相似三角形一课时

1、相似的图形

第1课时

教材精讲

1、相似的图形的概念

在数学中，我们把形状相同的图形称为相似形

⑴两个相似图形的形状必须相同，而大小可以相同，也可以不相同。 ⑵两个相似图形的大小相同时，称这两个图形全等，全等是相似的特例。

例1下列图形：①两个圆柱体；②两个正方体；③两个长方体；④两本书；⑤同一底片冲洗出来的1寸和2寸的照片；⑥两个等腰三角形；⑦两个等边三角形，其中一定是相似图形的有哪些？ 解析：相似图形的有：②⑤⑦

点评：主要是看形状是否一定相同，①③④⑥的形状不一定相同。 变式训练1：下列说法正确的是（ ） A 、两个相似图形的形状和大小都相同 B 、两个相似图形的形状和大小都不相同

C 、两个相似图形的形状相同，但大小不一定相同

D 、两个相似图形的大小相同，但形状不一定相同

例2如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（

）

解析：因为图A 是把图拉长了，而图D 是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图

B 是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B

与左图也不相似；而图C 是将左图绕正五边形的中心旋转180

o后，再按一定比例缩小得到的，因此图

C 与左图相似，故此题应选C

点评：判断两个图形是否相似，一般方法是：先从整体直观的感受它们的形状是否存在明显的差异；再从局部上观察它们内、外形态上的细小差异。

变式训练2：仔细观察下列图形，其中相似的两个图形是（ ）

A 、①与②

B 、②与③

C 、①与③

D 、②与④

达标精练 一、基础过关

1、下面给出的图形是相似图形的是（ ） A 、两张孪生兄弟的照片 B 、同一棵树上摘下的两片树叶 C 、行书中的“中”和楷书中的“中” D 、放大镜下放大的图片和原来的图片

2、请把下列各组图形是否相似的结论写在下面的括号里．

3、如图，在给出的点格内通过放大或缩小画出已给图形的相似形

二、能力挑战

4、下列图形中必定相似的是 （ ） A 、两个等腰三角形 B 、两个不同行政区图 C 、不同型号的两个手机图案 D 、两个正方形

5、下列命题中，正确的是（ ） A 、所有的等腰三角形都相似 B 、所有的直角三角形都相似 C 、所有的等边三角形都相似 D 、所有的矩形都相似

6、下列图形中，相似的是（ ）

A 、

1与2 B 、2与3 C 、1与3 D 、3与4 7、观察下列图形，找出其中相似的图形

1

相似图形有：

8、用一句形象的语言描述下列格点中的图形，并将它扩大到2倍。

三、中考热线

9、（2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）

（４） （５）

（６） （７） （８）

（９） （１０）

C

B

A

B

A

第1课时

教材精讲 1、线段的比

两条线段的长度的比叫做这两条线段的比 ⑴度量两条线段的单位长度必须要统一；

⑵线段的比是一个没有单位的正数，与它们的长度单位无关。 2、比例线段的概念

在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段

例1 已知A 、B 两地的实际距离是80千米，画在图上距离是0.8㎝，求比例尺 解：∵80千米=8000000㎝ ∴比例尺=

0.81

=

800000010000000

点评：比例尺=图上距离：实际距离，它实质就是两条线段的比；要注意单位统一。 变式训练1：若线段AB=15分米，CD=25厘米，则AB

CD

=（ ） A 、

35 B 、53 C 、1

6

D 、6 例2 已知下列各组四条线段，它们能组成比例的是线段（ ） A 、 B 、

C 、

D 、 答案：A

变式训练2：(1)下列各组的四条线段中，成比例的是( )

A 、4，8，3，5

B 、4，8，3，6

C ．3，4，5，6 。

D ．8，4，1，2。 达标精练 一、基础过关

1、下列能组成比例线段的是（ ） A 、1㎝，2㎝，3㎝，4㎝ B 、2㎝，4㎝，8㎝，10㎝ C 、0.5m ，20㎝，10㎝，2.5dm D 、2㎝，5dm ，0.2m ，10㎝

2、教室黑板长450cm ,宽15dm ,则长与宽的比为（ ） A ．30 B ．3cm C ．3 D ．1:30

12,15,8,10a cm b cm c cm d

cm ====5,10,15,20a cm b cm c cm d cm ====7,3,2,10a cm b cm c cm d cm ====30,2,8,12a cm b cm c cm d cm

====

3、若b,c,d,a 成比例线段，则这个比例式应为（）A．a c

b d

=B．

b a

d c

=

C．b a

c d

=D．

b c

a d

=

4、两地的实际距离为150m ,在比例尺为1：300的地图上，图上的距离是（）

A．50cm B．5cm C．5mm D．50dm

5、图纸上画出的某个零件的长是 32 mm，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是；

6、在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BC 相交于点O，∠B =?

120，则 BD∶AC = ；

7、已知线段a =2cm ,b =3cm ,c =6cm ,且a,b,c,d成比例，则d =___ cm ;若a,b, d，c成比例，则d =___cm .

二、能力挑战

8、在ΔABC中，AB=AC，CD是AB上的高，且CD：AB=1：2。求∠BAC的度数

9、求下列两条线段的比值：

（1）正方形的边长与对角线的比值

（2）等边三角形的高与边长的比值

三、中考热线

10、（2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为

A．9.5 B．10.5

C．11 D．15.5

第2课时

教材精讲

1、比例的基本性质

如果a c

b d

=或a：b=c：d，那么ad=bc

⑴反之，如果ad=bc ，那么a c b d

=或

a b c d

=

或

b d a c

=或

c d a b

=

⑵如果a ：b=b ：c ，那么2

b a

c =

2、比例的合比性质 如果

a c

b d

=，那么

a b c d

b d

±±=

3、比例的等比性质

若

a c n

b d m

=== 且0b d m +++≠ 那么

a b n b d m +++=++ a c n

b d m

=== 4、黄金分割

一条线段AB 分成不相等的两条线段，使较短的线段CB 与较长的线段AC 的比等于AC 与原线段AB 的比，那么称线段AB 被点C 黄金分割。其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，较长的线段AC 与原线段AB 的比叫做黄金分割比（约为0.618）

即10.6182

AC AB =≈

例1 已知31233a b a b -=+，求a

b

解：由

31

233a b a b -=+得()3323a b a b -=+ 即7a=6b ∴7

6

a b =

点评：已知一个比例式，则可以利用比例的基本性质将它转化成等积式，根据比例的基本性质进行变形后，是多项式的一定要添上括号。 变式训练1：已知

2132x y y x -=+，求

x

y

的值

例2 已知23a b =，则a a b

+= 答案：

25

点评：解答此题有三种方法：①利用比例的基本性质②利用比例的合比性质③设比值的方法：设a=2k b=3k ，则

a a

b +=

22

235

k k k =+ 变式训练2：若

1

2

x y =，则下列各式中错误的

是（ ） A 、

3

2x y y += B 、

13x x y =+ C 、

3x y

y x +=- D 、

22

5

x y y += 例3已知a ：b ：c=2：3：4,求2324a b c

a b c

+--+的值。

解：设a=2k b=3k c=4k 则

2324a b c a b c

+--+=

2233444

223441717

k k k k k k k k +?-?-==-?-+?

变式训练3已知：2a c e

b d f

===且 求

的值。

达标精练 一、基础过关

1、若x ︰y=6︰5，则下列等式中不正确的是（ ） A 、

115x y y += B 、1

5x y y -= C 、

6x x y =- D 、5y y x

=- 2、已知y x

43=，则_______

:=y x

3、已知

57a c e b d f ===，则27_____27a c e

b d f

-+=-+ 4、若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a

5、已知x ∶

y ∶z = 3∶4∶5 , 且 那么_________,____,===z y x ；

230b d f +-≠2323a c e

b d f

+-+-12

x y z ++=

6、若

322=-y y x , 则_____=y

x

； 二、能力挑战 7、若1089x y z ==，求x y z y z

+++的值

8、已知345x y z ==，求

236324x y z

x y z

-+-+的值

9、已知线段DE 分别交⊿ABC 的边AB 、AC 于D 、E ，且2

3

===DE BC AE AC AD AB ，⊿ABC 的周长是cm 6，求⊿ADE 的周长

10、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm

11、已知,,a b c 是△ABC 的三边，且a ：b ：c=2：3：4，设 分别是123,,h h h 三边,,a b c 上的高，求123,,h h h

A

B

C

D E

三、中考热线

12、(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）

A、12.36㎝

B、13.6㎝

C、32.36㎝

D、7.64㎝

13、（2009山西省太原市）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，求AC的长（结果精确到0.1cm）

72

60

=''=''∴

C B BC B A AB

3、相似三角形的性质与判定

结构精要

第1课时

教材精讲

1、相似三角形的概念

各边对应成比例，各角对应相等的两个三角形相似。

⑴相似三角形是最简单的相似多边形，也可以说形状相同的三角形相似。 ⑵相似三角形的概念既是相似三角形的性质，又是相似三角形的判定。 ⑶相似的表示符号：“∽”，如△ABC 与△DEF 相似，记作：△ABC ∽△DEF ⑷相似比：两个相似三角形对应边的比称为相似比。 ⑸两个三角形全等是相似的特例，其相似比为1 2、相似三角形的判定1

如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 简称：三边对应成比例的两个三角形相似。 3、相似三角形的性质

相似三角形对应边成比例，对应角相等

例1已知： △ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别为 60cm 和 72cm ，且 AB = 15cm ， B ′C ′= 24cm .求：BC 、AC 、 A ′B ′、 A ′C ′解：∵ △ABC ∽△A ′B ′C ′

把 AB = 15cm ， B ′C ′= 24cm 代入解得 A ′B ′ = 18(cm) ， BC = 20 (cm). ∴ AC = 60 – 15 – 20 = 25 (cm) A ′C ′= 72 – 18 – 24 = 30(cm)

点评：利用相似三角形的对应边成比例，列出相应的比利式，即可求得。

变式训练1：已知△ABC 三边长分别为3,4,5,与其相似的△A ′B ′C ′的最长边是15,求△A ′B ′C ′的其余两边。

例2 如图所示的两个三角形相似吗？说明理由。

解：∵

2142AC cm ED cm ==， 2.5152AB cm EF cm == 1.51

32

BC cm FD cm == ∴

1

2

AC AB BC ED EF FD === ∴△ABC ∽△EFD （三边对应成比例的两个三角形相似）

点评：在已知的两个三角形中，分别告诉了三边的长度，应选择三边对应成比例的两个三角形相似来判定。

变式训练2：已知△ABC 中,D,E,F 分别是AB,BC,AC 的中点.求证: △ABC ∽△EFD

变式训练3：依据下列条件,判定△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似,并说明为什么? AB=12cm ,BC=15cm ,AC=24cm , A’B’=20cm , B’C’=40cm , A’C’=25cm

达标精练 一、基础过关

1、１、下列命题中，正确的命题是（ ） A 、相似三角形是全等三角形。 B 、不全等的图形不是相似形。 C 、全等形是相似形。

D 、不相似的图形可能是全等形。

2、如图，△ADE ∽△ABC,且∠ADE=∠ABC,则下列比例式中，正确的是（ ） A 、

AE AD

AB AC

= 5cm

1.5cm 4cm

3cm

2cm

F

E D

C

B A

B 、AE AD

BE DC = C 、AE DE

AC BC = D 、AD DE

AC BC

=

2、如果△ABC ∽△C B A '''，AB=4，BC=7，A ′B ′=6，则 B ′C ′=_______.

3、如果△ABC ∽△C B A '''，∠A=∠A ′=50°∠B=60°则∠C=_______。

4、如果等腰△ABC 与△DEF 相似，顶角∠BAC=80°，那么∠EDF= _____

5、在△ABC 和△DEF 中，AB=1.5㎝，AC=2㎝ BC=3㎝，DE=4.5㎝，EF=9㎝，当FD= 时， △ABC ∽△DEF 二、能力挑战

6、如图，点D 、E 是△ABC 的边上的两点，且AD=AE ，△ADB ∽△CEA,试说明：2AD BD CE =

7、已知ΔABC 三边长分别为3,4,5,与其相似的ΔA ’B’C’有一边是15,求ΔA ’B’C’的其余两边.

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

8、如图，三个正方形拼成一个矩形ABCD ，猜想∠1、∠2、∠3有什么关系？证明你的猜想。

三、中考热线

9、（2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）

第2课时

教材精讲

1、相似三角形的判定定理2

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 简称：两角对应相等的两个三角形相似

D C B

A

3

21

C

A

⑴这是判定两个三角形相似最常见的方法，当题目给出角相等的条件时，首先应考虑这种方法。 ⑵运用这种方法时，要特别注意公共角，对顶角，同角的补角等。 2、相似三角形的性质 ⑴面积之比等于相似比的平方 ⑵周长之比等于相似比 例1如图在ABCD 中，BE ⊥DC 于E ，连结AE ，F 为AE 上的点，且∠BFE=∠C 求证：AB AF

AE DE

=

证明：∵ABCD

∴AB ∥CD

∴∠EAB=∠DEA ∠C+∠D=180° ∵∠AFB+∠BFE=180°又∠BFE=∠C ∴∠AFB=∠D ∴△ABF ∽△ADE ∴

AB AF

AE DE

= 点评：要证明比例式或等积式，只要找出四条线段分别在哪两个三角形中，然后证明两个三角形相似。 变式训练1：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 上的高，求证：AB CF AC BE =

达标精练 一、基础过关

1、△ABC 的三边之比为 3∶4∶5，若 △ABC ∽△A'B'C' ，且△A'B'C' 的最短边长为 6，则△A'B'C'的周长为 （ ） A 、36 B 、24

C 、18

D 、12

2、如图，D 是BC 上的点，∠ADC ＝∠BAC ，则下列结论正确的是（ ） A 、 △ABC ∽△DAC B 、 △ABC ∽△DAB C 、 △ABD ∽△ACD D 、 以上都不对

3、如图，DE 是∠ABC 的中位线， 表示△ADE 的面积， 表示四边形DBCE 的面积，则 =

（ ）

A 、1：2

B 、1：3

F

E D C

B

A F

E

C

B

A D

C

B

A

2S 1S 12

:S S S 2

S 1A B

C

D E

C 、1：4

D 、2：3 4、在△ABC 和△DEF 中，若∠A =70°，∠B =40°，∠A =∠D =70°，AB = D

E ，则这两个三角形

（ ）

A 、是相似形，但不是全等形

B 、是全等形，但不是相似形

C 、是相似形，也是全等形

D 、既不是相似形，也不是全等形

5、两个相似三角形的相似比是5：7，第一个三角形的最大边长50 cm ，第二个三角形的最大边长 ；如果第二个三角形的周长为35 cm ，那么第一个三角形的周长是 。

6、如图，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则ΔADE 与ΔABC 的周长之比为 ；面积之比为 ；

7、如图，已知：∠BAC ＝∠DAE ，当 时，△ABC ∽△ADE 。

二、能力挑战

8、如图，DE ∥AB ，AD ∥BC ，求证：△EAD ∽△ACB 。

9、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的一点，AE 的延长线交BC 于F ，求证：

ED AF AE AB ?=?

A C

D B

E E

D

C

B

A D

A E

C

B

A

B

C

D

E

F

10、如图：已知∠BAC=90°, BD=DC, DE⊥BC

交AC于E,交BA的延长线于F. 求证：AD2=DE·DF

三、中考热线

11、（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB

＝AF＝3，求FG的长．

F E

D C

A

第3课时

教材精讲

1、相似三角形的判定定理3

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 简称：两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似。

⑴当题目中已知两条边时，通常考虑这种方法，同样要考虑公共角、对顶角等隐含的相等的角。 ⑵用这种方法判断时一定要注意对应角一定是对应成比例的两边的夹角。

例1如图在△ABC 中，∠C=90°，D 、E 分别是在AB 、AC 边上的两点，且AD ·AB=AE ·AC 求证：DE ⊥AB

证明：∵AD ·AB=AE ·AC ∴

AD AE AC AB

=又∵∠A=∠A

∴△ABC ∽△AED 。（两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似） ∴∠ADE=∠C

∵∠C=90°∴∠ADE=90° 即DE ⊥AB

点评：要证明DE ⊥AB ，即证∠ADE=90°因为

∠C=90°，所以只需证明△ABC ∽△AED 。由比例的等积式AD ·AB=AE ·AC 可以得比例式AD AE AC AB

=

而∠A 又是公共角，从而得证。

变式训练1：如图，若AD ·AC=AE ·AB ，则 △ABC 与△ADE 相似吗？说明理由。

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

达标精练 一、基础过关

1、如图，要使△ACD∽△BCA，必须满足（ ）。 A 、 B 、

C 、A

D 2＝CD·BD D 、AC 2

＝CD·BC 2、如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD ：AC=1：3，AE=BE ，则有（ ）

A 、△AED ∽△BED

B 、△AED ∽△CBD

C 、△AE

D ∽△ABD D 、△BAD ∽△BCD

3、如图，将①∠BAD = ∠C ；②∠ADB = ∠CAB ；③BC BD AB ?=2④DB

AB AD

CA =；⑤DA

AC BA BC =

； ⑥AC DA BA BC =中的一个作为条件， 另一个作为结论，组成一个 真命题，则条件是__________， 结论是_________.（注：填序号即可）

二、能力挑战

4、如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 和AC 上的点，∠1＝∠2，求证：AD·AB＝AE·AC。

5、如图，点C 、D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形．（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ． （2）当△PDB ∽△ACP 时，试求∠APB 的度数．

D

C

B

A

D

C

B A

21

E

D C

B

A

6、如图，∠1＝∠2，AE ＝12，AD ＝15，AC ＝20，AB ＝25。证明：△ADE ∽△ABC 。

7、E 为正方形 ABCD 的边上的中点，AB = 1 ，MN ⊥DE 交 AB 于 M ，交 DC 的延长线于 N ，求证：⑴ EC 2

= DC ·CN ； ⑵ CN = 4

1； ⑶ NE = 4

5；

三、中考热线

8、2009年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ． （1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．

2

1E D

C

B

A A

B

D E

M

N

4、相似多边形

结构精要

???概念

相似多边形性质

教材精讲

1、相似多边形的概念

⑴对应角相等，并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 ⑵相似多边形的对应边的比叫作相似比 2、相似多边形的性质

⑴相似多边形的周长之比等于相似比 ⑵相似多边形的面积之比等于相似比的平方

例1已知四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，且A 与E 、B 与F 、C 与G 、D 与H 分别是对应顶点，若∠A=60°、∠B=85°，∠G=105°求∠E 、∠F 、∠C 、∠D 的度数。 解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似 ∴∠A=∠E=60°∠B=∠F=85°∠C=∠G=105° ∴∠D=360°－60°－85°－105°=110°

点评：两个多边形相似①如果给出一个多边形的某个角，就可以根据相似多边形的对应角相等来直接求出另一个多边形的对应角，②如果给出其中一个多边形的两条边和另一个多边形的一条对应边，就可以根据相似多边形的对应边成比例求另一条对应边。

变式训练1：如图所示的两个多边形相似，则,x y 的值与α∠的度数分别是（ ）

达标精练

九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案

九年级培优圆与相似辅导专题训练含答案 一、相似 1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）． （1）求函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率； （3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的 Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2， 把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4 （2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A（﹣1，0）， 当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）； 当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4）， 从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ， ∴△BCD为等腰三角形， ∴构造的三角形是等腰三角形的概率=

（3）解：存在， 易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC?OB= ×3×4=6， M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1， ∴△AMN的面积为△ABC面积的， ∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1， 当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan∠MAC= =4； 当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan∠MAC= =1； ②当N点在BC上，如图2， BC= =2 ， ∵BC?AN= AC?BC，解得AN= ， ∵S△AMN= AN?MN=2，

中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案

中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案 一、相似 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH?EA； （3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线 （2）证明：连接AC，如图2所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH?EA （3）解：连接BE，如图3所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ， ∴AB=5，BE=AB?sin∠BAE=5× =3， ∴EA= =4， ∵， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH?EA， ∴EH= ， ∴在Rt△BEH中，BH= . 【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°； （2）连接AC，要证CE2=EH?EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解； （3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。 2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．

相似三角形教案

4.5 相似三角形 （一）教学重点： 相似三角形定义的理解和认识。 （二）教学难点： 1.相似三角形的定义所揭示的本质属性的理解和应用； 2.例2后想一想中“渗透三角形相似与平行的内在联系”是本节课的第二个难点。 （三）教法与学法分析: 本节课将借助生活实际和图形变换创设宽松的学习环境；并利用多媒体手段辅助教学,直观、形象,体现数学的趣味性。 学生则通过观察类比、动手实践、自主探索、合作交流的学习方式完成本节课的学习。 教学目标： 1知识与技能 (1). 掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似。 (2). 能根据相似比进行计算，训练学生判断能力及对数学定义的运用能力。 2 过程与方法 (1). 领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性。 (2). 经过本节的学习，培养学生通过类比得到新知识的能力，掌握相似三角形 的定义及表示法，会运用相似比解决相似三角形的边长问题。 3 情感态度与价值观 (1). 经历相似多边形有关概念的类比，渗透类比的数学思想，并领会特殊与 一般的关系。

(2). 深化对相似三角形定义的理解和认识.发展学生的想象能力，应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。 三、教学过程分析 第一环节 情景引入 归纳定义 活动内容：回顾与思考(教师展示课件并设问，学生观察类比、自主探索归纳相似三角形的定义) 1.上节课我们学习了相似多边形的定义及记法, 请同学们观察下列图形，并指出哪些图形相似？相似图形的对应边、对应角有什么关系？ 2.请问相似三角形是相似多边形吗？请同学们回忆一下什么叫相似多边形？ 3.那么由“相似多边形的定义”你能得出“相似三角形的定义”吗？ 4.相似三角形的定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar trangles ） . 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△ DEF 第二环节：运用定义 解决问题 活动内容：想一想 议一议 例1 例2 A B C D E F

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形培优训练含答案

相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

27.2.1 相似三角形的判定教案(第1课时)

达标测评题 一、选择题 1.已知,如图,A B∥CD∥EF,则下列结论不正确的是( ) (A)错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (B)错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。 2.如图,点F是□ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是( ) (A)错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 3.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形有( ) (A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对 4.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,已知AE=6,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则EC的长是( )(A)4.5 (B)8 (C)10.5 (D)14 5.如图,在□ABCD中,EF∥AB,DE∶EA=2∶3,EF=4,则CD的长为( ) (A)错误!未找到引用源。 (B)8 (C)10 (D)16 6.如图所示,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF ∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( ) (A)5∶8 (B)3∶8 (C)3∶5 (D)2∶5 二、填空题 7.如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF= . 8.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=EC,DB=1 cm,AE=4 cm,BC=5 cm,则DE的长为. 9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,D为BC边上一点,过点D作DE⊥BC 于D,若DE=1,BD=2,则DC= .

5.第20课时 相似三角形(含位似)

第四章三角形 第20课时相似三角形（含位似） 基础过关 1. (2019常州)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为() A. 2∶1 B. 1∶2 C. 4∶1 D. 1∶4 2. (2019重庆A卷)如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是() 第2题图 A.2 B.3 C.4 D.5 3. (2019贺州)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE ＝4，则BC等于() 第3题图 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. (2019杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则() 第4题图

A. AD AN＝ AN AE B. BD MN＝ MN CE C. DN BM＝ NE MC D. DN MC＝ NE BM 5. (2019玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有() 第5题图 A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 8对 6. (2019邵阳)如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是() 第6题图 A. △ABC∽△A′B′C′ B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上 C. AO∶AA′＝1∶2 D. AB∥A′B′ 7. (2019常德)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是() 第7题图 A. 20 B. 22 C. 24 D. 26

相似三角形培优难题集锦(含答_案)

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F， G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并 求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时， 求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它 们都停止移动．设移动的时间为t 秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的 面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关 于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中 ， ACB＝90°，AC＝6，BC＝ （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

用相似三角形解决问题

用相似三角形解决问题(1) 1．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为_______米． 2．如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙两同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_______米． 3．小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影长为0. 85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( ) A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m 4．如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是( ) A．6米B．8米C．18米D．24米 5．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176 cm，东东的身高是156 cm，在同一时刻，爸爸的影长是88 cm，那么东东的影长是_______cm． 6．－天，小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点处（如图所示）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高为_______米． 7．在下面的图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是( ) 8．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为( ) A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米 9．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（） A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2 10．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC＝4 m． (1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影，并简述画图步骤． (2)在测量AB的投影长时，同时测得DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 11．如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7 m宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC ＝7.2 m，窗口高AB＝1.8 m，求窗底边离地面的高BC．

2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案

2020-2021九年级培优相似辅导专题训练及详细答案 一、相似 1．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式． 【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x=﹣； （2）解：存在，∵AD=2t， ∴DF=AD=2t， ∴OF=4﹣4t， ∴D（2t﹣4，0）， ∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t）， ∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论： ①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC， ∴，即，解得：t= ； ②当∠FEC=90°，

∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE= AF，即t=2t， ∴t=0，（舍去）， ③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或； （3）解：∵B（1，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2， 当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）?OD= （t+2）?（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）； 当D在y轴的右侧时，如图2， ∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）?OD= （﹣8t+10+2）?（4t﹣4），即 （2＜t＜）． 综上所述： 【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。 （2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可； ②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。 （3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。 2．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点

初中数学《相似三角形》教案

相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．

4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似． 温馨提示： ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）；

第3课时 相似三角形判定定理3教学设计

第3课时相似三角形判定定理3教学设计

【学习目标】 【学习重难点】 课前延伸 【知识梳理】 1．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝ 8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边分别为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝__3__ cm 时，△ABC ∽△DEF . 2．如图27－2－129，要使△ABC ∽△BDC ，必须具备的条件是( C ) 图27－2－129 A ．BC ∶CD ＝AC ∶A B B ．BD ∶CD ＝AB ∶AC C . BC 2＝AC ·C D D . BD 2＝CD ·AD 课内探究 【探究1 】 如图27－2－130，在△ABC 中，点D 在AB 边上，如果∠ACD ＝∠B ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？ 图27－2－130 【训练1 】 判断题： (1) 所有的正三角形都相似．( √ ) (2) 两个等腰直角三角形是相似三角形．( √ ) (3) 两个直角三角形一定是相似三角形．( × ) (4) 底角相等的两个等腰三角形是相似三角形．( √ ) (5) 顶角相等的两个等腰三角形是相似三角形．( √ ) (6) 两个等腰三角形只要有一个角相等就相似．( × )

【探究2 】 如图27－2－131，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：P A?PB＝PC?PD. 图27－2－131 【训练2 】 已知：如图27－2－132，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE. 【探究3 】 如图27－2－133，在△ABC中，高BD，CE相交于点H. 求证：(1)BH CH＝ EH DH；(2)△ADE∽△ABC. 图27－2－132图27－2－133 图27－2－134图27－2－135 【训练3 】 已知：如图27－2－134，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD. 【探究4 】 已知：如图27－2－135，AD为△ABC (AB＞AC) 的角平分线，AD的垂直平分线和BC 的延长线交于点E.求证：ED2＝EC·EB . 【训练4 】 如图27－2－136，△ABC为正三角形，D，E分别是边AC，BC上的点(不在顶点)，∠BDE＝60°. 图27－2－136 (1) 求证：△DEC∽△BDA； (2) 若正三角形的边长为4，并设DC＝x，BE＝y，试求y与x之间的函数解析式． 课后提升 1．填空(填“不一定”或“一定” )： (1)两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形__不一定__相似； (2)如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形__一定__相似． 2．如图27－2－137，若∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形有( C ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对

27.2.1相似三角形的判定(第1课时)教学设计

课题：27.2.1相似三角形的判定（第1课时） 一、教学目标 知识技能 1.经历观察、类比、猜想过程，得出相似三角形的三个判定定理，会 简单运用这三个定理. 2.培养合情推理能力，发展空间观念. 过程与方法 1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。 情感态度价值观 1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 二、教学重点和难点 1.重点：相似三角形的三个判定定理. 2.难点：得出相似三角形的三个判定定理. 三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空： 全等三角形的四个判定定理： (1)如果两个三角形三对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：边边边或SSS）. (2)如果两个三角形两对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等（简写成：边角边或）. (3)如果两个三角形两对应相等，并且相应的夹边相等，那么这两个三角形全等（简写成：角边角或）. (4)如果两个三角形两对应相等，并且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：角角边或）. （本课时教学时间比较紧张，建议把本题提前留作作业） （二）创设情境，导入新课 师：我们知道，形状相同的两个图形叫做相似图形.那么什么叫相似三角形？（稍停）形状相同的两个三角形叫做相似三角形.

相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典

教师辅导教案

【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ 与△ABC相似． 【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA， 所以，， 即， 解得t=4.8； CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB， 所以，， 即， 解得t=． 综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似． 故答案为4.8或． 图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：AE AD DE AC AB BC == 【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B 【解答】解：∵∠DAE=∠CAB， ∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED； 当=即=时，△ABC∽△AED． 故选：A．

【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠B时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似． 【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B， ∴△ACP∽△ABC； ∵，∠A=∠A， ∴△ACP与△ABC； 故答案为：B；． 【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC．其 中D、E分别对应B、C．（填一个条件）． 【解答】解：当∠ADE=∠B， ∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC． 故答案为∠ADE=∠B． 【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4． 求证：△ADE∽△ACB． 【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4， ∴AB=5+7=12，AC=6+4=10， ∴====， ∴=， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB． 【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD． 【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD是角平分线， ∴∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠A=∠CBD， 又∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD．

相似三角形培优训练(含答案)之令狐文艳创作

相似三角形分类提高训练 令狐文艳 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的 面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从 点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出 发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

27.2.1 相似三角形的判定(第一课时)

27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第一课时 一、教学目标 1．经历探究平行线分线段成比例及其推论的过程，获得探究数学结论的体验，进一步 发展学生的探究、分析、归纳与交流的能力． 2．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，会运用定理及其推论解决简单的问题． 二、教学重难点 重点：平行线分线段成比例定理及其推论． 难点：平行线分线段成比例定理的应用． 教学过程（教学案） 一、问题引入 师提问：相似多边形的主要特征是什么？ 学生思考、回顾后，回答：相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.如果△ABC 与△A ′B ′C ′相似，相似比为 k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC 与过△A ′B ′C ′相似记作“△ABC ∽△A ′ B ′ C ′”． 教材图27.2－1 判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便 的判定方法(SSS ，SAS ，ASA ，AAS)．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的 判定方法呢？ 学生交流、讨论． 二、互动新授 【探究】 见教材P29探究 学生动手实践后，交流，讨论． 教师讲评：可以发现，当l 3∥l 4∥l 5时，有AB BC ＝DE EF ，BC AB ＝EF DE ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF 等． 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例． 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况．(教材图 27.2－3)

相似教案(27.2.1相似三角形的判定第3课时)

27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定（第三课时） 教学目标： 知识与技能： 1.了解两角对应相等的两个三角形相似判定定理的证明过程. 2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似 过程与方法 1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想. 2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识. 情感态度与价值观 1.进一步发展学生的探究、交流、合情推理能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件解决简单问题. 2.在三角形相似判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐. 3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度. 教学重点 能运用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似.

教学难点 三角形相似判定定理的证明过程. 教学过程 一、新课导入 观察老师手中的一副三角尺和你手中的三角尺,其中含有相同锐角(30°与60°或45°与45°)的两个直角三角尺形状相同吗?它们分别满足什么条件? 有两个锐角相等的两个直角三角尺相似,那么对于任意两个有两个角相等的三角形是否相似呢?这就是我们今天探究的主要内容. 二、新知构建 1、两角分别相等的两个三角形相似 【动手操作】 (1)同桌两个人分别画出△ABC,其中∠A=37°,∠B=65°. (2)分别测量AB,BC的长度(或测量AC,AB的长度),判断两个三角形是否相似. (3)根据操作、测量,猜想判定三角形相似的方法. (4)能证明你的猜想吗?写出已知、求证和证明过程. 类比判定定理1,2的证明方法,通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中. (5)用文字语言叙述你的结论,并用几何语言表示.

相似三角形的综合应用(培优提高)

相似三角形的应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 【知识回顾】 一、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等． （2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．． ． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比． 二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 【典型例题】 例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E

度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． （1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）． （3）请选择丙树的高度为（ ） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看． 【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度． 图1 图2 图3 图4

相似三角形教案(一)

相似三角形教案(一) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 第二十七章 相似 27.1 图形的相似（一） 一、教学目标 1． 理解并掌握两个图形相似的概念． 2． 了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 二、重点、难点 1． 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 2． 难点：成比例线段概念． 3． 难点的突破方法 （1）对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相同的图形说成是．．．相似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还要强调：①相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）；②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形． （2）对于成比例线段： ①我们是在学生小学学过数的比，及比例的基本性质等知识的基础上来学习成比例线段的；②两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；③线段的比是一个没有单位的正数；④四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；⑤若四条线段满足d c b a =，则有ad=bc （为利于今后的学习，可适当补充：反之，若四条线段满足ad=bc ，则有d c b a =，或其它七种表达形式）． 三、例题的意图 本节课的三道例题都是补充的题目，例1是一道判断图 形相似的选择题，通过讲解要使学生明确：（1）相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；（3）在识别相似图形时，不要以位置为准，要“形状

27.2.1相似三角形的判定(第3课时)教学设计

课题：27.2.1相似三角形的判定（第3课时） 一、教学目标 知识技能 1.会利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似，进而得出 边角关系. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 过程与方法 1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。 3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。 4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。 情感态度价值观 1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似. 2.难点：找相似三角形的对应边. 三、教学过程 （一）基本训练，巩固旧知 1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)两个全等三角形一定相似；（） (2)两个相似三角形一定全等；（） (3)两个等腰三角形一定相似；（） (4)顶角相等的两个等腰三角形一定相似；（） (5)两个直角三角形一定相似；（） (6)有一个锐角对应相等的两个直角三角形一定相似；（）

(7)两个等腰直角三角形一定相似； （ ） (8)两个等边三角形一定相似 2.填空： (1)如图，BE ∥CD ，则△ ∽△ AB AE BE ( )()()==； (2)如图，AB ∥DE ，则△ ∽△ AB BC CA ( )()()==； (3)如图，∠B=∠ADE ，则△ ∽△ AB BC CA ()()()==. （二）创设情境，导入新课 师：们再来做几个题目，先看一道例题. （三）尝试指导，讲授新课 （师出示例题） 例 已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高. 求证：(1)△ACD ∽△CBD ； (2)CD 2=AD ·BD. （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下） 证明：在Rt △ABC 中，∠A=90°-∠B ， 在Rt △CBD 中，∠BCD=90°-∠B ， ∴∠A=∠BCD. 而∠ADC=∠CDB=90°， ∴△ACD ∽△CBD. ∴CD AD BD CD =. ∴CD 2=AD ·BD. （列CD AD BD CD =时，要让学生自己找CD ，AD 的对应边，并强调找对应边的方法） （四）试探练习，回授调节 3.已知：如图，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB 于D. 求证：(1)△CBD ∽△ABC ； (2)BC 2=AB ·BD. D D C A B C D C A D B