中考数学动点问题专题讲解

中考动点专题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式

例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).

(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:

H

M N

G P

O

A

B

图1

x

y

二、应用比例式建立函数解析式

例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. 解:

例3(2005年2上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP.

(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.

(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(

A

E D C B 图2

A

3(2)

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.

解:

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．

1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，

求BE 的长；

A

B

C

O 图8

H

C

A

B

C

D

E

O

l

A ′

A

B

C

D

E O l

F （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一

线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,

当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切

问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用

方程思想来求解．

[区分度性小题处理手法]

1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程．

2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 解：

（二）线动问题

在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝

4

1

AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；

②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-

x 4

3

长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点]

本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法]

1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．

2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.

（三）面动问题

如图，在ABC ?中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .

（1）试求ABC ?的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设x AD =，ABC ?与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关

于x 的函数关系式，并写出定义域；

（4）当BDG ?是等腰三角形时，请直接写出AD 的长． [题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时，正方形DEFG 整体动起来，GF 边落在BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法]

图3-5

图3-4

图3-3

图3-1

C C

C C

C

1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．

2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 解：

C

一、 动手实践，操作确认

例4（2003年广州市中考试题）在⊙O 中，C 为弧AB 的中点，D 为弧AC 上任一点（与A 、C 不重合），则

（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB

(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定

分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC 、CB 、AD 、DB 的长度，可以尝试换几个位置量一量，得出结论（C ）

例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和CD 与大圆分别交于点B 、E ，则下列结论中正确的是（ * ） （A ）AB DE = （B ）AB DE >

（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B ）

本题也可以可以证明得出结论，连结DO 、EO ，则在三角形OED 中，由于两边之差小于第三边，则

OE —OD

二、 建立联系，计算说明

例6：如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 . 分析：能否将DN 和NM 进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD 为正方形，因此连结BN ，显然有ND=NB ，则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了，一般情况下：BN+NM ≥BM,只有在B 、N 、M 三点共线时，BN+NM=BM ，因此DN+MN 的最小值为BM=52

2

=+CM BC

本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。

例7：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，OA ⊥BC 于O,

点E 和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。 判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.

?AEF 的面积是否随着点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。 （即例3的第2、第3问）

分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF 与AE 长的函数关系式，如设AE=x ，则AF=x -22，

而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积之比=x 2

2，而

三角形AOB 的面积=2

21

=??OA OB ，则三角形AOE 的面积

=2x

，同理三角形AOF 的面积=222x -，因此四边形AEOF 的面积=2

2)

22(=-+x x ；即AEOF 的面积不会随点E 、F 的变化而变化，是一个定值，且为2.

当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE 与三角形COF 全等，则四边形AEOF 的面积与三角形AOC 的面积相等，而AOC 的面积为2，因此AEOF 的面积不会随点E 、F 的变化而变化，是

B

M

N

D C

B

A

F

E

O

C

B

A

C

D 一个定值，且为2.

本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.

第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, ?AEF 的面积=1

)2(21

)22(212+--=-x x x ,又

x 的变化范围为220<

本题也可以根据三角形AEF 与三角形OEF 的面积关系确定?AEF 的面积范围:

不难证明?AEF 的面积≤?OEF 的面积，它们公用边EF ，取EF 的中点H ，显然由于?OEF 为等

腰直角三角形，则OH ⊥EF ，作AG ⊥EF ，显然AG ≤AH=AG （=EF

21），所以?AEF 的面积≤?OEF 的面积，而它们的和为2，因此<0?AEF 的面积1≤.

本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：

比如，比较线段EF 与AO 长度大小等（可以通过A 、E 、O 、F 四点在以EF 为直径的圆上得出很多结论）

例8：如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB

边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t 秒

表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么：

（1）当t 为何值时，三角形QAP 为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？

分析：（1）当三角形QAP 为等腰三角形时，由于∠A 为直角，只能是AQ=AP ，建立等量关系，

t t -=62，即2=t 时，三角形QAP 为等腰三角形；

（2）四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积

=6

)212(21

1221612?--??-?x x =36，即当P 、Q 运动时，四边形QAPC 的面积不变。

（3）显然有两种情况：△PAQ ∽△ABC ，△QAP ∽△ABC ，

由相似关系得61262=-x

x 或126

62=

-x x ，解之得3=x 或2.1=x 建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函

数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解：

练习1：2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）

已知?ABC 为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB 为直角，P 是AB 边上的动点（与点A 、B 不重合），Q 是BC 边上动点（与点B 、C 不重合）

（1） 如图，当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点，求线段CP 的长。

Q

P

C

B

A

当PQ 与AC 不平行时，?CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

第1问很易得出P 为AB 中点，则CP=2132

1=

AB 第2问：如果?CPQ 为直角三角形，由于PQ 与AC 不平行，则∠Q 不可能为直角

又点P 不与A 重合，则∠PCQ 也不可能为直角，只能是∠CPQ 为直角，即以CQ 为直径的圆与AB 有交点，设CQ=2x ，CQ 的中点D 到AB 的距离DM 不大于CD ，

AB DB AC DM =，即13125x DM -=，所以13)12(5x DM -=，由x CD x DM =≤-=13)12(5，即310

≥x ，而6

320

<≤CQ 时，?CPQ 可能为直角三角形。

当然还有其它方法。同学们可以继续研究。

练习2：（广东省2003年中考试题最后一题）在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O

为BC 的中点，

（1）写出点O 到△ABC 的三个顶点 A 、B 、C 距离的大小关系。 （2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

该题与例3类似，同学们可以仿 本大类习题的共性：

1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．

2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值．

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.

1 以双动点为载体，探求函数图象问题

例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD 中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点

P ，

Q 同时从点B

B

出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.

(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；

(2)写出图3中M，N两点的坐标；

(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.

评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.

2 以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)求∠BAO的度数.

(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.

(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.

(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.

解(1)∠BAO=60°.

(2)点P的运动速度为2个单位/秒.

评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P的速度为2，然后建立S 与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.

3 以双动点为载体，探求存在性问题

例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.

4 以双动点为载体，探求函数最值问题

例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，

它们分别从点A 、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E 作EH 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于H ；过F 作FG 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于G ，连结HG 、EB.设HE 、EF 、FG 、GH 围成的图形面积为S 1，AE 、EB 、BA 围成的图形面积为S 2(这里规定：线段的面积为0).E 到达C ，F 到达A 停止.若E 的运动时间为x(s)，解答下列问题： (1)当0

(2)①若y 是S 1与S 2的和，求y 与x 之间的函数关系式； (图10为备用图) ②求y 的最大值.

解 (1)以E 、F 、G 、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD 的边长为82，所以AC=16，过B 作BO ⊥AC 于O ，则OB=89，因为AE=x ，所以S 2=4x ，因为HE=AE=x ，EF=16-2x ，所以S 1=x(16-2x)， 当S 1=S 2时， 4x=x(16-2x)，解得x 1=0(舍去)，x 2=6，所以当x=6时， S 1=S 2. (2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x ，

当8≤x≤16时，AE=x ，CE=HE=16-x ，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以S 1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y 的最大值为50. 当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当x=13时，y 的最大值为82. 综上可得，y 的最大值为82.

评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x

x 41

y 2+-=）

⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．

为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、

B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．

的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，

之后利用相似来列方程求解。

练习1、已知抛物线2y ax bx c =++

经过02P E ??

? ???

，及原点(00)O ，．

（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．

得抛物线的解析式为223y x x =-） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形

OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？

练习2、如图，四边形OABC 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D

处。已知折叠CE =3tan 4

EDA ∠=

。 （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；

（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴

所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

练习3、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y a x b x c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和

(312)--，．

（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．

得抛物线的解析式为223y x x =-++）

（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若

不存在，请说明理由；(1

0)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与

ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．

练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=

，点A C ，的坐标分

别为(30)A -，

，(10)C ，，3

tan 4

BAC ∠=．

O

练习3图

练习4图

（1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，

B (13)，，3944

y x =+

（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不

包括全等），并求点D 的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，

设A P D Q m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB

△相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．

参考答案

例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x (a y 2+-= ∵抛物线过原点， ∴1)20(a 02+-= ∴4

1

a -

=. 抛物线的解析式为1)2x (4

1y 2+--=,即x x 4

1y 2+-=

⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB,

由1)2x (4

1

02+--=得4x ,0x 21==,

∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6

将x ＝6代入1)2x (4

1

y 2+--=,得y ＝－3,

∴D(6,－3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(－2,－3),

当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A

点,此时D 点的坐标为(2,1)

⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO.

若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP 的解析式为x 2

1y -= 由x x 4

1

x 212+-=-

, 得6x ,0x 21== .∴P(6,－

3)

x

过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, ∴PB ＝13≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO 与△BAO 不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 练习1、解：（1）由已知可得：

3375

04

20a a c ?=?

?+

=??=??

解之得，203a b c =-==，．

因而得，抛物线的解析式为：2233

y x x =-+． （2）存在．

设Q 点的坐标为()m n ，

，则223n m =-

+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△

=

223m +=

解之得，12m m =．

当1m =2n =，即为Q

点，所以得Q

要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△

，则有33n -=

，即223333m +=

解之得，12m m ==

m 时，即为P 点，

当1m =3n =-

，所以得3)Q -． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．

Q

点的坐标为3)-．

（3）在Rt OCP △

中，因为tan CP COP OC ∠=

=30COP ∠=

．

图1

当Q

点的坐标为时，30BPQ COP ∠=∠= ． 所以90OPQ OCP B QAO ∠=∠=∠=∠= ．

因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形．

又在Rt OAQ △

中，因为tan QA QOA AO ∠=

=

30QOA ∠= ． 即有30POQ QOA QPB COP ∠=∠=∠=∠= ． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ ∠=∠= ， 所以OQA OQP △≌△．

练习2

解：（1）OCD △与ADE △相似。

理由如下：

由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，

1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠ ，

又90COD DAE ∠=∠=∵°，

OCD ADE ∴△∽△。

（2）3

tan 4

AE EDA AD ∠==∵，∴设AE=3t ， 则AD=4t 。

由勾股定理得DE=5t 。

358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴。

由（1）OCD ADE △∽△，得

OC CD

AD DE

=， 845t CD t t

=∴

， 10CD t =∴。

在DCE △中，2

2

2

CD DE CE +=∵，

图2

222(10)(5)t t +=∴，解得t=1。

∴OC=8，AE=3，点C 的坐标为（0，8），

点E 的坐标为（10，3）， 设直线CE 的解析式为y =kx +b ，

1038k b b +=??=?，∴，解得128k b ?

=-???=?，

，

1

82

y x =-+∴，则点P 的坐标为（16，0）。

（3）满足条件的直线l 有2条：y =－2x +12， y =2x －12。

如图2：准确画出两条直线。

练习3

解：（1） 二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，

和(312)--，， ∴由1242393212.

b

a a

b

c a b ?-=??++=??-+=-?

?

，， 解得123.a b c =-??

=??=?，，

∴此二次函数的表达式为 223y x x =-++．

（2）假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．

在2

23y x x =-++中，令0y =，则由2

230x x -++=，解得1

13x x =-=，

(10)(30)A B ∴-，，，．

令0x =，得3y =．(03)C ∴，

． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．

点B 的坐标为(30)，

，点C 的坐标为(03)，，点A 的坐标为(10)-，．4345.

AB OB OC OBC ∴===∠=

，，

BC ∴==．

要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△， 已有B B ∠=∠，则只需

BD BO BC

BA

=

， ①

或

.BO BD BC

BA

=

②

成立．

若是①，则有BO BC BD BA

=

=

=

． 而45OBC BE DE ∠=∴= ，．

∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得2

2222

24BE DE BE BD ?+=== ??

．

解得

9

4

BE DE ==（负值舍去）． 93

344

OE OB BE ∴=-=-=．

∴点D 的坐标为3944??

???

，．

将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．

∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．

［或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为3y x =．此时易知BOD BAC △∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立33y x y x ==-+，求得点D

的坐标为3944??

???

，．］

若是②，则有

BO BA BD BC

=

=

= 而45OBC BE DE ∠=∴=

，．

∴在Rt BDE △中，由勾股定理，得2222

22BE DE BE BD +===．

解得

2BE DE ==（负值舍去）．

321OE OB BE ∴=-=-=．

∴点D 的坐标为(12)，

． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．

∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．

∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的

三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944??

???

，或(12)，．

（3）设过点(03)(10)C E ，，

，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ． 将点(1

0)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． ∴此直线的函数表达式为33y x =-+．

设点P 的坐标为(33)x x -+，

，并代入223y x x =-++，得2

50x x -=． 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．

512x y ∴==-，． ∴点P 的坐标为(512)-，

． 此时，锐角PCO ACO ∠=∠．

又 二次函数的对称轴为1x =，

∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，

． ∴当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；

当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠； 当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．

练习四

解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±

令0x =，得1y =-

∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-

（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45

∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45

过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形 令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +

∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2

11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3

∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11

2123422

??+??= (3)． 假设存在

∵∠P AB =∠BAC =45

∴P A ⊥AC

∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90

在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC

在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A

P= 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有

AG PA =MG

CA

∵A G=1m --，MG=2

1m -

2=

解得11m =-（舍去） 22

3

m =

（舍去） (ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有AG CA =MG

PA

即

2=

解得：1m =-（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-

② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时有

AG PA =MG

CA

∵A G=1m +，MG=2

1m -

∴

2=

解得11m =-（舍去） 243m = ∴M 47

(,)39

(ⅱ) 当?M A G ∽?P CA 时有

AG CA =MG

PA

即

2=

解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)

∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?P CA 相似 M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39

，(4,15)

练习5、

解：（1） 点(30)A -，

，(10)C ， 4AC ∴=，3

tan 434

BC BAC AC =?=

?=∠，B 点坐标为(13)， 设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，

由0(3)3k b k b

=?-+??=+? 得34k =，94b =∴直线AB 的函数表达式为3

4y x =+（2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ，

在

Rt ABC △和Rt ADB △中，

BAC DAB = ∠∠ Rt Rt ABC ADB ∴△∽△，

D ∴点为所求又4

tan tan 3

ADB ABC ==

∠∠， 49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷

=∠134OD OC CD ∴=+=，1304D ??∴ ???

， （3）这样的m 存在

在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB =如图1，当PQ BD ∥时，APQ △则

1334135

34

m m

+

-=+

，解得259m =

图1

图2

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y

C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H

中考专题复习动点问题教学设计

中考专题复习《动点问题》教学设计 【学情分析】动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论【教学目标】知识与技能：1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题；2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。过程与方法：1、利用分类讨论的方法分析并解决问题；2、数形结合、方程思想的运用。情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。【教学重点】根据动点中的移动距离，找出等量列方程。【教学难点】1、两点同时运动时的距离变化；2、运动题型中的分类讨论【教学方法】教师引导、自主思考【教学过程】一、动点问题的近况：1、动态几何图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以

及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。2、三年中考概况；近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约．3、解题策略和方法：“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。解决动点问题的关键是“动中求静”.动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段

中考数学动点问题十大题型

1、如图，已知ABC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中 AB AC △中，10 点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △ 与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速 度为多少时，能够使BPD △全等？ △与CQP （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？

2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，364y x =-+A B 、P Q 、O A Q OA

速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动． （1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式； （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 485S P O P Q 、、M

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

初三数学动点问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。

(完整版)中考数学动点问题专题讲解

动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

中考数学综合题专题复习[几何中的动点问题]专题解析

中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析 【真题精讲】 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10，梯形的高为4 ?动 点M 从 B 点出发沿线段B C 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段C D 以 每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t （秒）? （1）当MN I AB 时，求t 的值； 2）试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分 析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间， 就本题而言，M N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些 动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所 以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自 然得出结果。 【解析】 解：（1 ）由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形ABED 是平行四边形. ??? AB II DE , AB II MN . ??? DE II MN . （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MN 放在三角形 ? MC NC EC CD （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=C ^两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三 （2）分三种情况讨论： ①当MN NC 时，如图②作 NF BC 交BC 于F ,则有MC 2FC 即.（利用等腰三角形 底边高也是底边中线的性质） .4丄?解得t 50 . 10 3 5 17 【思路分析2】第二问失分也是最严重的， 很多同学看到等腰三角形， 理所当然以为是 MN=NC 角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了 较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】

最新中考数学复习专题《几何图形中的动点问题》

运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为(　D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 (　D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2

当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a

中考数学压轴题专题：动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析 汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s 的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）． （2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN 上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况：

①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE 上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： ①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。 DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。 ∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。 ∴FM=AM=t．

2017中考数学备考专题复习动点综合问题含解析

1 / 20 动点综合问题 一、单选题（共12题；共24分） 1、（2016?安徽）如图，Rt △ ABC 中，AB 丄BQ AB=6, BC=4 P 是厶ABC 内部的一个动点，且满足 / PAB 2 PBC 则线段 CP 长的最小值为（ ） B 、 2 C.]+1 C 、 9 D — 3、（ 2016?十堰）如图，将边长为 10的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是AB 边上 的动点（不与端点 A , B 重合），作CDLOB 于点D,若点C, D 都在双曲线y= 上（k > 0, x > 0）, C D 5、（ 2016?宜宾）如图，点 P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点, AC 和 BD 的距离之和是（ B 、2 4、（2016?娄底）如图，已知在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90，点 C 不重合），作 BE 丄AD 于E , CF 丄AD 于F ,贝U BE+CF 勺值（ D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B ） 13 2、（2016?台州）如图，在△ ABC 中，AB=10 AC=8 BC=6以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点P, Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接 PQ 贝U PQ 长的最大值与最小值的和是（ ） C 6 D 7.2 不变 增大 减小 先变大 再变小 矩形的两条边 AB BC 的长分别是 ） D 9 B 5

6、( 2016?龙岩)如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1, AF=2,若P为对角线BD上一动点, 则EP+FP的最小值为( ) A、1 B、2 C、3 D 4 O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点 7、(2016?漳州)如图，在△ ABC中，AB=AC=5 BC=8, D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段 AD长为正整数，则点D的个数共有( 沿折线A- B- M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s .设P点的运动时间为P的 运动路径与OA OP所围成的图形面积为S (cm?),则描述面积S (cm2)与时间t P由A开始 t (s)，点 (s)的关系 的图象可以是( ) D______________ C A 、 B 、 C 、 D 5个 4个 3个 2个 8、(2016?荆门)如图，正方形ABCD的边长为的 方向运动到点C停止，设点P的运动路程为关于 x (cm)的函数关系的图象是( ) 2cm,动点P从点A出发，在正方形的边上沿A T B-C x( cm)，在下列图象中，能表示△ ADP的面积y( cm2)

最新数学中考专题复习——《动点问题》教案

中考专题复习——动点问题 【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】 知识与技能： 1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题； 2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）； 3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。 过程与方法： 1、利用分类讨论的方法分析并解决问题； 2、数形结合、方程思想的运用。 情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。 【教学难点】 1、两点同时运动时的距离变化； 2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】 一、动点问题的近况： 1、动态几何 图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。

中考数学压轴题专题 动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

中考动点问题专题 教师讲义带答案

中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半

径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D．

中考数学动点综合问题

动点综合问题一 【例1】（2016广东梅州）如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛 物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为． （3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围． 【例2】（2016四川攀枝花）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心 Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方 向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，P A长为半径的⊙P 与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC． （1）当t为何值时，点Q与点D重合？ 【例3】（2016山东济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、 E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折 线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其 中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大 致图象为（） （2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．

5．（2016青海西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=3 同步练习 一、选择题 1．（2016山东泰安）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）4．（2016湖北荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O 于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接A D、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（） A．15°B．20°C．25°D．30° 2．（2016山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发 （P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大 致是（） 4，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分 别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（） A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2 3．（2016广东省）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）二、填空题 6．（2016四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C （1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．

历年中考数学动点问题题型方法归纳

x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

2021年中考数学总复习动点问题练习(含答案)

2021中考数学总复习动点问题 年班姓名成绩： 1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图 解：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以 315 tan5 44 ED CD C =?∠=?=， 25 4 EC=． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以 4 3 PM DM QN DN ==．所以 3 4 QN PM =， 4 3 PM QN =． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时 33 44 QN PM ==．所以 319 4 44 CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5． 此时 315 44 QN PM ==．所以 1531 4 44 CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中， 3 tan 4 QD DN QPD PD DM ∠===． 在Rt△ABC中， 3 tan 4 BA C CA ∠==．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ． 当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形． ①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时 44 33 PM QN ==．所以 45 3 33 BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC＝QD时，由cos CH C CQ =，可得5425 258 CQ=÷=． 所以QN＝CN－CQ＝ 257 4 88 -=（如图2所示）． 此时 47 36 PM QN ==．所以 725 3 66 BP BM PM =+=+=． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）． 图5 图6 2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由 BH PH BO CO =，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6 -)或(1,0)．

中考数学--动点问题题型方法归纳

动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 3 1、( 2009年齐齐哈尔市) 直线y x 6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发, 4 同时到达A点，运动停止?点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单 位长度，点P沿路线O T B T A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)设点Q的运动时间为t秒，△ OPQ的面积为S,求出S与t之间 的函数关系式； 「48 (3)当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5 坐标. 提示：第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第(3)问是分类讨论：已知三定点OP、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同 分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、(2009年衡阳市) 如图，AB是O O的直径，弦BC=2cm / ABC=60). (1) 求O O的直径； (2) 若D是AB延长线上一点，连结CD当BD长为多少时，CD与O O相切； (3) 若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC t(S)(0 ::: t ::: 2)，连结EF,当t为何值时，△ BEF为直角三角形. 注意：第(图问按直角位置分类讨论 O 图(2) D A

中考数学动点问题(含答案)

中考数学之 动点问题 一、选择题： 1. 如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ） 9 4x y O P D A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 二、填空题： 1. 如上右图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。 三、解答题： 1．（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、C H 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线A B 于点F ．设PD 的长为x ， EF 的长为y ． ⑴求PM 的长(用x 表示)； ⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围(图14为备用图)． Q P O B E D C A

图 13 图 14 图 12 A H B C D A H B C D H M Q P D C B A 2.（2008年福建宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全 程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80 ＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． ⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象； ⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长； ⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ． ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．

2018中考专题复习——动点问题

动点问题（讲义） 一、知识点睛 动点问题操作规程： 1. 研究______________． 2. 分析运动过程，分段，定范围． 根据起点、终点，确定_____________． 根据状态转折点确定_______________；常见状态转折点有拐点、碰撞点等． 3. 分析_____________、表达、建等式． 画出符合题意的图形，表达线段长，根据_____________建等式求解，结合范围验证结果． 二、精讲精练 1. 如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B =60°．从初始时刻开始，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿 A → B → C → D 的方向运动，当点Q 运动到点D 时，P ，Q 两点同时停止运动．设P ，Q 运动x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米，解答下列问题： （1）点P ，Q 从出发到相遇所用时间是____________秒； （2）在点P ，Q 运动的过程中，当△APQ 是等边三角形时，x 的值为__________________； （3）求y 与x 之间的函数关系式． 2. 如图，已知△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点． A B C D

（1）点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A 运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C提前4秒出发，点P以原来的运动速度从点B出发，都沿△ABC 的三边逆时针运动，当点Q首次回到点C时停止运动．设△CQP的面积为S，点Q运动的时间为t，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．（这里规定：线段是面积为0的三角形） 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速 度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原速度沿AC返回；点Q从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随着P，Q的运动，DE始终保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交