取2
a x =
时，)(x f 的最大值为a 4-，由,54-=-a 得).2,0(4
5∈=
a
（3）当对称轴在给定区间的左边，即
0,02
≤≤a a 时，)(x f 在[]1,0内递减，
所以当0=x 时)(x f 的最大值为24a a --，由542-=--a a ， 得,0542=-+a a 解得5-=a 时或1=a （舍去） 综上所述，4
5=
a 或5-=a 时，)(x f 在[]1,0内有最大值5-。
[例6] 设a ≥0,在复数集C 中，解方程：z 2＋2|z|＝a 。
【分析】由已知z 2＋2|z|＝a 和|z|∈R 可以得到z 2∈R ，即对z 分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。
【解】 ∵ |z|∈R ，由z 2＋2|z|＝a 得：z 2∈R ； ∴ z 为实数或纯虚数
当z ∈R 时，|z|2＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋1+a ∴ z ＝±(－1＋1+a )；
当z 为纯虚数时，设z ＝±y ｉ (y>0)， ∴ －y 2＋2y ＝a 解得：y ＝1±1-a （0≤a ≤1） 由上可得，z ＝±(－1＋1+a )或±(1±1-a )ｉ
【注】本题用标准解法（设z ＝x ＋y ｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z 分两类讨论则简化了数学问题。
【另解】 设z ＝x ＋y ｉ，代入得 x 2－y 2＋2x y 22+＋2xy ｉ＝a ；
∴ x y x y a
xy 2222220
-++==?????
当y ＝0时，x 2＋2|x|＝a ，解得x ＝±(－1＋1+a )，所以z ＝±(－1＋1+a )； 当x ＝0时，－y 2＋2|y|＝a ，解得y ＝±(1±1-a )，所以±(1±1-a )ｉ。
由上可得，z ＝±(－1＋1+a )或±(1±1-a )ｉ
【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy ＝0而分x ＝0和y ＝0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。
[例7]设21,x x 是方程)(03222R a a a ax x ∈=-++的两根，求21x x +（用a 的角解析式表示）
[解]（1）当方程有实根时，0≥?时，0≥a 或8-≤a 0,)(4
922)(2
22221212
2121≥--+--=
+-+=
+a a a a a a a x x x x x x x x ，即1≥a 或
0≤a ，∴当1≥a 或8-≤a 时，;2
321a
x x =
+当10<≤a 时，a a x x 24
12
21+=
+
（2）当方程有虚根时，,0
)(22222
2111121a a x x x x x x x -=
===+
所以2
1x x +
=32a ????
18
01
80
a a a a ≥≤-≤<-<<或
[例8] 设a 为实数，函数).(1)(2
R x a x x x f ∈+-+=
（1） 讨论)(x f 的奇偶性；
（2） 求)(x f 的最小值。
[解] （1）当0=a 时，)(x f 是偶函数；当0≠a 时，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数。 （2）:A 当a x ≤时，.4321)(2
++??? ?
?
-=a x x f
当21
≤a 时，;1)()(2min +==a a f x f
当21>a 时，a f x f +==4
3
)21()(min
:B 当a x ≥时，函数.4
3
)21()(2+-+=a x x f
当21-≤a 时，a f x f -=-=43
)21()(min
当2
1
->a 时，.1)()(2min +==a a f x f
总结：当12a ≥时，m in 3()4f x a =+；当21-≤a 时，m in 3
()4
f x a =-；
当11
22
a -<<时，;1)()(2min +==a a f x f
[例9] 在xOy 平面内给定一曲线,22x y =
（1） 设点A 的坐标??
?
??0,32
，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离;PA （2） 设点A 的坐标),)(0,(R a a ∈求曲线上一点到点A 的距离的最小值d ，并写出)(a f d =的函
数表达。
[解] （1）设),(y x M 为曲线上任意一点，则)1(0
,22≥=x x y
)2()
0(313129434322
2
22
2
≥+??? ?
?+=++-=+??? ??-=x x x x x y x MA
（2）式右端作为x 的函数在),0(+∞上单调递增。
∴其最小值在0=x 处达到，此时9
4min 2
=
=MA
因此，3
2min
=
=MA
d
曲线上距点A 的最近之点P 的坐标为)0,0(； （2）设),(y x M 为曲线上任意一点，同理有
[])3()
1)(12()1()(2
2
2
2
≥-+--=+-=x a a x y
a x MA
在10x a =-≥时，达到最小值：.12min
2-=a MA
此时，抛物线上点))1(,1(-±-a a P 是距离)0,(a A 最近之点。 12min
-==a MA
d
当10x a =-<时，（3）式右端作为x 的函数在),0(+∞上单调递增。
∴其最小值在0=x 处达到，此时2
2
min
212)1(a a a MA
=-+-=
a MA
d ==min
综上所述，有.)
1()1(12?????<≥-=a a
a a d
[例10] 已知函数22
1
()||()f x x a a R x
+
=
+-∈
(1)求函数()f x 的定义域,判断()f x 的奇偶性并说明理由;
(2)试研究函数()f x 在定义域内的单调性,并利用单调性的定义给出证明.
解: (1)定义域为:(,0)(0,)-∞?+∞
2
2
2
2
11()|()|||,
()
f x x a x a x x
-=
+--=
+--
()f x ∴是偶函数
(2)2
2
2
2
1(()()1
(x a x x x f x a R x a x x
+
?+-≤≥??
=∈?
?-+<<
??
①
若x x ≤≥
则()f x =
2
2
1x a x
+-
, 2
222
121212212
2221
2
1
2
111,()()()(
1)x x f x f x x x x x x
x
x x
≤<-=
+--=--
12x x ≤<222
122221
2
11x x a x x
a
?≥?≤且22
210x x ->,
当
2
2
111a a 时12()()f x f x <()f x ∴
在)+∞上是增函数,
又()f x 是偶函数, ()f x
在(,-∞上是减函数. 当
2
2
1101a a
≥?<≤时
121x x ≤<≤时,
12221
2
11()()f x f x x x
>?>
121x x ≤<时
12221
2
11()()f x f x x x
()f x ∴
在1]上是减函数,在[1,)+∞上是增函数；
又()f x
是偶函数，在[1,-上是增函数，在(,1]-∞-上是减函数。
②若0)x x ≤≤≠，则2
2
1()f x x a x
=
-+，
12120()()x x f x f x ?<<<-
=
2
222
1212122122221
2
1
2
1110()()()(
1)0x x f x f x x x x x x
x
x x
?<<≤
-=--
+=-+>
()f x ∴
在上是减函数
又()f x 是偶函数，于是()f x
在[0)上是增函数。
由① ②可知：
当01a <≤时，()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数， 在(,1]-∞-上是减函数，在[1,0)-上是增函数 当1a >时， ()f x
在
上是减函数，在)+∞上是增函数，
在(,-∞
上是减函数，在[0)上是增函数。
二、三角中的分类情形
[例11] m 在何范围内，022sin 2cos 2<---m m θθ对任意实数θ都成立。
[解] 设.12)(sin 22sin 2cos 222--++-=---=m m m m m y θθθ
若,0<-
<--=m m m y
即(
]
;1,21-
∈m
（2）若,1>m 则当1sin -=θ时，);,1(,02max +∞∈∴<-=m y （3）若1-
[例12] 已知函数1),0)()(cos (sin min =>++=y a a x a x y ，求a 值。
[解] ),4
sin(2cos sin ,)cos (sin cos sin 2
π
+
=+=+++=x x x t a x x a x x y 设
2
2
2
2
2m in 2
m in 111.().
22
2
2
1(1)01,).2
2
1(2)1,11().
22
2
t a
t y at a t a a
a y a a y a a a -?∈∴=++=++
-
?
<≤=
-==>
=-
+
==
+=
-若舍去若或舍去
综上所述12a ∴=+
三、数列中的分类情形
[例13]若数列{}n b 满足1
42()n n n b a a R +=-?∈，求数列{}n b 的最小值。
解：122*42
(2)()n n n n b a a a n N +=-?=--∈令2(2)n
t t =≥，22()(2)n b t a a t ∴=--≥ （1）当2a ≤时，数列{}n b 的最小值为：当1n =时，144b a =-。 （2）当2a >时 ①若1
*
2()k a k N +=∈时，数列{}n b 的最小值为：当1n k =+时，2
1k b a +=-
②若1
*
22
()2
k k a k N ++=
∈时，数列
{}
n b 的最小值为：当1n k k =+或时，
2
2
1(2)k
k k b b a a +==--
③若1
*
22
2()2
k k k
a k N ++<<∈时，数列{}n
b 的最小值为：当n k =时，22(2)k k b a a =--
④若
1
1
*
22
2
()2
k
k k a k N +++<<∈时，数列
{}
n b 的最小值为：当1n k =+时，
1
2
2
1(2
)k k b a a ++=--
[例14] 设数列{}n a 为递增数列，且01=a ，1()sin ()n n f x x a n
=-，[]1,n n x a a +∈（n 为正整数）
．若对于任意的[)0,1b ∈，()n f x b =总有两个不同的根． （1） 试写出1()y f x =，并求出2a ； （2） 求1n n a a +-，并求出{}n a 的通项公式；
（3） 设n n n a a a S 121)1(--++-= ，求n S ． 解：（1）[]211,0,sin )sin()(a x x a x x f ∈=-=，又[)1,0,s i n ∈=b b x 总有两个不同的实根，π=∴2a ，
且`1()sin f x x =，[0,]x π∈． （2）1 当102
n n n a a π+<-≤
时，)(x f y n =为增函数，不合题意，舍去；
2
当
ππ
n a a n n n <-<+12时，1
0,sin n n a a b n +?-?
∈????
时，b x f n =)(有唯一解，不合题意．
πn a a n n =-∴+1
π2
)
1(11211-=
+-+-+-=∴--n n a a a a a a a n n n n ．
（3）当k n 2=时，122122(21)n k k S a a a a k πππ-=-++-=-----
=ππ4
2
2
n
k -
=-
当12+=k n 时，2
1221221(21)22
n k k k k k
S a a a a a k ππ-++=-++-+=-+
2
(1)(1)4
n k k π
π-=+=
2
2
4
(1)4n n S n ππ
?-??∴=?-??? 为奇数为偶数n n ．
[例15]. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。 ①. 证明： lg lg S S n n ++2
2
②.是否存在常数c>0，使得
lg()lg()
S c S c n n -+-+22
＝lg （S n +1－c ）成立？并证明结论。
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况。
【解】 设{a n }的公比q ，则a 1>0，q>0
①．当q ＝1时，S n ＝na 1，从而S n S n +2－S n +12＝na 1(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 12＝－a 12<0； 当q ≠1时，S n ＝
a q q
n
111()--，从而
S n S n +2－S n +12
＝
a q q
q n
n 12
2
2
111()()
()
---+－
a q
q n 1212
2
11()
()
--+＝－a 12q n <0； 由上可得S n S n +2
，所以lg(S n S n +2))，即lg lg S S n n ++2
2
②. 要使
lg()lg()
S c S c n n -+-+22
＝lg （S n +1－c ）成立，则必有(S n －c)(S n +2－c)＝(S n +1－c)2,
分两种情况讨论如下： 当q ＝1时，S n ＝na 1，则
(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝(na 1－c)[(n ＋2)a 1－c]－[(n ＋1)a 1－c]2＝－a 12<0
当q ≠1时，S n ＝a q q
n
111()--，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2
＝[
a q q
n
111()--－c][
a q
q
n 12
11()
--+－c]－[
a q
q
n 11
11()
--+－c]2＝－a 1q n [a 1－c(1－q)]
∵ a 1q n ≠0 ∴ a 1－c(1－q)＝0即c ＝a q
11-
而S n －c ＝S n －
a q
11-＝－
a q
q
n
11-<0 ∴对数式无意义 由上综述，不存在常数c>0, 使得
lg()lg()
S c S c n n -+-+22
＝lg （S n +1－c ）成立。
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明l o g l o g ..0505
2
2
S S n n ++>log 05.S n +1 ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单
调递减。
四、解析几何中的分类情形
[例16]在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．
（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→
--OA →
--?OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2
=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).
当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－
6). ∴OB OA ?=3；
当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，
由22(3)
y x
y k x =??=-?得 2122606ky y k y y --=?=-
又 ∵ 22112211,22
x y x y ==，
∴2121212121
()34
O A O B x x y y y y y y =+=+=
，
综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ?=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ?=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是
假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(2
1
,1)，此时O A O B =3,
直线AB 的方程为：2
(1)3
y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；
说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ?=3，可得y 1y 2=－6， 或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线 AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).
[例17] 动点M 到两定点)0,(),0,(a a -连线的斜率之积为k ，求动点M 的轨迹方程，并讨论当k 值在
),(+∞-∞内变化时曲线的变化情况。
[解] 设动点M 的坐标为),(y x ，于是得,k a
x y a
x y =+?-
即
2
2
221(),x
y
a ka -=* 0,();
0,()0,;
10,();1,(),;
1,().
k x k y x k x k a k y >*=*=
-<<*=-*<-*当时表示焦点在轴上的双曲线当时变为即是轴
当时表示焦点在轴上的椭圆
当时表示圆心在原点半径为的圆
当时表示焦点在轴上的椭圆 [例18]设)0(),(≠b b a P 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线.记Q 是直线l 与
抛物线py x 22=)0(≠p 的异于原点的交点.
（1）已知2,2,1===p b a . 求点Q 的坐标； （2）已知点)0(),(≠ab b a P 在椭圆14
2
2
=+y
x
上，ab
p 21=
. 求证：点Q 落在双曲线1
4422=-y x 上；
（3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，ab p 21=
. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试
问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由. [解]（1）当2,2,1===p b a 时，
解方程组??
?==,
2,
42x y y x 得 ??
?==,
16,8y x
即点Q 的坐标为()16,8.
[证明]（2）由方程组?????==,
,
12
bx y y ab
x 得 ??
??
?
==,
,1a b y a x
即点Q 的坐标为??
?
??a b a
,
1. P 是椭圆上的点，即
14
2
2
=+b
a
，
∴ ()
114414222
2
=-=??
?
??-??? ??b a a b a .
因此点Q 落在双曲线14422=-y x 上. （3）设Q 所在抛物线的方程为 )(22c x q y -=，0≠q .
将Q ??
? ??a b a ,1代入方程，得 ???
??-=c a q a b 1222
，即2222qca qa b -=.
当0=qc 时，qa b 22=，此时点P 的轨迹落在抛物线上；
当21
=qc 时，2
2
2
4121c
b
c a =
+?
?? ?
?
-，此时点P 的轨迹落在圆上；
当0>qc 且2
1≠qc 时，
1241212
2
2
=+
?
?? ?
?
-c
q b
c
c a ，此时点P 的轨迹落在椭圆上；
当0212
2
2
=?
?
? ??--
?
?
? ?
?
-c q b
c
c a ，此时点P 的轨迹落在双曲线上.
中考数学分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5 B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 6.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均 为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？
层次教学策略的研究开题报告
对课堂教学中层次教学策略的研究课题开题报告 一、课题名称：分组分层教学法研究 二、课题研究的实践意义： 新课程标准指出，数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，而现行的教学方式由于学生的认知水平有很大的差异性，到底按照优等生的认知水平上课，还是中等生、学困生？又如果按着中等的学生上课，长期下来必然形成一部分学生吃不饱，一部分学生吃不了。优等生没有动力，冒不了尖，而差生最基本的知识也掌握不了，给以后的学习和相关科目的学习带来困难，不能实现每个学生在原有的基础上得到最大限度的发。而在现实中这种现象处处可见，有没有更好的解决办法？经过多年的教学实践，我打算在班级教学中实施分组分层教学，研究分组分层教学法，通过不同学生的认知水平，进行组合，实施不同的授课、备课、评价等措施，以激发学生的学习积极性，充分发挥个人的创造能力，激发创新思维。达到全部学生共同提高，共同进步，全面提高教学质量！ 另外，对于农村初中，以升学高低衡量办学优劣的观念至今未打破，而现在实行的是九年义务教育，全体小学生就近入学，学生水平参差不齐，多数教师往往只顾及一小部分“尖子生””使大多数“陪读生”“劳而无功”，严重影响了整体的教育教学质量，因此我们在不改变原有班级体系的情况下，打算摸索实施分层教学，因材施教，循序渐进，充分激发学生的学习积极性，发挥学生个人的创造能力，激发创新思维，使不同层次的学生都能在原有程度上学有所得，逐步提高，最终取得预期的教学效果！ 三、课题的涵义及研究目标 自古以来，就提倡“因材施教”，美国教育家布鲁姆在掌握学习的理论中指出：“许多学生在学习中未能取得优异成绩，主要不是学生智慧能力欠缺，而是由于未能得到适当的教学条件的合理的帮助造成的”。分层就是要最大限度的为不同层次的学生提供这种学习条件和全新的学习机会。”学生的数学学习能力存在差异，只要能把成绩和个性指标相近的学生分在一个层内，把教学目标分层化解于教学内容的安排，作业练习的布置，思想感情的教育和学习方法的指导之中。学生们将在原有的程度上得到最大限度的发展。 本课题的研究目标是原有分班体系不打乱的前提下如何分层备课，分层上课，分层作业和分层辅导，实施分层后的教学班级与不实施分层班的教学学生学习状态和学习成绩比较。 四、课题研究的基本内容：本课题研究的主要内容是按照原有班级学生的认知水平，对所有的学生进行合理的分组分层、备课分层、分层施教、分层测试、分层评估等内容，争取使教学质量最优化，最具效率化，全面提高教学成绩! 五、课题研究实施方法 本校共有18个教学班，每级选择（1）（3）（5）做为实验班，其他班级作为对比班。并把实验班里的学生分为A、B、C三组，学习成绩好、学习兴趣浓、学习主动、接受快的学生属于A层；学习成绩中等、学习情绪不够稳定或能力一般、学习勤奋的学生属于B层；学习成绩差、学习困难大、消极厌学或顽皮不学的学生属于C层 实施分组分层递进教学的基本环节是：学生分层、教学目标分层、分层施教、分层测试、分层评估
教学方法与教学策略
第二章：教学方法与教学策略 一、学习的目的 通过本章的学习，掌握教学方法和教学策略的概念，我国中小学常用的方法和策略；掌握教学方法划分的依据和标准；了解当前我国中小学常用的教学方法；掌握教学方法和教学策略选用的基本标准、原则和技巧；在教学策略的选用上，重点掌握制定和选择教学策略的依据和原则；了解当代教学方法和教学策略的发展趋向。 二、学习要点 （一）教学方法的概念 教学方法是在教学过程中，教师和学生为实现教学目的，完成教学而采取而采取的教与学相互作用的活动方式的总称。 （二）国内外教学法的分类 1、国外教学法的分类 美国学者拉斯卡提出：“教学方法就是发出和学生接受学习刺激的程序。”这些学习刺激称之为A、B、C、D刺激，由此形成四种教学方法。 （1）呈现方法 （2）实践方法 （3）发现方法 （4）强化方法 2、我国教学方法的概括性分类。 从具体到抽象，教学方法由三个层次构成： （1）操作性教学方法
（2）原理性教学方法 （3）技术性教学方法 （三）我国中小学常用的教学方法 我国中小学常用的教学方法分为九种，即讲授法、谈话法、读书指导法、练习法、演示法、实验法、实习作业法、讨论法、研究法。 （四）教学策略的概念 教学策略是为了达成教学目的，完成教学任务，在对教学活动清晰认识的基础上对教学活动进行调节和控制的一系列执行过程。 （五）教学策略的特征 1、指向性 2、操作性 3、整体综合性 4、调控性 5、灵活性 6、层次性 （六）教学策略与相关概念的关系 1、教学策略与教学设计 2、教学策略与教学思想 3、教学策略与教学模式 4、教学策略与教学方法 （七）构成教学策略的要素 一个成熟的有效的教学策略一般包含以下几个要素：指导思想、教学目标、
中国教学方法分类模式
教学方法 中国的中小学教学活动中常用的教学方法分为五类。 一是“以语言传递信息为主的方法”，包括讲授法；谈话法；讨论法；读书指导法等。。 二是“以直接感知为主的方法”，包括演示法；参观法等 三是“以实际训练为主的方法”，包括练习法；实验法；实习作业法；语文课的分散识字法、外语课的听说法；美术课的写生法；音乐课的视唱法；劳动技术课的工序法等。 四是“以欣赏活动为主的教学方法”例如陶冶法等。 五是“以引导探究为主的方法”，如发现法；探究法等。 在小学科学、初中物理、化学、生物等课程中，课堂教学方法主要是直观演示法或引导探究法或实验法，但它们不是孤立进行的，同时要配合讲授法或谈话法或讨论法。 直观教学法主要有直观演示法与学生实验法。直观演示法主要是教师在操作各种实物、直观教具或进行示范性实验，用于一般的课堂教学。运用演示法的基本要求是：一要目的明确，二要现象明显且容易观察，三是尽量排除次要因素或减小次要因素的影响。学生实验法主要同于实验课，是以实际训练学生技能为主的，学生必须独立操作实验。 直观教学法可以使学科情景具体化、形象化，有利于激发学习兴趣，进行积极地思考，促使知识由具体感知向抽象思维转换。 直观手段有各类实物标本、各种实验、自然界、人为环境（如工厂、植物园、博物馆等）、模型、影片、黑板画、幻灯片、各类图片（挂图、照片、教材插图等）。 初中化学课程标准指出，化学中常见的探究活动形式包括实验探究与调查、讨论两大类型。 探究法是一种高水平的启发式教学法。这种教学方法是以学生动手动脑为中心，并辅以阅读教材和参看其他直观手段的集体活动。它把传授知识、训练基本技能与培养学生独立获得知识的能力统一起来了。通过提高学习兴趣和学习主动性，发展学生智力来提高学习质量。完成探究的最佳途径是小组合作。 引导探究法教学的基本过程是 1、教师精心设计，呈现问题情境。 2、提出问题。可以是教师提出，但最好诱导学生提出 3、作出假设。学生给出假设，教师修正 4、设计探究实验或收集证据。以学生为主，教师指导纠错。 5、实验探究或分析讨论。可以用演示实验的方法。 6、获得结论与验证。引导学生得出结论，并知道要验证（如数学里的验算、化学里对制取的气体的检验等）。
圆中的分类讨论习题
细说圆中的分类讨论题------之两解情况 由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况, 这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆的位置分类 例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。 分析：根据点和圆的位置关系，这个点P 与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。 解：过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。 （1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径 ； （2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径 ； 所以，圆O 的直径为2或6。 二、三角形与圆心的位置关系 例２：已知?ABC 内接于圆O ，∠=?O BC 35，则∠A 的度数为________。 分析：因点A 的位置不确定。所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧。也可分析为圆心在?ABC 的内部和外部两种情况。 解：（1）当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图3， B P
图3 图4 （2）当点A 和圆心O 在BC 的异侧时，如图4， ∠=?O BC 35∴∠=?BO C 110∴∠=?BPC 55∴∠=?BAC 125 所以∠A 的度数是55?或125?。 练习：已知圆内接?ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。（两种情况如图5、图6） A C 图5 图6 三、角与圆心的位置关系 例3:在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。 分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。 解：如图7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：B E A E ==112 , 所以∠BAE ＝30° 同理，在Rt △CAE 中，EC ＝AC ， 所以∠EAC ＝45°，∠BAC =?+?=?304575 当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知： ∠BAC '=?-?=?453015 所以∠BAC 为75°或15° C' E C A
数学知识的分类及其教学策略-
数学知识的分类及其教学策略 在新课程要求的背景下，为了能够使初中学生更好地理解和掌握不同类型的数学知识，对初中数学知识进行合理分类，进而采用适合的、有效的、科学的教学策略展开数学教学活动是非常有意义的。因为通过此种方式展开数学教学活动，可以更具体、详细地进行知识的教授，促使学生数学知识水平不断提高[1]。 所以，合理进行初中数学知识分类并采用适合的教学策略展开教学活动，有利于提高初中数学教学水平，达到新课程的要求。 一、数学知识的分类 美国哈佛大学的心理学家们认为，知识可以分为两类：一类的目的是说明“是什么”，这种知识被称为陈述性知识；而告诉你怎么做的知识，是程序性知识。在我们当前的对初中数学知识的分类中，据此对初中数学知识进行分类是非常适合的，即可以将数学知识的主观表征呈现出来，也可以将表现形态呈现出来。 因此，初中数学知识可以分为：数学程序性知识及数学陈述性知识。 （一）数学xx性知识 初中数学陈述性知识的核心主要为概念，如概念的表示方法、概念的判断、概念的性质、概念的应用等。对初中数学概念进行不同侧面的说明、分析和讨论，可以支撑其初中数学知识的运用和实践。这一系列初中数学概念的说明、分析及讨论，可以使初中学生理解和掌握数学概念，为解决数学难题做好铺垫。 （二）数学程序性知识 初中数学程序性知识的核心为概念与规则，重点说明的是如何将两者有效结合在一起，使学生利用概念与规则正确解题。我们所说的数学规则，比如法则、公式、公理等，通常是解决复杂问题的基础。通常，初中数学典型习题都隐含数学规则，要求学生在解题过程中将数学习题中所涉及的数学规则串联起来，灵活运用，如此有效解决数学习题。而将概念与规则有效结合，可以在解
教学策略分类
教学策略就是指建立在一定理论基础之上，为实现某种教学目标而制定的教学实施总体方案。 教学策略不是具体的方法规定，而是在一定教学思想的指导下，根据一定的情境，合理和优化地处理教学各因素关系而采取的工作方式。包括如何选择和组织各种教学材料和教学方法，如何运用各种教学设备和手段，如何确定师生的行为程序等。教学策略以提高教学效率为目的。教学策略有以下几种分类（当代教育学笔记- 袁振国：根据教学策略的构成因素，顾泠沅分出：内容型、形式型、方法型、综合型） 1．内容型策略 这种教学策略是以教学内容为中心的策略。以教学过程中如何有效地提供学习内容为核心，强调知识结构和追求知识发生过程两个类别，即结构化策略和问题化策略。 2．形式型策略 这种策略是以教学组织形式为中心的策略。集体教学形式、个别学习形式和小组教学形式三种教学形式中，集体教学仍为最基本的教学组织形式。改进集体教学的研究与实验很多，如实施小班制、按程度分班、班内分组、单元教学、设计教学、掌握学习教学等。 3．方法型策略 这种策略是以教学方法和技术为中心的策略，这是一个包含着各种各样方法、技术、程序和模式的领域。强调要注重科学的分类法，确定教学方法的分类体系。 4．综合型策略这种教学策略是从教学的目标、任务出发，综合地展开的教学策略。是内容、形式、方法三种类型的综合，更多地以教学经验为基础。 5．先行组织者策略 这种策略是建立在奥苏伯尔的有意义学习理论基础上的策略。其教学程序是： 1）准备预备性材料； 2）设想学习进程； 3）显现预备性材料和新材料； 4）从预备性材料中抽象出新信息； 5）运用活动强化
其特点是教学时并不立即原封不动地呈示教材，而是呈示具有“组织”作用的相关材料，也就是说，它指向的并非是教材的“实体”，而是一种“关系”。这一概念是奥苏贝尔提出的。在教学过程中，可以设计三种“组织者”：陈述性、比较性、具体模型组织者。 6．概念形成策略这种策略是建立在布鲁纳等人的理论研究基础上的策略。包括选择性策略和接受性策略两种。教学程序是：1 ）呈现实例；2 ）确认概念；3 ）强化练习；4 ）发展思维技巧。 7．认知发展策略 这是建立在皮亚杰的理论基础上的策略。这种策略运用的基本原则是： 1）儿童从实践中获得知识； 2）教学活动以儿童为中心； 3）实施个别化教学； 4）社会交往起重要作用。教师以开发者、诊断者、认知冲突的创设者和促进者、社会交往的推动者等身份参与教学活动。 8．自我管理策略 这种策略教给学生改变行为方式的方法。教学程序为： 1）教给学生行为的原则和技巧； 2）教给学生自我估计的步骤； 3）制订自我管理、自我决断、自我指导的计划； 4）避免不良的随机行为。方法包括示范、督促、强化和指导。 9．行为练习策略 这种策略又称为“直接教学”。主要特征是建立一系列模式化的教师行为。教学程序是：1 ）
教学策略及教学方法的区别
教学策略及教学方法的区别 教学策略及教学方法是两个不同的概念，请注意区分并整理出教学策略及教学方法的类别及各个类别的特点？ 教学策略定义： 以下是关于教学策略的三种观点：（１）教学策略是指教师在课堂上为达到课程目标而采取的一套特定的方式或方法。教学策略要根据教学情境的要求和学生的需要随时发生变化。无论在国内还是在国外的教学理论与教学实践中，绝大多数教学策略都涉及到如何提炼或转化课程内容的问题。（（２）所谓教学策略，是在教学目标确定以后，根据已定的教学任务和学生的特征，有针对性地选择与组合相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和技术，形成的具有效率意义的特定教学方案。教学策略具有综合性、可操作性和灵活性等基本特征。（３）教学策略是为了达成教学目的，完成教学任务，而在对教学活动清晰认识的基础上对教学活动进行调节和控制的一系列执行过程。（ 这三种观点的相似之处在于都认为教学策略的实施是为了达成教学目标（课程目标），具有灵活性（或称为变通性）。不同之处在于，第一种观点认为教学策略是“一套特定的方式或方法”；第二种观点认为教学策略是“具有效率意义的特定教学方案”；而第三种观点则把教学策略归结为“对教学活动进行调节和控制的一系列执行过程”。在此基础上，可以找出教学策略的一些特征及其基本含义：教学策略是为达成教学目标而采用的一整套比较灵活的教学行为，它是教师在教学实践中依据教学的计划、学生的身心特点对教学原则、教学模式、教学方法的一种变通性地应用。 分类： 对于教学策略的分类方法又有好多种。但按照信息加工的控制点来划分，可以分为替代性、生成性和指导性三种。 替代性教学策略是指教师选择特定的教学内容，并将其组织安排好，然后通过一定的方法和手段将其传授给学生。在此过程中，信息加工的主体是教师，而学生没有主动性。 生成性教学策略是指鼓励学生自主的形成教学目标、确定教学内容，并对其进行组织、理解、强化和迁移。并在教学中构建自己特有的教学意义。 以上两种观点都是希尔斯提出来的。为了发挥前两种教学策略的优势并弥补其不足，加涅又提出了指导性教学策略。
中考数学专题复习专题三大数学思想方法第一节分类讨论思想训练
专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想 类型一 由概念内涵分类 (2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2 －12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于 点C(0，3 4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的 抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的表达式； (2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式． 【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】
此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)． 1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．－18 类型二 由公式条件分类 (2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫
圆的分类讨论例题及习题
圆的分类讨论例题及习题
圆中的分类讨论题------之两解情况 一、根据点与圆的位置分类 例1、点P 是圆0所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2, 则该圆的半径为 ___________________ 。 解：过点P 和圆心0作直线分别与圆0相交于A 、B 两点。PA 、 PB 分别表示圆上各点到点 P 的最长距离和最短距离。 （1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径 （2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径--1 - : H . 所以，圆0的直径为2或6。 练习1:若。0所在平面内一点P 到。0上的点的最大距离为a ,最 小距离为b ，则此圆的半径为（ ） 2: P 在。0内，距圆心0的距离为4,。0半径长为5,经过P 点， 有多 少条？ 解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是 6cm （该弦垂直于0P ，等于5与4的平方和的平方 根的 2倍）；最长的是10cm （过0、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有 7、8、9cm ,所以共 有8条（其中的7、8、9各有两条，以0P 为对称轴）。 3:00的半径为2.5，动点P 到定点0的距离为2,动点Q 到P 的点的距离为1,则点P 、 Q 与O 0 有何位置关系？ 二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论 例 1、圆 0 的直径为 10cm ,弦 AB//CD , AB=6cm , CD = 8cm ,求 AB 和CD 的距离。 解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点 0作0M_AB 交 AB 于点M ，交CD 于N ，连结OB 、0D ,得Rt 0MB , Rt 0ND ，然后 由勾股定理求0M = 4cm, 0N = 3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm 。 （2）当AB 、CD 在圆心的异侧时，如图9,仍可求得0M = 4cm, ON = 3cm 故AB 和 CD 的距离为7cm 。 所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。 例2、已知弓形的弦长为8cm ,所在圆的半径为5cm ,则弓形的高为多少？ （ 2或8cm ） k _________ 止 ______________ ________ L A P . 定点 交于。O 的弦为整数的 B M D M A N
教学策略简析
教学策略简析 近些年来，在我国教育界，出现了对教育理论的两种批评意见：一些理论工作者认为，教育理论没有形成严密的科学体系，许多概念术语不精确、范畴不严密、科学性不强；而一些实践工作者却认为，教育理论应用性较差、脱离实际，是空教条，不能指导实践。这些说法虽然说过于绝对，但也说明在教育理论界确实存在一些需要澄清和规范的理论问题。其中教学策略就是其中之一。目前国内外关于教学策略的研究多是对操作层面的一些具体策略的应用研究，而理论研究较少，从而造成了教学策略的概念含义过多，在术语的使用上比较混乱的现象，同时，也给制定或选择有效的教学策略带来困难。本文结合教材学习就此问题进行一些探讨。 一、教学策略的概念 什么是教学策略？目前的教育理论界有多种提法，举例如下： 1.教学策略是针对一定教学目标而组织的程序化设计。 2.教学策略是一系列引导师生更好地实现教学目的的行动方针。 3.?所谓教学策略，是指教师教学时有计划地引导学生学习，从而达成教学目标所采取的一切方法。?（张春兴：《教育心理学》） 4.教学策略是对完成特定的教学目标而采用的教学活动的程序、方法、形式和媒体等因素的总体考虑。 5.教学策略是指以一定的教育思想为指导，在特定的教学情境中，为实现教学目标而制定并在实施过程中不断调适、优化以使教学效果趋于最佳的系统决策与设计。 6.教学策略是?教师采取的有效达到教学目标的一切活动，包括教学事件先后顺序的安排，传递信息的媒体的选择和师生相互作用的设计等。教学策略也可称为广义的教学方法。? (皮连生：《智育心理学》） 7.教学策略是表示为达到某种预测效果所采取的多种教学行动的综合方案，具有综合性、可操作性和灵活性的特征。 8.教学策略指教师采取的有效达到教学目标的一切活动计划,包括教学事件的顺序安排、教学方法的选用、教学媒体的选择、教学环
盘点的种类和方法教学设计
《盘点的种类和方法》教学设计 一、设计思想 以“教师主导、学生主体”的教学基本理念为依托，以学生的发展为本，进行了本课的教学设计。在盘点的种类和方法的研究过程中，引导学生进行实践操作与对比，使学生亲身经历“发现的过程”。这样学生通过实践获取直接经验，培养了科学精神和科学态度，形成主动建构知识、发展能力、形成正确的情感态度与价值观的过程。另外，通过多媒体与传统教学的结合，调动学生学习积极性、主动性和创造性，使学生以多种方式、多种途径主动地参与到学习中来，增强学生的学习兴趣。 二、教材分析 （一）教材内容 本课内容节选于《仓储基础知识与技能》（中国劳动社会保障出版社）第五章物资在库管理第二节物资的盘点，《仓储基础知识与技能》是研究现代仓库作业及管理的综合性学科，是现代物流专业的必修课程，主要任务是使学生较系统地掌握现代仓储管理的理论知识与实践技术，并培养学生分析和解决现代仓储管理中的实际问题。而盘点作业属于物资在库作业内容，是保证在库储存物品数量相符的重要作业，掌握盘点作业，有助于学生系统掌握仓储作业内容，了解保证仓库物资数量的重要性，养成细致严谨的作业习惯。在本节课之前，学生已经学习了物资的出入库作业和管理，以及盘点作业的基本概念和要求，对盘点有了一个初步的认识，本节课的主要任务在于理解盘点的类别，掌握盘点的方法。（二）教学目标 1、知识与技能：了解盘点的类别，理解不同盘点方法的适用情况，掌握盘点机的使用，能进行盘点作业。 2、过程与方法：提高分析及评价能力，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展。 3、情感态度：培养学生细致观察、认真负责的良好作业习惯，创新解决问题的意识，以及协作探究、合作交流的团队意识。 （三）教学重点、难点 教学重点：区分不同的盘点方法及其应用范围、掌握盘点机盘点的操作。 教学难点：掌握新式盘点方式盘点机盘点的操作，分析对比盘点机盘点与人工盘点的优缺点。 突破重难点：通过学生分组实践活动让学生在做中学，让学生自己发现并体会知识。 三、学情分析 1、学生已经学习了盘点作业的概念、要求等相关内容，对盘点作业的实质及其重要性有较好的认识。 2、对新知识、新技术好奇，个性活泼、思维活跃，动手实践、合作探究的积极性高。 3、学生基础参差不齐，个体差异比较明显，在教学中要关注不同层次的学生的学习和发展。
圆中的分类讨论习题
细说圆中得分类讨论题------之两解情况 钱漪 由于圆既就是轴对称图形,又就是中心对称图形,还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论就是一种同学们应该掌握并且相当重要得数学思想,对于锻炼同学 们得缜密思维与分析问题能力异常得重要,但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意,明白题干得要求,二要有顺序步骤得做。先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆得位置分类 例１、点P 就是圆O 所在平面上一定点,点P 到圆上得最大距离与最短距离分别为８与２,则该圆得半径为 。 分析:根据点与圆得位置关系,这个点P 与圆有两种位置关系。分为点在圆内与点在圆外两种情况。 解:过点P 与圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 得最长距离与最短距离。 (1)当点P 在圆内时; (2)当点P 在圆外时; 所以,圆O 得直径为2或6。 二、三角形与圆心得位置关系 例２:已知内接于圆O, ,则 得度数为________。 分析:因点A 得位置不确定。所以点A 与圆心O 可能在BC 得同侧,也可能在BC 得异侧。也可分析为圆心在得内部与外部两种情况。 解:(1)当点A 与圆心O 在BC 得同侧时,如图3, B P A
(2)当点A 与圆心O 在BC 得异侧时,如图4, 所以 得度数就是 或 。 练习:已知圆内接中,AB=AC,圆心O 到BC 得距离为3cm,圆得半径为6cm,求腰长AB 。(两种情况如图5、图6) A C 图5 图6 三、角与圆心得位置关系 例3:在半径为1得⊙O 中,弦AB 、AC 得长分别为 与 ,则∠BAC 得度数就是____。 分析:角与圆心得位置关系为圆心在角内部与外部两种情况。 解:如图7,当圆心在∠BAC 内部时,连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中,由勾股定理得:,所以 ∠BAE ＝30° 同理,在Rt △CAE 中,EC ＝AC, 所以∠EAC ＝45°, 当圆心O 在∠BAC 得外部时(∠BAC'),由轴对称性可知: 所以∠BAC 为 75°或15° 四、圆中两平行弦与圆心得位置关系 例4、 圆O 得直径为10cm,弦AB//CD,AB=6cm,,求AB 与CD 得距离。 分析:题中得弦AB 、CD 都比圆O 中得直径小,所以AB 与CD 可能在圆心得同侧,也可能在圆心得异侧。 C' E C A
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法 慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326) 一、知识要点概述 1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段. 2.引入分类讨论的主要原因 (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等； (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等； (3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论； (6)按实际问题的情况而分类讨论. 二、解题方法指导 1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形； (6)数形结合；(7)缩小范围等. 3.解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； (2)要找准划分标准，把好“分类关”； (3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”. 三、范例剖析 例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2 ＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1 ＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1 )∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当02，∴原不等式的解集为(2，a-2a-1 ). 当a<0时，a-2a-1<2，∴原不等式的解集为(a-2a-1 ，2).
教学策略的涵义、结构及其类型
教学策略的涵义、结构及其类型 教学策略是当前课程与教学研究的一大热点问题。它无论是对课程与教学理论的深入发展，还是对课程与教学实践的变革，或是教学质量的提高、促进学生的发展都有着重要的价值。 一、教学策略的内涵与特征 “策略” 一词泛指达到目的的手段和方法，教学具有不同的层次，加涅把教学分为课程级、科目级、单元级和教案级四种水平，我国学者江山野把教学分为四层教学过程、五种教学方式。不同的教学层次就有不同的达到教学目的的手段和方法，也就有不同的教学策略。教学策略可以来自理论的推衍和具体化，也可以来自对教学实践经验的概括和总结。具体来说教学策略就是为了达成教学目的、完成教学任务，而在对教学活动清晰认识的基础上，对教学活动进行调节和控制的一系列执行过程。 它包含以下几层含义：第一，教学策略包括教学活动的元认知过程、教学活动的调控过程和教学方法的执行过程。教学活动的元认知过程是教师对教学过程中的各种因素、教学的进程的反思性认知。教学活动的调控过程是指教师根据教学的进程及其中的变化而对教学过程的反馈、调节活动。教学方法的执行过程是指教师在教学过程中采取的师生相互作用方式、方法与手段的展开过程。第二，教学策略不同于教学设计，也不同于教学方法，它是教师在现实的教学过程中对教学活动的整体性把握和推进的措施。第三，教师在教学策略的制定、选择与运用中，要从教学活动的全程入手和着眼，要兼顾教学的目的、任务、内容、学生的状况和现有的教学资源，灵活机动地采取措施，保证教学的有效有序进行。第四，教学策略是一系列有计划的动态过程，具有不同的层次和水平。 根据以上对教学策略的认识，我们认为它主要有以下几个方面的特征。 1.概括性。教学策略是对教学活动的理论或实践的浓缩和提炼的结果。教学活动是丰富多彩、变幻无穷的，而教学策略却表现了不同层次的教学活动的进程和操作框架，以及一定的理论成分，抽取了多种教学过程的共同特点，便于理解把握和运用，可以用较少的笔墨映不同层次的教学过程。因此，它具有一定的概括性。 2.指向性。教学策略的产生就是为了解决现实的教学问题，掌握特定的教学内容，达到预定的教学目标，收到预期的教学效果。任何教学策略都指向特定的情况、特定的教学内容、特定的教学目标，规定着师生的教学行为。教学过程中，师生每时每刻遇到的问题严格来说都不会是一样的，问题的性质、问题的内容，解决问题的途径、手段和条件也不会相同，这样每一问题情境都是特殊而具体的，内容是新遇到的，目标有新的变化，这就使得解决问题的办法、策略要视具体情况而定。根据不同的问题，不同的内容，不同的背景条件制定、选择和运用教学策略。不存在无目标，无内容，无方向的教学策略，也不存在适合一切问题和内容的可能的教学策略。 3.操作性。任何教学策略都是针对教学目标的每一具体要求而制定的，具有与之相对应的方法、技术和实施程序，它要转化为教师与学生的具体行动。这就要求教学策略必须是可操作的。没有可操作性的教学策略是没有任何存在价值的，或者说它就不是教学策略。教学策略既不是抽象的教学原则，也不是某种教学思想指导下建构起来的教学模式，它是供教师和学生在教学过程中参照执行的方法、技术等行为方式，它有着明确具体的内容和实施方式、步骤，是教学活动具体展开的基本依据。比如针对一些学生书写潦草的不良学习习惯，使用行为矫正策略以使其书写工整，改掉不良习惯。首先向学生指出这是一种不良习惯，接着说明书写工整优美的益处和书写潦草的害处，接下来再进行书写指导，最后是宣布较为具体的练习要求和检查要求。其中书写指导、练习要求对策略运用者来说，都是已设计好的且很具体的东西。又如激励学生写作情感的策略，可以让学生在生活的乐趣中接触作文，消除作文的恐惧感，创设作文情境，通过一个游戏、一个活动让学生兴致勃勃地参与并讲述，兴趣盎然地完成作文，或者运用各种有趣的写作形式如出小报、图画作文、介绍照片等形式来激发学生的学习兴趣。这些形式都是具体可操作的。
教学方法有哪些
除了像讲解法、阅读法、练习法、参观法、实验法、实习法、实习操作法等基本方法外,还有发现法、尝试教学法、引探教学弦、六因素单元教学法、三算结合教学法、程序教学法、纲要信息图表教学法、自学辅导教学法、游戏教 学法、学导迁移教学法、三读两疑程序式教学法、单元目标教学法、反馈教学法、结构式教学法、台阶式教学法、 掌握学习教学法、问题教学法、设计教学法、分组教学法、暗示教学法、全息教学法、微型教学法等各式各样的教 法。以培养学生学习能力为宗旨, 目的在帮助学生从学会到会学的各种学法, 也不断涌现。诸如:程序学习法、类比学习法、结构式学习法、举一反三学习法、检索信息式学习法、迁移学习法、联想学习法、定向浏览学习法、四环式 学习法等学法。 二、教学方法的分类 教学方法的分类就是把多种多样的各种教学方法，按照一定的规则或标准，将它们归属为一个有内在联系的体系。 （一）国外学者的教学方法分类模式 1、巴班斯基的教学方法分类 依据是对人的活动的认识, 认为教学活动包括了这样的三种成分，即知识信息活动的组织、个人活动的调整、活动 过程的随机检查。把教学划分为三大类 第一大类：“组织和自我组织学习认识活动的方法” 。 第二大类：“激发学习和形成学习动机的方法”。 第三大类：“检查和自我检查教学效果的方法”。 2、拉斯卡的教学方法分类 分类的依据是新行为主义的学习理论，即刺激——反应联结理论。 （教学方法——学习刺激——预期的学习学方法。 第一种方法：呈现方法。 第二种方法：实践方法。 第三种方法：发现方法。 第四种方法：强化方法。
3、威斯顿和格兰顿的教学方法分类 依据教师与学生交流的媒介和手段，把教学方法分为四大类： 教师中心的方法，主要包括讲授、提问、论证等方法； 相互作用的方法，包括全班讨论、小组讨论、同伴教学、小组设计等方法； 个体化的方法，如程序教学、单元教学、独立设计、计算机教学等； 实践的方法，包括现场和临床教学、实验室学习、角色扮演、模拟和游戏、练习等方法。 （二）中国学者建构的教学方法分类模式 1、李秉德教授主编《教学论》中的教学方法分类。 按照教学方法的外部形态，以及相对应的这种形态下学生认识活动的特点，把中国的中小学教学活动中常用的教学方法分为五类。 第一类方法：“以语言传递信息为主的方法”，包括讲授法；谈话法；讨论法；读书指导法等。 第二类方法：“以直接感知为主的方法”，包括演示法；参观法等。 第三类方法：“以实际训练为主的方法”，包括练习法；实验法；实习作业法。 第四类方法：“以欣赏活动为主的教学方法”例如陶冶法等。 第五类方法：“以引导探究为主的方法”，如发现法；探究法等。 2、黄甫全教授提出的层次构成分类模式。 黄甫全教授认为，从具体到抽象，教学方法是由三个层次构成的，这三个层次是： 第一层次：原理性教学方法。解决教学规律、教学思想、新教学理论观念与学校教学实践直接的联系问题，是教学意识在教学实践中方法化的结果。如：启发式、发现式、设计教学法、注入式方法等。 第二层次：技术性教学方法。向上可以接受原理性教学方法的指导，向下可以与不同学科的教学内容相结合构成操作性教学方法，在教学方法体系中发挥着中介性作用。例如：讲授法、谈话法、演示法、参观法、实验法、练习法、讨论法、读书指导法、实习作业法等。 第三层次：操作性教学方法。指学校不同学科教学中具有特殊性的具体的方法。如语文课的分散识字法、外语课的
圆中的分类讨论(多解问题)
圆中的分类讨论(多解问题) 一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性 方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况． 【例1】已知点A到⊙O的最近距离和最远距离分别是3 cm和9 cm，求⊙O的半径． 1．点A到圆的最近距离是a，最远距离是b，则该圆的直径是__________． 2.已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为______cm． 3.已知?A B C内接于圆O，∠=? O B C3 5，则∠A的度数为_______ 4.已知△ABC中，AB=15，BC=14，△ABC的面积为84，⊙A的半径为13，则点C与⊙A的位置关系是 _____________________________________________. 二、由于圆的对称性引起的不唯一性 方法归纳：平行弦位于圆心O的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和． 【例2】已知，⊙O的直径是10 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，求AB与CD之间的距离． 5．如图，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，则AB和CD的距离为________． 6．在半径为5 cm的⊙O中，如果弦CD＝8 cm，直径AB⊥CD，垂足为E，那么AE的长为________． 7．如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A，B分别为切点，C为⊙O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________． 8．在半径为1的⊙O中，弦AB＝2，AC＝3，那么∠BAC＝________． 6.已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为______． 三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性 方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补． 【例3】弦AB的长等于半径，则AB所对的圆周角等于多少度？ 9．⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝________． 四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性 方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的关键要素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的． 【例4】如图，P为正比例函数y＝3 2x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．求⊙P 与直线x＝2相切时点P的坐标． 10．(无锡期中)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB 为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s 的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问： (1)t为何值时，P，Q两点之间的距离为10 cm? (2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相离？相交？
教学研究的五种有效策略
教学研究的五种有效策略 教学研究有利于促进教师专业发展和改进教学。加强教学研究，可以架起课程理念和教育理论转化为教学行为的桥梁，促进先进教学经验的提炼和传播。为此，我们通过开展专题研讨、经验共享、教学创新、常规完善等不同类型的教学研究活动，对教师的教学全过程进行规范、优化、研究和评定，形成了反思教学、案例评析、教学诊断、互动研讨、教学沙龙等五种有效的教研策略。 一、反思教学 波斯纳指出：没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能成为肤浅的知识。为此，他提出了一个教师成长公式：经验+反思=成长。通过反思教学，教师在一定的教育理论指导下，对过去的教学经验进行回忆、思考、评价，做出新的计划和行动，从而改进教学实践，提高自身素质。为此，我们在培训中，注重反思教学，指引教师进行教研活动。 （一）建立组织，明确分工 在培训过程中，我们要求学校采取互动反思模式，建立组织，明确分工和规则，为开展教研活动奠定基础。 1、将全体教师按年级、学科划分成若干小组，每个小组以6-8人为宜，明确各小组成员的职责。在每次教研活动中，各小组都设组长1人，负责小组教研、讨论的组织调控；记录员1人，负责对小组教研情况和讨
论结果的记录；发言人1人，负责将本组的教研情况和讨论结果向全体组员做介绍；时间控制员1人，掌握每人发言时间不要超时；问题员1人，将本组成员某个方面的问题向学校提出。在不同教研活动中，角色分工可以调换。 2、建立规划，明确程序 在教研讨论中，每个组员都有机会发言。为了按照科学的程序开展反思教学研究活动，我们制定了行为规则和活动规划。 ①在行为规则方面，要求小组成员依次轮流发言，此外还要做个人学习笔记，内容包括本人的观点、本组其他人观点的不同之处、组间交流结果等。 ②在活动规则方面，要求各小组在组长组织下开展教研讨论活动，针对每个教研专题向全体组员介绍本组讨论结果，可以相互辩论。问题员在每轮讨论后将本组的问题向学校提出。 （二）专题教研，反思互动 学校定期确立教学研究专题，要求每个小组进行研究，制订改进措施，完善教学实践，提高教学效率和质量。 1、加强教学前反思研究，重点研究学生的个体差异和课程资源的开发利用。每个成员都要精心设计教案，小组间研究讨论教案的可行性，共同修订教案。
