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基本初等函数Ⅰ的图像与性质

一、指数与对数

1．根式的概念：

①定义：若一个数的n 次方等于),1(*

∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若

a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，

1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；

2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .

②性质：1）a a n

n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n

=；

3）当n 为偶数时，???<-≥==)

0()

0(||a a a a a a n

2．幂的有关概念：

①规定：1）∈???=n a a a a n ( N *， 2）)0(10

≠=a a ， n 个 3）∈=-p a

p p

Q ，4）m a a a n m n m

,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a

a a s

r s

,0(>=?+、∈s Q ），2）r a a a s

r s r ,0()(>=?、∈s Q ），

3）∈>>?=?r b a b a b a r

,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 3．对数的概念：

①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b

=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.

1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，

2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln ②基本性质：

1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N a

a =log

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则

1）N M MN a a a log log )(log +=；2）N M N

a a a log log log -=； 3）∈=n M n M

a n

a (log log R ）.

④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=

N m m a a a

N m m a

1）1log log =?a b b a ， 2）.log log b m

b a n

a m = 二、指数函数的图象与性质

y=a x a>1

图象

定义域 R

值域（0，+∞）

性质

（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0

(2) 当x>0时，01

(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数

三、对数函数的图像与性质 1、对数的概念（1）对数的定义

如果(01)x

a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N

a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 2、对数函数的图象与性质

图象

1a >

01a <<

性

质（1）定义域：（0,+∞）

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞；当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞；当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数

（5）在（0,+∞）上为减函数

（三）幂函数的图像与性质 1、幂函数的定义

形如y=x α

（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

幂函数的性质

y=x y=x 2

y=x 3

y x =

y=x -1

定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且

值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且

奇偶性奇偶

奇

非奇非偶奇

单调性

增

x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减

增增

x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减

定点（1，1）

不等式的解法

1、一元一次不等式

2、一元二次不等式

3、指数与对数类不等式

4、分式不等式

5、高次不等式

6、含绝对值不等式

函数的定义域与值域

求函数定义域时，一般遵循以下原则： a.f(x)是整式时，定义域是全体实数。

b.f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。

c.f(x)是为偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。

d.对数函数的真数大于零；当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。

e.y=tanx 中，x ≠kπ+2

(k ∈Z)； f.零指数幂的底数不能为零。练习：

1.函数f (x )＝x

21-的定义域是

（） A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞)

C ．（－∞，0）

D ．（－∞，＋∞）

2．函数)

34(log 1

)(22-+-=

x x x f 的定义域为

（）

A ．（1，2）∪（2，3）

B ．),3()1,(+∞?-∞

C ．（1，3）

D ．[1，3]

3.函数x

x x x f -+=

0)1()(的定义域是（）

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D. {}10|-≠≠x x x 且 4.x

x x f -+

1)(的定义域是（） A.),1[+∞- B. ),2[+∞ C. )2,1(- D. {}21|≠-≥x x x 且

5.2

4)(3

-+=

x x x f 的定义域是（）

A.),3

2[+∞ B. ?

??≠

32|x x C. ),2[+∞ D. ]1,(--∞ 6. 函数2

456

x y x x -=

-+-的定义域是（）

（A ）{x |x >4} (B)}32|{<3} (D) }3,2,|{≠≠∈x x R x x

7.设21

()32

x f x x x +=

-+的定义域为T ，全集U =R ，则U C T =（）

A ．}21|{≥≤x x x 或 B. {1,2} C.{－1,1,2} D.{x |x <1}或12}

8．函数2

lg(2)

y x x =

-的定义域是（） A.（0，2） B. 1(,)2

+∝ C.（0，1）∪（1，2） D. 1

(,2)2

9.函数2

x y x x +=

+的定义域是（） A.{x ︳x ≠-1} B.{x|x ≠-2} C.{x|x ≠2且x ≠-1} D.{x|x ≠-2且x ≠1且x ≠-1} 10.函数y=(21)log x -23-x 的定义域是（）

A.（

32，1）（1，+∞）B.（21，1）（1，+∞）C.（32，+∞）D.（2

，+∞） 11.函数1

()lg(1)1f x x x

=++-的定义域是( )

A ．(,1)-∞-

B ．（1，+∞）

C ．（-1，1）∪（1，+∞）

D ．（-∞，+∞）

12.若12

()log (21)

f x x =

+，则()f x 的定义域为( )

A.1(,0)2-

B.1(,)2-+∞

C.1(,0)(0,)2-?+∞

D.1

(,2)2

- 13.函数(1)y x x x =

-+的定义域为（）

A.{x|x ≥0}

B.{x|x ≥1}

C.{x|x ≥1}∪{0}

D.{x|0≤x ≤1} 14.函数0.51

log (43)

y x =

-的定义域为

A.(

,1) B(

,∞) C （1，+∞） D. (

,1)∪（1，+∞） 15.函数2

lg(2)32

x y x x -=

-+的定义域是（）

A ．(2,2)-

B ．(2,1)-

C ．(1,2)

D ．(0,1) 16.函数12

y x

x -=+的定义域是（）

A ．[0,)+∞ B.(0,)+∞ C.(,0)(0,)-∞+∞ D.R 17.函数2

16y x x

--的定义域是 .

18.函数f (x )＝lg 1－x 2

的定义域为_________ 19．函数20.5log (43)y x x =

-的定义域为_______________

集合

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，

记作A b ?；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R 。 2．集合的包含关系：

（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；（2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；

（2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 。

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集}|{B x A x x B A ∈∈=?且。

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。}|{B x A x x B A ∈∈=?或并集。练习：

1．(2010年高考广东卷文科1) 若集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，则集合A B = A ．｛0，1，2，3，4｝ B ．｛1，2，3，4｝ C ．｛1，2｝ D ．｛0｝

2．（06安徽理，1）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}

2|,12B y y x x ==--≤≤，则

()R C A B 等于（）

A ．R

B ．{}

,0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．? 3．(2010年高考宁夏卷文科1) 已知集合{}

2,R A x x x =≤∈，{

}

4,Z B x

x x =≤∈

，

则A B =

（A ）()0,2 （B ）[]0,2 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2

4.﹙2011湖北﹚已知U ＝﹛y|y ＝log 2x ，x>1﹜，P ＝????

??y|y ＝1

x ，x>2，则C U P ＝( )

A.??????12，＋∞

B.? ????0，12

C.()0，＋∞

D.(]－∞，0∪????

??12，＋∞ 5．（广东理2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且22

1}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且y x =，则A B ?的元素个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．（2000广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（）

A ．15

B ．16

C ．3

D ．4 7．（2003上海春，5）已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是____ _。 8．（1996全国理，1）已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *

｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（） A ．I ＝A ∪B B ．I ＝（I C A ）∪B C ．I ＝A ∪（I C B ） D ．I ＝（I C A ）∪（I C B ） 9．（2010年高考天津卷文科7）设集合{}

{}|1,,|15,A x x a x R B x x x R =-<∈=<<∈，若A B ?=?，则实数a 的取值范围是 A {}|06a a ≤≤ B {}|2,4a a a ≤≥或

C {}|0,6a a a ≤≥或

D {}|24a a ≤≤

作业：

1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}2,3,4,1,2P Q ==，则()

U P Q = e A ．? B. {}1 C. {}2 D. {}1,2 2．已知集合{|11,}M x x x Z =-≤≤∈,{0,1,2}N =，则M N 为

A. {1}

B. {0,1,2}

C. {|01}x x ≤≤

D. {0,1} 3．函数1

()ln(2)

f x x =

- 的定义域为 .

4．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则 )(B A U

等于

A ．}2{

B ．}5{

C ．}4,3,2,1{

D ．}5,4,3,1{ 5. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+= 则A B 为 ( )

A ．{0,1}-

B ．{1,1}-

C ． {1}-

D ．{0} 6. 若集合A ={1，2 , 3}，若集合B A ?，则满足条件的集合B 有（）个

图

A ．3

B ．7 C.8 D.9

7．函数23

()log (2)

x f x x -=

-的定义域是( )

A.(2,)+∞

B. (2,3)(3,)?+∞

C. [3,)+∞

D. (3,)+∞ 8．设全集{1,2,3,4,5,6,7},{1,2,3,4,5},{3,4,5,6,7},U P Q === ()U P C Q 则=（）

A ．{1,2}

B ．{3,4,5}

C ．{1,2,6,7}

D ．{1,2,3,4,5} 9．设集合{

}

{}

9,14M x x N x x =>=-<<，则M N 等于( ) A. {}31x x -<<- B.{}34x x << C. {}13x x -<< D. {}34x x -<< 10.已知集合{

}

3|2

≥=x x M ，下列实数a 中，符合M a ?的是 A ．2-=a B ．1-=a C ．2=a D ．3=a 11.函数()()lg 43

x f x x -=

-的定义域为_____

12．设集合A={x ln(1)y x =-}，集合B={y

2y x =}，则A B = ( )．

A ．[0,1]

B ．[0,1)

C ．(,1]-∞

D ．(,1)-∞ 13．设U R =,2

{|0}M x x x =-≤,函数1

()1f x x =-的定义域为N ,则M ∩N=（） A ．[0,1)

B ．(0,1)

C ．[0,1]

D ．{}1

14. 已知全集U =R ，集合{}

|230A x x x =-->，{}|24B x x =<<，那么集合

(C )

U A B = ( ) A ．{}|14x x -≤≤ B ． {}|23x x <≤ C ． {}|23x x ≤< D ．{}|14x x -<<

正切函数的性质与图像教学设计

《正切函数的性质与图像》的教学设计一.教材分析 1.地位与作用《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。 2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。二．学情分析通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.知识目标： 1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标： 1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法 2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点重点：正切函数的图象及其主要性质。难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题教学模式：启发、探究式发现教学. 四．流程设计（一）.复习引入：（1）问题：如何用正弦线作正弦函数图像呢？（2）类比：利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan

(完整版)六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(