

D ．3

5．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为

81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85

06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49

A ．12 6．函数2()(31)e x f x x x =-+的极大值是

A ．3e -

B ．2e -

C ．22e

D ．5e

7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为

肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于 11的概率是

A ．15

B ．

C ．

D ．

8．已知抛物线2:8(0)C y px p =>的焦点为F ，C 与抛物线2x py =在第一象限的交点为M ，且4MF =，则p =

A ．6

B ．4

C ．2

D ．1

9．十七世纪，法国数学家费马提出猜想：“当整数2n >时，关于x 、y 、z 的方程 n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁?怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是

① 对任意正整数n ，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解； ② 当整数2n >时，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解； ③ 当正整数2n ≤时，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解； ④ 若关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解，则正整数2n ≤．

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

10．函数()ln sin f x x x =+（x ≤≤-p p 且0x ≠）的图象大致是

A B C D

11．已知12F F ，分别为双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>，的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双

曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M N ，，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为

S ，且满足232S p =，则该双曲线的渐近线方程为

A ．1

y x =±

B ．2

y x =±

C ．3y x =±

D ．23

y x =±

12．若关于x 的方程1

e 0e e

x x x

x m x +++=+有三个不相等的实根123x x x ，，，且1230x x x <<<，则312

2312

(

)()()e e e

x x x x x x m m m +++的值为

A ．e

B ．2e

C ．4(2)m m +

D ．4(1)m m +

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设1i

2i 1i

z --=

+，则z =__________． 14．某班甲、乙两位同学在高二第一学期的5次物理考

试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是__________．

15．在区间[44]-，上任取一个实数a ，使得方程22123

x y

a a +=+-表示双曲线的概率为

__________．

16．已知M 是圆22:(1)(1)5C x y -+-=上一动点，A 为圆C 所在平面内一定点（C 为

圆C 的圆心），线段MA 的垂直平分线与直线MC 交于点P ，则点P 的轨迹可能是_______________．（写出所有正确结论的序号）

① 圆； ② 椭圆； ③ 双曲线； ④ 抛物线； ⑤ 一个点； ⑥ 直线．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

为推进农村经济结构调整，某乡村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目．现统计了4月份100名游客购买水果

的情况，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“优质客户”，现用分层抽样的方法从样本的

“优质客户”中抽取5人，求这5人中购买金额不低于100元的人数；

（2）从（1）中的5人中随机抽取2人作为幸运客户免费参加乡村游项目，请列出所有的

基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率．

18．（本小题满分12分）

已知命题p ：复数5(2)(2)i ()z m m m =-++∈R 在复平面上对应的点位于第二象限，

命题q ：椭圆22221(0)1x y m m m

+=>+的离心率2(1)e ∈，．

（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题()p q ∧?为真命题，求实数m 的取值范围．

19．（本小题满分12分）

在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计时，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差．某高二班主任为了了解学生的偏科情况，对学生数学偏差x （单位：分）与历史偏差y （单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：（1）已知

x 与y 之

间具有

线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+；（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为90.5，试预测数学成绩

126分的同学的历史成绩．附：参考公式与参考数据：

???n

i i

i n

i x y

n x y b

y bx x

n x ==-==--∑∑，，8

324i i

i x y

==∑，

1256i

i x

==∑．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PA PB =，PA PB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；

（2）若M 为PC 的中点，直线PD 与平面PAB 所成的角为45?，求二面

角A MD B --的正弦值．

学生序号 1 2 3 4 5 6

数学偏差x 20 15 13 3 2 5- 10- 18- 历史偏差y

6.5

3.5

1.5

0.5

0.5-

2.5-

3.5-

21．（本小题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>12F F ，分别为椭圆的左、右焦

点，1B 为椭圆上顶点，112B F F △ （1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线(00)y kx m k m =+≠≠，与椭圆C 交于不同两点M N ，，已知1

(0)2

P ，，

MP NP =，求实数m 的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数()ln f x x x =，2()()g x x ax a =+∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设()f x 图象在点(10)，处的切线与()g x 的图象相切，求a 的值；（3）若函数(()()2)

x f F x

x g x =

+存在两个极值点12x x ，

，且1232x x ≤-，求 12()()F x F x -的最大值．

数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 14．10

15．

16．①②③⑤

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

解：（1）如图易得，消费金额在[80100)，与[100120)，的人数比为

0.0075

3:20.005

=， ………………………2分

∴ 这5人中消费金额不低于100元的人数为2； ………………………4分（2）由（1）得，抽取的5人中购买金额低于100元的有3人，记为A B ，，C 购买金额不低于100元的有2人，记为a b ，，所有基本事件如下：

()A B ，，()A C ，，()A a ，，()A b ，，()B C ，，()B a ，，()B b ，，()C a ，，()C b ，，()a b ，，

共有10种， …………………………………………………………8分其中满足题意的有7种，所以7

P =

． ……………………………………10分

18．（本小题满分12分）解：（1）p ：20

20m m -

+>?

，22m -<<； ………………………………………………4分

（2）q ：221a m =+，22b m =，222(1)1c m m =+-=，则2

e m =

+，由题意，

211

12m <+<，解得01m <<，即m 的取值范围为(01)，

………8分 ∴ q ?：0m ≤或1m ≥， ……………………………………………………9分

由()p q ∧?为真命题，故q ?为真命题且p 为真命题， …………………10分 ∴ 20m ≤-<或12m ≤<，故m 的取值范围为(20][12)-U ，，． ……12分

19．（本小题满分12分）解：（1）由题意，20151332(5)(10)(18)5

x +++++-+-+-=

=，

6.5 3.5 3.5 1.50.5(0.5)( 2.5)( 3.5)9

y +++++-+-+-=

=， ……………3分

259

32481285

12568()2?b

-??

=-?=， ……………………………………………………6分 9151??8422

y bx =-=-?=， ∴ 线性回归方程为11

?y x =

+； ……………………………………………8分（2）由题意，设该同学的历史成绩为w ，则历史偏差为90.5w -，又该同学的数学偏差为1261188-=，

由（1）得1890.51

w ?+-=，解得93w =，

∴ 预测这位同学的历史成绩为93分． ……………………………………12分

20．（本小题满分12分）

证明：（1）∵ 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =

矩形ABCD 中，DA AB ⊥ ∴ DA ⊥平面PAB ………………………2分 ∵ PB ?平面PAB ∴ DA PB ⊥ ……………………………………3分又∵ PA PB ⊥，DA PA A =I ∴ PB ⊥平面PAD …………………4分 ∵ PB ?平面PBC ∴ 平面PAD ⊥平面PBC ； ……………………5分

解：（2）由（1）知DA ⊥平面PAB ，PA 为PD 在平面PAB 内的射影

∴ DPA ∠即为直线PD 与平面PAB 所成的角，

由题意，45DAP ∠=?，DA PA = ………………………………………6分取AB 中点O ，连结PA ，则PO AB ⊥，

以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，

则(200)P ，，，(020)A -，，，(020)B ，，，(0222)D -，

，，(112)M ，，则(0022)DA =-u u u r ，，，(132)DM =u u u u r ，(0422)DB =-u u u r ，， …………8分

设平面AMD 的一个法向量为()x y z =，，n ，

则00DA DM ???????==u u u v u u u u v n n 即0320z x y z =+-=????

?，令1y =-，则3x =，0z = ∴ 1()30-=，，n …9分

同理易得：平面BMD 的一个法向量为(112)=-，

，m 由10

cos<>102

??=

=?，m n m n m n

……11分 ∴ 二面角A MD B --15

12分 21．（本小题满分12分）解：（1）由题意，112

232

B F F S c b bc =

??==△， ……………………………………2分又

c a =

，222a b c =+，解得：2a =，1b =， …………………………4分 ∴ 椭圆C 的方程为2

214x y +=； ……………………………………………5分

（2）由22

y kx m

x y =++=???，消去y 整理得：222(41)8440k x kmx m +++-=，

设1122()()M x y N x y ，，，，则122

841

x x k -+=

+， ……………………………7分由222222644(41)(44)041k m k m k m ?=-+->?>-， …………………8分又设MN 中点D 的坐标为00()x y ，，

∴ 1202

4241

x x km x k +-=+=，2002244141k m m y kx m k m k -=+=+++= 即22

44141

(

)D km m

k k -++， …………………………………………………………9分 ∵ MP NP =，∴ DP MN ⊥，即

001

12y x k

=-， ∴ 2461k m --= …10分 ∴ 2

610

611

m m m -->-->-???，解得166m -<<-

∴ m 的取值范围1

(6)6

--，．…………………………………………………12分

22．（本小题满分12分）

解：（1）()ln f x x x =的定义域为(0)+∞，，()ln 1f x x '=+， ………………………1分

由()0f x '>，有1e x >

，由()0f x '<，有1

x << ………………………2分 ∴ ()f x 的单调递减区间为1(0)e ，，单调递增区间为1

()e

+∞，； …………3分

（2）由（1）及题意，易得()f x 图象在点(10)，处的切线斜率为(1)1f '=，

则该切线方程为1y x =-， …………………………………………………4分

联立2

y x y x ax

=-??=+?，消去y 整理得：2(1)10x a x +-+=，

由2(1)4031a a ?=--=?=-或； ………………………………………6分

（3）∵ 2

()2ln F x x ax x =++，(0)x ∈+∞，，2222

()2x ax F x x a x x

++'=++=

，设2()22g x x ax =++，

由（1）知函数()F x 的两个极值点12x x ，满足2220x ax ++=，则122

x x +=-

，121x x =， …………………………………………………7分不妨设1210x x <<<，则()F x 在12()x x ，上是减函数，12()()F x F x >，

∴ 221212111222()()()()2ln (2ln )F x F x F x F x x ax x x ax x -=-=++-++

1121222

222

1()2ln

2ln x x x a x x x x x x =-+-+=-- 2

12ln x x x =-

- 令2

2t x =，则1t >，又1222132

x x x x ≤-=-

，即2

22320x x ≤--，解得212x ≤< ∴ 2

14x ≤< ∴ 14t ≤< 设1()2ln (14)h t t t t t

≤=--<，则2

2212(1)()10t h t t t t ≥-￠=+-=

∴ ()h t 在(14]，上为增函数 ∴ 1515()(4)2ln 44ln 244h t h ≤=

-=-，即1215

()()4ln 24

F x F x ≤-- ∴ 12()()F x F x -的最大值为15

4ln 24

-． …………………………………12分