广东省2019届高考模拟考试数学文科试题(二)含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试

广东省文科数学模拟试卷（二）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.

421i

i

-=+（ ） A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．13i - 2.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，若//a b ，则m =（ ） A ．1 B ．2- C ．3 D ．6

3.已知x R ∈，集合{}0,1,2,4,5A =，集合{}2,,2B x x x =-+，若{}0,2A B =，则x =

（ ）

A ．2-

B ．0

C ．1

D ．2

4.空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）

A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量

B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度 C. 在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天

5.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴

影区域内的概率为（ ）

A ．

16π B ．316 C.4

π

D ．14 6.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+，则5a =（ ） A ．9- B ．9 C.81- D ．81

7.已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线

互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）

A ．22188x y -

= B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22

188x y -=或22

188

y x -= 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A ．86π+

B ．66π+ C.812π+ D ．612π+

9.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令

给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）

A ．

B ． C. D ． 10.已知三棱锥D AB

C -的外接球的球心O 恰好是线段AB 的中点，且

AC BC BD AD ====

2=，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）

A 3 D ．13

11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足

112325

n n

a a n n +=+--，已知*,n m N ∈，

n m >，则n m S S -的最小值为（ ）

A ．494-

B ．498

- C.14- D ．28- 12.已知函数()()ln 3x

f x e x =-+，则下面对函数()f x 的描述正确的是（ ） A ．()0,x ?∈+∞，()2f x ≤ B ．()0,x ?∈+∞，()2f x > C. ()00,x ?∈+∞，()00f x = D ．()()min 0,1f x ∈ 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.将函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移3

π

个单位长度，得到偶函数()g x 的图象，则?的最大值是 ．

14.设x ，y 满足约束条件2,1,1,y y x y x ≤??

≥-+??≥-?

则3412z x y =--的最大值为 ．

15.设函数()2log f x a x =+在区间[]1,a 上的最大值为6，则a = ． 16.已知抛物线()2

20y px p =>与圆()2

211x y +-=

相交于两点，且这两点间的距离为

3

，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =，8c =. （1）若点M 是线段BC 的中点，

AN

BM

=，求b 的值； （2）若12b =，求ABC ?的面积.

18.经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：

为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.

已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率.

（1）求X 的平均估计值.

（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额m （单位：万元），年销售额超过m 的可以获得红包奖励，该工厂希望使62%的经销商获得红包，估计m 的值，并说明理由.

19.如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形， 90ADE ∠=， （1）证明：FCB ?为直角三角形；

（2）已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠=，1AD DE ==，求五面体ABCDEF 的体积.

20.已知椭圆()22

12

:

108x y C b b +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线

21:8C y x =的焦点.

（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率； （2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段

AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明

11

m n

+是定值. 21.已知函数()x m

f x nx e

=

+. （1）若函数()f x 的图象在点()()

0,0f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值； （2）当1n =时，在区间(],1-∞上至少存在一个0x ，使得()00f x <成立，求实数m 的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为3,4x y a ?=+?

??=+?

（t 为参数），圆C 的标准方程为()()

22

334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03

π

θρ=

>与l 的交点为M ，

与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.

（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；

（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:DABCD 6-10:BABCA 11、12：CB 二、填空题

13.6

π

-

14.9- 15.4

三、解答题

17.解：（1）若点M 是线段BC 的中点，AM

BM

=BM x =，则AM =， 又60B =，8AB =，

在ABM ?中，由余弦定理得22

36428cos60x x x =+-?，

解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以ABC ?为正三角形，则8b =.

（2）在ABC ?中，由正弦定理

sin sin b c

B C

=

，

得8sin 2sin 123

c B

C b

=

==又b c >，所以B C >，则C

为锐角，所以cos 3

C =

. 则(

)1sin sin sin cos cos sin 23236

A B C B C B C +=+=+=

+?=， 所以ABC ?

的面积1sin 482S bc A =

==18. 解：（1）由题可知：

X 的平均估计值为：

0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=.

（2）因为后4组的频率之和为0.040.10.120.240.50.62+++=<， 而后5组的频率之和为0.040.10.120.240.30.80.62++++=>， 所以100200m ≤≤. 由

0.120.3

200100

m =

-，解得160m =. 所以年销售额标准为160万元时，62%的经销商可以获得红包.

19.（1）证明：由已知得AD DE ⊥，DC DE ⊥，,AD CD ?平面ABCD ，且AD CD D =，

所以DE ⊥平面ABCD .

又BC ?平面ABCD ，所以BC ED ⊥.

又因为//ED FC ，所以FC BC ⊥，即FCB ?为直角三角形. （2）解：连结AC ，AF ，ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.

过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥， 且CD

DE D =，所以AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高.

因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==，

所以AG =

,2AB =

，13A CDEF CDEF V AG S -=?=因为DE ⊥平面ABCD ，//FC DE ，所以FC ⊥平面ABCD ，则FC 是三棱锥F ACB -的高

.

136

F ACB ACB V FC S -?=

?=.

所以3

ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=

.

20.解：因为抛物线2

2:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.

所以椭圆22

1:184

x y C +=. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则22

1122

221,84

1,8

4x y x y ?+=????+=??

两式相减得

()()()()121212120

8

4

x x x x y y y y +-+-+=，

又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以

21211

2

y y x x -=--.

显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为1

2

-. （2）椭圆右焦点()22,0F .

当直线AB 的斜率不存在或者为0

时，

11m n +==

当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-，

设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,

28,

y k x x y ?=-??

+=??

消去y 并化简得()

2222128880k x k x k +-+-=， 因为(

)()()()2

22228412883210k

k k k ?=--+-=+>，

所以2

122812k x x k +=+，()

2122

8112k x x k

-=+. 所以

)22

112k m k

+==

+

，

同理可得)2212

k n k +=

+.

所以222211122118

k k m n k k ?+++=+=?++?为定值. 21.解：（1）因为()'x m

f x n e

=-

+，让你以()'0f n m =-，即3n m -=-. 又因为()0f m =，所以切点坐标为()0,m ，

因为切点在直线32y x =-+上，所以2m =，1n =-.

（2）因为()x m f x x e

=+，所以()'

1x x x

m e m f x e e -=-+=. 当0m ≤时，()'

0f

x >，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递增，令00x a =<，此时

()00a m

f x a e

=

+<，符合题意； 当0m >时，令()'

0f x =，

则ln x m =，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,m +∞上单调递增.

①当ln 1m <，即0m e <<时，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在(]ln ,1m 上单调递增，

()()min ln ln 10f x f m m ==+<，解得10m e

<<.

②当ln 1m ≥，即m e ≥时，函数()f x 在区间(],1-∞上单调递减，则函数()f x 在区间

(],1-∞上的最小值为()110m

f e

=

+<，解得m e <-，无解. 综上，1m e <

，即实数m 的取值范围是1,e ?

?-∞ ??

?.

22. 解：（1）在直线l 的参数方程中消去t ，可得，3

04

x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中， 所以，直线l 的极坐标方程为3

cos sin 04

a ρθρθ--

+=. 同理，圆C 的极坐标方程为2

6cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,

3M πρ??

??

?

，2,

3A πρ??

??

?

，3,

3B πρ??

??

?

. 联立2,3

6cos 6sin 140,πθρρθρθ?

=???--+=?

可得(2

3140ρρ-++=，

所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB

的中点，所以1ρ=

，即3M π?????

.

把323M π??+ ? ???

代入3

cos sin 04a ρθρθ--+=

，得(

31130224a +?-+=， 所以9

4

a =.

23. 解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.

不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ?

<-?

??-++-

或()()3

1,

2223212,x x x ?-≤≤???++-

或()()1,223212,x x x ?>?

??+--

解得32x <-

或3

02

x -≤<，即0x <.所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞. （2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2

x n x n f x x x n x n x n x n x ?

?+-<-?

?

=+-+=++-≤≤-??

?

-+->-??

所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +??

-

???

，()3,0B n -，,32

2n

n C ??-- ???.

所以三角形ABC 的面积为()2

613332326

n n n n -+????-+-=

???????. 由题设知，

()2

6246

n ->，解得6n <-.