三角函数应用题解题技巧

三角函数应用题解题技巧

湖北武穴市百汇学校(435400)徐国纲

[摘要]三角函数应用题和实际生活联系紧密，它对学生的阅读理解能力、转化能力、计算能力都能进行有效的考查.解这类 问题的指导思想是将已知的边、角条件尽可能放在直角三角形中进行研究.如果在解题中能挖掘出等腰三角形、相似三角形等基 本图形，解题方法就将更灵活，解题过程将更简单.

[关键词]三角函数;应用题&支巧

[中图分类号]G633. 6 [文献标识码]A[文章编号]1674-(2017)29-0020-02

在近几年的中考试题中，有一类三角函数应用题，它的特点是含有 ，并且在解答过程中需要作I 线，难度较大.有不少学生不擅长解这类问题.下面

一些解此类问题的 .

一、寻找或构造直角三角形

在三角函数应用题中，最重要的图形是直角三角 形.在解题过程中，我们需要寻找 形.如果没有合适的直角三角形，我们便需要构造直角三角形.

【例1】如图1，一艘海轮位

于灯塔P的北偏东65°方向，距离

塔80海里的A处，它沿正南方

向航行一 ，到达位于灯

塔P的南偏东34°方向上的B处，

这时，海轮 的B处 塔

P有多远？（sin65°20.91，cos65°

20.42, sin34°20. 56 ,cos34°20.

83)

图1

解答:如图 1，在 R tA A P C中，90。一65。= 25°

：.P C=PA?cosZ A PC280X0.91 =72. 8.

在尺七"即％中，#6=34。，

答:海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里.

评析：这道题是课本上的例题，它是三角函数应用

题中最基础的题型，编者向我们传递出两个很重要的信息.第一，注意题目中的隐含条件，挖掘直角三角形.实

际问题中，树木、电线杆是竖直的，地面是水平的.航海

问题中，所有的东西线是水平的，所有的南北线是竖直的.这里就有很多的平行线和垂线.第二，这个题是典型

的“背靠背”模型，也就是它们有一条公共的直角边.在

这两个直角三角形中，如果公共边是已知的，那么两个直角三角形都可以直接解了；如果公共边是未知的，那 么必须先解条件充足的三角形，求出公共边后再解另一

个直角三角形.也就是说，对于多个直角三角形，我们要注意解三角形的顺序，要从条件充分（至少有一条已知边）的直角三角形开始解，逐渐过波到条件不充分的直

形中!

二、寻找等腰三角形

数应用题中，如果能及时挖掘出特殊的三 角形， 少作很多的 线，少解一 形，使解题过程大大简化.

【例2】某校数学兴趣小

组利用数学活动课实践测量位

于山顶的雕像高度，如图2,已

知山坡面与水平面的夹角

#B D C为30。山高B C为 D

857. 5尺，组员从山脚D处沿

山坡向着 向前进1620 图2

尺到达￡点，在点￡处测得雕像顶端A的仰角为60°，求 A B的高度.

解答：如图3,过点￡作

E F丄A C，￡G丄C D，垂足分别

为 F、G_

在 R tA G E G 中，???￡>￡=

1620,#1=30°,

>￡G=D￡sin#D=1620

X-2 =810，

G C

V B C=857. 5,C F=E G，>B F=B C—C F=47. 5，

在 R tA B E F中，tan#E B F=|(，

>E F=tan60〇X B F=V3B F，

在 R tA A E F中，#A E F=60°，设 A B=尤尺，

A

=tan#60。=黑，???A F=E F X tan#60 °，

EF

47. 5=3X47. 5,.".,= 95.

答:雕像A B的高度为95尺.

评析：以上解答是原题的参考答案.原题作了两条垂线，解了三个直角三角形，显然将简单问题复杂化了. 有没有简单方法呢？如果我们能挖掘出图中隐含着一■个等腰A A B E，问题就迎刃而解，即A B=BE=B1—1E=2B C—1E=95(尺）.

【例3】第17号台风“鲇鱼”给小岛O

造成了较大