全国优质课- 平面向量基本定理

《平面向量基本定理》教学设计

一、内容和内容解析

1．内容：探索发现并证明平面向量基本定理，应用定理解决简单的问题．2．内容解析：平面向量基本定理是在平面向量的加法、减法、数乘向量三种线性运算的基础上，对向量运算的一个总结与提升，建立了“形”与“数”的联系，为继续学习平面向量的坐标表示建立了逻辑前提，也是向量法解决几何问题的重要理论基础，是平面向量学习中承上启下的一个重要知识，在中学数学中占有重要地位．平面向量基本定理本质上提出了可以用平面内两个不共线的向量来表示平面内的任意向量，实质上体现了平面向量的“二维性”，实现了向量的表示、运算与图形的有机结合与统一．本节教学重点是探索发现并证明平面向量基本定理，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力．

二、目标和目标解析

1．目标：在具体的问题情境中，通过具体操作向量的分解发现并证明平面向量基本定理，结合“形”与“数”的联系指出平面向量基本定理的意义，并解决一些简单的问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养．

2．目标解析：

本节是规则课教学，达成上述目标的标志是：第一，在具体的问题情境中能根据要求将平面向量进行分解，经历给定的向量用两个不共线的向量（基底）来表示的作图过程，形成平面向量基本定理的直观认识；第二，基于作图过程和原有共线向量表示法唯一性的认识，能正确说明任意一个平面向量在给定基底下的表示法是唯一的，并在此基础上通过推理论证得到平面向量基本定理；第三，知道平面内不共线的两个向量都可以作为基底，表示平面内任意一个向量，能应用平面向量基本定理解决简单的问题，体会平面向量基本定理的作用．

三、教学问题诊断分析

学生经历了平面向量共线定理和向量的代数运算，对向量的表示与运算有一定的认识，这是本节教学的认知基础．但由于学生往往局限于图形的直观联系，很难从向量的分解中抽象出向量“可表示”与“唯一表示”关键内容，对“向量任意性”，“表示唯一性”，“基底不共线”等概念认识也不到位，加上平面向量基本定理的内容有高度的抽象性，证明定理需要严谨的逻辑性，成为学生学习的难点．此外，由于对定理的地位与意义认识不足，在定理的应用中无法正确选择合适的向量，建立向量与基底的联系，也是学生解决问题时的难点．

综上，本节的教学难点是平面向量基本定理的抽象概括与推理证明．

四、教学支持条件分析

为了更有效实现教学目标，突破教学难点，教学时应采用从特殊到一般的策略，让学生经历探索、发现、认识、理解平面向量基本定理的过程．为便于开展活动教学，可以运用多媒体平板电脑实现课堂师生互动，运用几何画板等软件实现平面向量基本定理的动态展示，以此加强对平面向量基本定理的理解，积累学生的基本活动经验，进而形成数形结合的思维认知，提升学生直观想象的核心素养．

五、教学过程设计

1．创设情境，激发思考

问题1：今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题．

之前，我们学习了平面向量的线性运算，如果一个非零向量a 与向量b 共线，我们可以如何表示向量b ？

【师生活动设计】教师提出问题，学生思考后回答，师生共同得出：如果一个非零向量a 与向量b 共线，存在唯一的实数λ使得λ=b a .

【设计意图】通过复习平面向量共线，使学生明白两个向量共线的位置关系可以通过向量的数乘运算来进行代数表示，而且表示的结果是唯一的，这为下面引出平面向量基本定理提供研究问题的思路和方向．

问题2 ：在物理中，我们知道为求放置在斜坡上的木块受到的摩擦力，需要将重力分解．如图1所示，你能将受力分析的结果用向量表示出来吗？

力的分解是向量分解的物理模型，根据受力分析，我们可以通过作平行四边形将向量OG 分解为两个向量OF 与OA ，这里向量OG 是这两个向量的和，即OG OF OA =+．这引发我们思考，平面内的任意一个向量，能否用某些给定向量的代数和的形式表示？如果可以，这样的向量需要几个？

图1

【师生活动设计】教师提出问题学生思考，教师引导学生从力的分解过渡到向量的分解．如果学生能正确回答可以用两个向量表示平面内任意一个向量，就追问这两个向量需要满足什么条件？引向问题3，如果学生没有反应或回答错误，就采用追问1和．

追问1．我们之前学过向量的加法、减法、数乘向量的运算，如果给定向量a ，平面中任意一个向量b ，能否用向量a 来表示？

追问2．已知平面内的两个非零向量1e ，2e ，请你作出向量122+e e ，123-+e e ．给你什么启发？

【设计意图】通过力的分解的物理模型引出平面向量分解的平行四边形模型，让学生明确向量的分解的依据是平行四边形法则作为基本模型，从运算与表示的角度为后续做铺垫，发展学生数学建模和数学抽象的核心素养．追问1和追问2目的是引导学生理解表示平面内任意一个系列需要两个不共线的向量．

2.活动探究，发现规则

问题3：如图2所示，给定两个不共线的向量1e ，2e 及同一平面内的向量a ．将a 沿着1e ，2e 的方向分解，你有什么发现？

图2

【师生活动设计】学生动手作图，教师提问一名学生在黑板上作图展示．在学生作图的基础上，向学生强调先在同一起点O 作1OA =e ，2OB =e ，之后再做出向量OC =a ，然后将向量a 沿着1e ，2e 的方向分解．如果学生在作图上比较顺利，能够作图并表示，那么导向问题４，如果学生在作图上有困难，无法作图或者作图后无法用线性运算表示出来，则教师进入以下环节：

追问1：在物理中，我们将力根据需要进行分解，依据的是平行四边形法则，现在你可以运用平行四边形法则进行分解吗？

追问2：当你将向量a 沿着向量1e ，2e 方向分解，分解后的向量和向量1e ，2e 是什么关系？这种关系如何表示？

【设计意图】引导学生经历作图过程进行体会，将平面内的向量a ，沿着1e ，2e 的方向分解，并用1122λλ=+a e e 的形式表示出来，掌握向量平行四边形分解的方法，初步认识平面向量基本定理的图形表示与代数表示，实现从图形到代数表示的过渡，发展学生数学抽象的核心素养．

问题4：如果再给出平面内的另一个向量a ，还能用给定两个不共线的非零向量1e ，2e 来表示吗？

【师生活动设计】教师改变向量a 的方向和位置，分别呈现出以下几种状态，让学生进行作图、表示、展示．其中几种状态如图3所示：

图3

e 1

e 2

a

a

追问：如果a 是零向量，可以用给定两个不共线的非零向量1e ，2e 来表示吗？从这个探究过程中，你可以得到什么结论？

【师生活动设计】教师提问，请两位学生到白板上画图，并将结果表示出来并解释作图的关键．同时运用多媒体辅助手段，动态展示向量a 的不同情形下（含共线向量）如何通过构造平行四边形来表示它．

【设计意图】让学生体会平面内的任一非零向量，都可以用两个不共线的非零向量表示出来，突破“任意性”这个难点，发展学生逻辑推理的核心素养． 问题5：对于给定的向量a ，可以用给定两个不共线的向量1e ，2e 表示为1122λλ=+a e e 那么这种表示的12,λλ是唯一的吗？你可以给予证明吗？

【师生活动设计】引导学生从图形和代数两个角度解释原因，如果学生可以回答，则进入问题6，否则引导学生思考：表示的结果唯一，就意味着分解的唯一，从图形上看就是平行四边形的唯一，你能通过所学的几何知识来解释吗？ 从代数上如何证明12,λλ是唯一的呢？代数中要证明唯一性我们一般采用的方法是什么？如何证明？

【设计意图】从几何和代数两个角度让学生认识表示结果的唯一性，发展学生直观想象和逻辑推理的核心素养．

3．抽象概括，阐述规则

问题6：你能把上述探究发现的结果，用数学的语言描述出来吗？

【师生活动设计】教师提问，学生回答，教师给予引导和纠正，共同得出平面向量基本定理：

如果12,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122λλ=+a e e ．

我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所用向量的一组基底．

【设计意图】让学生在探究、发现的基础上，将已有的图形语言，用文字语言、符号语言表示出来，培养学生会用数学的语言表达所发现的结论的能力，发展数学抽象的核心素养．

4．辨析思考， 理解规则

问题7：已知12,e e 是平面内向量的一组基底．

（1）1e 和12+e e 可以作为平面向量的一组基底吗？

（2）用1e 和12+e e 表示向量1246+e e ．

【师生活动设计】教师提问，学生作答，在问题中引导学生从平行四边形和待定系数法两个角度来思考问题，根据学生回答的情况，教师给予适当的启发和拓展 如果学生对问题（1）有困难，则可追问：作为平面向量的一组基底需要满足的条件是什么？

如果学生对问题（1）能够解答，则追问：你们还有其他的解决问题的方法吗？ 如果学生对问题（2）有困难，则可追问：如果向量1246+e e 用1e 和12+e e 表示，则表示的结果是什么形式？

【设计意图】理解基底的概念，能够运用平面向量基本定理的代数特征，通过待定系数法来表示平面内的任一向量，发展学生逻辑推理的核心素养．

5．规则应用， 凸显本质

问题8：如图4所示，在正方形ABCD 中，AC =a ，BD =b ，用,a b 来表示AB ，AD .

图4 【师生活动设计】教师提问，学生回答，引导学生思考解决问题的两种方

法．若学生回答出其中一种方法，则教师引导思考另一种方法．指出向量的表示，能够运用待定系数法来表示平面内的向量，也可以通过图形特征，构造平行四边形、三角形建立向量的表示，突出平面向量基本定理的两大主要特征.

【设计意图】理解基底的概念，既能够运用平面向量基本定理的代数特征，通过待定系数法来表示平面内的任一向量，也能够运用平行四边形、三角形法则，通过几何图形实施向量的线性运算，求出结果，

发展学生直观想象和逻辑推理的核

C

心素养．

问题9：如图5所示，平面向量,OA OB 不共线，且AP t AB =（t ∈R ），试用,OA OB 表示OP ．

图5 【师生活动设计】教师提问，学生思考后回答，教师给予解题指导后，指出这是向量OP 具有特殊情形时（点P 在直线AB 上），用,OA OB 表示的结果，并询问这种结果有什么特殊性，引导学生建立特殊的“形”与特殊的“数”的联系．

【设计意图】通过该例题，熟悉掌握平面向量基本定理的运用，同时体现了平面向量基本定理的基本性，可以用来表示平面向量共线，在此基础上可以对平面向量基本定理的认知进行扩充，即可以表示平面内的任意一点的位置，发展学生数学抽象的核心素养．

6. 总结归纳， 提炼感悟

问题10：在本节课探究、发现、表述、证明平面向量基本定理的过程中，你有哪些收获？平面向量基本定理为我们通过向量的方法解决问题提供了哪些便利？

【设计意图】回顾探究过程，整理研究思路，揭示定理本质，为平面向量的正交分解及坐标表示打下伏笔，揭示数学的简洁美，在此基础上过渡到坐标架的角度给予学生更深层次的认识．

六、目标检测设计

1．设1e ，2e 是平面内一组基底，则下面四组向量中，能作为平面内一组基底的是（ ）

A ．12-e e 与21-e e

B ．122+3e e 与1246--e e

A

C ．12-e e 与12+e e

D ．122-e e 与2112

-e e 解析：不共线的两个向量能作为平面内一组基底，因此需要判断选项中所给的两个向量是否共线：

其中，对于选项A ：12-e e 21()=--e e ，所以12-e e 与21-e e 共线；

选项B ： 1246--e e 12=2(2+3)-e e ，所以122+3e e 与1246--e e 共线；

选项D ：122-e e 与211=2()2--e e ，所以122-e e 与2112

-e e 共线； 选项C ：12-e e 与12+e e 是以1e ，2e 为邻边的平行四边形的两条对角线，因为1e ，2e 不共线，所以12-e e 与12+e e 不共线．

【设计意图】检测学生对基底的概念的掌握情况．

2．设,D E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12A A B ，BE =23

A B C ，若12DE AB AC λλ=+（λ1，λ2为实数）

，则λ1+λ2的值为 ． 解析：由题意结合向量的运算可得：DE DB BE =+. 其中12DB AB =，22()33

BE BC AC AB ==-. 所以1263

DE AB AC =-+. 所以116λ=-，22=3λ，所以121+=2λλ. 【设计意图】检测学生对平面向量基本定理的理解，以及运用平面向量的线性运算表示向量的能力．

3． 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB =a ，AD =b ，试用,a b 分别表示向量,,,MA MB MC MD ．

解析：平行四边形ABCD 中，AB =a ，AD =b ， 则1122

MA =--a b ，

1122MB =-a b ，1122MC =+a b ，1122

MD =-+a b ． 【设计意图】检测学生运用平面向量基本定理表示平面向量的掌握情况．

七、点评（黄炳锋，福州第三中学）

平面向量基本定理是一节规则课，有些老师认为本节课所涉知识浅显，难度不大，常常省略了定理的发现与证明过程，把这节课上成定理的应用课。与这种极端功利的教学不同，耿熹老师的这节课遵循了规则课的一般结构，经历了定理的发现与提出、定理的阐述与证明、定理的理解与应用等环节，并为每个环节的教学都进行了设计，深入思考了课堂结构的严谨性与知识内容的逻辑连贯性，将看似平淡的定理教学演绎得风生水起。

第一，定理的发现与提出。在这一环节，耿熹老师为规则学习的必要性做了精心的设计，首先在创设的问题情境中，教师提出力的分解是向量分解的物理模型，你能将受力分析的结果用向量表示出来吗？然后根据表示的结果，引发学生思考，平面内的任意一个向量，能否用某些给定向量的代数和的形式表示？如果可以，这样的向量需要几个？这样贴近学生思维发展区的问题自然导向向量的分解与合成，并在平行四边形法则这一熟悉的基本模型下，进行操作活动，积累向量分解与合成的认知经验，依此开始探究并发现规则。

第二，定理的阐述与证明。为了突破定理阐述过于抽象的难点，耿熹老师设计了两个问题进行铺垫，问题4突破“任意性”，问题5突破“唯一性”，这样到问题6，要求学生将探究发现的结果，用数学的语言描述出来就顺利了。仔细观察这一环节，我们还发现从动手操作到归纳概括，从几何图形到代数阐述，从定理的具象呈现到抽象表示，教师遵循学生的认知规律，循序渐进发展学生的数学抽象、直观想象以及逻辑推理等核心素养，可谓匠心独具。

第三，定理的理解与应用。在定理应用之前，耿熹老师设计了辨析思考，理解规则这一步骤，看似不经意的问题7其实有深意，两个小题，分别解释了基底的选择和不同基底的表示。从图形上看，任意两个不共线的向量均可作为基底，这是几何特征；转换基底进行向量表示，体现了代数特征，学生不再需要动手操作向量的分解，而是借助代数运算实现从形到数的过渡。定理的应用也凸显本质，两个问题的设计既是呼应又有发展，从基底表示到表示的特殊性，揭示了定理的

代数特征，引导学生建立特殊的“形”与特殊的“数”的联系，为向量从“形”到“数”转型提供了认知基础．

纵观本课教学过程，我们不难得到这样的启发，作为中学数学重要的一种课型，规则课的教学应遵循其应有的课堂结构，教学中要积极创设问题情境，引导学生还原生动活泼的定理发现与证明过程，揭示定理的内涵。惟其如此，才能有效提升学生发现和提出、分析和解决问题的能力。