正弦定理(2)学案

高一年级数学学科学案

1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案

教学准备 教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角 形．

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： ，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而

是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系 数为同1 （ ；使一正数，即存在正数k，，

等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为： ；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。． 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511

正弦定理第二课时教案1

§1.1 正弦定理第二课时教案 主备人：刘权 备课组长：刘权 共2课时第二课时 一、学习目标 1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2. 探究三角形的面积公式 3. 能根据条件判断三角形的形状 4. 能根据条件判断某些三角形解的个数 二、重难点： 重点：正弦定理的应用；难点：已知两边及其中一边对角时三角形解的个数 三、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用； 2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。 四、课前预习 1.正弦定理____________________===________ 2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 3.在解三角形时，常用的结论 （1）在ABC ?中，A>B ?_________?_____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式： ______________________________________________ 五、课堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===； （2）正弦定理的变形形式： 1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————． （3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：

高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计

2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时

一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；

2018年必修五《正弦定理》教案

§1.1.2 正弦定理 一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、教学重点与难点： 重点：正弦定理的探索及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】：习题拔高课 四、教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？ 二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D

例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<

高中数学_方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思

§3.1.1 方程的根与函数的零点 一、导入新课(直接导入) 教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点。 1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函数的图象： ①方程2 230x x --=与函数2 23y x x =--； ②方程2 210x x -+=与函数2 21y x x =-+； ③方程2 230x x -+=与函数2 23y x x =-+； 教师引导学生解方程，画函数图象（教师在黑板画出第一个函数图象），并引导学生发现方程的根与函数图象和x 轴交点坐标的关系。 容易知道，①中方程的两个根为121;3x x =-=，函数图象与x 轴有两个交点（-1,0）,(3,0), ②中方程的两个实数根为121x x ==，函数图象与x 轴有一个交点（1,0），③中方程无实数根，函数图象与x 轴无交点。 在上面的三个例子中，我们发现： 方程有根，函数图象与x 轴就有交点，并且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。 2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗？（学生同桌之间交流完成下表） 0>V 0=V 0

函数 （2b a -+V ，0） （ 2b a --V ，0） （2b a -，0） 无交点 学生自行验证上述结论，结论成立。 3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗？ 函数y=f(x)与x 轴的交点在x 轴上，交点的纵坐标为0，那么，横坐标就是0= f(x)的解，也就是方程f(x)= 0的根。若方程有根，则说明所求的横坐标存在，即函数图象与x 轴的交点存在，且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。结论依然成立。 二、构建概念 由上述结论可知，函数图象与x 轴的交点可以把函数图象和方程联系起来，这样的点他还有一个特别的名字：零点。那么，怎样用数学语言来描述零点呢？ 请看课本第87页的定义： 定义（教师板书）：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 说明：1、零点不是点，而是实数； 2、零点就是方程的根。 我们结合所学的零点一起来描述一下刚刚的结论： 方程f(x)= 0有根 ?函数y=f(x)图象与x 轴有交点 ?函数y=f(x)有零点 三、例题演练 求下列方程的零点 3 2)3()4)(3)(2)(1()2(8 )1(23+-=----=-=x x y x x x x y x y 四、诱导启发 1、通过上面的学习，同学们都有哪些求函数零点的方法呢？ （①求相应方程的根，②利用函数图象求交点） 2、若一个函数图象不能直接画出，它相应的方程也不易求根，我们又有什么方法来求得它的零点呢？ 请同学们看课本例二。 例2、求函数f (x)=ln 26x x +-的零点的个数。（不易求根，不易画图） 学生会觉得非常困难，激发学生的好奇心和好胜心，并加以引导。 同学们，我们先把这个题目放在一边，来观察函数2 23y x x =--的图象（之前已在黑板上画出）。我们发现2 23y x x =--在区间[-2,1]上有零点，计算f (-2)·f (1)在区间[2,4]上呢？

正弦定理应用教案

正弦定理应用教案 【篇一：正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 【基础梳理】 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的 角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点 的方 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 3、解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量 与量 之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等． 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐 步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 【例题分析】 一、基础理解 a．．3 m c． m 2

解：如图．答案 b 例4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 a．5海里 b．3海里 c．10海里 d．海里 5里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸 [分析] 在△bcd中，求出bc，在△abc中，求出ab. 例2、如图，a，b，c，d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b， d的距离． 故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd＝ba. 2＋同理，bd(km)．故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db，延长ba交ce于点e，在△aec中 解得x＝10(33) m．故山高cd为10(33 ) m. 总结：(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．， cd cdx ab解：在△abc中，ab＝5，ac＝9，∠bca＝sin∠acb 9同理，在△abd中，ab＝5，sin∠bad 10 abbd∠adb＝， sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理． 点，ad＝10，ac＝14，dc＝6，求ab的长． 解：在△adc中，ad＝10，ac ＝ 14，dc＝6， 【篇二：《正弦定理》教学设计】

正弦定理教案

课题：§2.1.1正弦定理 教学目标： 1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本：北师大必修5 教学课时：1 教学过程： 一、新课引入： 如左图，在ABC Rt ?中，有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===， 所以在ABC Rt ?中有：c C c B b A a ===sin sin sin 思考：在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢，这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图，无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中，c B b B b ==sin sin '， c

C 是ABC Rt ?，C AB ' ?外接圆的直径。所以对任意ABC ?，均有R C c B b A a 2s i n s i n s i n ===(R 为ABC ?外接圆的半径) 这就是我们这节课所探讨的内容：正弦定理 二、新课讲解 (一)正弦定理及变形： R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变形：⑴C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ⑵R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === ⑶C B c b C A c a B A b a sin :sin :,sin :sin :,sin :sin :=== (二)定理应用 例1、在△ABC 中，BC ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求AC ，AB,c 解：【分析】 由三角形内角和定理得 B A C --=0180 由正弦定理A BC B AC C AB sin sin sin = = 得A B BC AC sin sin = ,A C BC AB sin sin = 【点评】：已知两角一边，通过正弦定理求剩下的三个量：两边一角。 例2、已知：△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 及c. 解：【分析】 根据正弦定理，得 sin A ＝asin B b ＝3sin 45°2 ＝32， ∵b

正弦定理教学设计重难点

正弦定理教学设计 教材分析： 本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一课时内容，本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判定三角形的全等都有密切的联系，解三角形问题与与三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的位置。 教学目标： （一）知识与技能 1.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2.能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 （二）过程与方法 1.学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——正弦定理。 2.在探究学习的过程中，认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。 （三）情感、态度与价值观 1.通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识。 2.在运用正弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界。 3.通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值，应用价值，进而领会数学的人文价值，美学价值，不断提高自身的文化素养。 教学重点： 正弦定理的猜想与证明；正弦定理的简单应用。 教学难点： 正弦定理的猜想提出过程。 教学过程： 一、创设情景，导入新课 船从港口A 航行到港口B ，测得AB 的距离为6千米， 在港口B 卸货后将继续向港口C 航行，但此时船员 发现仪表坏了，将不能测量距离，如果船上有测角仪， 测得B 60∠=?，45C ∠=?，我们能否帮他计算出 AC 的距离？ 这是一个实际问题，我们可以将此转化为数学问题： “在△ABC 中，已知B 60∠=?，45C ∠=?， AB = 6千米，求AC 的长.” 老师：这里△ABC 是斜三角形，已知两角一边，求边长AC. 思考能否求出AC ？ 学生：过点A 作高 B A C ?6

高中数学《正弦定理》教案北师大版必修

江苏省邳州市第二中学高二数学 1.1.1《正弦定理》教案 北师大版 必修5 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =， C

高中数学 第二章 正弦定理教学设计 北师大版必修5

《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。 二、学情分析 对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 三、设计思想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造

《正弦定理》教学设计

《正弦定理》教学设计 一、教材分析 正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。 二、学情分析 本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。 三、教学目标： 1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。 2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜想，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之

间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。 四、教学重点与难点： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点： ①正弦定理的证明； ②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。 五、学法与教法 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C = = ， 接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖，培养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。 教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式 （1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。 （2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。 （3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。 （4）巩固练习——深化对正弦定理的理解。 六、教学过程 创设问题情境：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出两点间A 、C 的距离55m ，∠ACB=600，∠BAC=450求A 、B 两点间的距离。 引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法． 启发学生发现问题实质是：已知△ABC 中∠A 、∠C 和AC 长度，求AB 距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边． B C A

《正弦定理》教案

《正弦定理》教学设计 一、教学目标分析 1、知识与技能：通过对锐角三角形中边与角的关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。 2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理，使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。 3、情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，发现并证明正弦定理。从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。 二、教学重点、难点分析 重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。 难点：①正弦定理的发现与证明过程；②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。 三、教法与学法分析 本节课是教材第一章《解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。 四、学情分析 对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法——向量法，本节课没有涉及到。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 五、教学工具 多媒体课件 六、教学过程 创设情境，导入新课

《正弦定理》新授课的教学设计

巧妙提问，探寻课堂知识生长点 ————《正弦定理》新授课的教学设计 一、教学内容分析： 《正弦定理》是《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A 1 “正弦定理和余弦定理”的第1课，是解三角形的版)第一章《解三角形》：1 重要工具。“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。 二、学生学情分析： 由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理，定理证明中涉及三角函数与平面向量等多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。 三、设计思想： 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的积极建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则采用巧妙提问、实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，从学生已有知识出发，巧妙提问，层层推进，引入课题，猜想验证，理论证明，最后把所学知识应用于实际问题。 四、教学目标： 让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。 五、教学重点与难点： 本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应

正弦定理教案公开课

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 民和高级中学 刘永宏 【三维目标】 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2. 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1. 在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力和处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】 重点：正弦定理的证明和应用 难点：1向量知识在证明正弦定理时的应用； 2 正弦定理在解三角形时的应用思路. 【教学教法的选择】 以问题驱动、层层铺垫，运用“发现—探究”教学模式。 【学法与教学用具】学法指导：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别 利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、直尺、 【授课类型】新授课 【课时安排】1课时 【教学设计】 教学流程及过程 学生活动 设计意图 一. 复习引入、发现问题 问题1、 在Rt △ABC,C 为直角,那么边角之间有哪些关系? sinA=c a ,sinB=c b ,sinC=c c =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C c sin 引导学生发现问题

正弦定理教学设计韩婷

《正弦定理》教学设计 宁夏六盘山高级中学韩婷

正弦定理（第1课时） 一、教学目标分析 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现并证明正弦定理；能理解其内容的实质和作用；会运用正弦定理解决一些简单的三角度量问题。 2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；在正弦定理的证明方法中，渗透分类讨论思想和“从特殊到一般、一般到特殊”化归转化的思想方法。 3、情感、态度与价值观：以实际问题为背景，激发学生的好奇心与求知欲；又通过正弦定理的发现与证明过程培养学生的探索精神和创新能力。逐步培养应用数学知识参与社会活动的意识和成就感 二、教学重点、难点分析 重点：通过对任意三角形边、角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。 难点：正弦定理的发现及证明 三、教学方法： 本节课主要采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以解决问题为落脚点，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形中边角关系的探究中去。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

五、教学媒体： 1、预、学案的使用：学生通过课前使用预案、课堂上使用学案，明确学习的目标和学习的重点；课后回收学案，教师可以及时了解学生课堂上的活动效率，以便个别指导，查漏补缺。 2、PPT和《几何画板》的使用，不仅形象直观地呈现问题，而且可节省大量的时间、空间。 六、教学过程设计：

1.1正弦定理和余弦定理第二课时精品教案

1.1正弦定理和余弦定理 【课题】：1.1.2余弦定理 【教学目标】： (1)知识与技能:使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形 (2)过程与方法:通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理 (3)情态与价值：使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 【教学难点】：余弦定理的探究和证明方法，余弦定理与勾股定理的联系 【课前准备】：多媒体电脑平台.

22 2 2 2 2 2 22222cos c a b a b a b c a b a b a b ab C =-=+-?=+-??+-（）（）

22 2 2 2 2 2 22222cos c a b a b a b c a b a b a b ab C =-=+-?=+-??+-（）（） BC = a . 2 (sin )a C C cos A

1.在△ABC 中： (1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ； (2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ； (3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ； (4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A . 解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7. (2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca 得cos B ＝202＋212－292 2×20×21 ＝0，∴B ＝90°. (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7. (4)由cos A ＝2222 b c a +-得cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋ 1） ＝ 2 2 ，∴A ＝45° 2.在△ABC 中，已知222 a a b c b +=-，则内角C 等于 （ ） A ．90 B ．60 C ．120 D ． 30 解： 222a ab c b +=-，2222cos a b c ab ab C ∴+-=-=,1 cos 2 C ∴=- 0180C <<,120C ∴= 3. 在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积222 4a b c S +-=，则角 C =_________ 解：2222cos cos 1 sin ,tan 1,454422 a b c ab C ab C S ab C C C +-= ===∴=∴= 4.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，判断△ABC 三角形的形状 解： sin :sin :sin 2:3:4,::2:3:4A B C a b c =∴= ,2,3,4,a b c a b c ∴<<===设则 222cos 491630,C a b c C ∴=+-=+-=-<∴为钝角 △ABC 为钝角三角形 （中档题） 5. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 2,3a b ==， cos C =1 3 ，则其外接圆的半径为（ ）

直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用

直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用 【例1】已知椭圆22+197x y =的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为32 . （1）求双曲线E 的标准方程； （2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为线l 的方程. 【例2】已知双曲线C ： 22 221x y a b -=（0,0a b >>4． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点， O 为坐标原点，求

【例3】已知椭圆C:()22 2210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为； 圆M ：2220x y Dx +--=过椭圆C 的三个顶点.过点2F 且斜率不为0的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； ，使得AP AQ 为定值；并求出该定点的坐标 . 【例4】的椭圆C 的一个焦点坐标为() . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点() 0,2P 的直线l 与轨迹C 交于不同的两点E F 、，求PE PF ?的取值范围.

【例5】已知抛物线2:2C y x =和直线:1l y kx =+， O 为坐标原点． (1)求证： l 与C 必有两交点； OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值． 【例6】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b +=>>,右焦点为,0). (1)求椭圆C 的方程; ,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为）

【例7】已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>> ，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为1 1. （1）求椭圆的方程； （2）过点10,3S ??- ??? 的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的

2示范教案(111 正弦定理)

1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理从容说课 本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的证明及其基本应用． 教学难点1.正弦定理的探索和证明； 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数． 教具准备直角三角板一个 三维目标 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 二、过程与方法 1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系； 2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理； 3.进行定理基本应用的实践操作． 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 教学过程 导入新课 师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大． 师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？