《固体物理学》概念和习题 答案
《固体物理学》概念和习题
固体物理基本概念和思考题：
1.给出原胞的定义。
答：最小平行单元。
2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。
答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。
3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。
4. 请描述七大晶系的基本对称性。
5. 请给出密勒指数的定义。
6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。
7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。
8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。
9. 给出布里渊区的定义。
10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？
11. 写出晶体衍射的结构因子。
12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。
13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。
14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。
15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）
16. 给出声子的定义。
17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。
18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
19. 简述晶体热膨胀的原因。
20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。
21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？
22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。
23. 写出金属的电导率公式。
24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。
25. 简述能隙的起因。
26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。
27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。
28. 给出空穴概念。
29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。
30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。
31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。
32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。
33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。
34. 给出半导体的电导率。
35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。
36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
37. 什么叫费米液体？
38. 请给出纯金属的电导率随温度的关系。
39. 请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。
40. 请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。
41. 请列出铁磁性固体的主要特征。
42. 请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。
43. 什么是格波和声子？晶体中声子有多少种可能的量子态？
44. 请说明Debye热容量模型的基本假设，为什么说Debye热容量模型在低温下是正确的？
45. 什么是近自由电子近似和紧束缚近似？
46. 请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点？47. 什么是n型半导体和p型半导体？什么是本征半导体？
48. 试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。
《固体物理学》习题
注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢q的定义（q=1/λ）与课堂上所用的波矢k相差2π（k=2π/λ）；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与国际单位制之间的转换
1.在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子？
2.在六角晶系中常用4个指数（h,k,i,l）来表示，如图，前三个指数表示晶面族中
最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1,a2,a3上的截距为：a1/h,a2/k,a3/i，第4个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l,证明：i=-(h+k),并将下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(33)(10)(33)(100)(010)(3)。
答：根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超
过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存
在以下关系：i＝-( h + k ) 。（0001），（1323），
（1100），（3213），（1010），（0110），（2133）。
3.证明理想六角密堆积结构的c/a比是=1.633，
如果c/a值比这个值大得多，可以把晶体视为由原子
密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
4.在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪个晶面的原子
面密度最大？
答：单晶硅中，晶面上的原子密度是(111)>(110)>(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度（111）> (100) >(110)。
5. 如图的两种正六边形（边长为a）平面格子是布喇菲格子还是复式格子？应如何选取其基矢和原胞？
6. 六角空间点阵，六角空间点阵的基矢可以取为：
；；；
（1）证明：原胞的体积是；
（2）证明：倒易点阵的基矢是：，，；因此直接点阵就是它本身的点阵，但轴经过了转动；
（3）描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区。
7. 证明第一布里渊区的体积是此处V c是晶体初基晶胞的体积。
8. 金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个
原子组成；
（1）给出这个基元的结构因子；
（2）求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足h+k+l=4n，
且所有指数都是偶数，n是任何整数；否则所有指数都是奇数。
?体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。[如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件]
9. 如果a表示晶格常数，θ表示入射光束与衍射光束之间的交角，证明对于简
单立方晶格，式中（h k l）为密勒指数，??为入射光波长。
10. 画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在（100），（110），（111）面上的原子排列。
11. 若一晶体的总互作用能可表示为：，试求：
（1）平衡间距r0；
（2）结合能W；
（3）体弹性模量；
（4）若m=2,n=10,r0=3?,W=4eV,求α、β的值。
12. (黄昆教材2.6)用雷纳德-琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结
合能之比。
13. (黄昆教材2.7)对于H2，从气体的测量得到雷纳德-琼斯势中的参数为：ε=50×10-23J，σ=2.96?，计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的结合能。(A12=12.13, A6=14.45)
14. (固体物理习题集1.15和黄昆教材1.11)
证明六角晶体的介电常数张量为
15. (固体物理习题集2.1)
设两原子间的互作用能可表示为：式中，第一项为引力能；
第二项为排斥能；α、β均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须n>m。
16. (固体物理习题集2.2)
设两原子间的互作用能可由：表述。若m=2,n=10，而且两原子构成稳定的分子，其核间距离为：3×10-10m，离解能为4eV,试计算：（1）α和β；
（2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距；
（3）使原子间距比平衡距离减少10%时所需要的压力。
17. (固体物理习题集2.11)
有一晶体，平均每对离子的互作用能为：式中，R是最
RR近邻离子间距；α是马德隆常数；λ、A n为常数。若n=10, α=7.5,平衡时最近邻距离R0=2.81×10-10m。求由2N=2×1022个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用能。
18. (固体物理习题集2.21)
设LiF晶体(NaCl结构)的总互作用能可写成：，式中，
N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距；α是马德隆常数；λ、ρ为参量。求平衡时最近邻间距R0、总结合能U0和体积弹性模量B的表达式。
19. (固体物理习题集2.32)
设NaCl晶体的互作用能可表示为：式中的N、R、ρ、A分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径和排斥能参数。实验测定，NaCl晶体近邻离子的平衡间距R0=2.82×10-10m，体积弹性模量K=2.4×1011dyn/cm2，已知NaCl结构的马德隆常数α=1.7476，试求NaCl晶体的排斥核半径ρ和排斥能参数A。
20. 2N个正负离子组成一个一维链晶体。平衡时两个最近邻正负离子间距为R0。试证：
(1)该晶体的马德隆常数为μ＝2ln2。
(2)自然平衡状态下的结合能为。
-q +q
21. (固体物理习题集3.5)
已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为：
式中ωm是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等N。
22. (固体物理习题集3.8)
设有一维原子链（如图），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β'（β'<β）。设两种原子的质量相等，最近邻原子间距均为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=±1/4a 时的振动频率。
s
23. (固体物理习题集3.14)
设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错地等于β和10β。若两种原子的质量相等，并且最近邻间距为a/2，试求在波矢k=0和k=π/a处的ω(k)，并画出其色散关系曲线。
24. (固体物理习题集3.21)
考虑一个由相同原子组成的二维正方格子的横振动。设原子质量为M，点阵常数为a，最近邻原子间的恢复力常数为β，试求：
（1）格波的色散关系；
（2）长波极限下格波的传播速度。
25. 边长为L的正方形二维晶体，含N个原胞，试求：
（1）该点阵振动的模式密度D(ω)；
（2）德拜截止频率νD和德拜温度θD；
（3）点阵振动内能表达式和低温下比热表达式。（其中）26. (固体物理习题集3.30)
已知一个频率为ωi的谐振动在温度T下的平均能量
试用爱因斯坦模型求出由N个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。
27. (固体物理习题集3.53)
设一维原子链中，两原子的互作用能由下式表示
式中x为相邻原子间距。求原子链的线胀系数α。
28. (固体物理习题集3.56)
设某离子晶体中离子间的互作用能
式中，B为待定常数；r为近邻离子间距。求该离子晶体的线胀系数。已知近邻离子的平衡间距为3×10-10m。
29. 具有简立方结构的晶体，原子间距为2?，由于晶体中非谐作用的存在，一但个沿[1,1,0]方向传播的波矢为1.3×1010m-1的声子同另一个波矢大小相等，沿[1,-1,0]方向传播的声子相互作用，合并成第三个声子，试求新形成的第三个声子的波矢。
30. (固体物理习题集5.10)
已知金属铯的E F=1.55eV，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。
31. (固体物理习题集3.14)
证明：在T=0K时，费米能级E0F处的能态密度为
式中N为金属中的自由电子总数。
32. (固体物理习题集5.16)
证明：低温下金属中电子气的费米能
其中
为绝对零度的费米能，n为电子浓度。
33. (固体物理习题集5.22)
证明，在T=0K时，金属中自由电子气的压强和体积弹性模量分别为：
,
式中E F0为T=0K时的费米能；V、N分别代表金属的体积和自由电子总数。
已知锂（体心立方结构）的晶格常数a=3.5×10-10m，费米能E F0=7.6×10-19J，试估计锂中自由电子对体积弹性模量的贡献。
34. (固体物理习题集5.25)
证明：（1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度
式中，k F为费米球半径，V为金属体积。
（2）金属中电子的平均能量
35. (固体物理习题集5.12)
铜的费米能级EF=7.1eV ，试计算每单位体积铜的平均电子数，并与从密度计算得到的电子浓度相比较。已知铜的密度等于8.96g/cm 3。 代入数据得：n=8.5322cm 10? 36. (固体物理习题集问答6.5)
一维晶格能量E 和波矢k 的关系如图所示。设电子能谱与自由电子相同，试写出与简约波矢k=π/2a 对应的点A （第一能带）、B （第二能带）和C （第三能带）处的能量。
37. (固体物理习题集问答6.7)
对简单立方、体心立方和面心立方晶格，由紧束缚近似导出的能带底部电子的有效质量均可表示为
能否据此断言：具有这三种结构的晶体，在能带底部的电子具有同样大小的有效质量？
38. (固体物理习题集6.1)
证明：在三维晶格中，电子能量在k 空间中具有周期性：E(k)=E(k+G)式中，G 为任一倒格矢。
证明：
所以：()()()r G G k i G
G k e G G k C r ?-++-+=∑0
0?
定义：G G G →-0 则有：()()r r k G k ??=+0
所以：E(K)=E(K+G)
39. (固体物理习题集6.8)
设有一单价金属，具有简单立方结构，晶格常数a=3.345×10-10m，试求
（1）费米球的半径；
（2）费米球到布里渊区边界的最短距离。
40. (固体物理习题集6.14)
应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，试证明其S态芯电子的能带为E(k)=E min+4Jsin2(πak) 式中，E min为能带底部的能量，J 为交迭积分。并求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子有效质量。
41. (固体物理习题集6.20)
一矩形晶格，原胞边长a=2×10-10m，b=4×10-10m，
（1）画出倒格子图；
（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区；
（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有两个电子）。
42. (固体物理习题集8.23，8.24)
试证明：如只计及最近邻原子间的相互作用，用紧束缚方法导出的体心立方晶体的S态电子的能带为
E(k)=E0-A-8J[cos(πak x) cos(πak y) cos(πak z)]
式中J为交迭积分，试求：
（1）体心立方晶格能带的宽度；
（2）能带底部和顶部电子的有效质量；
（3）画出沿k x方向（k y=k z=0）E(k x)和v(k x)的曲线。
43. (固体物理概念题与习题指导5.14)
已知某简立方晶体的晶格常数为a,其价电子的能带：
E= Acos(ak x) cos(ak y) cos(ak z)+B (其中常数A,B>0)
(1) 已测得带顶电子的有效质量,试求参数A;
(2) 试求能带宽度；
(3) 试求布里渊区中心点附近电子的态密度。
所以能态密度为
44. (固体物理习题集7.13)
设v F, T F分别为费米面电子的速度和平均自由时间，g(E F)为费米能级处的状态密度，证明：对于球形费米面的情况，电导率σ=e2 vF2T F g(E F)/3
45. (固体物理习题集8.1)
证明：在一给定温度下，当电子浓度n=n i(μh/μe)1/2，空穴浓度p=n i(μe/μh)1/2时，半导体的电导率为极小。这里n i是本征载流子浓度，μe和μh分别为电子和空穴的迁移率。
46. (固体物理习题集8.27)
实验得到一锗样品不呈现任何霍尔效应。已知锗中电子迁移率为3500cm2/V?s，空穴迁移率为1400cm2/V?s，问电子电流在该样品的总电流中所占的比例等于多少？
47. (黄昆教材4.12)
设有二维正方晶格，晶体势场为
用近自由电子近似的微扰论（简并微扰）近似求出布里渊区顶角（π/a,π/a）处的能隙。(本题类似于基特尔教材（7.6）)
48. (黄昆教材5.1)
设有一维晶体的电子能带可以写成
其中，a是晶格常数，试求：
（1）能带的宽度；
（2）电子在波矢k状态的速度；
（3）能带底部和能带顶部的有效质量。
49. (黄昆教材5.2)
晶格常数为2.5?的一维晶格，当外加102V/m和107V/m电场时，试分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。
50. (黄昆教材5.6)
若已知E(k)=Ak2+c(k x k y+k y k z+k z k x)，导出k＝0点上的有效质量张量，并找出主轴方向（使用空间旋转矩阵）。
51. (黄昆教材6.1)
He3的自旋为1/2，是费米子。液体He3在绝对零度附近的密度为0.081g/cm3。计算费米能E F和费米温度T F。
52. (黄昆教材6.3)
若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量：
（1）费米能和费米温度；
（2）费米球半径；
（3）费米速度；
（4）费米球面的横截面积；
（5）在室温及低温时电子的平均自由程。
银的密度等于10.5 g/cm3，原子量等于107.87，电阻率等于1.61×10-6Ω?cm
（在295K）0.038×10-6Ω?cm（在20K）。
53. (黄昆教材7.1)
InSb的电子有效质量me=0.015m（m为电子静质量），介电常数ε=18，晶格
常数a=6.479?，试计算：
（1）施主的电离能；
（2）基态的轨道半径；
（3）若施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？
54. (黄昆教材7.3)
已知Si中只含施主杂质ND=1015/cm3。现在40K下测得电子浓度为1012/cm3，试估算施主杂质的电离能。
55. (黄昆教材7.4)
某一N型半导体电子浓度为1×1015/cm3，电子迁移率为1000cm2/Vs，求其电阻率。
56. (基特尔教材4.5)
孔氏异常（Kohn anomaly）：假定晶面运动方程中平面力常数C p取如下形式,其中A和k0是常数，而p遍取所有的整数值。这种形式是对于金属的预期结果。利用这个公式和式
求出ω2和?ω2/?K的表达式，证明K=k0时，?ω2/?K 是无穷大，于是在k0处ω2对K或ω对K的图形有一条垂直的切线：即在k0处色散关系ω（K）有一个扭折。（W. Kohn, 2(1959)393曾预言了与此有关的一个效应。）
57. (基特尔教材7.2)
约化能区中的自由电子能量。（a）在空点阵近似下考虑面心立方晶体在约化能区图式表示中的自由电子能带，在约化能区图式表示中所有的k都变换到第一布里渊区内。粗略绘出[111]方向上的所有能带的能量，直至相当于布里渊区边界k=(2π/a)(1/2,1/2,1/2)处的最低带能量的6倍。就令这个能量为能量的单位。这个问题表明，为什么带边不一定要在布里渊区中心。当考虑到晶体势场时，有几个简并（能带交叉）被消除。
58. (基特尔教材7.4)
金刚石结构中的势能。（a）试证对于金刚石结构，在G=2A时，一个电子所感受的晶体势场的傅立叶分量U G为零，其中A是惯用立方晶胞的倒易点阵中的基矢。（b)证明在周期点阵中波动方程通常的一级近似解中与矢量A末端垂直的布里渊区边界面上的能隙为零，并且证明在二级近似中该能隙不为零。
59. (基特尔教材7.6)
正方点阵。考虑在二维情况下具有晶体势场U(x,y)=?4Ucos(2πx/a)cos(2πy/a)
的正方点阵。应用中心方程近似求出布里渊区角点（π/a,π/a）处的能隙。这个问题只需解一个2×2的行列式方程就足够了。(本题类似于黄昆教材4.12)
60. (基特尔教材9.3)
六角密堆积结构. 考虑点阵常数为a 和c 的三维简单六角点阵晶体的第一布里渊区，令 表示平行于晶体点阵的 轴的最短倒易点阵矢量。(a)证明六角密堆积晶体结构的晶体势U( )的傅立叶分量U( )为零； (b) U(2 )是否也为零？(c)为什么原则上可以得到由处于简单六角点阵的阵点上的二阶原子所构成的绝缘体？(d)为什么不可能得到六角密堆积结构的单价原子构成的绝缘体？
解：设原胞中有m 个原子，他们在原胞中的位置由n R 表示，则晶格势能为 其中()∑=?-=m
n R iG n e G S 1
正倒格矢分别为：()0,0,11a a = ???
?
??-=0,23,212a a ()1,0,03c a =
()?
??
??++-+=233
223211m m m i e
G S π ，对于平行于c 轴的最短的倒格矢G ，有
同理，对于六角密堆结构，当G=02G ±时，()()0222≠±=±c C G U G S 所以 简单六角原胞中含有一个原子，第一个能带可容纳2N 个电子。若晶体是双价原子组成的，则N 个原子的体系可提供2N 个价电子，这样能带可能全被填满。所以在原则上其可构成绝缘体。
同理：单价原子构成的六角密堆结构，是不可能成为绝缘体的。 61. (方俊鑫教材32题)
平面正六方形晶格（如图），六角形两个对边的间距是a ，基矢
;
;试画出此晶体的第一、二、三布里渊区。
如图所示：
62. (方俊鑫教材38题)
某晶体中电子的等能量曲面是椭球面
，求能量E 到E+dE 之间的状态数。
63. 某二维晶体，其原胞的基矢 =2??， =2??； ⊥ 。设晶体有N 个原胞，每个原胞内平均有1个电子：(1)画出该晶体的第一、二布里渊区；(2)在扩展布里渊区图上画出自由电子的费米面。
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仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
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以下无正文
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
导数典型例题.doc
导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定 义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多 样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解， 函数在某点的导数就是函数在这点平均变化 率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一 平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相 §5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.向量的线性运算及几何意义1.理解平面向量的有关概念及向量的表 示方法 2.掌握向量加法、减法、数乘的运算,理 解其几何意义 3.理解两个向量共线的含义 4.了解向量线性运算的性质及其几何意 义 Ⅱ 2019课标全国Ⅱ,4; 2019福建,10; 2019四川,12 选择题 填空题 ★★☆ 2.平面向量基本定理及向量的坐标运算1.了解平面向量基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示 3.会用坐标对向量进行线性运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条 件 Ⅲ 2019山东,11; 2019课标全国Ⅱ,13; 2019四川,9; 2019课标Ⅰ,2 ★★★ 分析解读 高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握. 五年高考 考点一向量的线性运算及几何意义 1.(2019课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则() A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 答案A 2.(2019陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立 ···· 的是() A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI- 导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=- 向量的概念及运算知识点与例题讲解 【基础知识回顾】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0。由于0的方向 是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向 量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?21 21y y x x 。 2．向量的运算 （1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。 规定： （1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 A B C a b 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90° 经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？ 错解：1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：+→?0x ，指x ?逐渐减小趋近于0；-→?0x ，指x ?逐渐增大趋近于0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ，△x →0，包括△x →0＋，与△x →0－ ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ． 篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计 高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函数 y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2－0 ＝2π. 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F 固体物理学概念和习题 答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 高中数学复习典型题专题训练20 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”， 符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4．导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化知识内容 板块一.导数的概念 与几何意义 y D C B A 向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、 实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解 向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向 量平行。<注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可 以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则 a + b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法 则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换 律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ） )(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则 a = b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作： )(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量 （a 、b 有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函 数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2 －0＝2 π . 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 典例剖析 题型一求函数的平均变化率 例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度． 分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1) －S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔS Δt 就可以得到平均速度． 解(1)由于v＝S t ＝ 3t－t2 t ＝3－t. ∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1 ∴v＝ΔS Δt ＝ 2 1 ＝2. ∴从t＝0到t＝1的平均速度为2. 误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零. 变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点 (－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx ＝( ) A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴Δy Δx ＝ －Δx2＋3Δx Δx ＝－Δx＋3 答案D 题型二平均变化率的快慢比较 例2 求正弦函数y＝sin x在0到π 6 之间及 π 3 到 π 2 之间的平均变化率．并比 较大小． 分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小． 解设y＝sin x在0到π 6 之间的变化率为k1，则[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结
§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
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