圆锥曲线大题专题训练
圆锥曲线大题专题训练
1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式
（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值．
1.解：
（Ⅰ）由题意知，(A a ．
因为O A t =，所以22
2a a t +=．由于0t >
，故有t =
（1） 由点(0)(0)B t C c ，，，
的坐标知，直线BC 的方程为1x y c
t +
=．
又因点A 在直线BC
上，故有
1a c
t
+
=，将（1
）代入上式，得1a c
+=，
解得2c a =++
（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为
12C D k a c
=
===-+-．
所以直线CD 的斜率为定值．
2．设F 是抛物线2
:4G x y =的焦点．
（I ）过点(04)P -，
作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =
，延长A F ，BF 分别交
抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．
2.解：（I ）设切点2
004x Q x ?? ??
?，．由2x
y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切
线方程为2
000()4
2
x x y x x -
=
-． 即2
042
4
x x y x =
-
． 因为点(0)P -4，
在切线上．
2x =
所以2
044
x -=-
，2
016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-．
（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．
由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
因直线AC 过焦点(01)F ，
，所以直线AC 的方程为1y kx =+． 点A C ，的坐标满足方程组2
14y kx x y =+??
=?，，
得2
440x kx --=，
由根与系数的关系知1212
44.x x k x x +=??=-?，
2
4(1)AC k =
=
=+．
因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k
-
，从而BD 的方程为11y x k
=-
+．
同理可求得22
214(1)
41k B D k k ?
?+??=+
-= ? ? ????
?
． 22
2
2
2
18(1)
18(2)322
ABC D k S AC BD k k
k
+=
=
=++
≥．
当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．
3．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．
（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．
3．解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系 O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．
点C 的纵坐标y 满足方程
222
2
1(0)4x y
y r
r
+
=≥，
解得)y x r =<<
1(22)2
S x r =
+
2()x r =+{}0x x r <<．
A
（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12x r =
．
当02
r x <<时，()0f x '>；当
2r
x r <<时，()0f x '<，所以12f r ??
???
是()f x 的最大值．
因此，当12
x r =
时，S
2
2=．
即梯形面积S
2
2
．
4．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，
，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，
在A D 边所在直线上．
（I ）求A D 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 外接圆外切，求动圆P 的圆心轨迹方程．
4.解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且A D 与AB 垂直，所以直线A D
的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线A D 上，所以A D 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．
（II ）由36032=0
x y x y --=??
++?，解得点A 的坐标为(02)-，
， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，
．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM ==ABCD 外接圆方程为22
(2)8x y -+=．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以P N 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM PN =+
PM PN -=
故点P 的轨迹是以M N ，
为焦点，实轴长为
因为实半轴长a =
，半焦距2c =
．所以虚半轴长b =
=
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为
2
2
1(2
2
x
y
x -
=≤．
5．已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III ）试比较O M 与O N 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．
5．解：（I ）由方程2
2
y kx y x =??
=+?，消y 得2
20x kx -+=．
①
依题意，该方程有两个正实根，
故212
800k x x k ??=->?+=>?，，
解得k >
（II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+， 由2
112y x =+，并令0y =，得11
12
x t x =
-
1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <
，故12
k x -=
=
k >
1x 是关于k 的减函数，所以1x
的取值范围是(0．
t 是关于1x
的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0，
（III ）当12x x <时，由（II ）可知11
12
x O M t x ==-
+
．
类似可得22
12
x O N x =
-
．12
1212
2
x x x x O M O N x x ++-=-
+
．
由①可知122x x =．从而0OM ON -=．
当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．所以OM ON =．
6．如图，已知(10)F ，
，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且Q P Q F F P F Q =
．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M
（1）已知1M A AF λ= ，2M B BF λ=
，求12λλ+的值； （2）求M A M B
的最小值．
6.解：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由Q P Q F F P F Q =
得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2
:4C y x =．
（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x m y m =+≠．
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ??
--
??
?
，， 联立方程组241y x x m y ?=?=+?，，
，消去x 得：2440y m y --=，2(4)120m ?=-+>，
1212
44y y m y y +=??
=-?，
． 由1M A AF λ= ，2M B BF λ=
得： 1112y y m
λ+
=-，2222y y m
λ+
=-，整理得：
11
21m y λ=--，22
21m y λ=--
，
12122112m y y λλ??∴+=--+ ?
??12
1222y y m y y +=-- 2424m m =--- 0=． 解法二：（Ⅰ）由Q P Q F F P F Q = 得：()0F Q P Q P F +=
， ()()0P Q P F P Q P F ∴-+=
，
22
0PQ PF ∴-= ， PQ PF ∴= ．
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2
4y x =．
（Ⅱ）（1）由已知1M A AF λ= ，2M B BF λ=
，得120λλ< ． 则：1
2
M A A F M B B F
λλ=-
．…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，
则有：11M A A A A F
M B B B B F
== ．…………②
由①②得：12A F
A F
B F B F
λλ-=
，即120λλ+=．
（Ⅱ）（2
）解：由解法一，2
12M M M A M B y y y y =--
2
2
1212(1)()M M m y y y y y y =+-++
2
2
24(1)44m m m
m
=+-+
?+
224(1)4m m ?
?=++ ??
?
2
21
4(2)4216m m ?=++
+= ?≥． 当且仅当2
2
1m m
=
，即1m =±时等号成立，所以M A M B
最小值为16．
7．在平面直角坐标系xO y
，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切
于坐标原点O ．椭圆22
2
19
x y
a
+
=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C 的方程；
（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 7.解：（1）圆C ：2
2
(2)(2)8x y ++-=；
（2）由条件可知a=5，椭圆
2
2
1
25
9
x
y
+
=，∴F （4，0），若存在，则F 在OQ 的中垂线上，
又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；
直线CF 的方程为y-1=1(1)
3
x -
-,即340x y +-=，设
Q （x,y ），则334022y
x
x y ?=???
?+-=??，解得45
125x y ?
=???
?=??
所以存在，Q 的坐标为412
(
,)55
。
8．在平面直角坐标系xO y 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2
2
12
x
y +=有两
个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量
O P O Q +
与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
8．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+
代入椭圆方程得
2
2
(12
x
kx ++
=．整理得221102k x ??+++= ???
①
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2
22
1
844202k k k ???=-+=->
???
，
解得2
k <-或2
k >
．即k 的取值范围为22??
??
--
+ ? ?
? ?
?
???
，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++
，，
由方程①，122
12x x k
+=-+． ② 又1212()y y k x x +=++ ③
而(01)(A B A B =
，，，．
所以O P O Q +
与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，
将②③代入上式，解得2
k =
．
由（Ⅰ）知2
k <-
或2
k >
，故没有符合题意的常数k ．
9．在平面直角坐标系xO y 中，已知圆2
2
12320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，
且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与P Q
共线？如果存在，求k 值；如果不存在，
请说明理由．
9．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，
，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于
2
2
2
2
[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ?=--?+=-->，
解得3
04k -
<<，即k 的取值范围为304??
- ???
，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++
，，
由方程①，122
4(3)1k x x k
-+=-
+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③
而(02)(60)(62)P Q P Q =-
，
，，，，． 所以OA OB + 与P Q
共线等价于1212()6()x x y y +=+，
将②③代入上式，解得34
k =-
．
由（Ⅰ）知304
k ??∈ ???
，
，故没有符合题意的常数k ． 10．在平面直角坐标系xO y 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线2
2x py =（0p >）相交
于A B ，两点．
（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；
（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．
10.解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，
，可设1122()()A x y B x y ，，，，
x
直线AB 的方程为y k x p =+
，与2
2x p y =联立得22x p y
y k x p ?=?=+
?，．消去y 得
22
220x pkx p --=．
由韦达定理得122x x pk +=，2
122x x p =-． 于是121
22
A B N B C N A C N
S S S p x x =+=-△△△·．
12p x x =-=
2
2p
==
∴当0k =
时，2
min ()ABN S =△．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，
AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q P Q ，的中点为H ，
则O H P Q '⊥，Q '点的坐标为1
1
22x y p +??
???
，．
12O P A C '=
==∵，
11122
2
y p O H a a y p +'=-
=
--，
2
2
2
P H
O P O H ''=-∴22
1111()(24
4
y p a y =
+-
--1()2p a y a p a ?
?=-+- ??
?，
2
2
(2)P Q
P H =∴14()2p a y a p a ????=-+- ???????．
令02
p a -
=，得2
p a =
，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p y =
，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
12AB x =
-==
2=
又由点到直线的距离公式得d=．
从而2
11
22
22
A B N
S d A B p
===
△
···
∴当0
k=
时，2
min
()
ABN
S=
△
．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y a
=，则以AC为直径的圆的方程为11
(0)()()()0
x x x y p y y
-----=，
将直线方程y a
=代入得2
11
()()0
x x x a p a y
-+--=，
则2
111
4()()4()
2
p
x a p a y a y a p a
??
??
=---=-+-
?
??
??
??
△．
设直线l与以AC为直径的圆的交点为
3344
()()
P x y Q x y
，，，，
则有
34
P Q x x
=-==
令0
2
p
a-=，得
2
p
a=，此时PQ p
=为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为
2
p
y=，即抛物线的通径所在的直线．
11．已知双曲线222
x y
-=的左、右焦点分别为
1
F，
2
F，过点
2
F的动直线与双曲线相交于A B
，两点．
（I）若动点M满足
1111
F M F A F B F O
=++
（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使C A
·C B
为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
11．解：由条件知
1
(20)
F-，，
2
(20)
F，，设
11
()
A x y
，，
22
()
B x y
，．
解法一：（I）设()
M x y
，，则则
1
(2)
F M x y
=+
，，
111
(2)
F A x y
=+
，，1221
(2)(20)
F B x y F O
=+=
，，，，由
1111
F M F A F B F O
=++
得
12
12
26
x x x
y y y
+=++
?
?
=+
?
，
即12
12
4
x x x
y y y
+=-
?
?
+=
?
，
于是AB的中点坐标为
4
22
x y
-
??
?
??
，．
当AB 不与x 轴垂直时，
1212
248
2
2
y
y y y x x x x -=
=----，即1212()8
y y y x x x -=
--．
又因为A B ，两点在双曲线上，所以2
2
112x y -=，22
222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．
将1212()8
y y y x x x -=
--代入上式，化简得22
(6)4x y --=．
当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，
，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22
(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，
，使CA CB
为常数． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2
122
41
k
x x k +=
-，2
122
421
k x x k +=
-，
于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
2
2
2
2
1212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++
22
22
22
2
2
(1)(42)
4(2)
411
k k k k m k m k k +++=
-
++--
2
2
2
2
2
2(12)2
442(12)1
1
m k m m m m k k -+-=+=-+
+--．
因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB
=1-． 当AB 与x 轴垂直时，点A B ，
的坐标可分别设为(2
，(2-，，
此时(1(11C A C B =-=-
，
．
故在x 轴上存在定点(10)C ，
，使CA CB
为常数． 解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y
+=-??
+=?，
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2
122
41
k
x x k +=
-．
21212244(4)411
k k
y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??．
由①②③得2
2
441
k
x k -=
-．…………④ 2
41
k y k =
-．……………⑤
当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
4x k y
-=，将其代入⑤有
22
2
2
444(4)(4)(4)1
x y x y
y x x y
y
-?-=
=----．整理得22(6)4x y --=．
当0k =时，点M 的坐标为(40)，
，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，
，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22
(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，
，使CA CB
为常数， 当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有2
12241k x x k
+=-，2
122
421
k x x k +=
-．
以下同解法一的（II ）．
12．已知双曲线22
2x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，
点C 的坐标是(10)，
． （I ）证明C A ·C B
为常数；
（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++
（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 12．解：由条件知(20)F ，
，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，
的坐标分别为(2
，(2-，
，
此时(1(11C A C B =-=-
，
．
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2
122
41
k
x x k +=
-，2
122
421
k x x k +=
-，
于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--
2
2
2
1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++
22
22
22
2
(1)(42)
4(21)
411
1
k k k k k k k +++=
-
++--22
(42)411k k =--++=-．
综上所述，CA CB
为常数1-．
（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)C M x y =-
，，11(1)CA x y =- ，， 22(1)CB x y =- ，，(10)C O =-
，，由CM CA CB CO =++ 得： 121213x x x y y y -=+-??
=+?，即1212
2x x x y y y +=+??+=?，
于是AB 的中点坐标为222x y +??
??
?，． 当AB 不与x 轴垂直时，
1212
2
22
2
2
y
y y y x x x x -=
=+---，即1212()2
y y y x x x -=
--．
又因为A B ，两点在双曲线上，所以2
2
112x y -=，22
222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．
将1212()2
y y y x x x -=
--代入上式，化简得22
4x y -=．
当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，
，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22
4x y -=．
解法二：同解法一得12122x x x y y y
+=+??
+=?，……………………………………①
当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有2
122
41
k
x x k +=
-．…………………②
21212244(4)411k k
y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??
．………………………③
由①②③得2
2
421
k
x k +=
-．………④ 2
41
k y k =
-．……………⑤
当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
2x k y
+=，将其代入⑤有
22
2
2
244(2)(2)(2)1
x y x y
y x x y
y
+?+=
=++--．整理得224x y -=．
当0k =时，点M 的坐标为(20)-，
，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，
，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22
4x y -=．
13．设动点P 到点(1
0)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得2
12sin d d θλ=．
（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；
（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的
范围，使OM ON =0
，其中点O 为坐标原点．
13．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即2
2
2
121222cos 2d d d d θ=+-，
2
2
12124()4sin d d d d θ=-+
，即122d d -=
=<（常数）
， 故点P 的轨迹C 是以A B ，
为焦点，实轴长2a =
方程为：
2
2
11x
y
λ
λ
-
=-．
（2）设11()M x y ，，22()N x y ，
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，
，(11)N -，在双曲线上．
y
即
2
11
11012
λλλλ
λ
-
=?+-=?=
-，因为01λ<<
，所以2
λ=
．
②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．
由22
11(1)x y
y k x λλ?-=?-??=-?
得：2222
(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??，
由题意知：2
(1)0k λλ??--≠??
， 所以2
122
2(1)
(1)k x x k
λλλ--+=
--，2
122
(1)()
(1)k x x k
λλλλ--+=
--．
于是：2
2
2
12122
(1)(1)(1)k y y k x x k
λ
λλ=--=
--．
因为0OM ON =
，且M N ，在双曲线右支上，所以
2
121222122212
(1)0(1)121
112
3
10
01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>???+-+>???<<
+--??????>+->>???-?
．
22
3
λ<．
14．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2
2y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是
OAB △的内接圆（点C 为圆心）
（I ）求圆C 的方程；
（II ）设圆M 的方程为22
(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作
圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF
的最大值和最小值．
14.（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ?? ???，，2
222y y ??
???
，，由题设知
== 解得2
2
1212y y ==，
所以(6A
，(6B -，
或(6A -，
，(6B ．
设圆心C 的坐标为(0)r ，
，则2643
r =?=，所以圆C 的方程为
2
2
(4)16x y -+=． ·
············································································································· 4分 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知
2
2
2
2
1122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22
112222x x x x +=+．
即1212()(2)0x x x x -++=．
由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．
设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为32
2r r ??
?
???，
，于是有2
3
222r ?=?????，解得4r =，所以圆C 的方程为2
2
(4)16x y -+=． ··············································································· 4分 （II ）解：设2ECF a ∠=，则
2
||||cos 216cos 232cos 16C E C F C E C F ααα===-
． ············································ 8分
在Rt PCE △中，4cos ||
||
x PC PC α=
=
，由圆的几何性质得
||||17P C M C +=≤18+=，||||1716P C M C -=-=≥，
所以1
2
cos 23α≤≤，由此可得 1689C E C F -- ≤≤．
则CE CF 的最大值为169
-，最小值为8-．
15.已知椭圆
2
2
13
2
x
y
+
=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，
过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．
（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：
2
2
0013
2
x y +
<；
（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．
15.证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c =
=，
由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故2
2
001x y +=，
所以，
2
2
2
2
0002113
2
2
2
2
y x y x +
+
=
<≤
．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程
2
2
13
2
x
y
+
=，并化简得2222
(32)6360k x k x k +++-=．
设11()B x y ，，22()D x y ，，则
2
122
632
k
x x k +=-
+，2
122
3632
k x x k -=
+
1232
B D x x k =
-=
=
+ ；
因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k
-
，
所以，221112332
k A C k k
?
+???==+?+． 四边形ABCD 的面积
2
2
22
2
2
2
2
2
124(1)
(1)
962
(32)(23)
25
(32)(23)2k k S B D A C k k k k +24+=
=
=
++??+++??
??
≥
．
当2
1k =时，上式取等号．
（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为
9625
．
16．在直角坐标系xO y 中，以O
为圆心的圆与直线4x -=相切．
（1）求圆O 的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求
P A P B
的取值范围．
16．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O
到直线4x -=的距离，
即
42r =
=． 得圆O 的方程为2
2
4x y +=．
（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由2
4x =即得
(20)(20)A B -，，，．
设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得
22x y =+， 即 22
2x y -=．
(2)(2)P A P B x y x y =-----
，， 222
42(1).
x y y =-+=- 由于点P 在圆O 内，故22
2242.
x y x y ?+
由此得21y <．
所以P A P B
的取值范围为[20)-，
． 17.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，
最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>，
由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，222
3b a c ∴=-=．
∴椭圆的标准方程为
2
2
14
3
x
y
+
=．
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.4
3y kx m x y =+??
?+=?
?，
得222
(34)84(3)0k x m kx m +++-=，
222222122
2
122
6416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m m k x x k m x x k ?
??=-+->+->?
?
+=-?+?
?-=?+?
，即，则， 又22
2
2
121212122
3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x m k x x m k
-=++=+++=
+，
因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，
， 1AD BD k k ∴=-，即
1
2
12122
y y x x =---
，
1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 22
2
2
2
2
3(4)4(3)1640343434m k m m k k
k
k
--∴
+
+
+=+++，
2
2
91640m m k k ∴++=．
解得：
12m k =-，227
k m =-
，且均满足22
340k m +->，
当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，
，与已知矛盾； 当227
k m =-
时，l 的方程为27y k x ?
?=-
???，直线过定点207?? ???
，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为2
07?? ???
，． 18．已知椭圆222
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>
3
，
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l
2
，求AOB △面
积的最大值．
18．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意3c a a ?=
???
=?
1b ∴=，∴所求椭圆方程为
2
2
13
x
y +=．
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥
轴时，AB =．
（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．
2
=，得22
3
(1)
4
m k
=+．
把y kx m
=+代入椭圆方程，整理得222
(31)6330
k x km x m
+++-=，122
6
31
km
x x
k
-
∴+=
+
，
2
122
3(1)
31
m
x x
k
-
=
+
．
222
21
(1)()
A B k x x
∴=+-
222
2
222
3612(1)
(1)
(31)31
k m m
k
k k
??
-
=+-
??
++
??
22222
2222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)
k k m k k
k k
++-++
==
++
2
42
2
2
121212
33(0)34
1
961236
96
k
k
k k
k
k
=+=+≠+=
++?+
++
≤．
当且仅当2
2
1
9k
k
=
，即
3
k=±时等号成立．当0
k=
时，AB=
综上所述
max
2
AB=．
∴当A B最大时，AOB
△
面积取最大值
m ax
1
222
S A B
=??=．
19.设
1
F、
2
F分别是椭圆1
4
2
2
=
+y
x
的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
1
PF·
2
PF的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点)2,0(
M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
19.解：
（Ⅰ）解法一：易知2,1,
a b c
===
所以(
))
12
0,0
F F，设()
,
P x y，则
(
))22
12
,,,3
PF PF x y x y x y
?=--=+-
()
2
22
1
1338
44
x
x x
=+--=-
因为[]
2,2
x∈-，故当0
x=，即点P为椭圆短轴端点时，
12
PF PF
?
有最小值2
-
当2
x=±，即点P为椭圆长轴端点时，
12
PF PF
?
有最大值1
高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 圆锥曲线基础练习题 一、选择题 1. 椭圆15 32 2=+y x 的焦距是（ ） .A 22 .B 24 .C 2 .D 2 2. 抛物线y x =2的准线方程是（ ） （A ）014=+x （B ）014=+y （C ）012=+x （D ）012=+y 3．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k 等于 （ ） .A 1- .B 5 .C 1 .D 5- 4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它 的离心率为（ ） A ．2 B ．52 C ．3 D ．5 5. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 6．双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 （ ） .A 4 1- .B 4- .C 4 .D 41 7. 双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 ( ) A ．163 B ． 83 C ．316 D ．38 8. 抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) ( A ) 16 17 ( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 0 二．填空 9．抛物线)0(22>=p px y 上一点M 到焦点的距离为a ，则点M 到准线的 距离是 10．过点)2,3(-A 的抛物线的标准方程是 11．在抛物线)0(22>=p px y 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值是 圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 1.【2018全国二卷19】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明： ，，成等差数列，并求该数列的公差． 【定点问题】已知()()()0,10,1,10.A B M --，， 动点P 为曲线C 上任意一点，直线,PA PB 的120,0,y ， )0a b 的两个焦点均在以坐标原点的短半轴长为半径的圆上，且该圆被直线20x y +-=截得的弦长为问：,AB BD 是否【18浙江改编】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=的离心率为12 ，过右顶点与上顶点的直（1）求C 的标准方程； （2）若圆O ：223x y +=上一点处的切线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 求OAB ?面积的最大值. 24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C k l 22 143 x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12 k <-F C P C FP FA FB ++=0FA FP FB 5.【2018天津卷19】设椭圆22 221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离 A 的坐标为(,0)b ，且F B AB ?=（I ）求椭圆的方程； （II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若 4AQ AOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 圆锥曲线基础练习题及答案 一、选择题： x2y2 ??1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为 1．已知椭圆2516 A．2B． C．D．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 x2y2x2y2x2y2x2y2 ??1B．??1 C．??1或??1 D．以上都不对A．916251625161625 3．动点P到点M及点N的距离之差为2，则点P的轨迹是 A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线D．一条射线 4．抛物线y2?10x的焦点到准线的距离是 51 B．C． D．102 5．若抛物线y2?8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为 A． A ．，那么k? 三、解答题 11．k为何值时，直线y?kx?2和曲线2x2?3y2?6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 12．在抛物线y?4x上求一点，使这点到直线y?4x?5的距离最短。 13．双曲线与椭圆有共同的焦点F1,F2，点P是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点， 求渐近线与椭圆的方程。 2 2214．已知双曲线x?y?1的离心率e?2，过A,B的直线到原点的距离是.223ab 求双曲线的方程；已知直线y?kx?5交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 2y2 1 经过坐标原点的直线l与椭圆?1相交于A、B两2 点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线l的倾斜角． 16．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭 圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|= ，求椭圆方程. 参考答案 1．D 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为 新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案 全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理）） 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 （ ） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 （ ） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -= 4 ．（2013年高考新课标1（理）） 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 （ ） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理）） 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦 距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理）） 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 （ ） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3 椭圆基础训练题 1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ） （A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9 x 2＋25y 2 ＝1 2．椭圆5x 2＋4 y 2＝1的两条准线间的距离是（ ） （A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3 50 3．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） （A ）2 1 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）33 4．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是4 9，那么P 点到左准线的距离是（ ）。 （A ）59 （B ）516 （C ）441 （D ）5 41 5．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ） （A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率 6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是2 3，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）2 1或1 7．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ） （A ）3－1 （B ）3－3 （C ）3 （D ）1 8．若椭圆m y 12m 3x 22 -+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值围是 。 9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。 10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于 椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为3 54，求此椭圆的方程。 11．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。 12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =3 2，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。 文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= 2018年04月10日wan****.121的高中数学组卷 评卷人得分 一．解答题（共21小题） 1．如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值． 2．如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1， （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围． 3．如图，已知抛物线C1：y=x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．（Ⅰ）求点A，B的坐标； （Ⅱ）求△PAB的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点． 4．已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称． （1）求实数m的取值范围； （2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）． 5．如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点 P，且点P在第一象限． （Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； （Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b． 6．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的 长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D． （1）求椭圆C1的方程； （2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程． 7．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1） （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值． 8．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1） 的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程． … 圆锥曲线测试题（文） 时间：100分钟 满分100分 一、选择题：（每题4分，共40分） 1．0≠c 是方程 c y ax =+2 2 表示椭圆或双曲线的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件 、 2．如果抛物线y 2 =ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 （ ） A ．（1, 0） B ．（2, 0） C ．（3, 0） D ．（－1, 0） 3．直线y = x +1被椭圆x 2 +2y 2 =4所截得的弦的中点坐标是（ ） A ．( 31, -3 2 ) B ．(- 32, 3 1 ) C.( 21, -31) D ．(-31,2 1 ) 4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ） A ．6m B ． 26m C ． D ．9m 5. 已知椭圆15922=+y x 上的一点P 到左焦点的距离是3 4 ，那么点P 到椭圆的右准线的距离是（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ． 143 — 6．曲线 2 25 x ＋ 2 9 y =1与曲线 2 25k x -＋ 2 9k y -=1(k ＜9 ）的（ ） A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 7．已知椭圆 2 5 x ＋ 2 m y ＝1的离心率 e= 5 ,则m 的值为（ ） A ．3 B. 25 3 或 3 8．已知椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，B 为 椭圆短轴的端点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率等于（ ） A ． 12 B C ．1 3 D 9 2)0>>n m 的曲线在同一坐标系 > ) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满 足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是 （4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 . 9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端 点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点， 与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程. 1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+ =kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+== b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13 22 =-y x （Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得?????>-=-+=?≠-. 0)1(36)31(36)26(, 0312 222 k k k k 即.13 1 22<≠ k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319 ,31262 2>+>?--=-= +B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1 37 3231262319)1(22222 -+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732 222>-+->-+k k k k .33 1 2< 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 时间：2021.03.02 创作：欧阳数 2.如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直 线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C 于E、F两点；另外平面上的点G、H满足： 求点G的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率 ，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆的一条准线方程是 其左、右顶点分别 是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0. A D M B N l2 l1 （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证： 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为 a. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tan; （2）若2 一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为 丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） x 1 (D) 1.已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?= 6 2 ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22 12y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6 2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设1 2 e = ，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2 =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。 5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22 221 x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ； （Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程． 6.已知抛物线1C :2 x y =，圆2C :2 2 (4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离； （Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线 l 的方程 7.如图7，椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线 b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长. ()I 求1C ，2C 的方程； ()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1 C 相交于点 D ， E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥; (ⅱ)记MAB ?,MDE ?的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32 17 21=S S ？请说明理由. 2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） 1.设F 1，F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与 椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标； （2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B . （1）求△P AB 面积的最大值； （2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是 1B ，2B ，且21MB MB ⊥. （1）求椭圆C 的方程； （2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由. 4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2 e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程； (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点. (i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数； (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由. 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 1. 已知动直线 l 与椭圆 C: x 2 y 2 1 交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ 的 3 2 面积 S OPQ = 6 , 其中 O 为坐标原点 . 2 （Ⅰ）证明 x 12 x 22 和 y 12 y 2 2 均为定值 ; （Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求 |OM | | PQ | 的最大值； （Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G ，使得 S ODE S ODG S OEG 6 ?若存在，判断△ 2 DEG 的形状；若不存在，请说明理由 . 2. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN ，且 C1， C2的离心率都为 e ，直线 l ⊥MN ， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大 到小依次为 A ， B ， C ， D. （I ）设 e 1 ，求 BC 与 AD 的比值； 2 （II ）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明理由 3. 设 ，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上 运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过 Q 点与 x 轴垂直的直线 交抛物线于点 M ，点 P 满足 QM MP , 求点 P 的轨迹 方程。 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 1.椭圆C 1：()22210x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410. 过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线 l 与圆C 2：()()2 2240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）若43 AN MN =u u u r u u u u r ，求直线l 的方程和圆C 2的半径r . 2.已知椭圆C ：112 162 2=+ y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ?λ的值； （2）求证：点Q 在一定直线上. 3.已知椭圆C ：)0(12 42 2>>=+ b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //， 且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ . （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切； （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由. 4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:> =x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=?MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程； （2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f . 5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为 2d ，且 212 d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P-圆锥曲线基础练习题
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