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第七章静电场中的导体与电介质

59

第七章 静电场中的导体与电介质

§7-1 导体和电介质

【基本内容】

一、导体周围的电场

导体的电结构:导体内部存在可以自由移动的电荷,即自由电子。

静电平衡状态:导体表面和内部没有电荷定向移动的状态。

1、导体的静电平衡条件

(1)导体内部场强处处为零0=内E

; (2)导体表面的场强和导体表面垂直。 2、静电平衡推论

(1) 静电平衡时,导体内部(宏观体积元内)无净电荷存在; (2) 静电平衡时,导体是一个等势体,其表面是一个等势面。 3、静电平衡时导体表面外侧附近的场强

εσ=

E

4、静电平衡时导体上的电荷分布

(1) 实心导体:电荷只分布在导体表面。

(2 (3)空腔导体(腔内电荷代数和为q ):内表面带电q -,导体外表面的电荷由电荷的守恒定律决定。 5、静电屏蔽

导体上电荷分布的结果,使空腔内部电荷的运动不影响导体外部的电场;导体外部电荷的运动,不影响导体空腔内部的电场。

二、电介质与电场

1、电介质的极化

(1)电介质的极化:在外电场作用下,电介质表面和内部出现束缚电荷的现象。 (2)极化的微观机制

电介质的分类:(1)无极分子电介质——分子的正、负电荷中心重合的电价质;(2)有极分子电介质——分子的正、负电荷中心不重合的电介质。

极化的微观机制:在外电场作用下,(1)无极分子正、负电荷中心发生相对位移,形成电偶极子,产生位移极化;(2)有极分子因有电偶矩沿外电场取向,形成取向极化。 2、电介质中的电场 (1)电位移矢量

E D

ε=

60 其中ε——介电质的介电常数,0εεεr =,r ε——介电质的相对介电常数。 (2)有电解质时的高斯定理

∑?

=?0q S d D S

,式中∑0q 指高斯面内自由电荷代数和。

【典型例题】

【例7-1】三个平行金属板A 、B 和C ,面积都是200cm 2

,A 、B 相距4.0mm ,A 、C 相距2.0mm ,B 、C 两板都接

第七章静电场中的导体与电介质

第七章静电场中的导体与电介质

地,如图所示。如果使A 板带正电3.0×10-7

C ,略去边缘效应。 (1)求B 板和C 板上的感应电荷各为多少? (2)取地的电位为零,求A 板的电位。 【解】(1)由图可知,A

S Q /21=+σσ

(1)

A

2211d E d E U A ==

(2) 即

20

2101d d εσ

εσ= 所以

221212

1

σσσ==

d d (3)

将(3)式代入(1)

S Q /31=σ

(4)

由(4)式可求得B 板上的

C Q S Q 7110.13/-?-=-=-=σ

同理可得C

C Q S Q 7220.23/2-?-=-=-=σ

(3)由(2)式可求得A 板上的电位为

V d S

Q

d d E U A 310101111025.23?===

=εεσ 【讨论】导体接地的含义主要有两点:(1)导体接地后与地球同电势,一般定义为电势零点。

(2)带电导体接地,接地线提供了与地球交换电量的通道,至于电荷向哪流动,取决于导体接地前的电势是高于大地,还是低于大地。当导体的电势高于大地时,接地后将有正电荷由导体流向大地,直到导体与大地电势相等为止。

【例7-2】 半径为R ,带电量为q 的金属球,浸于相对介电常为εr 的油中。求: (1) 球外电场分布。 (2) 极化强度矢量。

(3)金属球表面油面上的束缚电荷和束缚电荷面密度。 【解】 (1)求电位移矢量

+

x

图7.1

例7-1图

B C

例7-2图

+

μ<1

抗磁质μ>>1

铁磁质y

μ=1真空中Q 2

μ>1

顺磁质Q 1

r

R

++

++

A Q

2

d d 1σ1

σ2

61

取半径为r 的球面为高斯面,则

=

?=?=?=?∑?

r r q D q r D q

q r D S d D S

2

20

2444πππ

(2)求电场强度

由介质性质方程E E D r

εεε==0 ∧=

r r q E r 2

04επε

(3)求极化强度矢量

∧-=-=r r q E P r r r

2

04)1()1(πεεεε

(4)求束缚电荷及束缚面电荷密度

2/

4)1(cos r

q P P n P r r πεεθσ--=-==?=

q r dS r q S d r r q S d P q r S r r S r r )11

(4)1(4)1(222'

-=-=?--=?-=???∧επεεπεε 【讨论】电介质问题求解方法:所涉及的物理量:q P E D '',,,.,σ

求解方法:(1)求电位移矢量∑?=?0q S d D S

,(2)求电场强度E E D

r

εεε==0,(3)求极化强度矢量

E P r )1(0-=εε,(4)求束缚电荷面密度θσcos /

P n P =?= ,(5)求束缚电荷??-='S d P q 。

【分类习题】

【71】 在靠近地面处场强垂直于地面向下,大小为100C N /;在离地面1.5km 高处,场强垂直于地面向下,大小为25C N /。求从地面到此高度大气中电荷平均体密度;假设地面处场强完全由均匀分布在地表面的电荷产生,

求地表面上电荷面密度。

提示:将地球表面视为大导体平面。

【7-2】 面电荷密度为σ的大导体平板,置于场强

为0E 的均匀外电场中,且平板表面垂直于场强0E

,如

图7-2。求平板附近左右两侧的场强。

【7-3】 两平行放置的大导体平板(面积均为S )分别带电1Q 和2Q ,如图7-3。

(1) 求A 、B 、C 、D 四表面的电荷面密度。

(2) 如将右板接地,求A 、B 、C 、D 四表面的电荷面密度。

+

x 例7-1图B

A

C

例7-

+

σ2

σ1

μ<1μ=1Q 2

μ>1

Q

Q 1

ε

U

+

+

+

+

S

d 2

d 1

例7-2图

R

d S

r

d /2

d /2

R 1

R 2

r

Q 2

图7-2图7-3

Q 1

B C A D

E 0

σ

62 【7-4】有两块面积均为S 的相同金属板,两板间距离为d ,S d <<2

,其中一块金属板带电量为q ,另一块金属板带电量为q 2,求两板间的电势差。

【7-5】在半径为R 的金属球之外包有一层均匀介质层,介质层的外半径为/R 。设电介质的相对介电常数为r ε,金属球带电为Q ,求: (1) 介质层内外的场强分布; (2) 介质层内外的电势分布。

§7-2 电容 电容器

【基本内容】

一、孤立导体的电容:表征导体容电能力的物理量。

U

q C =

二、电容器及其电容

实际孤立导体是不存在的,导体周围有其它物体时,其电势将发生变化,从而其电容随周围物体的性质而变化。 电容器的电容:B

A

U U q C -=

电容器中一般充满电解质,电解质的作用有两个: (1) 增大电容;

(2) 增强电容器的耐电压能力。

三、电容器的串联与并联

串联:n

C C C C

11112

1

++= 并联:n C C C C ++=21

四、常见电容器的电容

1、平行板电容器的电容 d

S C r εε0=

2、球形电容器的电容

122104R R R R C r -=

επε

3、柱形电容器的电容 )

/ln(2120R R L C r επε=

五、电场的能量

1、电容器的储能

222

121CU C Q W ==

63

2、电场的能量、能量密度

电场的能量密度:E D E e ?==2

1212εω 电场的能量:?=

V

e dV W ω

【典型例题】

【例7-3】平行板电容器(极板面积为S ,间距为d )中间有两层厚度各为1d 和2d 的均匀介质,介电常数分别为1ε和2ε,如图例7-3。试求其电容。

【解】本题可用两种方法求解

法一;按定义

设极板带自由电荷Q ,由介质中的高斯定理,介质内的电位移大小S

Q

D =

,方向垂直于极板,则介质1ε和2ε中的场强分别为S Q E 11ε=和S

Q

E 21ε=,方向垂直于极板,极板间的电

势差为

2

1122122

112211)()(εεεεεεS d d Q d d S Q d E d E U +=+=

+= 按定义

1

22121εεεεd d S U Q

C +==

法二:按电容器的连接

将整个电容器看成两个充满介质1ε和2ε的电容器的串联,两个电容器的电容分别为

1

11d S

C ε=

,2

22d S

C ε=

由串联公式

2

1111C C C += 可求得上面答案。

按定义求电容的方法:(1)设两极板分别带电+q 、-q ,(2)求两极间的电场,(3)求两极间的电势差,(4)求电容。

【例7-4】 求半径为R 。、体电荷密度为ρ的均匀带电球体的静电能。

【解】 以半径为r 的球面为高斯面,则:

2

4r E S d E S

π?=???

当r>R 时:

d 2

d 1d

例7-3图

ε1

ε2

+++++++++

--------+Q

-Q

64 ∧==

∑r

r R E R q

2

03333

4

ερρ

π内

当r

∧==

∑r

r E r q

333

4

ερρ

π内

电场能量密度: 22

1E e εω=

当r

218ερωr =

当r>R 时:4

06

218r R ερω=

电场能量

520

2

4

62020220

154418418R dr r r R dr r r dV

dV dV W R R

R

R e ρεππερπερωωω=?+?=+==?????∞∞

【例7-5】 如图例7-5所示平行板电容器,已知极板面积为S ,极板间距为d ,其间充满介电常数为r ε的电解质。(1) 若保持极板间电量Q 不变;(2)若保持极板电压U 不变,把电介质从电容器中全部抽出,外力作功各为多少?

【解】:(1)保持极板电量不变时

C

Q W 2

21=

抽出电介质前: S

d

Q W d

S

C r r εεεε0210121,==

抽出电介质后: S

d Q W d S C 0

210221,εε=

= 外力作功: 0)1

1(210212>-=-=r

S d Q W W A εε外

(2)保持极间电压不变时

22

1

CU W =

+例7-1图B

A C 例7-2图+σ2σ1

Q 2

Q

Q 1

ε

+

+

+

+

d

d S

S

d 2d 10

R

r

例7-5图

65

抽出电介质前: 2

02112121U d S U C W r εε== 抽出电介质后: 202

222121U d

S U C W ε==

电容器储能的改变量:

0)1(22

012<-=

-=?r d

SU W W W εε

电介质抽出后,极板电量改变:

0)1(012<-=

-=?r d

SU

U C U C Q εε

电源作功:0)1(2

0<-=?=r d

SU QU A εε电源

由能量守恒定律:

)1(2

0>-=

-?=??=+r d

SU A W A W A A εε电源外电源外

【分类习题】

【7-6】平行板电容器电容pf C 100=,面积2

100cm S =,两板间充满相对介电常数为=r ε6的云母片,将它接到V 50电源时,求:

(1) 云母片中场强大小; (2) 导体板上自由电荷。

【7-7】来顿瓶是一内外贴有金属膜的圆柱形玻璃瓶。设玻璃的相对介电常数为 5.0,击穿电场为

m V /105.17?。如玻璃瓶内径为cm 8,玻璃厚为mm 2,金属膜高为cm 40。求:

(1) 来顿瓶的电容。

(2)它最多能储存多少电量?(提示:内径处最先达到击穿电场)。

【7-8】两根无限长平行直导线相距为d ,半径均为R ()d R <<。求该导体组单位长度的电容。

【7-9】分子的正负电荷中心重合的电介质叫做 电介质,在外电场的作用下,分子的正负电荷中心发生相对位移,形成 。

【7-10】当平行板电容器板间为真空时,其电容为0C ,板间场强为0E

,电位移为0D 。(1)如两板与一端电

压相连,再充满相对介电常数为r ε的电介质,则电容为 ,场强为 ,电位移为 ;(2)如充电后将电源断开,再充满(1)中电介质,则电容 为,场强为 ,电位移为 。

【7-11】平行板电容器极板间充满相对介电常数为r ε的电介质,若极板上自由电荷面密度为σ,求电介质的电位移和场强。

66 【7-12】 电容器1和2串联后充电。(1)保持连接电源,在电容器1中充满电介质,则电容器2上的电势差将 ;电容器2上电量将 。(2)断开电源后,仍在电容器1中充满电介质,电容器极板间的电势差将 ;电容器2极板上的电量将 (填增加、减少、不变)。

【713】 空气平行板电容器,极板面积S ,极板间距d 。在两板间平行插入一相等面积的、厚度为t ()d t <的

导体板。求其电容,并讨论导体板在极板间的相对位置对电容值有无影响。

【7-14】 面积为S ,极板间距为d 的平行板电容器,如图7-14。B 板接地,保持A 板电势为0U ,把一相等

面积的带电Q 的导体薄板C 平行地插入两板中间,求C 板的电势 。

【7-15】 两空气平行板电容器1和2,并联后充电。(1)如保持极板与电源连接,在电容器1中充满电介质,则两电容器的总电量将 ,电容器2的电量将 ;(2)如断开电源,在电容器1中充满电介质,则两电容器的总电量将 ,电容器2的电量将 (填增大、减少、不变)。 【7-16】 半径为a 和b 的导体球相距甚远,今用一导线连接并给系统带电

Q 。求:

(1) 两球上分配的电荷各为多少? (2)此系统的电容。

【7-17】 用力将电介质从电容器中拉出,图7-17(a )(与电源连接)与(b )(充电后电源断开)两种情形,

电容器的静电能分别将 和 (填增加、减少、不变)。

【7-18】 真空中半径为R 、带电为Q 的导体球,求其静电能。

【7-19】 两电容器电容之比2:1:21=C C 。(1)将它们串

联后接到稳恒电源充电,其电场能之比为 ;(2)如果并联充电,其电场能之比为 ;(3)上述两种情形的总

电场能之比为 。

【7-20】 一电容器由长为L 的两个同轴圆筒组成,内外筒半径分别为a 和b ,且b L >>。两筒间充满相对介电常数为r

ε的电介质,内外筒带电分别为Q +和Q -。求:

(1) 此电容器的电容。(2)电容器储存的能量。

【7-21】 球形电容器,内外球壳半径分别为1R 和2R ,其间充满相对介电常数为r ε的电介质,两球壳电势差为U 。求:(1)电容器的电容。(2)电容器储存的能量。

【7-22】 相距甚远的、半径均为cm 10的两导体球,分别充电至V 200和V 400,然后用一细导线连接使其

电势相等。求等势过程静电力的功。

【7-23】 空气平行板电容器,极板面积为S ,两极板间距为d ,如极板间电势差为U 。求两极板间引力。 【7-24】 电容为C 的空气平行板电容器,极板间距为d ,充电后极板间作用力为F ,求: (1) 极板间电势差;(2)极板上电荷量。

分类习题答案

d

/2d

/2图

7-3Q

1

Q 2

B

D

C

图7-14图

7-15(a )A

B

C d /2

E 0

d /2

7-2

图7-3Q 1

Q 2

B A D

C 图7-12(b)

C

(a)B

A

图7-17

67

【7-1】 (1)正电荷,2103

13/1085.8).2(,/104.4m C m C --??【7-2】 0

0002,2εσεσ+-

E E 【7-3】

0,,,0;2,2,2,21121122121S Q S Q S Q Q S Q Q S Q Q S Q Q -+--+【7-4】 S qd 0

2ε 【7-5】 (1))(0R r <,

)(4/2

0R r R r

Q r <<επε,

)(4/2

0R r r

Q >πε

(2)

)(4)11(

4/0/0R r R Q R R Q r

<+-πεεπε,)(4)11(4//0/0R r R R

Q

R r Q r <<+-πεεπε,)(4/0R r r

Q >πε

【7-6】 (1)m V /1042.93

? (2)C 9

105-?【7-7】 F 9

1028.2-?,C 5

107.6-? 【7-8】

R

d

ln 0πε【7-9】 无极,偶极子【7-10】 000,,D E C r r εε,000,/,D E C r r

εε

【7-11】 r εεσ

σ0,

【7-12】 (1)增加,增加。(2)不变,不变【7-13】 ,0t

d S -ε无 【7-14】

S

Qd U 0042ε+【7-15】 (1)增大,不变;(2)不变,减小 【7-16】 Q b

a b Q Q b a a Q b a +=+=

,).1(,)(4).2(0b a +πε【7-17】 减小,增加 【7-18】 R Q 02

8πε【7-19】 (1)2:1,(2)1:2,(3)2:9【7-20】 (1)a

b L r ln 20επε,(2)a b

Q r ln 402επε

【7-21】(1)122104R R R R r -επε,(2)1

222102R R U R R r -επε【7-22】 J 6

10-【7-23】 2

202d SU ε 【7-24】 (1)

C

dF 2;(2)FdC 2