初三数学圆的经典讲义
圆
目录
圆的定义及相关概念
垂经定理及其推论
圆周角与圆心角
圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
圆内接四边形
会用切线, 能证切线
切线长定理
三角形的内切圆
了解弦切角与圆幂定理（选学）
圆与圆的位置关系
圆的有关计算
一．圆的定义及相关概念
【考点速览】
考点1：
圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。
考点2：
确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
考点3：
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）
弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）
固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：
考点4：
三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5
点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r；
【典型例题】
例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD是直径，?
=
∠84
EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。例3 ⊙O P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是
_________cm。
例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多
少？
例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,30
=
∠CEA，
求CD的长．
例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3
,2，求BAC
∠的度数．
二．垂径定理及其推论A B
D
C
O
·
E
M
A
B C
D
O
E
B
C
【考点速览】
考点1
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．
③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：
① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所
对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
【典型例题】
例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且
CNM AMN ∠=∠．
求证：AB=CD ．
例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于
F 。求证：CE=DF ． l
?
问题一图1
O
H
F
E D C
B
A l
?
问题一图2
O H F E D
C B
A
l
?
问题一图3
O
H F
E D C B
A
【考点速练】
1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.
A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm
A
B
D C
O
·
N M
A
B
D
C O 800
3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）
A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28
4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个
5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4
6.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是.
7.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.
8.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求
水的最大深度CD ．
三．圆周角与圆心角 【考点速览】 考点1
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可． Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
B
P
A
O
D
C
B
A