高等数学第六版(同济版)第九章复习资料
第九章 多元函数微分法及其应用
引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学.
由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n 元函数上去.
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集的相关概念
1. 平面点集：),|}(),{(y x y x E =具有性质}P
},|}),{(2R y R x y x R R R E ∈∈=?=?
例如：}|||{}|}),{(222r OP P r y x y x C <=<+=，其中点P 表示点),(y x .
2. 邻域：2000),(R y x P ∈.
(1). 邻域：})()()(),{(}||{),(20202000δδδ<-+-+-=<=z z y y x x y x P P P P U
(2). 去心邻域：)(}||0{),(000P U P P P P U o
o
∧=<<=δδ 3. 坐标面上的点P 与平面点集E 的关系：22,R E R P ?∈ (1). 内点：若0>?δ，使E P U ?),(δ，则称P 为E 的内点. (2). 外点：若0>?δ，使Φδ=?E P U ),(，则称P 为E 的外点.
(3). 边界点：若0>?δ，Φδ≠?E P U ),(，且E P U ?),(δ，则称P 为E 的边界点.
边界：E 的边界点的全体称为它的边界，记作E ?. (4). 聚点：若0>?δ，Φδ≠?E P U o
),(，则称P 为E 的聚点.
导集：E 的聚点的全体称为它的导集.
注：1°. 若P 为E 的聚点，则P 可以属于E ，也可以不属于E .
2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点. 例如：}21),{(221≤+<=y x y x E ；)}0,0{(}21),{(222?≤+<=y x y x E . 4. 一些常用的平面点集：
(1). 开集：若点集E 的点都是其内点，则称E 为开集.
(2). 闭集：若点集E 的边界E E ??，则称E 为闭集. (开集加边界)
(3). 连通集：若E 中任何两点都可用属于E 的折线连接，则称E 为连通集. (4). 开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域. (5). 闭区域：开区域加上其边界称为闭区域.
例如：}21),{(221≤+<=y x y x E 为区域. }21),{(222≤+≤=y x y x E 为闭区域. (6). 有界集：若0>?r ，使),(r O U E ?，则称E 为有界集. (7). 无界集：若0>?r ，使),(r O U E ?，则称E 为无界集.
二、n 维空间：对取定的自然数n ，称n 元数组),,,(21n x x x 的全体为n 维空间，记为n R . 注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到n 维空间. 三、多元函数的概念 1. 定义：
.
y x f z ↓↓
↓
=),(，或)(P f z =，其中D y x P ∈),(.
因 映 自 变 变 量 射 量
定义域：D .
值 域：R D y x y x f z z D f ?∈==}),(),,({)(.
注：可推广：n 元函数：),,,(21n x x x f u =，n n R D x x x ?∈),,,(21 . 例: 1. )arcsin(22y x z +=，}1),{(22≤+=y x y x D .
2. )ln(y x z +=，}0),{(>+=y x y x D .
2. 几何表示：函数),(y x f z =对应空间直角坐标系中的一张曲面:0),(),,(=-=y x f z z y x F . 四、二元函数的极限
1.定义：设函数),(y x f 的定义域为D ，点),(000y x P 为D 的聚点，
若R A ∈?，0>?ε，0>?δ，),(),(0δP U D y x P o
?∈?，满足ε<-|),(|A y x f ，则称A 为),(y x f 当),(),(000y x P y x P →时的极
限，记作
A y x f y x y x =→),(lim )
,(),(00，称之为),(y x f 的二重极限.
例1. 设2
2221
sin )(),(y x y x y x f ++=，求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .
证明：0>?ε，要使不等式
ε<+≤++=-++222
22
222221sin )(01sin
)(y x y
x y x y x y x 成立，只须取εδ=，
于是，0>?ε，εδ=?，),0(),(δo
U D y x P ?∈?，总有ε<-++01
sin
)(2
222y x y x ，即
0),(lim
)
0,0(),(=→y x f y x .
例2. 证明
),(lim
)
0,0(),(y x f y x →不存在，其中??
???=+≠++=0,00
,),(222
222y x y x y x xy y x f .
证明：当),(y x P 沿直线)0(≠=k kx y 趋于)0,0(O 时，总有
2
22220)
0,0(),(1lim ),(lim
k k
x k x kx y x f x kx
y y x +=+=→=→，
),(y x f 随着k 的不同而趋于不同的值，故极限),(lim )
0,0(),(y x f y x →不存在.
例3. 求极限x xy
y x sin lim
)2,0(),(→.
解：
221lim sin lim sin lim sin lim
2
0)2,0(),()2,0(),(=?=?=?=→→→→y xy xy
y xy xy x xy y xy y x y x .
五、二元函数的连续性
1. 二元函数的连续性:设函数),(y x f 的定义域为D ，点),(000y x P 为D 的聚点，且D P ∈0，若
),(),(lim
00)
,(),(00y x f y x f y x y x =→，则称),(y x f z =在点),(000y x P 连续.
2. 二元函数的间断点: 设函数),(y x f 的定义域为D ，点),(000y x P 为D 的聚点，若),(y x f 在点),(000y x P 不连续，则称),(000y x P 为),(y x f 的间断点. 注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.
3. 性质：设D 为有界闭区域.
(1). 有界性：0>?M ， D y x ∈?),(，有M y x f ≤|),(|.
(2). 最值性：D P P ∈?21,，使得D P D P P f P f D P P f P f ∈????∈=∈=,|)(min{)(}|)(max{)(21，有)()()(21P f P f P f ≤≤.
(3). 介值性：])(),([21P f P f C ∈?，D y x P ∈?),(，使得C y x f =),(. 4. 二元连续函数的运算性质
(1). 和、差、积仍连续； (2). 商 (分母不为零) 连续； (3). 复合函数连续. 5. 二元初等函数及其连续性
(1). 二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. (2). 二元初等函数在其定义区域内连续. 例4. 求
xy y
x y x +→)2,1(),(lim
.
解：令xy y x y x f +=
),(，则2
3
)2,1(lim )2,1(),(==+→f xy y x y x .
例5. 求
xy
xy y x 11lim
)
0,0(),(-+→. 解：
=-+→xy xy y x 11lim
)
0,0(),((分子有理化) 2
1
111lim )11(11lim
)0,0(),()0,0(),(=++=++-+→→xy xy xy xy y x y x .
第二节 偏导数
引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数. 一、偏导数的相关概念
1. 偏导数：设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有定义，把y 暂时固定在0y ，而x 在
0x 处有增量x ?时，z 相应地有增量),(),(0000y x f y x x f -+?.若极限
x
y x f y x x f x ???),(),(l i m 00000-+→存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(000y x P 处对x 的偏导数，记为
0y y x x x
z
==??；
0y y x x x
f ==??；0
0y y x x x
z ==或),(00y x f x .
注: 1°. 0
)
,(),(),(lim
),(000000
00x x x x y x f x d d
x y x f y x x f y x f =→=-+=???.
2°. 0
)
,(),(),(lim
),(000000
00y y y y y x f y
d d
y y x f y y x f y x f =→=-+=???.
2. 偏导函数：若函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 或y 偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数，记为
x z x f x z ,,????或),(y x f x ；y z y
f
y z ,,????或),(y x f y .
注：可推广：三元函数),,(z y x f u =在点),,(z y x 处对x 的偏导数定义为
x
z y x f z y x x f z y x f x x ???),,(),,(lim
),,(0
-+=→.
例1. 求223y xy x z ++=在)2,1(处的偏导数. 解：先求偏导函数：
y x x z 32+=??，y x y z 23+=??. 再求偏导数：
82
1=??==y x x
z ，
72
1=??==y x y
z
.
例2. 求y x z 2sin 2=的偏导数. 解：
y x x z 2sin 2=??，y x y
z 2cos 22=??. 例3. 求222z y x r ++=的偏导数. 解：
r
x
z y x x x r =++=??22222.由轮换对称性可知
r y y r =??，r z z r =??. 3. 偏导数的几何意义
(1). 偏导数),(00y x f x 是曲线???==0)
,(y y y x f z 在点)),(,,(00000y x f y x M 处的切线关于x 轴的斜率.
(2). 偏导数),(00y x f y 是曲线?
??==0)
,(x x y x f z 在点)),(,,(00000y x f y x M 处的切线关于y 轴的斜率.
4. 函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系. (1). 函数),(y x f z =在点),(000y x P 处偏导数存在，但它在点),(000y x P 却未必连续.
例如：函数??
???=+≠++==0,00
,),(222
222y x y x y x xy y x f z 在点)0,0(的两个偏导数都存在，即
00lim )
0,0()0,0(lim
)0,0(00
==-+=→→x x x x
f x f f ????， 00lim )
0,0()0,0(lim
)0,0(00
==-+=→→y y y y
f y f f ????. 但二重极限
),(lim )
0,0(),(y x f y x →不存在，故),(y x f z =在点)0,0(不连续.
(2). 函数),(y x f z =在点),(000y x P 连续，但它在点),(000y x P 处却未必存在偏导数.
例如：函数22),(y x y x f z +==在点)0,0(连续，但它在点)0,0(对x 及y 的偏导数都不存在，这是因为：??
?<->==-+→→0,10
,1||lim )0,0()0,0(lim
00
x x x x x f x f x x ????????， ?
?
?<->==-+→→0,10
,1||lim )0,0()0,0(lim
00
y y y y y f y f x y ????????， 即),(y x f z =在点)0,0(对x 及y 的偏导数都不存在. 二、高阶导数
1.二阶偏导数：若函数),(y x f z =对x 及y 的偏导数),(y x f x 及),(y x f y 对x 及y 的偏导数也存在，则称它们是函数),(y x f z =的二阶偏导数.
记作：),(22y x f x z x z x xx =??=???? ??????； ),(22y x f y z
y z y yy =??=???
? ?????? ；(二阶纯偏导数) ),(2y x f y x z x z y xy =???=???? ??????；),(2y x f x y z y z x yx =???=???? ??????. (二阶混合偏导数) (二阶纯偏导数)
注：1°. 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导数的偏导数称为它的n 阶偏导数.
2°. 二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数. 3°. 二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数至多有n 2个. 例4. 设13323+--=xy xy y x z ，求它的二阶偏导数. 解：
y y y x x z --=??32233；x xy y x y
z --=??2392； 2
2
26xy x
z =??；xy x y z 182322-=??； 1962
22--=???y y x y x z ；196222--=???y y x x
y z . 总结：从这一例题，我们看到：x y z y x z ???=
???22，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：
??
???=+≠++-==0,00,),(2222
2
222y x y x y x y x xy y x f z ，在点)0,0(，
有)0,0()0,0(yx xy f f ≠，事实上，y f y f f x x y xy ???)
0,0()0,0(lim
)0,0(0
-+=→；
x
f x f f y y x yx ???)
0,0()0,0(lim
)0,0(0
-+=→.
而0)0,0()0,0(lim
)0,0(0
=-+=→x f x f f x x ???，0)
0,0()0,0(lim )0,0(0=-+=→y
f y f f y y ???，
y x
y x y x y
x x y f y x f y f x x x -=+-?=-+=→→????????2
22
200)()(lim ),0(),0(lim ),0(，
x y y x y x x y y x f y x f x f y y y =+-?=-+=→→????????2
2
2
200)()(lim )0,()0,(lim )0,(.
于是，1lim )0,0()0,0(lim
)0,0(00
-=-=-+=→→y
y
y f y f f y x x y xy ??????， 1lim
)
0,0()0,0(lim
)0,0(00
==-+=→→x
x
x
f x f f x y y x yx ??????，
即)0,0()0,0(yx xy f f ≠.
那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理： 2. 二阶混合偏导数的性质
定理：若函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数),(y x f xy 与),(y x f yx 在区域D 内连续，则它们在D 内必相等，即),(),(y x f y x f yx xy =.
注：1°. 可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.
2°. 一般地，若二元函数),(y x f z =的高阶混合偏导数都连续，则),(y x f z =的n 阶偏导数只有1+n 个.
第三节 全微分
一、全微分的相关概念
1. 偏增量：称),(),(y x f y x x f z x -+=??为函数),(y x f z =对x 的偏增量;
称),(),(y x f y y x f z y -+=??为函数),(y x f z =对y 的偏增量.
2. 偏微分：称x y x f x ?),(与y y x f y ?),(为),(y x f z =对x 及y 的偏微分. 注：x y x f y x f y x x f x ??),(),(),(≈-+，y y x f y x f y y x f y ??),(),(),(≈-+.
但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量x ?、y ?时，相应的函数增量z ?与自变量的增量x ?、y ?之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量. 3. 全增量：称),(),(y x f y y x x f z -++=???为函数),(y x f z =在点),(y x P 对应于自变量增量
x ?、y ?的全增量.
一般来讲，计算全增量z ?是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用x ?、y ?的线性函数来近似代替函数的全增量z ?，为此，引入了全微分.
4. 全微分：若函数),(y x f z =在点),(y x P 的某领域内有定义，且在),(y x P 的全增量
),(),(y x f y y x x f z -++=???可表示为)(ρ???o y B x A z ++=，其中A 、
B 不依赖于x ?、y ?，而仅与x 、y 有关，22)()(y x ??ρ+=，则称),(y x f z =在点),(y x P 可微分，而称y B x A ??+ 为),(y x f z =在点),(y x P 的全微分，记作dz ，即y B x A dz ??+=.
若),(y x f z =在区域D 内每一点都可微分，则称),(y x f z =在D 内可微分. 注：)(ρ?o z dz -=.
我们知道，当一元函数)(x f y =在点x 的微分x A dy ?=存在时，)('x f A =，那么，当二元函数),(y x f z =在点),(y x P 的全微分y B x A dz ??+=存在时，A 、B 又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到A 、B 的值. 二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系 1．函数可微分的必要条件
定理1.若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分，则它在点),(y x P 的两个偏导数),(y x f x 及
),(y x f y 必定存在，且),(y x f z =在点),(y x P 的全微分dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.
证明：由于),(y x f z =在点),(y x P 可微分，则有)(ρ???o y B x A z ++=，其中
22)()(y x ??ρ+=，当0=y ?时，有|)(|),(),(x o x A y x f y x x f z x ????+=-+=，从而
A x
x o x A x y x f y x x f x x =+=-+→→???????|)
(|lim ),(),(lim
00
， 即),(y x f A x =，同理可得),(y x f B y =，于是y y x f x y x f dz y x ??),(),(+=.
特殊地，令x y x f =),(，有1),(=y x f x ，0),(=y x f y ，从而有x dx ?=，同理令y y x f =),(，有0),(=y x f x ，1),(=y x f y ，从而有y dy ?=.于是有dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=，也称之为二元函数微分学的叠加原理.
注：定理说明：函数),(y x f z =可微分，),(y x f z =一定可偏导，且全微分可用偏导数表示. 但反之未必，即偏导数存在，函数),(y x f z =未必可微分.
例如：?
????=+≠++==0,
00,),(222
22
2y x y x y x xy y x f z 在点)0,0(处两个偏导数都存在，且
)0,0()0,0(y x f f =，但),(y x f z =在点)0,0(却不可微分.
事实上，假设),(y x f z =在点)0,0(可微分，则y y x f x y x f dz y x ??),(),(+=，又
)(ρ?o dz z +=，从而
0→-ρ
?dz
z ，当0→ρ时. 而2
2)
()(0)0,0()0,0(y x y
x f y x f dz z ???????+?=
-+++=-，有
222)0,0(),(0
)
)()((lim
),(),(lim
y x y
x x y x f y x x f y x x ?????????+?=-+→→不存在，更谈不上等于0，从而假设不成立，即),(y x f z =在点)0,0(不可微分. 2. 函数可微分的必要条件
定理2若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分，则它在点),(y x P 连续.
证明：由于),(y x f z =在点),(y x P 可微分，有)(ρ???o y B x A z ++=，其中22)()(y x ??ρ+=，于是有，0lim 0
=→z ?ρ.又),(y x f z =的全增量为),(),(y x f y y x x f z -++=???，从而
0),(),(lim )
0,0(),(=-++→y x f y y x x f y x ????，即
),(),(lim
)
0,0(),(y x f y y x x f y x =++→????，这说明
),(y x f z =在点),(y x P 连续.
注：函数连续，未必可微分.
例如：函数22),(y x y x f z +==在点)0,0(连续，但由于偏导数不存在，从而不可微分. 3. 函数可微分的充分条件
定理3若函数),(y x f z =的偏导数),(y x f x 与),(y x f y 在点),(y x 都连续，则),(y x f z =在点
),(y x 可微分.
注：反之未必.
例如：??
???=+≠+++==0,00,1sin )(),(222
22
222y x y x y x y x y x f z 在点)0,0(可微分，但),(y x f x 与
),(y x f y 在点)0,0(都不连续.
(1).先说明),(y x f z =在点)0,0(可微分. 设0)0,0()0,0(),(=+=y f x f y x y x ?????，
因为01
sin lim )
0,0()0,(lim
)0,0(2200
==-=→→x
x x x
f x f f x x x ，
01sin lim )
0,0(),0(lim
)0,0(2
200
==-=→→y
y y y
f y f f y y y ，
令2
222)
()(1
sin
])()[()0,0()0,0(y x y x f y x f u ???????++=-++=， 由于01
sin
lim )
,(lim
2
200==-→→ρ
ρρρ
????ρρy x u ，其中22)()(y x ??ρ+=，于是
)()0,0()0,0()(),(ρ??ρ????o y f x f o y x u y x ++=+=，由全微分的定义知),(y x f z =在)0,0(可
微分.
(2). 再说明偏导数),(y x f x 及),(y x f y 在点)0,0(不连续. 易知 0,1
cos 21sin
2),(222
22222≠+++-+=y x y
x y x x y x x y x f x ,
由于
??? ?
?
-==→→=→2200)
0,0(),(21cos 121sin 2lim ),(lim ),(lim
x x x x x x f y x f x x x x x
y y x 不存在，
从而),(y x f x 在点)0,0(不连续.
同理可知)0(1cos 21sin
2),(2
22
22222≠+++-+=y x y
x y x y y x y y x f y 在点)0,0(也不连续. 例1. 计算函数22y y x z +=的全微分. 解：dy y x xydx dy y
z
dx x z dz )2(22++=??+??=
. 例2. 计算函数xy e z =在点)1,2(处的全微分. 解：由于
xy xy xe y z ye x z =??=??,，有21
221
2
2,
e y
z e x
z y x y x =??=??====，所以dy e dx e dz y x 221
22+===.
例3. 计算yz e y
x u ++=2
sin 的全微分. 解： dz ye dy ze y dx dz z u dy y u dx x u du yz yz +??
?
??++=??+??+??=
2cos 21.
第四节 多元复合函数的求导法则
一、一元函数与多元函数复合的情形
定理1.若函数)(t u ?=及)(t v ψ=在点t 都可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψ?=在点t 可导，且
dt
dv
v z dt du u z dt dz ???+???=.(全导数公式) 注：可推广：),,(ωv u f z =，)(t u ?=，)(t v ψ=，)(t ωω=复合而成的函数)](),(),([t t t f z ωψ?=在点t 可导，且
dt
d z dt dv v z dt du u z dt dz ω
ω???+???+???=. 二、多元函数与多元函数复合的情形
定理2. 若函数),(y x u ?=及),(y x v ψ=在点),(y x 具有对x 及y 的偏导数，函数),(v u f z =在
对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且
x v v z x u u z x z ?????+?????=??；y
v v z y u u z y z ?????+?????=??. 注：可推广：由),,(ωv u f z =，),(y x u ?=，),(y x v ψ=，),(y x ωω=复合而成的函数
)],(),,(),,([y x y x y x f z ωψ?=在点),(y x 两个偏导数都存在，且
x z x v v z x u u z x z ?????+?????+?????=??ωω；y
z y v v z y u u z y z ?????+?????+?????=??ω
ω. 三、其它情形
1. 函数),(y x u ?=在点),(y x 对x 及y 的偏导数都存在，函数及)(y v ψ=在点t 可导，
),(v u f z =在点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数]),,([y y x f z ?=在点),(y x 的两个偏导数都
存在，且
x
u
u z v z x u u z dx dv v z x u u z x z ?????=???+?????=???+?????=??0； dy
dv v z y u u z y z ???+?????=??. 2. 函数),(y x u ?=在点),(y x 具有对x 及y 的偏导数，),,(y x u f z =在点),,(y x u 具有连续偏导数，则复合函数],),,([y x y x f z ?=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且
1???+?????=???+???+?????=??x f x u u f dx dy y f dx dx x f x u u f x z ； 1???+?????=???+???+?????=??y
f y u u f dy dy y f dy dx x f y u u f y z . 例1. 设v e z u sin =，而xy u =，y x v +=，求x z ??及y
z ??. 解：
)]cos()sin([1cos sin y x y x y e v e y v e x
v
v z x u u z x z xy u u +++=?+?=?????+?????=??； )]cos()sin([1cos sin y x y x x e v e x v e y
v v z y u u z y z xy u u +++=?+?=?????+?????=??. 例2.设2
22
),,(z y x
e z y x
f u ++==，而y x z sin 2=，求
x u ??及y
u ??. 解：
x
z
z f dx dy y f dx dx x f x u ?????+???+???=??
y
x y x z y x z y x e
y x x y x ze
xe
24222
222
22sin 2
2)sin 21(2sin 222+++++++=?+=；
y
z z f dy dx x f dx dy y f y u ?????+???+???=?? y
x y x
z y x
z y x
e y y x y y x ze ye 2422
2
22
2
22
sin 42)cos sin (2cos 22+++++++=?+=.
例3. 设t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求求导数dt
dz . 解：
t t u ve dt
dt t z dt dv v z dt du u z dt dz t cos sin +-=???+???+???= t t t e t t e t e t t t cos )sin (cos cos sin cos +-=+-=.
四、全微分形式不变性:若函数),(v u f z =具有连续偏导数，则有全微分
dv v
z du u z dt dz ??+??=.若函数),(y x u ?=及),(y x v ψ=也具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=的全微分为
dy y
z dx x z dt dz ??+??=，有dy y z
dx x z dv v z du u z dt dz ??+??=??+??=，称此性质为全微分形式不变性. 事实上：
dy y z dx x z dt dz ??+??=dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z ???? ???????+?????+???
???????+?????= ???
? ????+????+???? ????+????=
dy y v dx x u v z dy y u dx x u u z dv v z du u z
??+??=. 例4. 利用全微分形式不变性求
x u ??与y
u
??，其中v e z u sin =，xy u =，y x v +=. 解：由于vdv e vdu e v e d dz u u u cos sin )sin (+==， 而 xdy ydx xy d du +==)(，dy dx y x d dv +=+=)(， 于是dy v e x v e dx v e y v e dz u u u u )cos sin ()cos sin (+?++?=，即
dy y x y x x e dx y x y x y e dy y
z
dx x z xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++=??+??， 比较两端dx 、dy 的系数得：
)]cos()sin([y x y x y e x z
xy +++=??， )]cos()sin([y x y x x e x z
xy +++=??.
第五节 隐函数的求导公式
一、隐函数：称对应关系不明显，而是隐含在方程(方程组)中的函数(函数组)为由方程(方程组)确定的隐函数(隐函数组).
注：并不是每一个方程都能确定一个隐函数，例如：01242=+++z y x . 二、隐函数存在定理 1.由一个方程确定的隐函数
定理1.若函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且0),(00=y x F ，0),(00≠y x F y ，
则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续可导的函数)(x f y =，满足)(00x f y =，且
y
x F F
dx dy -=. 注：若),(y x F 的二阶偏导数也连续，则有 dx dy F F y dx dx F F x dx y d y x y x ???
? ??-??+???? ??-??=22
????
?
?---
--
=y x y x yy y xy y x
yx y xx F F F F F F F F F F F F 22
3
2
22y
x yy y x xy y xx F
F F F F F F F +--
=.
定理2. 若函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且0),,(000=z y x F ，
0),,(000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续
且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，满足),(000y x f z =，且
z x F F
x z -=??，z
y F F y z -=??. 例1. 设012
2
=-+y x ，求dx dy 及22dx
y
d .
解：令1),(22-+=y x y x F ，则x F x 2=，y F y 2=，从而
y
x F F dx dy y x -=-=. 33222221
'y
y x y y xy y y x dx d dx y d -=+-=--=???? ?
?
-=. 例2.设042
2
2
=-++z z y x ，求22x
z
??.
解：设z z y x z y x F 4),,(222-++=，则x F x 2=，42-=z F z ，于是
z
x
F F x z z x -=
-=??2，从而 3
222222
)2()2()2(2)2()2()2(z x z z z x x z z x z x z x z -+-=--?+-=-??? ????---=??. 2.由方程组确定的隐函数组
定理3. 若函数),,,(v u y x F 与),,,(v u y x G 在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ，且函数行列式v
u v
u
G G F F v u G F J =??=
)
,(),(在点),,,(0000v u y x P 不等于零，则方程组???==0),,,(0
),,,(v u y x G v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内恒能
确定唯一一组连续且具有连续偏导数的函数组?
??==),()
,(y x v v y x u u ，且
v u
v u v x
v x
G G F F G G F F v x G F J x u -=??-=??)
,()
,(1，v
u
v u x
u x u G G F F G G F F x u G F J x v -=??-=??),(),(1； v
u
v u v y v y
G G F F G G F F v y G F J y u -
=??-=??)
,()
,(1，v
u
v u y u
y u G G F F G G F F y u G F J y v -
=??-=??)
,()
,(1.
例3. 设0=-yv xu ，1=+xv yu ，求
x u ??、y u ??、x v ??、和y
v ??. 解：设方程组???=+=-1
xv yu yv xu ，两端对x 求导得：
??????
?=+??+??=??-??+00v x v x x u y x v y x u x u 或???????-=??+??-=??-??v x v x x
u y u x
v y x u x ， 在022≠+=-=
y x x
y y
x J 的条件下，有
2
2
y x yv xu x
y y x x v y u x u ++-=-----=??，2
2
y x xv
yu x
y y x v y u
x x v
+--=----=??； 同理可得
22y x yu xv y u +-=??，2
2y x yv
xu y v ++-
=??.
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、一元向量值函数及其导数
1. 一元向量值函数的定义： )(t f =，D t ∈(数集)，n R ∈. 注：1°. 在3R 中，))(),(),(()()()()(321321t f t f t f t f t f t f t f =++==.
2°. 向量值函数)())(),(),(()(321D t t f t f t f t f r ∈==称为曲线??
?
??===)
()()
(:321t f z t f y t f x Γ的向量方程.
2. 一元向量值函数的极限：设向量值函数)(t f 在点0t 的某一去心邻域内有定义，若存在常向量0，0>?ε，0>?δ，t ?：满足δ<-<||00t t ，总有ε<-|)(|0r t f ，则称0为)(t f 当0t t → 时的极限，记作0)(lim 0
t f t t =→.
注：)(lim 0
t f t t →存在?)(lim 10
t f t t →、)(lim 20
t f t t →、)(lim 30
t f t t →都存在.
??
? ??=→→→→)(lim ),(lim ),(lim )(lim 3210000t f t f t f t f t t t t t t t t . 3. 一元向量值函数的连续性：设向量值函数)(t f 在点0t 的某一邻域内有定义，若
)()(l i m 00
t f t f t t =→，则称向量值函数)(t f 在点0t 连续.
注：)(t f 在点0t 连续?)(1t f 、)(2t f 、)(3t f 点0t 连续.
4.一元向量值函数的导数(导向量)：设向量值函数)(t f =在点0t 的某一邻域内有定义，若
t
t f t t f t r t t ??????)
()(lim lim
0000-+=→→存在，则称此极限值为)(t f 在点0t 的导数或导向量，记作)
('t f 或
x t dt
r d =.
注：1°. )(t f 在点0t 可导?)(1t f 、)(2t f 、)(3t f 点0t 都可导.
k t f j t f i t f t f )()()()(''3'2'1++=.
2°. 一元向量值函数的导向量的几何意义：t
r
t f t ???00lim
)('→=是向量值函数)(t f r =的终端
曲线Γ在点)(0t M 处的一个切向量,其指向与t 的增长方向一致.
例1.设k t j t i t t f ++=)(sin )(cos )(，求)(lim 4
/t f t π→.
解：k t j t i t t f t t t t )lim ()sin lim ()cos lim ()(lim 4
/4
/4
/4
/ππππ→→→→++
=4
222π++=
. 例2.设空间曲线Γ的向量方程为R t t t t t t ∈--+==),62,34,1()(22，求曲线Γ在点20=t 相应的点处的单位切向量.
解：由于)64,4,2()('-=t t t f ，有)2,4,4()2('=f ，进而6244|)2('|222=++=f ，于是
???
??==31,32,32)2,4,4(611为指向与t 的增长方向一致的单位切向量.
??
?
??---=31,32,322n 为指向与t 的增长方向相反的单位切向量.
二、空间曲线的切线与法平面
1. 参数式情形：设空间曲线Γ的参数方程为??
?
??===)()()(t z t y t x ωψ?，],[βα∈t ，假设)(t ?、)(t ψ以及)
(t ω在],[βα上可导，且三个导数不同时为零.
(1). 切线：曲线Γ上的一点),,(000z y x M 处的切线方程为：)
(')(')('0
00t z z t y y t x x ωψ?-=
-=-，参数0t 对应点),,(000z y x M .
推导：由于曲线Γ的参数方程为??
?
??===)()()(t z t y t x ωψ?，记向量值函数))(),(),(()(t t t t f ωψ?=，由向量值
函数导数的几何意义知：向量)('),('),('()('0000t t t t f T ωψ?==即为曲线Γ在其上的点
),,(000z y x M 处的一个切向量，从而曲线Γ在其上的点),,(000z y x M 处的切线方程为：
)
(')(')('00
0000t z z t y y t x x ωψ?-=
-=-. (2). 法平面：通过曲线Γ上的点),,(000z y x M 而与曲线Γ在点M 处的切线垂直的平面方程称为曲线Γ在点M 处的法平面，方程为0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψ?.其中法向量为))('),('),('()(0000t t t t f ωψ?==.
2. 特殊式情形：设空间曲线Γ的方程为???==)
()(x z x y ψ?，且)(x ?、)(x ψ在点0x x =处可导，曲线
Γ的方程可改写为??
?
??===)()(x z x y x x ψ?，x 为参数，从而曲线Γ在点),,(000z y x M 处的切线与法平面方
程分别为： (1). 切线方程：
)
(')('100
000x z z x y y x x ψ?-=
-=-. (2). 法平面方程：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψ?.
3. 一般式(隐函数)情形：设曲线Γ的方程为???==0),,(0
),,(z y x G z y x F ，),,(000z y x M 为曲线Γ上的一点，
又设F 、G 有对各个变量的连续偏导数，且
0)
,(),(≠??M
z y G F ，这时方程组在点),,(000z y x M 的
某一邻域内确定了一组隐函数???==)()(x z x y ψ?，从而曲线Γ的参数方程为??
?
??===)
()(x z x y x
x ψ?，x 为参数，
于是切向量为))('),(',1(00x x T ψ?=
???
? ?
?=M z
y
z y M
y
x
y x M z
y
z y M
x z x z G G F F G G F F G G F F G G F F ,,1 ???
? ?
?=
M y
x
y x M x z
x
z
M z y z y M
z
y z y G G F F G G F F
G G F F G G F F ,,1. (1). 切线方程：
)
(')('100
000x z z x y y x x ψ?-=
-=-. (2). 法平面方程：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψ?.
例3. 求曲线???=++=++06
222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线与法平面方程.
解：在方程组?
??=++=++06
222z y x z y x 两端对x 求导，得
??????
?=++=++010222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x ，整理得???????-=+-=+1dx
dz dx dy x dx
dz z dx dy
y ，
高等数学同济大学第六版 总复习六答案
总 习 题 六 1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足?? +=+30011211 1dt t dt t x . 因为212]12[1 100-+=+=+?x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+?t dt t , 所以 1212=-+x , 4 5=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解 ?++?=432 222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 2432224 1)2sin 1(28a d a a -=++=?πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为9 4, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax y +=2.
抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为 23)(1 02b a dx bx ax S +=+=?. 令9423=+b a , 得9 68a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(22102 2ab b a dx bx ax V ++=+=?ππ )]9 68(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-?+2=a a a d dV π, 得3 5-=a , 于是b =2. 4. 求由曲线2 3x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求旋转体的体积为 πππ7512722240274023=?=?=?x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(1223 12?--??=dx x x V π 22 224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-?-tdt t t x 令. 6. 抛物线22 1x y =被圆322=+y x 所需截
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间
同济大学第六版高等数学综合测试题
第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无
高等数学同济第六版上册课后答案
2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用
了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-3
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案4-3
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 习题4-3 求下列不定积分: 1. ?xdx x sin ; 解 C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=???sin cos cos cos cos sin . 2. ?xdx ln ; 解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=???ln ln ln ln ln . 3. ?xdx arcsin ; 解 ??-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ?--=dx x x x x 21arcsin C x x x +-+=21arcsin . 4. ?-dx xe x ; 解 ???----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ?xdx x ln 2; 解 ???-==x d x x x xdx xdx x ln 3 1ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=?33239 1 ln 3131ln 31. 6. ?-xdx e x cos ; 解 因为 ????------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 ??-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin ?-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin , 所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----?)cos (sin 21)cos sin (21cos . 7. ?-dx x e x 2sin 2; 解 因为 ???-----==x x x x de x x e x d e dx x e 22222 cos 22cos 22cos 22sin ??----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222x d e x e dx x e x e x x x x ?----+=x x x de x x e x e 2222 sin 82sin 82cos 2 ?---++=dx x e x e x e x x x 2 sin 162sin 82cos 2222, 所以 C x x e dx x e x x ++- =--?)2sin 42(cos 1722sin 22. 8. ?dx x x 2cos ; 解 C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==???2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos . 9. ?xdx x arctan 2; 解 ???+?-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ??+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx x x x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223. 10. ?xdx x 2tan 解 ?????+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222 C x x x x xdx x x x +++-=-+-=?|cos |ln tan 2 1tan tan 2122.
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点
第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长
第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
高等数学习题答案(同济第六版下)
第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 本节主要概念，定理，公式和重要结论 理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。 习题 8－1 1.求下列函数表达式: (1)x y y x y x f +=),(，求),(y x xy f + 解：(,)()x y xy f xy x y xy x y ++=++ (2)2 2 ),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f 解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+?= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)2 2 1)1ln(y x x y x z --+ -+= 解：22 22 10 11010 x y x y x y x y x +->?+>??-->???+ (3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->?+< 3.求下列极限: (1) 2 2)1,0(),(1lim y x xy x y x ++-→ 解：22 (,)(0,1)1lim 1x y x xy x y →-+=+ (2) xy xy y x 4 2lim )0,0(),(+-→ 解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim 2lim 2lim 4 x y x y x y xy xy →→→=-=-=- 解二： (,)(0,0)(,)(,)1 lim lim lim 4x y x y x y →→→===-
2-5高等数学同济大学第六版本
2-5高等数学同济大学第六版本
2-7 1. 已知y =x 3 -x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;
(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:
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习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=2 22]3[ ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π )][sin(dx y x x x
(2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; ? ?? ???+--+---++=1 1 1 1 1 1 x x y x x x y x D y x dy e dx e dy e dx e d e σ ??+---+--+=1 1101 11][][dy e e dx e e x x y x x x y x ??---+-+-=1 120 1 11 2)()(dx e e dx e e x x
3. 如果二重积分??D dxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x , y )= f 1(x )?f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d c b a d c b a D ???????=?=?])()([)()()()(212121, 而 ??=?d c d c dy y f x f dy y f x f )()()()(2121, 故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a d c D ????=?])()([)()(2121. 由于?d c dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d c b a D ?????=? 4. 化二重积分??=D d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同 的两个二次积分), 其中积分区域D 是: (1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤24 1 ,40}, 所以 ? ?=x x dy y x f dx I 24 0),(或??=y y dx y x f dy I 4 40 2),(. (2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且
高等数学第六版(同济版)第九章复习资料
第九章 多元函数微分法及其应用 引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学. 由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n 元函数上去. 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集的相关概念 1. 平面点集：),|}(),{(y x y x E =具有性质}P },|}),{(2R y R x y x R R R E ∈∈=?=? 例如：}|||{}|}),{(222r OP P r y x y x C <=<+=，其中点P 表示点),(y x . 2. 邻域：2000),(R y x P ∈. (1). 邻域：})()()(),{(}||{),(20202000δδδ<-+-+-=<=z z y y x x y x P P P P U (2). 去心邻域：)(}||0{),(000P U P P P P U o o ∧=<<=δδ 3. 坐标面上的点P 与平面点集E 的关系：22,R E R P ?∈ (1). 内点：若0>?δ，使E P U ?),(δ，则称P 为E 的内点. (2). 外点：若0>?δ，使Φδ=?E P U ),(，则称P 为E 的外点. (3). 边界点：若0>?δ，Φδ≠?E P U ),(，且E P U ?),(δ，则称P 为E 的边界点. 边界：E 的边界点的全体称为它的边界，记作E ?. (4). 聚点：若0>?δ，Φδ≠?E P U o ),(，则称P 为E 的聚点. 导集：E 的聚点的全体称为它的导集. 注：1°. 若P 为E 的聚点，则P 可以属于E ，也可以不属于E . 2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点. 例如：}21),{(221≤+<=y x y x E ；)}0,0{(}21),{(222?≤+<=y x y x E . 4. 一些常用的平面点集： (1). 开集：若点集E 的点都是其内点，则称E 为开集. (2). 闭集：若点集E 的边界E E ??，则称E 为闭集. (开集加边界)
高等数学同济大学第六版本
习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-=
10-2高等数学同济大学第六版本
习题 10-2 1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ?=L dx y x P 0),(. 证明??=L b a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到 b , 所以 ???='=b a L b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)?-L dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中 L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , ??+'++=a dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π (3)?+L xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到
解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 (5)ydz zdy dx x -+?Γ 2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧; 解 ??--+=-+Γπ θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x (6)dz y x ydy xdx )1(-+++?Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 一段直线; 解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1. ?Γ-+++dz y x ydy xdx )1(?-+++++++=10 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ?=+=1 013)146(dt t . 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中 AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1?1 1? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ? B ?[?10? ?5)? A \ B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)? 2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明 因为 x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ? 3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明 (1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明 因为 y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B ) ? y ?f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为 y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? 4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g =ο? Y I g f =ο? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1? 证明 因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射? 又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射? 对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射? 5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ? (2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ? 证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))? 所以 f ?1(f (A ))?A ?
高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)
※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 0 )1(22+e 8.若3)(0-='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛，则p 的范围是 1-
=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。 16.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ? x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.
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