怎样搞数学竞赛
怎样搞数学竞赛
搞竞赛要找好苗子，他(她)应该是有热情的，勤奋的，更应该是有抱负的，不畏艰难的；不能搞抱佛脚的事。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。在此先说一些，挂一漏万，请见谅。
一、在进度方面：
要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。
二、必读书目：
开始阶段（专题）：
01、*《组合几何》（单墫）02、*《函数方程》
03、*《怎样证明三角恒等式》 04、*《柯西不等式与排序不等式》（南山）
05、*《抽屉原则与涂色问题》06、*《覆盖》（单墫）
07、*《初等数论》（三册） 08、《数论妙趣》
09、*《基础数论典型题解300例》（王元等）10、*《几何不等式》
11、《趣味的图论问题》（单墫）12、*《数学竞赛中的图论方法》
13、*《计数》14、*《组合数学理论与题解》
15、《组合计数方法及其应用》16、《组合分析的原理方法技巧》
17、*《集合及其子集》（单墫）18、*《几何变换与几何证题》（萧政纲）
19、《近代欧氏几何学》（R.A.Johnson） 20、《平面几何中的小花》（单墫）
复习阶段（综合，针对思想方法）：
21、*《从特殊性看问题》（苏淳） 22、《组合恒等式》（史济怀）
23、《解析几何的技巧》（单墫） 24、*《算两次》（单墫）
25、*《构造法解题》（余红兵严镇军）26、*《漫话数学归纳法》（苏淳）
上面那些书（基本上是数学家写的）应该要学完（特别是打*的）；虽然有点多，但这些书实在太好了，把很多问题都讲得很透彻。然后，该看些竞赛书了，当然，这个时候阅读起来会很轻松的。《第一届数学奥林匹克国家集训队资料》是一本很好的资料。
再推荐一些非常有用的课外读物：
27、《通俗数学名著译丛数学游戏与欣赏》（鲍尔）
28、《通俗数学名著译丛数学娱乐问题》（J．A．H．亨特J．S．玛达其）
29、《通俗数学名著译丛圆锥曲线的几何性质》（科克肖特沃尔特斯）
30、《圆锥曲线》
31、《圆与球》（W．伯拉须凯）
32、《棋盘上的组合数学》（冯跃峰）
33、《几何》（笛卡尔）
34、《几何的有名定理》（矢野健太郎）
对于竞赛教练员来说，我认为以上所有的书都应该熟读，这样一个直接的好处就是了解题目的背景。当然，数学水平也会上升一个档次。对于参加竞赛的，也提出了极高的要求，要在短时间内学完这么多书。如果时间安排得好的话，看完了这些书（或者已经基本看完了），联赛也马上就开始了，这时是高二开学后一个月左右（有些省设了初赛，可能还要早些），即使考得不理想，我想拿个二等奖问题不大，不必灰心，更不必太悲观，因为还有高三一次机会，还有足足一年的时间精心准备，等到一年之后，收获之时到矣。
以上均为个人意见，请慎重听取。
这篇文章对多数学生来说是没什么价值的。能进入国家集训队的一个学校能出一个就值得大书特书了。
发在这里的目的是让各位家长看看，如果要做到最好需要付出多大的努力。
我一直说，智商在整个中学学习中是个次要的因素。努力、进取、方法才是决定学生成功与否的关键。往往我们只看到了国家集训队学生遇到难题时的从容不迫，于是我们把他们定义为天才。事实上他们付出的是成倍的努力。
我一个同事是科大第一届少年班的毕业生。在旁人看来是绝对的天才。可他自己告诉我们，平时没事的时候就会将相对论从头至尾推导一遍。这种付出有几人能够做到？
举个例子吧．每年高一的学生中希望搞数学或者物理竞赛的学生，我都会带他们去拜访往年的成功考生．回来后新生都充满信心：以物理竞赛为例（数学竞赛得看小学初中的基础，物理竞赛从高一才开始，初中内容相对容易），往年的学生给出的经验是：只要把程稼夫的三本书做完至少可以拿到省一．听上去多么容易啊，只需要做完三本书．在优秀学校里，在教练的辅导下完成三本书从难度上来说不是特别的大．可往往一年下来，所有的学生都打了退堂鼓．
如果说天赋很重要，我个人认为能够坚持到最后永不放弃的这种恒心才算是天赋．在外人看来优秀学生的遥不可及的能力是日积月累而成的结果．
至于夺得金牌，在相应领域成为最棒的科学家是进一步的事情，不是几句话说的清的．
推导相对论不像大家想的那么困难。学过广义相对论以后对照书本推导一次，往后离开书本自己推导完全是可以的。难就难在推导一次相对论需要花费非常多的时间（大半天的时间），试问有几人能坐得住呢。至少我不能。
同样是我这个同事，他将有名的吉米多维奇习题集（大约4-5本，每本400页左右。无解答，全是题目，题目量可想而知）全解过一遍（是否全解出我不清楚）。这种努力是多么的难得。最好的学生一定是会用功的学生。他们比多数学生都睡的早，但不表示他们不勤奋。在勤奋的基础上，由于方法不同也会有高下之分。
发这个帖子的目的原本并不是讨论天才和勤奋哪个更重要（但我一直强调勤奋很重要，因为这是后天的，是我们能把握的）。主要是想说，不要为学习成绩不好去找一些天赋上的借口。诚然天赋的高低会决定你是进省队还是国家队，在这种顶尖竞赛中天赋是重要的。但天赋的高低不会影响你中高考成绩是否优秀。
勤奋、态度、方法，这些是我们后天可以做到的，对待任何事情都应该勤奋；勤奋之余寻求好的方法改进自己的学习习惯。这是主动迎接学习挑战迎接人生挑战的积极态度。
在天赋上抓住不放从态度上就显得消极得多。还没开始学习从心态上就输了半截。
这个老帖子今天又看到，真是感慨颇多。回想自己的中学大学研究生的求学生涯。多少的聪明人因为态度上的问题早早折戟沉沙，而像我这样愚钝之辈通过自己的努力总算能在社会谋取一席之地。
以上均是肺腑之言，没有任何人身攻击的意味。如有冒犯请海涵。
版里很多家长都在谈论竞赛。随着孩子年龄的增长，家长们的关注点从小学转向了中学。作
为一个长期从事数学辅导的教师，我倒是建议一些家长、同学可以将注意力多多放在物理竞赛上。
数学竞赛所需的时间很多，需要大量的阅读，对平时功课的影响较大。而且比较依赖于小学的奥数基础。
而物理竞赛完全可以从初二开始，且所需的课程数远少于数学。在高中保送时也更占优势一些。
竞赛不是最需要的东西。不过版里关注的家长很多，并且都以高中保送和提前考试资格为目标。
如果是数学竞赛。到了初中再起步就晚了。
如果是物理竞赛。到了初三再开始也是来得及的。
孩子是否有很强的毅力是非常重要的。奥赛是需要投入大量时间的，天赋再好，不能吃苦的学生是没法取得理想成绩的。另外，孩子是否在相应的学科表现出一定的天赋（通常通过平时考试成绩判定）也是需要注意的因素。
初中物理如果以高中奥赛为目标，现在的8成培训中心的课程是不合格的。这与数学的反差很大，很多机构的数学培训做的都比较有特色。当然，这跟中考的指挥棒关系密切。
我个人认为，初中物理的力学、电学，完全应该采用高中的模式教学。而不是停留在初中的层面上。但这点多数老师做不到，主要原因是，高中的力学电学需要比较多的二次函数、三角函数的基础。初中的物理老师在辅导这方面问题时，能力上存在一定的缺失（恕我直言）。
言归正传，目前初中竞赛课程多数培训机构就是跟着课本走的。难度加深了一些。换言之，叫做提优更准确些。
顺便说一下高中物理竞赛的课程：
1、力学（需学习微积分等大学知识）
2、电磁学（需微积分知识）
3、热学
4、光学
5、近代物理（相对论、原子物理等等都可包括在内）
所以我说，从课程来说并不多。而且主要以力学和电磁学为主，相比数学轻松许多。
物理方面的初中奥赛教材比较有名的是张大同老师主编的绿皮书。但与江苏的教材有些脱节。目前比较好的物理竞赛教材十分匮乏。市面上多数教材只能算是提优教材。
物理竞赛初三开始也不晚。由于物理对数学要求很高，最好能将数学的课程尽可能向前学。
高一学生除非成绩极好，自学过电磁学，否则不用参加集训了。我们的课程多是大学教授讲授，难度较大。会影响到学生的自信心。
另外我多说几句：物理竞赛的意义不仅仅在于得奖，还在于能力的提升。能够通过初赛的学生，在高考中的压轴题也可以轻松应对。这方面的意义也许对多数学生更重大些。就像很多
大学生考英语6级，实际上没有什么意义。但是6级的难度相当于考研英语，6级能及格的同学稍加努力，考研英语也不会有什么问题了。
发这么一个关于高中物理竞赛的帖子，我有义务将物理竞赛直至自主招生考试的流程解释清楚。如家长有疑问可以留言，关于这次集训的或者关于物理奥赛的均可（数学恕不解答）
问题一、现在初中是否有正规的物理竞赛
答：据我所知，江苏省物理学会是没有针对初中的物理竞赛的。南京市物理学会（也就是我们这边，由另一位老师负责）每年年底组织一次南京市中学生物理竞赛。往年的参赛人数在2000人左右，应该算是目前最为正式的初中物理竞赛了。但近年明确规定初中不允许组织竞赛，所以可以说目前南京没有正规的物理竞赛了。至于一些培训中心内部考试，打着物理竞赛的名头，实际上仅仅是对内的一次期中（末）考试测验而已。事实上目前所有的初中竞赛都是民间的。
问题二、高中物理竞赛与初中相比的区别
答：天差地别。高中的物理竞赛课本有兴趣的同学可以翻阅，与初中完全是南辕北辙的两条路。
问题三、物理竞赛的意义
答：高中物理竞赛的意义在于：
1.拿到高中物理竞赛省一等奖前50名（如果是全国奖可以直接签约，跳过考试），可拿到大学的自主招生考试资格。每年南京都有大量学生通过这个渠道考取中国最一流的大学。相关数据我印象版里是有的。
2.目前高考物理试题压轴两题难度很大，基本相当于竞赛初赛难度。学习物理竞赛对解答高考难题有很大帮助。据我了解，近几年附中高考成绩最突出的学生都是学习过竞赛的。
问题四、数学竞赛与物理竞赛的取舍
答：我前些年一直在做数学竞赛的工作。目前工作调到到物理学会培训中心。对两者都有一定的了解。
个人认为，如果想搞数学竞赛，必须开始得很早，最好是小学就很优秀。且初中得提前学完高中（至少高一）的课程，这样从时间上才来得及。且需学习的课程较多。南京数学竞赛比较突出的是金中。
物理竞赛可开始得稍晚，初三结束开始时间也足够，中考后得提前学习微积分初步以及高中力学。相对数学，物理需要的科目少一些。另外，数学竞赛的参赛人数多，获奖率低。相对没有物理稳定。南京物理竞赛比较优秀的是附中。南外由于高二大量学生忙着出国，对竞赛成绩有不小影响。
从自主招生名额来说，两者差别不大。
现在比较多的学生在高中都会采取数学+物理的双竞赛路。通过平时的学习情况再进行取舍。
目前物理学会和物科院没有组织相应的初中培训。往年高中也只针对夏令营表现出色的少数学生进行进一步的培训，以提高南京市物理奥赛的竞争力。公开招生一直没有开展过。
从今年9月份开始，物理学会培训中心将针对南京的高中生进行一次招生，选拔1-2个班进
行物理奥赛课程的辅导。有意愿的高一新生以及即将高二的基础较好的学生可以关注。特别再次说明，之前物理学会培训中心除了夏令营以及集训课程外，未针对高中进行过任何公开招生（以后类似问题不再重复了）。
另外，虽然初中竞赛严令禁止，各培训中心的初中奥数、奥物课程课程还是存在的。优秀学生仍然是有这方面的需求的。
2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析
2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -=． 7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? ． （1）求证：1()2 A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数． 11．设,,, abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值．
历年全国初中数学竞赛试题及参考答案
2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) (A)36(B)37(C)55 (D)90 2.已知，，且，则a的值等于( ) (A)－5(B)5(C)－9(D)9 3.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴. 若斜边上的高为h，则( ) (A)h＜1 (B)h＝1 (C)1＜h＜2 (D)h＞2 4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( ) (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，若QP＝QO，则 的值为( ) (A)(B) (C)(D) 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6.已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，c－a＝2005. 若a＜b，则a＋b＋c的最大值为___________. 7.如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于________.
历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
上海市高三数学竞赛解答 供参考
2017年上海市高三数学竞赛（）解答（供参 考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域： ]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 计算可得：
归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得：|3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49，
由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±= 1+n n a a ， 进而3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9 ，从中任意
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题 时间：2小时，满分：120分 姓名 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则 ABF ?面积的最大值为 ． 4．设集合 111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则 1263p p p +++= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -= ． 7．在三棱锥P ABC - 中，已知1,AB AC PB PC ====，则22ABC PBC S S ??+的 取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为 21(1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017) k =，则1a = ． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =?． （1）求证：1()2A B C A B C ≥++（这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数．
新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开
2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.
数学竞赛书籍
细数那些年曾看过的数竞好书 ——转摘于网络 竞赛的学习远不同于高考，差异性的根源就来自老师这一角色的转变。所谓的教练，已经从传道授业解惑的老师，转变为了引路的灯塔。他们可以为学生搜集资料，编制试题，懂得启发、引导学生思考，善于布局谋划学生的发展方向，却极少拿起教材真正教你些什么。 当学习过程中的第一知识来源几乎不再为你注入源头活水的时候，你自然明白，书本就成了你获取知识的唯一可行途径。你看什么书，它知识点讲解是否清楚，它囊括的练习题是否典型而具有启发性，就直接决定了你的学习质量，其重要性无需我再多言。 作为一个数学竞赛的过来人，我写下这篇文章，按照时间顺序分段介绍数学竞赛几个必经的层次，及其对应的参考书籍。希望给正在或者即将踏上长路奔驰的你，带来一些实质性的帮助。Period 1：初三毕业的那个夏天——高一的第一个学期结束 第一阶段是大多数竞赛生学习必备知识的阶段，说白了就是先把高考课程内要求掌握的所有知识自学完成，吃饱了上路。这一阶段的目标，清晰明确：配合老师的课堂教学，尽可能快地自学完成高考数学的绝大多数内容，在最短时间内达到高考的要求。 在这一部分，我并没有什么值得推荐的参考书，我只想介绍我当时的情况。我高中的第一个学期，期中考试数学分数非常低，这不是我个人的问题，而是我们整个数学竞赛组都存在的麻烦。于是我的竞赛老师就自己搜集了一些高考的难题，汇总，并且按照联赛一试的形式命制成了一套套的试题让我们练习。毫不夸张地说，到了期末，数学组的高考数学成绩就统治全班了，前前后后不过两个月的时间。 Period 2：高一第一学期结束的寒假 第二阶段是竞赛生第一次真正意义上地开始竞赛的学习，是飞机起飞前的第一冲刺滑行阶段。我建议你需要完成的事情是：学习一试的内容和平面几何的内容。 对于一试部分的内容，我推荐的教材是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》，注意是高一年级和高二年级的基础篇（只有基础篇）。学数学竞赛的人不可能没听说这一套书，这一系列共分三本，分别在封面注明了高一到高三三个年级。高一的这一本包括的知识点有：集合、函数、数列、三角函数、向量和立体几何，除了集合包含一定的组合知识，其他的内容均为一试内容（可能还包括一点二试的代数内容），题目非常典型且有难度，不管是基础篇还是提高篇都是必须刷完的；高二这本书基础篇包括：一试难度的不等式，解析几何和复数，提高篇基本就是二试内容了，不推荐在这个阶段完成。 平面几何的内容，我只推荐一本书，这本书也是我唯一看过的一本平面几何的书：《奥赛经典——奥林匹克数学中的几何问题》，主要由沈文选老师编写，湖南师范大学出版社出版。请你无视第二篇和第三篇关于立体几何和解析几何的内容，重点在第一篇。除了三四五六七章（从托勒密到九点圆）可以略看，不是考察重点，其他都要认真看。这本书的精华就在每一章节的基础知识部分，严密细致的总结归纳，堪称平面几何教科书的典范。另外这本书上的题目难度分级也很合理，不是一味的难或者水，刷的时候可以明显感觉到能力的提升。一个小的不足是错误较多。 关于这一阶段的学习，还要多啰嗦几句。第一，两条线要穿插着进行，尤其是一试内容的学习，不仅是在这一阶段，在以后的过程中，都要保证常规的最低训练量；第二，这个阶段以及第三阶段，都是新知识学习的阶段，你的目标很明确：快速地把这个圈子摸一遍。所以对于部分难题，该放的果断放，必须保证一定的学习速度，但同时要保证质量，走马观花同样是大忌，建议题目的完成+阅读率在80-90％。 Period 3：高一第二学期开始到高一结束后暑假的中期 第三阶段是你一试实力进一步提升的阶段，同时也是你开始接触二试部分较难知识（数论、组合）的时期。一试在第二阶段已经说过，在第三阶段你要持续看那两本书。
历年初中数学竞赛真题库(含答案)
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S
2016年上海市高三数学竞赛试卷答案
2016年上海市高三数学竞赛试卷 2016年3月27日上午9：30～11：30 【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上. 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像和函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像和函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的分析式是 ． 2．复数z 满足|z |=1, w=3z 222 z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ． 3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1 2 - (a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ． 6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示） 7. 在空间，四个不共线的向量OA 、OB 、 OC 、OD ,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ． 8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ． 二、解答题（本大题满分60分） 9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ； A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1
2017年上海市高三数学竞赛解答(供参考)
2017年市高三数学竞赛（2017.03.26）解答 （供参考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2 －x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域：]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12 ＋a n 2 ＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 （数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12 －(2a n ＋18)a n +1＋a n 2 －18a n ＋81 = 0 ；
由求根公式可得：21+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得： |3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49， 由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N * 时，3±=1+n n a a ， 进而 3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ . 【答案】1260 253 【提示】分类讨论：第一位是0，第一位是1，第一位是2（2013～2016）。
历年初中数学竞赛真题库(含答案)
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S
历年初中数学竞赛试题精选(含解答)
初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m?a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 解：选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于是x＝a+b+c+d=9。 解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 各艇追上④号艇的时间为 对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。 解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则 由①②得，代入③得： ∴，故n的最小整数值为23。 答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台 解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得 由①得：，即 由②得：，即 ∴原不等式组的解集为 ∴整数的值为。
答：一层有客房10间。 解：设劳动竞赛前每人一天做个零件 由题意 解得 ∵是整数∴＝16 （16＋37）÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。 初中数学竞赛专项训练（2） （方程应用） 一、选择题： 答：D。 解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程： ，化简得，解得不合题意舍去）。应选D。 答：C。 解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为 所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。 答：C。 解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为， 则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。 答：B。
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题 时间：2小时，满分：120分 姓名 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ． 3．已知椭圆2222 1(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为 ． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263 ,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -= ． 7．在三棱锥P ABC -中，已知3,1,2AB AC PB PC ====则22ABC PBC S S ??+的取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为2 1(,)4k k k A a a ，半径为2 1 (1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k =，则1 a = ．
2016年上海市高中数学竞赛试题及答案
2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数 ()2f x 的解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2 1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ，得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 答案：2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=，所以arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．
历年全国高中数学联赛试题及答案
1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1
高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版
第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9
3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,
高三数学竞赛试题
高三数学竞赛试题 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1、 {}{}{}()A B=,,,A=2,0B=0,8A B A A 16B 18C 20D 22z z xy x A y B ?=∈∈?定义集合运算：设，，则集合的所有元素之和为，，，。 2{}()() [)[)25122311 4 32163212,16,8,16,8,,,. 333n n n a n N C A B C D *+∈???? ???????? 已知是等比数列，a =2,a =,则a a +a a ++a a 的取值范围是3、 (()21C A 4B 3C 2D 1a b a ab +，小数部分为，则的值为。 ，，，。 4、 ()C AB -3OA=OB=OC=,A 1331,2,2,. 2222 a b c A c a b B c b a C c a b D c a b =-+=-+=-+=-如图所示：已知点分有向线段的比为，且，，则以下等式成立的是 O 5、从存有号码为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 则取到号码为奇数的频率是( A) A 0.53， B 0.5， C 47， D 0.37。 6、(08江西理)(较难) 连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N
③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解：①③④正确，②错误。易求得M 、N 到球心O 的距离分别为3、2，若两弦交于N ，则OM ⊥MN ，Rt OMN ?中，有OM ON <，矛盾。当M 、O 、N 共线时分别取最大值5最小值1。 7、 ()()()()0000sin 2008cos 2008sin 2008cos 2008( B) A a b c d, B b a d c, C c d b a, D d c a b. <<<<<<<<<<<<设a=sin ，b=sin ，c=cos ，d=cos ，则a,b,c,d 的大小关系是 ()()()()00000000001 2008180018028,0sin 2008cos 200812sin cos 2008sin sin 2008cos cos 2008cos sin 2008=++?>>- >>-?<<< 8、()()()()323614,1,19,f x x x x f a f b a b D =+++==+=设函数且则 2,1,0, 2.A B C D - ()()()()()()()()()()()()()()()()()()3 3233 3 322222 32 2 3614=13110,3131101,1311019,1112 3613=06380365=0 f x x x x x x g y y y g y f a a a f b b b g a g b g a a b a a a a b a ab b a b b b b a =+++++++=+=++++==++++=?++∴+?+=-?+++??+-+++++=?++-??-法一：设，则为奇函数且为单调递增函数， 且=-9,=9,=-9=g -b-1,法二：易得()()()22260,380,0.D ab b a b a b ++>++>∴+<选。 二、填空题(本大题是6个小题，每小题8分，共48分，请将正确的答案填在横线上) 9、 ()()AB M AM=2MB _______. 1 已知A a,0，B 3,2+a ,且直线y=ax 与线段相交于，， 2 则a 等于 a+b 42M ,-4233a ?+??? ? ?????1代入y=ax 得a=或2 10、
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